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|title=Function Studium: Um Software para o Desenvolvimento do Raciocínio Covariacional (Function Studium: A Software for the Development of Covariotional Reasoning)
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|authors=César Thiago José da Silva,Ricardo Tibúrcio dos Santos,Franck Gilbert René Bellemain,Verônica Gitirana Gomes Ferreira
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==Function Studium: Um Software para o Desenvolvimento do Raciocínio Covariacional (Function Studium: A Software for the Development of Covariotional Reasoning)==
https://ceur-ws.org/Vol-1877/CtrlE2017_MOA_06_116.pdf
II Congresso sobre Tecnologias na Educação (Ctrl+E 2017)
Universidade Federal da Paraíba - Campus IV
Mamanguape - Paraíba – Brasil
18, 19 e 20 de maio de 2017
Function Studium: um software para o desenvolvimento do
raciocínio covariacional
César Thiago José da Silva, Ricardo Tibúrcio dos Santos, Franck Gilbert René
Bellemain, Verônica Gitirana Gomes Ferreira
Universidade Federal de Pernambuco
{cesarthiago.silva; rico.tiburcio; f.bellemain;
veronica.gitirana}@gmail.com
Abstract. This paper presents the Function Studium, a software to dynamic
address functions, emphasizing its rate of change and the development of the
covariational reasoning. The Function Studium was developed in the research
group LEMATEC at Universidade Federal de Pernambuco, and it is for
students from High School to Undergraduate, in Mathematics disciplines that
address functions and its rate of change, such as calculus.
Resumo. Este artigo apresenta o Function Studium, um software para
abordar funções de forma dinâmica, com ênfase na sua taxa de variação e no
desenvolvimento do raciocínio covariacional. O Function Studium foi
desenvolvido no Grupo de Pesquisas LEMATEC da Universidade Federal de
Pernambuco, e é destinado a estudantes do Ensino Médio ao Superior, nas
disciplinas de Matemática que abordem funções e sua taxa de variação, como
cálculo.
1. Introdução
Este artigo apresenta um software para o estudo de funções que valoriza o raciocínio
covariacional, desenvolvido no âmbito do grupo de pesquisa LEMATEC (Laboratório
de Ensino de Matemática e Tecnologia) da Universidade Federal de Pernambuco, como
parte de duas dissertações de mestrado: [Silva 2016] e [Tibúrcio 2016].
Neste texto, com base em uma revisão da literatura, discutimos aspectos sobre o
ensino de funções e os softwares para o estudo de funções, para traçar as justificativas
pedagógicas da proposta. O software tem aplicabilidade em diferentes disciplinas em
níveis diversos, os quais apresentamos em seguida. Segue-se uma discussão da
Engenharia Didático-Informática, desenvolvida em paralelo ao desenvolvimento do
software e que deu suporte ao seu desenvolvimento.
2. Justificativa Pedagógica
A justificativa pedagógica para o desenvolvimento do Function Studium parte, por um
lado, da problemática da fundamentação teórico-metodológica da concepção e do
desenvolvimento de softwares educativos e, por outro, do problema da concepção de um
software que atendesse às necessidades do ensino-aprendizagem do conceito de taxa de
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variação das funções, com ênfase no raciocínio covariacional dos estudantes, ou seja, na
coordenação da variação conjunta das variáveis da função [Carlson et al 2002].
O conceito de taxa de variação assume um papel central no estudo das funções
reais sob uma perspectiva variacional, sendo estudado desde o Ensino Básico até o
Ensino Superior, onde é a base para o conceito da derivada de uma função. Também
ganha mais importância sob o ponto de vista da covariação, pois ao invés da ênfase na
correspondência entre valores, há um foco maior em como as variáveis da função
variam uma em relação à outra e como tal relação se expressa pela taxa de variação.
Estudos relacionados à abordagem de funções por tecnologias computacionais
têm apontado o potencial que essas ferramentas têm para contribuir com o ensino e
aprendizagem desse conceito, como exemplo desses estudos temos [Gomes Ferreira
1997], [Villa-Ochoa 2011] e [Castro Filho 2001]. No entanto, ao se pensar na
concepção de um software para a taxa de variação das funções, as especificidades do
seu ensino e aprendizagem precisam ser consideradas. Tal software deve atender as
necessidades relacionadas a aspectos do seu ensino, das dificuldades dos estudantes, da
sua epistemologia e em como a tecnologia computacional contribui para tais aspectos.
