Арзамасский политехнический институт (филиал) НГТУ им. Р.Е. Алексеева (Арзамас) В работе рассматривается нелинейная дискретная модель Роессера. На базе метода векторных функций Ляпунова получены новые достаточные условия асимптотической устойчивости таких систем. Результаты обобщены на случай стохастических моделей. Ключевые слова: 2D-системы; модель Роессера; асимптотическая устойчивость; векторная функция Ляпунова.
приращения переменных состояния (в случае дискретных моделей), или не разрешены явно относительно производных всех переменных состояния (в случае непрерывных моделей). В связи с этим стандартное применение второго метода Ляпунова не представляется возможным, поскольку для нахождения полного приращения или полной производной функции Ляпунова в силу системы, пришлось бы находить решение системы, в результате чего теряется главное преимущество метода. Альтернативой служит метод векторных функций Ляпунова, в котором вместо традиционной системы сравнения используется аналог дивергенции векторной функции в силу системы [2].
В некоторых приложениях встречаются модели 2D-систем с непрерывной динамикой. Например, в [1] для описания динамики сорбционного процесса, который возникает в сточных водах и и при очистке сточных вод, используется непрерывная модель Роессера, которая в некоторых случаях сводится к известному в математической литературе уравнению Гурса. Известны также дискретно-непрерывные (гибридные) версии 2D-систем [4, 5].
Исследование устойчивости и стабилизации 2D-систем в подавляющем большинстве работ проводилось в рамках линейных моделей. Работы, связанные с изучением устойчивости нелинейных 2D-систем, стали появляться лишь совсем недавно. Например, в [9] изучалась устойчивость нелинейных детерминированных и стохастических систем Роессера. В [6] исследовалась устойчивость нелинейных дискретных систем Форназини–Маркезини. В [12] сформулированы прямая и обратная теоремы Ляпунова для исследования асимптотической и экспоненциальной устойчивости нелинейных дискретных систем Роессера. В [2] развит метод векторных функций Ляпунова для исследования экспоненциальной устойчивости дискретных нелинейных повторяющихся процессов, а в [7] результаты обобщены на дискретные нелинейные nD (n ≥ 2) системы Роессера. В [8] получены прямая и обратные теоремы, которые дают достаточные условия экспоненциальной устойчивости нелинейных 2D-систем Форназини-Маркезини и 2D-систем Роессера.
В [5] получены достаточные условия асимптотической и экспоненциальной устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных 2D систем, которые выражены в терминах двухкомпонентной функции Ляпунова. В [4] на базе метода векторных функций Ляпунова получены условия экспоненциальной устойчивости для непрерывно-дискретных (дифференциальных) повторяющихся процессов и на базе этих результатов решена задача синтеза управления с итеративным обучением, где эти условия сведены к вычислимой форме в терминах линейных матричных неравенств.
Главной мотивацией данной работы является то, что в существующей литературе исследуется лишь экспоненциальная устойчивость нелинейных систем Роессера. Известные условия асимптотической устойчивости [12], получены как следствие экспоненциальной устойчивости. Экспоненциальная устойчивость это естественное свойство линейных систем и, как хорошо известно, для линейных 1D систем асимптотическая и экспоненциальная устойчивость эквивалентны. Для нелинейных систем это не так, здесь система может быть асимптотически устойчива, но но не являться экспоненциально устойчивой [5]. Ясно, что условия экспоненциальной устойчивости более консервативны и для решения задач стабилизации часто достаточно требовать лишь выполнения условий асимптотической устойчивости.
В данной работе, для нелинейных 2D систем Роессера получены новые, менее ограничительные по сравнению с известными [12], условия асимптотической устойчивости в терминах свойств векторной функции Ляпунова. Результаты обобщены на стохастический случай. 2
Асимптотическая устойчивость нелинейных систем Роессера Рассмотрим нелинейную дискретную модель Роессера, которая описывается следующей моделью в пространстве состояний x1(i + 1, j) = f1(x1(i, j), x2(i, j)), x2(i, j + 1) = f2(x1(i, j), x2(i, j)), где xk ∈ Rnk , k = 1, 2 горизонтальная и вертикальная составляющие вектора состояния, fk(x1, x2), k = 1, 2 нелинейные функции такие, что fk(0, 0) = 0, k = 1, 2 (что дает равновесие в начале координат). Схематично динамика системы представлена на рисунке 1.
Граничные условия заданы в виде где gk, k = 1, 2 известные векторы такие, что x1(0, j) = g1(j), x2(i, 0) = g2(i), |gk(n)|2 ≤ κkρn, 0 < ρ < 1, Рис. 1: Cхематическая иллюстрация динамики системы Роессера где κk (k = 1, 2) положительная константа и | · | обозначает евклидову норму. Названия составляющих берут начало из задач обработки изображений, где модель Роессера впервые была введена в линейной версии [10]. Замечание 1 Ограничения (3) означают, что функции gk, k = 1, 2, либо ограничены и определены на конечных интервалах или ограничены и стремятся к нулю на бесконечных интервалах. Обозначим x(i, j) = [x1(i, j)T x2(i, j)T]T и определим устойчивость следующим образом.
Vh2(x2(i, 0)) ≤ ch0|x2(i, 0)|2,
DVh(x) ≤ −ch3|x1|2,
|x(i, j)| → 0 i + j → ∞.
V (x(i, j)) =
V1(x1(i, j)) V2(x2(i, j)) где Vi(0) = 0, i = 1, 2.
Дискретный аналог дивергенции этой функции вдоль траекторий системы (1) имеет вид
DV (x(i, j)) = V1(x1(i + 1, j)) − V1(x1(i, j)) + V2(x2(i, j + 1)) − V2(x2(i, j)).
