Пусть T Zn конечное множество, g = L конечно градуированная алгебра Ли над полем рациональн2ыTхg чисел и g0 = P 6=0[g ; g ] и для 6= 0, 2 T имеем g = 2T [g ; g ], где и линейно независимы. Группу E(g), порожденную ead a , a 2 g , 6= 0 назовем группой лиева типа. Пусть H подгруппа в Aut g, H E(g) и N E(g) нормальная подгруппа в H, порожденная E(g) для идеала I в g такого, что I = L 2T (I \ g ). Положим N E(I) нормальная подгруппа в H, порожденная ead a , где a 2 I \ g , 6= 0 и C(I) = fa 2 H j a(x) x 2 I для всех x 2 gg. В данной работе доказаны коммутаторные формулы для конгруэнц-подгрупп групп лиева типа.
ai 6= 0g.
Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the International Youth School-conference ¾SoProMat-2017¿, Yekaterinburg, Russia, 06-Feb-2017, published at http://ceur-ws.org Определение 3. Пусть A: sl2(Q) ! R( ) мономорфизм алгебр Ли, подалгебра Ли g R( ) и Im A g. Далее, gA = [Im A; g], C(gA) = fa 2 Gg1(R) j agAa 1 = gAg и N E(g) подгруппа в C(gA), порожденная exp(x), где x 2 g \ Ri;A и i 6= 0. Для идеала I алгебры Ли gA пусть C(I) = fa 2 Cg1 j aIa 1 = I и axa 1 x 2 I для всех x 2 gAg и пусть N E(I) нормальная подгруппа в группе N E(g), порожденная exp(x), где x 2 g \ Ri;A и i 6= 0. Определение 4. Алгебра Ли g называется специальной, если g R( ), где R P I-кольцо. Пусть Ad(g) присоединеннная ассоциативная алгебра, то есть ассоциативная алгебра, порожденная операторами 1 и ad X, где X 2 g. Для идеала I алгебры Ли g положим (I) = fy 2 Ad(g) j y(g) Ig, и пусть r(I; g) пересечение всех идеалов T в g, содержащих I, для которых кольцо Ad(g=T ) первично и центр g=T нулевой. 2
Вспомогательные предложения Предложение 1. Пусть R первичная P I-алгебра и C центр кольца R. Тогда кольцо частных R(C f0g) 1 является кольцом n n матриц над телом D и тело D конечномерно над своим центром ([7. теор. 7.3.2]). Предложение 2. Радикал Джекобсона и, в частности, первичный радикал конечнопорожденной P Iалгебры нильпотентен [5, 6]. Предложение 3. Пусть g
специальная алгебра Ли. Тогда Ad(g) P I-алгебра [2, теорема 6.3.4].
Предложение 4. Пусть gA из определения 3, r(f0g; gA) = f0g и N пересечение всех идеалов I из gA,
для которых кольцо Ad(gA=I) первично, центр gA=I нулевой и p: i: deg Ad(gA=I) < p: i: deg Ad(gA) = n, где
p: i: deg алгебры это наименьшая степень стандартного тождества, выполненного во всех первичных
факторкольцах кольца R. Тогда для любого идеала T алгебры Ли gA такого, что T N , существуют
идеал S в gA и идеал P в Ad(gA) такие, что S T r(S; gA), идеал P алгебраичен над (T ) \ C, где C
центр алгебры Ad(gA), и [G(gA; S); E(g; g)] 1 + P .
