This paper presents the Function Studium, a software to dynamic address functions, emphasizing its rate of change and the development of the covariational reasoning. The Function Studium was developed in the research group LEMATEC at Universidade Federal de Pernambuco, and it is for students from High School to Undergraduate, in Mathematics disciplines that address functions and its rate of change, such as calculus. Resumo. Este artigo apresenta o Function Studium, um software para abordar funções de forma dinâmica, com ênfase na sua taxa de variação e no desenvolvimento do raciocínio covariacional. O Function Studium foi desenvolvido no Grupo de Pesquisas LEMATEC da Universidade Federal de Pernambuco, e é destinado a estudantes do Ensino Médio ao Superior, nas disciplinas de Matemática que abordem funções e sua taxa de variação, como cálculo.
variação das funções, com ênfase no raciocínio covariacional dos estudantes, ou seja, na
coordenação da variação conjunta das variáveis da função [
O conceito de taxa de variação assume um papel central no estudo das funções reais sob uma perspectiva variacional, sendo estudado desde o Ensino Básico até o Ensino Superior, onde é a base para o conceito da derivada de uma função. Também ganha mais importância sob o ponto de vista da covariação, pois ao invés da ênfase na correspondência entre valores, há um foco maior em como as variáveis da função variam uma em relação à outra e como tal relação se expressa pela taxa de variação.
Estudos relacionados à abordagem de funções por tecnologias computacionais
têm apontado o potencial que essas ferramentas têm para contribuir com o ensino e
aprendizagem desse conceito, como exemplo desses estudos temos [
Dessa forma, a concepção e o desenvolvimento do Function Studium foi
orientado por um Modelo de Processo de Software baseado no quadro
teóricometodológico da Engenharia Didático-Informática, referenciado em [
No Ensino Básico, o software pode ser utilizado na disciplina de Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio, no conteúdo de Funções e conceitos correlatos. Já no Ensino Superior, a aplicabilidade do software pode ser considerada para diversas disciplinas das Ciências Exatas, principalmente, quando abordarem o conceito de funções reais, taxa de variação ou as noções iniciais da derivada, o que geralmente ocorre nas disciplinas ligadas a Cálculo.
Estudantes do Ensino Médio, Estudantes de Licenciatura em Matemática e de disciplinas de Cálculo no Ensino Superior.
Para o desenvolvimento do Function Studium, utilizamos uma metodologia que integra
princípios teórico-metodológicos da Didática da Matemática à Engenharia de Software,
por meio da integração das primeiras etapas da Engenharia Didática [
As etapas da Engenharia Didático-Informática compuseram-se essencialmente
de quatro fases: delimitação do campo, fase teórica, fase experimental e análise a
posteriori/validação. A fase de delimitação do campo teve por objetivo selecionar os
conhecimentos que o software iria abordar, ou seja, procurou-se responder os seguintes
questionamentos: quais conhecimentos matemáticos serão abordados com o software?
Quais são os conhecimentos relacionados que também devem ser trabalhados? Quais
profissionais podem auxiliar nesse desenvolvimento? [
Na fase teórica realizou-se uma pesquisa inicial direcionada a conhecer os encaminhamentos didáticos, epistemológicos, cognitivos e tecnológicos do conhecimento delimitado: realizou-se um apanhado teórico sobre o campo para dar início ao processo de levantamento de requisitos. Ao ser concluído o levantamento teórico, os primeiros requisitos puderam ser descritos. Ainda na fase teórica, iniciou-se a prototipação, na qual, durante o desenvolvimento do protótipo, foram delimitadas as situações de uso, os problemas que poderiam surgir com a utilização do software e as hipóteses de respostas dos usuários, por meio da análise a priori.
A fase experimental foi composta de momentos específicos para os testes e da análise do software: interface, comandos, botões, etc, juntamente com a verificação do atendimento aos objetivos de ensino e aprendizagem. A experimentação do software foi realizada com estudantes da Licenciatura em Matemática da UFPE, que utilizaram o Function Studium para resolver duas atividades sobre a taxa de variação.
Na fase de análise a posteriori e validação, houve o confronto das hipóteses estabelecidas na análise a priori com o que ocorreu na experimentação, a fim de avaliar o software quanto aos objetivos relacionados ao ensino e aprendizagem do conceito abordado, e que além disso, trouxe elementos de análise que contribuiram para o aprimoramento do produto.