Dessa forma, a concepção e o desenvolvimento do Function Studium foi
orientado por um Modelo de Processo de Software baseado no quadro teórico-
metodológico da Engenharia Didático-Informática, referenciado em [Bellemain, Ramos
e dos Santos 2015], [Tibúrcio 2016] e [Bellemain e Tibúrcio 2016], com o objetivo de
aliar em uma ferramenta computacional as especificidades do conceito de taxa de
variação das funções em uma perspectiva covariacional.
3. Disciplina e contexto de utilização
No Ensino Básico, o software pode ser utilizado na disciplina de Matemática nos anos
finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio, no conteúdo de Funções e conceitos
correlatos. Já no Ensino Superior, a aplicabilidade do software pode ser considerada
para diversas disciplinas das Ciências Exatas, principalmente, quando abordarem o
conceito de funções reais, taxa de variação ou as noções iniciais da derivada, o que
geralmente ocorre nas disciplinas ligadas a Cálculo.
4. Público alvo
Estudantes do Ensino Médio, Estudantes de Licenciatura em Matemática e de
disciplinas de Cálculo no Ensino Superior.
5. Processo de desenvolvimento adotado
Para o desenvolvimento do Function Studium, utilizamos uma metodologia que integra
princípios teórico-metodológicos da Didática da Matemática à Engenharia de Software,
por meio da integração das primeiras etapas da Engenharia Didática [Artigue 1996] à
Engenharia de Software. O Processo de Desenvolvimento de Softwares Educativos
observa os métodos da engenharia de requisitos na Engenharia de Softwares integrados
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com uma Engenharia Didática, podendo ser definida como uma Engenharia Didático-
Informática, na qual contemplamos especificamente as potencialidades teóricas (do
ensino e aprendizagem de conhecimentos) e tecnológicas (da computação).
As etapas da Engenharia Didático-Informática compuseram-se essencialmente
de quatro fases: delimitação do campo, fase teórica, fase experimental e análise a
posteriori/validação. A fase de delimitação do campo teve por objetivo selecionar os
conhecimentos que o software iria abordar, ou seja, procurou-se responder os seguintes
questionamentos: quais conhecimentos matemáticos serão abordados com o software?
Quais são os conhecimentos relacionados que também devem ser trabalhados? Quais
profissionais podem auxiliar nesse desenvolvimento? [Bellemain e Tibúrcio 2016].
Na fase teórica realizou-se uma pesquisa inicial direcionada a conhecer os
encaminhamentos didáticos, epistemológicos, cognitivos e tecnológicos do
conhecimento delimitado: realizou-se um apanhado teórico sobre o campo para dar
início ao processo de levantamento de requisitos. Ao ser concluído o levantamento
teórico, os primeiros requisitos puderam ser descritos. Ainda na fase teórica, iniciou-se
a prototipação, na qual, durante o desenvolvimento do protótipo, foram delimitadas as
situações de uso, os problemas que poderiam surgir com a utilização do software e as
hipóteses de respostas dos usuários, por meio da análise a priori.
A fase experimental foi composta de momentos específicos para os testes e da
análise do software: interface, comandos, botões, etc, juntamente com a verificação do
atendimento aos objetivos de ensino e aprendizagem. A experimentação do software foi
realizada com estudantes da Licenciatura em Matemática da UFPE, que utilizaram o
Function Studium para resolver duas atividades sobre a taxa de variação.
Na fase de análise a posteriori e validação, houve o confronto das hipóteses
estabelecidas na análise a priori com o que ocorreu na experimentação, a fim de avaliar
o software quanto aos objetivos relacionados ao ensino e aprendizagem do conceito
abordado, e que além disso, trouxe elementos de análise que contribuiram para o
aprimoramento do produto.
6. Tecnologias utilizadas
O software foi desenvolvido para plataforma web, utilizando as linguagens HTML
(HTML5), CSS e JAVASCRIPT. Essas linguagens, sendo interpretadas por padrão por
qualquer browser, podem ser editadas com um simples tratamento de texto e
beneficiam-se de inúmeras bibliotecas de objetos permitindo encurtar o tempo de
desenvolvimento e de se dedicar, quase exclusivamente, na implementação do código
dos artefatos que diz respeito à transposição didática-informática do conceito de função
e de taxa de variação e à proposta didática de ensino desses conceitos.
A escolha de uma prototipagem para plataforma web facilitou também a
distribuição do artefato para os diversos envolvidos no projeto e favoreceu as
reconfigurações no processo de engenharia de software educativo, entre a engenharia de
software empregada para a concepção/desenvolvimento técnica do artefato e a
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engenharia de requisitos que fundamenta e norteia essa concepção/desenvolvimento. O
emprego de métodos ágeis, que favorecem uma forte e rápida interação entre os
diversos profissionais envolvidos no projeto, foi facilitada pela escolha de
desenvolvimento web.