Доказательство. Пусть K = Z(n)[x1; :::; xm; :::] кольцо общих матриц. Образующие кольца K
матрицы xm = (ximj ), элементы которых алгебраически независимые коммутирующие переменные. Из
предложения 3.1 [8] следует, что для любого некоммутативного многочлена (x1; :::; xk), кососимметричного по
первым n2 переменным, выполняется соотношение
xh + f1xh 1 + ::: + fh = 0;
где a любой элемент кольца K. Далее, пусть f (x1; :::; xp) полилинейный полином Капланского порядка
n, принимающий лишь центральные значения, хотя бы одно из которых отлично от нуля на любой алгебре
матриц порядка n коммутативным кольцом. Подставляя в полином f вместо x1 выражение xk+1 xk+2,
а вместо x2; :::; xp переменные xk+3; :::; xk+p+1, получим полином Капланского, кососимметричный по
первым n2 переменным (существование кососимметричного многочлена, не обращающегося в нуль ни при
какой алгебре матриц порядка n, доказано в [8]). Таким образом, можно считать, что в соотношении (
Пусть теперь P = ( (T )) (T ), x 2 P . Тогда x = P ixi, и из (
exp(a) exp(b) = exp(c); exp(a + b) = exp(a) exp(b) exp(c1); где c1 2 g2.
Индукцией по n + 1 k, где 2 6 k 6 n, докажем, что fexp(x) j x 2 gkg
D:
Действительно, если n + 1 k = 1, то k = n, L F = f0g и exp(0) = 1 2 D. Пусть fexp(x)jx 2 gkg D
и k > 2. Но gk порождается суммами коммутаторов [:::[x1; x2]; :::; xk] и gk+1, где xi 2 fa; b j 2 Qg,
кроме того, [gk; gk] gk+1, и из (
Пункт 1 предложения 6 Покажем, что (tt(g)(F ))m exp(tt(g)(G)) 2 N E(g). Действительно, ht(g)(F ); t(g)i = f2g, ht(g)(G); t(g)i = f 2g и по определению 2 пункта 3 получается, что t(g)(F ) = Pi6=0 Fi;2, Fi;2 2 gi;2, t(g)(G) = Pj6=0 Gj; 2, Gj; 2 2 gj; 2. Тогда подкольцо в R, порожденное элементами Fi;2, лежит в Pj>2 Rj;t(g) и, значит, является нильпотентным. По предложению 5, exp(tt(g)(F )) лежит в подгруппе, порожденной элементами exp(tFi;2) 2 E(g; g), ибо i 6= 0. Аналогично, exp(tt(g)(G)) 2 N E(g). Пункт 1 завершен. Предложение 7. Пусть R = Pk кольцо k k матриц над полем P , Char P = 0, g такая подалгебра Ли в R( ), что N = P L простая алгебра Ли. Далее Aut(g) группа автоморфизмов в R( ), D подгруппа в G, инвариантная относительно E(g; g), D не лежит в C(gA; f0g). Тогда E(g; I) D для некоторого нецентрального идеала I алгебры Ли gA. Пункт 1 предложения 7 Пусть A
нильпотентное подкольцо в ассоциативном кольце S; b 2 S и Предложение 8. Пусть R ассоциативная P I-алгебра над полем Q, Aut(g) группа автоморфизмов в R( ), g Q-алгебра Ли в R( ). D подгруппа в G, инвариантная относительно N E(g), D не лежит в C(gA; f0g). Тогда N E(I) D для некоторого нецентрального идеала I алгебры Ли gA.
Пункт 1 предложения 8 Пусть M простая конечномерная алгебра Ли над полем P , Char P = 0 и N подалгебра Ли над Q в g, P N = M . Тогда ad N первичное кольцо. Действительно, P Ad N = Ad M и Ad M простая ассоциативная конечномерная P I-алгебра. Значит, кольцо Ad N первично. Пункт 1 завершен.
Пункт 2 предложения 8 Пусть J = r(f0g; MA) из определения 4. Покажем, что ad J лежит в Rad Ad MA радикале Джекобсона алгебры Ad MA. Действительно, пусть F максимальный идеал в Ad MA. Тогда по предложению 3, R1 = (Ad MA)=F простая конечномерная над полем P ассоциативная алгебра и (Ad MA)=F порождает R1, Следовательно, неприводимое представление. Значит, T прямая сумма простых конечномерных над P алгебр Ли и некоторой центральной алгебры. Но [MA; MA] = MA, значит, [T; T ] = T , и T прямая сумма простых конечномерных над P I-алгебр Ли. Тогда из пункта 1 предложения 8 и определения 4 получаем ad J F . Но Ad MA P I-кольцо, значит, радикал Джекобсона является пересечением максимальных идеалов и, следовательно, ad J Rad Ad MA. Пункт 2 завершен. 3
Основная теорема Теорема 1. Пусть H подгруппа в E, инвариантная относительно N E(g). Тогда [C(I); N E(g)] = N E(I).
