ПОДГРУППЫ В ГРУППАХ ЛИЕВА ТИПА, НОРМАЛИЗУЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ПОДГРУППОЙ ИЗГолубчик БгпуМИм Акмуллы ИРУфа Салихова ПОДГРУППЫ В ГРУППАХ ЛИЕВА ТИПА, НОРМАЛИЗУЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ПОДГРУППОЙ 64664095B699B36269250189E818F64B GROBID - A machine learning software for extracting information from scholarly documents

Пусть T ⊆ Z n конечное множество, g = α∈T g α конечно градуированная алгебра Ли над полем рациональных чисел и

3) 0, −4 / ∈ t(g)(F ), A , 0, −4 / ∈ ψ(G), ϕ , где F, G, H стандартный базис в sl 2 (Q).
Введение

Всюду ниже R ассоциативная P I-алгебра над полем Q рациональных чисел, R (−) -алгебра Ли кольца R. F , G, H -стандартный базис простой трехмерной алгебры Ли sl 2 (Q), то есть

[F, G] = H, [H, F ] = 2F , [H, G] = −2G и A: sl 2 (Q) → R (−) , t(g): sl 2 (Q) → R (−)

мономорфизмы алгебр Ли. Напомним, что произвольная Q-подалгебра в алгебре m×m матриц над произвольным коммутативным кольцом , ⊇ Q, является P I-алгеброй.

Определение 1. Нетрудно показать, что A(F ) и A(G) нильпотентные элементы кольца R. Для t ∈ Q + = {a ∈ Q | a > 0} положим w A (t) = exp(tA(F )) exp(−t −1 A(G)) exp(tA(F )) и t A = w A (t)w A (t) −1 . Положим R i,A = {x ∈ R | t A xt −1 A = t i x}, где i целое число. Замечание 1. Отображение Ā: Q + → Gg 1 (R), где Ā(t) = t A , является мономорфизмом групп, и суще- ствует n, для которого R = n i=−n R i,A . Пусть a ∈ R и a = n i=−n a i , a i ∈ R i,A . Положим < a, A >= {i| a i = 0}. Определение 3. Пусть A: sl 2 (Q) → R (−) мономорфизм алгебр Ли, подалгебра Ли g ⊆ R (−) и Im A ⊆ g. Далее, g A = [Im A, g], C(g A ) = {a ∈ Gg 1 (R) | ag A a −1 = g A } и N E(g) подгруппа в C(g A ), порожденная exp(x), где x ∈ g ∩ R i,A и i = 0. Для идеала I алгебры Ли g A пусть C(I) = {a ∈ Cg 1 | aIa −1 = I и axa −1 − x ∈ I для всех x ∈ g A } и пусть N E(I)

нормальная подгруппа в группе N E(g), порожденная exp(x), где x ∈ g ∩ R i,A и i = 0. Определение 4. Алгебра Ли g называется специальной, если g ⊆ R (−) , где R P I-кольцо. Пусть Ad(g) присоединеннная ассоциативная алгебра, то есть ассоциативная алгебра, порожденная операторами 1 и ad X, где X ∈ g. Для идеала I алгебры Ли g положим ν(I) = {y ∈ Ad(g) | y(g) ⊆ I}, и пусть r(I, g) пересечение всех идеалов T в g, содержащих I, для которых кольцо Ad(g/T ) первично и центр g/T нулевой.

Вспомогательные предложенияA такого, что T ⊆ N , существуют идеал S в g A и идеал P в Ad(g A ) такие, что S ⊆ T ⊆ r(S, g A ), идеал P алгебраичен над ν(T ) ∩ C, где C центр алгебры Ad(g A ), и π[G(g A , S), E(g, g)] ⊆ 1 + P . Доказательство. Пусть K = Z(n)[x 1 , ..., x m , ...] кольцо общих матриц. Образующие кольца K мат- рицы x m = (x m ij )

, элементы которых алгебраически независимые коммутирующие переменные. Из предложения 3.1 [8] следует, что для любого некоммутативного многочлена δ(x 1 , ..., x k ), кососимметричного по первым n 2 переменным, выполняется соотношение

δa = n 2 i=1 (−1) i−1 δ(x 1 , ..., a, ..., x n 2 , ..., x k )x i ,

где a любой элемент кольца K. Далее, пусть f (x 1 , ..., x p ) полилинейный полином Капланского порядка n, принимающий лишь центральные значения, хотя бы одно из которых отлично от нуля на любой алгебре матриц порядка n коммутативным кольцом. Подставляя в полином f вместо x 1 выражение x k+1 δx k+2 , а вместо x 2 , ..., x p переменные x k+3 , ..., x k+p+1 , получим полином Капланского, кососимметричный по первым n 2 переменным (существование кососимметричного многочлена, не обращающегося в нуль ни при какой алгебре матриц порядка n, доказано в [8]). Таким образом, можно считать, что в соотношении (1)