7. Apresentação do software
O Function Studium apresenta-se em uma janela principal (Figura 1) cercada de ícones
que representam ferramentas ou opções do software, além de outras janelas secundárias,
nas quais outras representações de função como a tabular e o modelo algébrico foram
implementadas para interagirem com o gráfico.
Figura 1. Tela do Function Studium
Na área indicada com o número 1, estão as ferramentas de operações com
funções, nas quais, dadas duas funções pré-definidas, é possível obter uma terceira
função pela operação entre elas. Partiu-se de uma álgebra das funções tomadas como
básicas. Na área indicada com o número 2 estão os tipos de função, que são a constante,
afim, quadrática e polinomial de grau 3. Outras funções polinomiais podem ser obtidas
como resultado da operação com estas funções, assim como as funções racionais.
Na área indicada com o número 3, a janela “Função editada” exibe o modelo
algébrico da função. Nesta janela é possível definir os coeficientes da função por meio
de controles deslizantes. Na área 4, a janela “Funções” exibe o modelo algébrico das
funções definidas, já na 5 a janela “Parâmetros” exibe os coeficientes das funções
definidas e permite alterá-los dinamicamente por meio dos controles deslizantes.
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Na área 6, a janela “Pontos/Taxas” exibe os valores das variáveis, da sua
variação e da taxa de variação das funções nos valores selecionados. É possível definir
tais valores tanto diretamente nessa janela como selecionando-os no gráfico.
Em 7 encontra-se a opção de definir um ponto no gráfico e em 8, a ferramenta
“Taxa de variação”, que ao ser acionada permite calcular a taxa de variação tanto entre
dois pontos do gráfico quanto entre pontos associados a intervalos sucessivos de x,
como mostra mais adiante a Figura 2. As áreas indicadas em 9 e 10 referem-se às
ferramentas “Reta secante” e “Reta tangente”, nas quais é possível definir retas
tangentes ou secantes ao gráfico da função, para articular essas retas com a taxa de
variação da função, contextualizando este conceito com o seu significado geométrico.
7.1 Possibilidades de uso no ensino e aprendizagem de funções
O processo de desenvolvimento do Function Studium foi orientado para uma
perspectiva variacional de função, com ênfase no conceito de taxa de variação, além
disso, também teve como objetivo oferecer suporte ao desenvolvimento do raciocínio
covariacional. Dessa forma, as possibilidades de uso do software são direcionadas para
abordagens que tenham como objetivo desenvolver nos estudantes uma compreensão
variacional de função e dos seus aspectos. São alguns exemplos:
a) Suporte à caracterização variacional das funções afim e quadrática: A função
afim é caracterizada variacionalmente como uma função real que possui taxa
de variação constante para todo o x do seu domínio. Já a função quadrática
possui uma taxa de variação variável em função de x, porém a sua variação é
constante. Estes dois casos podem ser abordados no Function Studium pela
ferramenta “Taxa de variação”, que exibe valores da variação da taxa de
variação, conforme a Figura 2.
b) Suporte à análise dinâmica da influência dos coeficientes no gráfico: A
variação dos coeficientes no modelo algébrico da função, de forma dinâmica e
conectada ao gráfico, é um importante recurso para analisar como tal variação
influencia o comportamento do gráfico. Esta abordagem é possível no Function
Studium, por meio dos controles deslizantes na janela “Parâmetros”.
c) Suporte à interpretação da taxa de variação geometricamente: A
implementação das ferramentas “Reta tangente” e “Reta secante” levou em
conta os resultados das Análises Preliminares [Silva 2016], que indicaram a
necessidade de interpretar a taxa de variação no contexto geométrico. Assim,
situações que tenham por objetivo realizar tal contextualização são possíveis no
software.
d) Suporte à interpretação da taxa de variação nos aspectos do gráfico: A conexão
entre o gráfico e a janela “Pontos/Taxas”, possibilita a criação de situações que
tenham por objetivo interpretar o comportamento da taxa de variação em
relação a aspectos do gráfico, como concavidades e pontos críticos ou de
inflexão.
e) Simulação dinâmica da derivada no ponto: Situações que tenham por objetivo
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abordar a derivada, são possíveis por meio de sua simulação dinâmica, que
utiliza a ferramenta “Taxa de variação”. Escolhendo-se um valor para delta x
suficientemente pequeno, ao variar-se o valor de x no gráfico, é exibido o valor
da derivada simultaneamente.