Пусть g = L 2K g R( ) стандартно градуированная, специальная алгебра Ли над полем рациональных чисел Aut(g) группа автоморфизмов алгебры Ли, E(g) подгруппа в Aut(g), порожденная элементами ead x , где 6= 0, x 2 g . Далее G подгруппа в Aut(g), содержащая E(g). Для идеала I в g положим C(I) = fA 2 Gj(8a 2 g)A(a) a 2 Ig и пусть E(g; I) нормальная подгруппа в G, порожденная элементами ead x , где 6= 0, x 2 g ; I. Предложение 9. Пусть I идеал в алгебре Ли g, " 2 f+; g, x 2 g0 + g" \ I, xn = 0 и a 2 C(I), axa 1 2 g0 + g ". Тогда [[a; exp(x)]; N E(g)] N E(I). Доказательство. Из пункта 1 предложения 7 имеем exp( x) = exp(x1) exp(x2), x1 2 g0, x2 2 g" \ I, exp(axa 1) = exp(y1) exp(y2), y1 2 g0, y2 2 g " и
[a; exp(x1)] = exp(y1) exp(x1) exp(y3) exp(x2); y3 2 g ";
ибо [g0; g "] g0 " = g ". Покажем, что y3 2 g " \I. Действительно, x2 2 g" \I, значит, exp(x2) 2 E(g; g)
2
C(I) и b = exp(y1) exp(x1) exp(y3) 2 C(I). Но тогда C(I) 3 [tA tt(g); m exp(y3)] = exp(y4(t)), где y4(t) 2
g " и подпространство, порожденное y4(t), содержит y3, и по предложению 5 получаем exp(ty3t) 12 C(I).
По определению C(I) получаем, что [y3; gA] = I. Следовательно, y5(t) = tA tt2(g) y3 tt(g2) A 2 I и
подпространство, порожденное y5(t), содержит y3. Итак, y3 2 g " \ I, x2 2 g" \ I и из (
Наконец, из пункта 1 предложения 6, определения 1, определения 2 и предложения 5 следует, что [d; exp(z)] 2 N E(I); fexp(z)jz 2 g+ [ g g порождает группу N E(g). Из (9) и (10) следует, что [d; N E(g)] [[a; exp(x)]; N E(g)] N E(I). Предложение 9 доказано. Предложение 10. Пусть R; Aut(g); g из теоремы, gA r(f0g; gA) из определения 4 и I идеал в алгебре Ли gA, I N E(I).
N E(I), и из (
Пусть a 2 [G(I); N E(g)]. Тогда из (11) и того, что идеал Rad Ad(gA) нильпотентен, получаем a = exp(x), x 2 Rad ad(gA). Пусть R = Ad gA и A = ad A, t(g) = ad t(g), Rij = Ri;A \ Rj;t(g). Тогда x = P xij, xij 2 Rij и tAatA1 = exp(P tixij), tt(g)att(g1) = exp(P tjxij) и из того, что идеал Rad Ad(gA) нильпотентен, и предложения 6 получаем
a = exp(y) exp(z1)::: exp(zm); где y 2 R0;A, zk 2 Rik;jk , ik 6= 0 и exp(zk) 2 G(I). Тогда, коммутируя exp(zk) с h = tA, если пара (i; j) не пропорциональна паре (2; 1), и с h = tt(g) в противном случае, получаем, что exp( zk) 2 N E(I), 6= 0, и значит, exp(zk) 2 N E(I). Кроме того, y 2 R0;A, значит [exp(y); N E(g)] N E(I), и (12) [a; N E(g)] N E(I) для всех a 2 [G(I); N E(I)]. Наконец, [ker ; N E(g)] = f1g, и следовательно, [G(I); N E(g); :::; N E(g)] N E(I). Предложение 10 доказано.
| {4z } Предложение 11. Пусть R, Aut(g), g такое, что [C(K); N E(g); :::; N E(g)]
из теоремы и K N E(K).