δ центральный элемент алгебры K и x j aδ = δx j a = n 2 i=1 (−1) i−1 δ(x 1 , ..., x j a, ..., x k )x i = n 2 i=1 x i c ij , где c ij ∈ C(K), C(K)

центр алгебры K. Следовательно, умножение справа на aδ действует как эндоморфизм правого C(K) модуля с образующими x 1 , ..., x n 2 . Следовательно, оператор умножения справа на aδ удовлетворяет харрактеристическому полиному матрицы (C ij ). Поскольку K область целостности, элемент aδ алгебраический над C(K) степени выше n 2 . Пусть теперь l некоторое натуральное число, δ 1 , ..., δ l элементы кольца K, полученные из многочлена δ подстановкой новых переменных так, чтобы множество переменных, входящих в δ 1 , ..., δ l , не пересекалось с множеством x 1 , ..., x l и переменные в нем не пересекались попарно. Из теоремы А.И. Ширшова [4] следует, что

x 1 δ 1 + ... + x l δ l = X алгебраический элемент C(K) алгебры K. Действительно, в C(K) алгебре B, порожденной элементами x i δ i , любое произведение образующих алгебраический элемент, поэтому B конечный C(K)-модуль и из теоремы Гамильтона Кэли x 1 δ 1 + ... + δ l x l алгебраичен над C(K).

Значит, условие алгебраичности:

x h + f 1 x h−1 + ... + f h = 0,

где f i ∈ C(K) некоторые многочлены. Это соотношение между общими матрицами является тождеством любой алгебры матриц над полем, следовательно, любая его однородная компонента также тождество и является соотношением между общими матрицами. Рассматривая однородную компоненту степени h по x 1 , ..., x l , можем считать, что f i однородный полином степени i по переменным x 1 , ..., x l . Пусть теперь

P = δ(ν(T ))ν(T ), x ∈ P . Тогда x = δ i x i , и из (2), учитывая, что f i однородные по x 1 , ..., x l многочлены, получаем, что значение f i после подстановки лежит в ν(T ) ∩ C и x алгебраичен над ν(T ) ∩ C. Положим S = δ(ν(T ))(T ). Тогда, если I идеал в g A , g

A /I имеет нулевой центр, Ad(g A /I) первичное кольцо и I ⊇ S, то I ⊇ T . Действительно, если p. i. deg Ad(g A /I) < p. i. deg Ad(g A ), то I ⊇ N ⊇ T , а если p. i. deg Ad(g A /I) < p. i. deg Ad(g A ) = n и T не лежит в I, то ad T /ν(T ) порождает ненулевой элемент в первичном P I-кольце Ad(g A /I), значит, идеал ν(T )/ν(I) ненулевой в Ad(g A /I) и по предложению 1.1 в нем выполнены те же тождества, что и в Ad(g A /I). По определению центрального полинома δ получаем, что δ(ν(T )) не лежит в ν(I) и S = δ(ν(T ))(T ) ⊆ I, что противоречит выбору I.

Значит I ⊇ T и S ⊆ T ⊆ r(S, g A ). Наконец, если a ∈ G(g A , S), то axa −1 − x ∈ S ⊆ δ(ν(T ))(T ), где x ∈ g A и π(a) ad xπ(a) −1 − ad x = ad(axa −1 − x) ∈ δ(ν(T )) ad T ⊆ P , ибо ad T ⊆ ν(T ) и ad(λ(x)) = λ ad x при λ ∈ δ(ν(T )) ⊆ C. Но тогда группы πG(g A , S) и πE(g, g) перестановочны по модулю идеала P , и значит π[G(g A , S), N E(g)] ⊆ 1 + P . Предложение 4 доказано. Предложение 5. Пусть F нильпотентное подкольцо в ассоциативной алгебре R над полем Q, a, b ∈ F и D подгруппа, порожденная exp(a) и {exp(tb) | t ∈ Q}. Тогда exp(a+b) ∈ D и exp{t(ab−ba) | t ∈ Q} ⊆ D. Доказательство. Пусть F n = {0}, g подалгебра Ли в R (−) над полем Q, порожденная A и B, g 2 = [g, g], ..., g k+1 = [g k , g]. Из [3. с.192] вытекает, что exp(a) exp(b) = exp(c),где c = a + b + 1 2 [a, b] + d, d ∈ g 3 . Это формула Кемпбелла Хаусдорфа, поэтому exp(a + b) = exp(a) exp(b) exp(c 1 ),

где

c 1 ∈ g 2 . Индукцией по n + 1 − k, где 2 k n, докажем, что {exp(x) | x ∈ g k } ⊆ D.