Следующая теорема дает достаточные условия асимптотической устойчивости системы (1), (2) в
терминах векторных функций Ляпунова вида (
Доказательство. Из (
DVh(x(i, j)) ≤ −ch3(|x1(i, j)|2 + |x2(i, j)|2) ≤ −c¯h3(|x1(i, j)|2 + |x2(i, j)|2).
Vh2(x2(i, j + 1)) − Vh2(x2(i, j)) + c¯h3|x2(i, j)|2 + Vh1(x1(i + 1, j)) −
Vh1 (x1(i, j)) ≤ 0.
c¯h3 1 − ch2 1 1 1 1 Если ch3 > ch2(1 − ρ 2 ), выберем c¯h3 < ch2(1 − ρ 2 ), а если ch3 ≤ ch2(1 − ρ 2 ), выберем c¯h3 < ch3 ≤ ch2(1 − ρ 2 ). 1 Таким образом, в любом случае можно выбрать c¯h3 такую, что c¯h3 ≤ ch2(1 − ρ 2 ).
c¯h3 . Из предыдущего неравенства следует, что ζ1 можно выбрать из условия Обозначим ζ1 = 1 − ch2
1 ρ 2 ≤ ζ1 < 1. Это условие гарантирует сходимость, как будет показано ниже. Перепишем (14) в виде
Vh2(x2(i, j + 1)) − Vh2(x2(i, j))c¯h3|x2(i, j)|2 + Vh1(x1(i + 1, j)) − ζ1Vh1 (x1(i, j)) ≤ 0. Решая (16) относительно Vh2(x2(i, m)), получим
Vh2(x2(i, m)) ≤ Vh2(x2(i, 0)) − Обозначим Из (17) следует, что m−1 X ch3|x2(i, j)|2 − j=0 m−1 X [Vh1(x1(i + 1, j)) − ζ1Vh1(x1(i, j))].
j=0 Wi(m) = m−1 X Vh1(x1(i + 1, j)).
j=0
Wi+1(m) − ζ1Wi(m) ≤ Vh2(x2(i, 0)) − Vh2(x2(i, m)) ≤ Vh2(x2(i, 0)). Решение этого неравенства относительно Wn(m) приводит к соотношению
n−1 m−1 n−1 Wn(m) ≤ ζ1nW0(m) + X ζn−1−iVh2(x2(i, 0)) = ζ1n X Vh1(x1(0, j)) + X ζn−1−iVh2(x2(i, 0)).
1 1
i=0 j=0 i=0
Вычисляя слагаемые в правой части (19) с учетом (
m−1 n−1 ζ1n X Vh1(x1(0, j)) + X ζ1n−1−iVh2(x2(i, 0)) ≤ j=0 i=0 ch2κ1 + (1 − ρ) ch0κ2
1 ζ1(1 − ρ 2 ) ζ1n = C1ζ1n. Следовательно а также Из сходимости ряда в правой части (22) следует, что
C1 n |x1(n, j)|2 ≤ ch1 ζ1 , для всех j,
m−1 lim X |x1(n + 1, j)|2 ≤ cCh11 ζ1n < ∞.
m→∞ j=0
|x1(n + 1, j)|2 → 0 при j → ∞ для всех n.
Таким образом, из (21) и (22) вытекает, что |x1(i, j)| ограничена и |x1(i, j)| → 0 при i + j → ∞.
Аналогично используя (
DVv(x) ≤ −cv3|x2|2.
Асимптотическая устойчивость стохастических систем Роессера Рассмотрим стохастическую нелинейную 2D систему, описываемую моделью Рoессера N x1(i + 1, j) = f1(x1(i, j), x2(i, j)) + X f1r(x1(i, j), x2(i, j))vr(i, j), r=1
N x2(i, j + 1) = f2(x1(i, j), x2(i, j)) + X f2r(x1(i, j), x2(i, j))vr(i, j), r=1 Определение 2 Нелинейная система (24), (2) называется асимптотически устойчивой в среднем квадратическом, если для всех i, j величина E[|x(i, j)2|] ограничена и
E[|x(i, j)|2] → 0 i + j → ∞.
Стохастический дискретный аналог оператора дивергенции векторной функции (
DS V (ξ) = E[V1(x1(i + 1, j))|x1(i,j)=ξ1,x2(i,j)=ξ2 ] − V1(ξ1) + E[V2(x2(i, j + 1))|x1(i,j)=ξ1,x2(i,j)=ξ2 ] − V2(ξ2),
где ξ = [ξ1T ξ2T]T.
Теорема 2 Предположим, что существуют функции Vh и Vv вида (
Mathematical Systems Theory, 12:59–72, 1978. [12] N. Yeganefar, N. Yeganefar, M. Ghamgui, E. Moulay. Lyapunov theory for 2-D nonlinear Roesser models: Application to asymptotic and exponential stability. IEEE Trans. on Automatic Control, 58:1299 1304, 2013. Asymptotic stability of 2D nonlinear Roesser systems
Julia P. Emelianova Arzamas Polytechnic Institute of R.E. Alekseev Nizhny Novgorod State Technical University (Arzamas, Russia)
Abstract. The paper consider the development of a stability theory for 2D nonlinear discrete systems described by a state-space model of the Roesser form, based on an extension of the Lyapunov’s method. Using vector Lyapunov function and its divergence (or discrete counterpart thereof), new conditions for asymptotic stability are derived in terms of properties of two vector Lyapunov functions. These results are also extended to stochastic case.
Keywords: 2D systems, Roesser systems, asymptotic stability, vector Lyapunov function.