O software foi desenvolvido para plataforma web, utilizando as linguagens HTML (HTML5), CSS e JAVASCRIPT. Essas linguagens, sendo interpretadas por padrão por qualquer browser, podem ser editadas com um simples tratamento de texto e beneficiam-se de inúmeras bibliotecas de objetos permitindo encurtar o tempo de desenvolvimento e de se dedicar, quase exclusivamente, na implementação do código dos artefatos que diz respeito à transposição didática-informática do conceito de função e de taxa de variação e à proposta didática de ensino desses conceitos.
A escolha de uma prototipagem para plataforma web facilitou também a distribuição do artefato para os diversos envolvidos no projeto e favoreceu as reconfigurações no processo de engenharia de software educativo, entre a engenharia de software empregada para a concepção/desenvolvimento técnica do artefato e a engenharia de requisitos que fundamenta e norteia essa concepção/desenvolvimento. O emprego de métodos ágeis, que favorecem uma forte e rápida interação entre os diversos profissionais envolvidos no projeto, foi facilitada pela escolha de desenvolvimento web.
O Function Studium apresenta-se em uma janela principal (Figura 1) cercada de ícones que representam ferramentas ou opções do software, além de outras janelas secundárias, nas quais outras representações de função como a tabular e o modelo algébrico foram implementadas para interagirem com o gráfico.
Figura 1. Tela do Function Studium
Na área indicada com o número 1, estão as ferramentas de operações com funções, nas quais, dadas duas funções pré-definidas, é possível obter uma terceira função pela operação entre elas. Partiu-se de uma álgebra das funções tomadas como básicas. Na área indicada com o número 2 estão os tipos de função, que são a constante, afim, quadrática e polinomial de grau 3. Outras funções polinomiais podem ser obtidas como resultado da operação com estas funções, assim como as funções racionais.
Na área indicada com o número 3, a janela “Função editada” exibe o modelo algébrico da função. Nesta janela é possível definir os coeficientes da função por meio de controles deslizantes. Na área 4, a janela “Funções” exibe o modelo algébrico das funções definidas, já na 5 a janela “Parâmetros” exibe os coeficientes das funções definidas e permite alterá-los dinamicamente por meio dos controles deslizantes.
Na área 6, a janela “Pontos/Taxas” exibe os valores das variáveis, da sua variação e da taxa de variação das funções nos valores selecionados. É possível definir tais valores tanto diretamente nessa janela como selecionando-os no gráfico.
Em 7 encontra-se a opção de definir um ponto no gráfico e em 8, a ferramenta “Taxa de variação”, que ao ser acionada permite calcular a taxa de variação tanto entre dois pontos do gráfico quanto entre pontos associados a intervalos sucessivos de x, como mostra mais adiante a Figura 2. As áreas indicadas em 9 e 10 referem-se às ferramentas “Reta secante” e “Reta tangente”, nas quais é possível definir retas tangentes ou secantes ao gráfico da função, para articular essas retas com a taxa de variação da função, contextualizando este conceito com o seu significado geométrico.
O processo de desenvolvimento do Function Studium foi orientado para uma
perspectiva variacional de função, com ênfase no conceito de taxa de variação, além
disso, também teve como objetivo oferecer suporte ao desenvolvimento do raciocínio
covariacional. Dessa forma, as possibilidades de uso do software são direcionadas para
abordagens que tenham como objetivo desenvolver nos estudantes uma compreensão
variacional de função e dos seus aspectos. São alguns exemplos:
a) Suporte à caracterização variacional das funções afim e quadrática: A função
afim é caracterizada variacionalmente como uma função real que possui taxa
de variação constante para todo o x do seu domínio. Já a função quadrática
possui uma taxa de variação variável em função de x, porém a sua variação é
constante. Estes dois casos podem ser abordados no Function Studium pela
ferramenta “Taxa de variação”, que exibe valores da variação da taxa de
variação, conforme a Figura 2.
b) Suporte à análise dinâmica da influência dos coeficientes no gráfico: A
variação dos coeficientes no modelo algébrico da função, de forma dinâmica e
conectada ao gráfico, é um importante recurso para analisar como tal variação
influencia o comportamento do gráfico. Esta abordagem é possível no Function
Studium, por meio dos controles deslizantes na janela “Parâmetros”.
c) Suporte à interpretação da taxa de variação geometricamente: A
implementação das ferramentas “Reta tangente” e “Reta secante” levou em
conta os resultados das Análises Preliminares [
Figura 2. O Function Studium na caracterização variacional da função quadrática
Os resultados e impactos esperados com o uso do software, relacionam-se diretamente
com os princípios que guiaram a sua concepção, pois as ferramentas implementadas no
Function Studium são resultados dos princípios e necessidades determinados como
requisitos para o software. São apontados alguns desses resultados: (i) Suporte ao
desenvolvimento do raciocínio covariacional dos estudantes: de acordo com