Действительно, если n

+ 1 − k = 1, то k = n, L ⊆ F = {0} и exp(0) = 1 ∈ D. Пусть {exp(x)|x ∈ g k } ⊆ D и k 2. Но g k порождается суммами коммутаторов [...[x 1 , x 2 ], ..., x k ] и g k+1 , где x i ∈ {a, λb | λ ∈ Q}, кроме того, [g k , g k ] ⊆ g k+1 ,Предложение 6. Пусть Aut(g) группа автоморфизмов алгебры Ли в R (−) , g подалгебра Ли в R (−) , D подгруппа в Gg 1 (R), инвариантная относительно N E(g). Для i = 0 положим g i (D) = {x ∈ g ∩ R i,Aut(g) | (∀t ∈ Q) exp(tx) ∈ D}, g 0 (D) идеал в алгебре Ли g Aut(g) ∩ R 0,Aut(g) , порожденный множеством i =0 [g i (D), g ∩ R −i,Aut(g) ], и пусть I = n i=−n g i (D). Тогда I идеал в алгебре Ли g A . Пункт 1 предложения 6 Покажем, что (tt(g)(F ))m exp(tt(g)(G)) ∈ N E(g). Действительно, t(g)(F ), t(g) = {2}, t(g)(G), t(g) = {−2} и по определению 2 пункта 3 получается, что t(g)(F ) = i =0 F i,2 , F i,2 ∈ g i,2 , t(g)(G) = j =0 G j,−2 , G j,−2 ∈ g j,−2 . Тогда подкольцо в R, порожденное элементами F i,2

, лежит в j 2 R j,t(g) и, значит, является нильпотентным. По предложению 5, exp(tt(g)(F )) лежит в подгруппе, порожденной элементами exp(tF i,2 ) ∈ E(g, g), ибо i = 0. Аналогично, exp(tt(g)(G)) ∈ N E(g). Пункт 1 завершен.

Основная теоремаТеорема 1. Пусть H подгруппа в E, инвариантная относительно N E(g). Тогда [C(I), N E(g)] = N E(I). Пусть g = α∈K g α ⊆ R (−)

стандартно градуированная, специальная алгебра Ли над полем рациональных чисел Aut(g) группа автоморфизмов алгебры Ли, E(g) подгруппа в Aut(g), порожденная элементами e ad xα , где α = 0,

x α ∈ g α . Далее G подгруппа в Aut(g), содержащая E(g). Для идеала I в g положим C(I) = {A ∈ G|(∀a ∈ g)A(a) − a ∈ I} и пусть E(g, I) нормальная подгруппа в G, порожденная элементами e ad xα , где α = 0, x α ∈ g α , I. Предложение 9. Пусть I идеал в алгебре Ли g, ε ∈ {+, −}, x ∈ g 0 + g ε ∩ I, x n = 0 и a ∈ C(I), axa −1 ∈ g 0 + g −ε . Тогда [[a, exp(x)], N E(g)] ⊆ N E(I). Доказательство. Из пункта 1 предложения 7 имеем exp(−x) = exp(x 1 ) exp(x 2 ), x 1 ∈ g 0 , x 2 ∈ g ε ∩ I, exp(axa −1 ) = exp(y 1 ) exp(y 2 ), y 1 ∈ g 0 , y 2 ∈ g −ε и [a, exp(x 1 )] = exp(y 1 ) exp(x 1 ) exp(y 3 ) exp(x 2 ), y 3 ∈ g −ε ,[g 0 , g −ε ] ⊆ g 0−ε = g −ε . Покажем, что y 3 ∈ g −ε ∩I. Действительно, x 2 ∈ g ε ∩I, значит, exp(x 2 ) ∈ E(g, g) ⊆ C(I) и b = exp(y 1 ) exp(x 1 ) exp(y 3 ) ∈ C(I). Но тогда C(I) [t A • t 2 t(g) , m exp(y 3 )] = exp(y 4 (t)), где y 4 (t) ∈ g −ε и подпространство, порожденное y 4 (t), содержит y 3 , и по предложению 5 получаем exp(ty 3 ) ∈ C(I). По определению C(I) получаем, что [y 3 , g A ] = I. Следовательно, y 5 (t) = t A • t 2 t(g) • y 3 • t −2 t(g) • t −1 A ∈ I и подпространство, порожденное y 5 (t), содержит y 3 . Итак, y 3 ∈ g −ε ∩ I, x 2 ∈ g ε ∩ I и из (7) получаем d = exp(y 1 ) exp(x 1 ) ∈ C(I).