Figura 2. O Function Studium na caracterização variacional da função quadrática
8. Resultados e impactos esperados no ensino e aprendizagem de funções
Os resultados e impactos esperados com o uso do software, relacionam-se diretamente
com os princípios que guiaram a sua concepção, pois as ferramentas implementadas no
Function Studium são resultados dos princípios e necessidades determinados como
requisitos para o software. São apontados alguns desses resultados: (i) Suporte ao
desenvolvimento do raciocínio covariacional dos estudantes: de acordo com Carlson
et al (2002), as tecnologias computacionais podem fornecer ferramentas valiosas para o
raciocínio covariacional dos estudantes na análise e interpretação de situações
dinâmicas de funções. Tais ferramentas são importantes para uma maior abordagem da
perspectiva covariacional no ensino de funções, por isso, espera-se que o Function
Studium promova o desenvolvimento do raciocínio covariacional. (ii) Promover a
aprendizagem de funções por meio de um ambiente dinâmico e multi-
representacional: por ser um software dinâmico e que aborda funções por múltiplas
representações, é esperado que o Function Studium seja uma ferramenta importante para
o aprendizado deste conceito pelos estudantes. Segundo Kaput (1992) a mídia dinâmica
é “a casa natural das variáveis”, o que torna esse tipo de ambiente um meio rico para
abordar funções. (iii) Suporte à aprendizagem do conceito de taxa de variação: o
Function Studium é um software concebido com ênfase no conceito da taxa de variação
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das funções, levando em consideração seus aspectos epistemológicos, didáticos, as
dificuldades dos estudantes com o conceito e como a tecnologia computacional pode
contribuir para promover o aprendizado a partir desses aspectos. Dessa forma, espera-se
que o software ofereça um importante suporte para a aprendizagem do conceito de taxa
de variação.
Referências
Artigue, M. (1996) “Engenharia Didática”. In: BRUN, J. Didática das Matemáticas.
Lisboa: Instituto Piaget, Cap 4, 193-217.
Bellemain, F. & Tiburcio, R. (2016) Processo de desenvolvimento de software
educativo: análise teórica e experimental com recurso a teoria da orquestração
instrumental. In: 1º Simpósio Latino-Americano de didática da Matemática, Bonito -
MS. LADIMA.
Bellemain, F. G. R., Ramos, C. S. & dos Santos, R. T. (2015) “Engenharia de Softwares
Educativos, o caso do Bingo dos Racionais.” In: VI SIPEM - Seminário
Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, 2015, Pirenópolis. Anais do VI
SIPEM, Brasília: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, v.1, 1-12.
Carlson, M. P., Jacobs, S., Coe, E., Larsen, S. & Hsu, E. (2002). “Applying
covariational reasoning while modeling dynamic events: A framework and a study.
Journal for Research in Mathematics Education, 33(5), 352-378.
Castro Filho, J. A. (2001) “Novas Tecnologias e o ensino de função, taxa de variação e
acumulação”. In: VII Encontro Nacional de Educação Matemática - VII Enem, 2001,
Rio de Janeiro, Anais do VII Encontro Nacional de Educação Matemática.
Clllsilva. (2017, Março 07). Vídeo demonstrativo _ CTRL E 2017. [Arquivo de vídeo].
Acessado na URL https://youtu.be/dEBB6k4MhIg
Gomes Ferreira, V. G. (1997) “Exploring Mathematical Functions through dynamic
microworlds”. Tese de Doutorado, Institute of Education (University of London)
Kaput, J. (1992) “Technology and Mathematics Education.” In: D.A. Grows (Ed.)
Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 515-556, New York.
Silva, C. T. J. (2016) “A Engenharia Didático-Informática na prototipação de um
software para abordar o conceito de taxa de variação”. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática e Tecnológica) - Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática e Tecnológica, UFPE, Recife.
Tibúrcio, R. S. (2016) “Processo de Desenvolvimento de Software Educativo: um
estudo da prototipação de um software para o ensino de função.” Dissertação
(Mestrado em Educação Matemática e Tecnológica) - Programa de Pós-Graduação
em Educação Matemática e Tecnológica, UFPE, Recife.
Villa-Ochoa, J. A. (2011) “Raciocínio ‘covariacional’: O caso da função quadrática”.
Anais da XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática, Recife, Comitê
Interamericano de Educação Matemática.
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