идеал в gA. Тогда существует число m > 0 Доказательство. Достаточно доказать предложение в случае, когда алгебра Ли g конечнопорожденная.
Пункт 1 Пусть I идеал в gA, центр gA=I нулевой и : G(gA) ! G(g), где g = ad(gA=I) такой гомоморфизм групп, что (a)(x + I) = axa 1 + I. Тогда ker = G(gA=I), кроме того, алгебры g и (gA=I) изоморфны, значит, Ad g и Ad(gA=I) изоморфны. Пункт 1 завершен. Пусть пункту 1 достаточно разобрать случай, когда J = f g
0 . Аналогично проводя индукцию по p: i: deg Ad(gA), из пункта 1 получаем, что достаточно разобрать случай, когда K N , где N пересечение всех идеалов M алгебры Ли g таких, что центр gA=M нулевой и Ad(gA=M ) первичная алгебра, p: i:-степень которой меньше, чем у алгебры Ad(gA). Пусть I максимальный идеал в gA. Из того, что [G(gA); N E(g); :::; N E(g)] N E(g)G(I), получаем (11) (12) (13) (14) (15) (16) [C(gA; K); E(g; g); :::; E(g; g)] | {5z }
E(g; K) G(gA; K \ I): Пусть T = K \ I и идеалы S в gA, P
Ad gA взяты из предложения 4. Тогда Из предложения 10, пункта 1 и условий (13) и (14) получаем
S
K \ I
r(S; gA): [C(gA; K); N E(g); :::N E(g)] | {9z }
N E(K)G(gA; S): [G(gA; S); N E(g); :::; N E(g)] = 1 + P По предложению 4 и идеал P алгебраичен над (K \ I) \ C, где C центр кольца Ad(gA). Пусть e1 : gA ! g+, e2 : gA ! g канонические гомоморфизмы и as 2 [gC(K); N E(g); :::; N E(g)] N E(K)[G(S); N E(g)]. Тогда из (11) | {11z } (bI a) 2 1 + P для некоторого bI 2 E(K) и из того, что идеал P алгебраичен над (K \ I) \ C, где ni 2 gA. exp( ix ) 2 E(J ), exp( id ) 2 E(J ), поэтому их можно отбросить и тогда получим: По предложению 9 получаем
Ae x A 1e
x B = AexA 1e xB; B 2 E(J ): [[A; e x ]; N E(g)] 2 E(J ): (17) (18) (19) (20) Значит [A; N E(g); :::; N E(g)] 2 E(J ). Предложение 11 доказано. Список литературы
Subgroups in subgroup groups of Lie type normalized elementary Igor Z. Golubchik1, Irina R. Salikhova2 1 – Bashkir State Pedagogical University named after M. Akmulla, Bashkortostan, Ufa, Russia 2 – Ufa Motor Transport College, Bashkortostan, Ufa, Russia
Let T Zn be a finite set, g = L 2T g is a finitely graded Lie algebra over the field of rational numbers and g0 = P 6=0[g ; g ] and for 6= 0, 2 T we have g = 2T [g ; g ] where and linearly independent. The group E(g) generated by ead a , a 2 g , 6= 0 a group of Lie type. Let H be a subgroup of Aut g, H E(g) and N E(g) is a normal subgroup in H, generated by E(g) for the ideal I in g such that I = L 2T (I \ g ) we put N E(I) the normal subgroup of H generated by ead a where a 2 I \g , 6= 0 and C(I) = fa 2 H j a(x) x 2 I for all x 2 gg. In this paper we prove commutator formulas for congruences of subgroups of groups of Lie type.