Теперь доcтаточно доказать, что Предложение 10. Пусть R, Aut(g), g из теоремы, g A конечнопорожденная алгебра Ли на Q, J = r({0}, g A ) из определения 4 и I идеал в алгебре Ли g A , I ⊆ J. Тогда [G(I), N E(g), N E(g), N E(g), N E(g)] ⊆ N E(I).

[d, N E(I)] ∈ N E(I). Но y 1 , z 1 ∈ g 0 и если z ∈ g + либо z ∈ g − , то [d, exp(z)] = exp(z 1 ) ∈ C(I), где z 1 ∈ g + либо z 1 ∈ g − . Так же, как для y 3 , получаем, что exp(z 1 ) ∈ N E(I) и [d, exp(z)] ∈ N E(I),

Доказательство. Из пункта 2 предложения 8 получаем ad J ⊆ Rad Ad(g A ). Пусть a ∈ G(g A , J). Тогда axa −1 − x ∈ J, где x ∈ g A и π(a) ad(x)π(a) −1 − ad(x) = ad(axa −1 − x) ∈ ad J ∈ Rad Ad(g A ). Тогда группы πG(g A , J) и πE(g, g) перестановочны по модулю Rad ad(g A ), и значит, π[G(g A , J), N E(g)] ⊆ 1 + Rad ad(g A ).

(11)

Из предложения 2 идеал Rad Ad(g A ) нильпотентен. Пусть a ∈ π[G(I), N E(g)]. Тогда из (11) и того, что идеал Rad Ad(g A ) нильпотентен, получаем a = exp(x),

x ∈ Rad ad(g A ). Пусть R = Ad g A и A = ad A, t(g) = ad t(g), R ij = R i,A ∩ R j,t(g) . Тогда x = x ij , x ij ∈ R ij и t A at −1 A = exp( t i x ij ), t t(g) at −1 t(g)

= exp( t j x ij ) и из того, что идеал Rad Ad(g A ) нильпотентен, и предложения 6 получаем a = exp(y) exp(z 1 )... exp(z m ), Из пункта 2 и равенста (17) получаем

где y ∈ R 0,A , z k ∈ R i k ,j k , i k = 0 и exp(z k ) ∈ πG(I). Тогда, коммутируя exp(z k ) с h = t A , если пара (i, j) не пропорциональна паре (2, −1), и с h = t t(g) в противном случае, получаем, что exp(αz k ) ∈ πN E(I), α = 0, и значит, exp(z k ) ∈ πN E(I). Кроме того, y ∈ R 0,A , значит [exp(y), πN E(g)] ⊆ πN E(I), и (12) [a, πN E(g)] ⊆ πN E(I) для всех a ∈ π[G(I), N E(I)]. Наконец, [ker π, N E(g)] = {1}, и следовательно, [G(I), N E(g), ..., N E(g) 4 ] ⊆ N E(I). Предложение 10 доказано. Предложение 11. Пусть R, Aut(g), g из теоремы и K идеал в g A . Тогда существует число m > 0 такое, что [C(K), N E(g), ..., N E(g)] ⊆ N E(K).x α = m i=1 (1 + λ i )n i ,

где n i ∈ g A . exp(λ i x α ) ∈ E(J), exp(λ i d α ) ∈ E(J), поэтому их можно отбросить и тогда получим:

Ae βxα A −1 e −βxα B = Ae x A −1 e −x B, B ∈ E(J).

По предложению 9 получаем

[[A, e βxα ], N E(g)] ∈ E(J).

Значит [A, N E(g), ..., N E(g)] ∈ E(J). Предложение 11 доказано.

Список литературы

и из (4) достаточно доказать, что m = exp([...[x 1 , x 2 ], ..., x k ]) ∈ D. Из (3), (4), примененных к произвольным элементам a, b ∈ g, получаем, что m = [...[exp(x 1 ), exp(x 2 ), ..., exp(x k )] exp(z)], где z ∈ g k+1 и [exp(x), exp(m)] коммутатор. По предложению индукции exp(z) ∈ D и exp(x i ) ∈ D по определению группы D. Тем самым m ∈ D. Включение (5) доказано. Из (5) exp(t, [a, b]) ∈ D, ибо t[a, b] ∈ g 2 . Кроме того, из (4) c 1 ∈ g 2 , exp(a + b) = exp(a) exp(b) exp(c 1 ) и из (5) exp(c 1 ) ∈ D. Значит exp(a + b) ∈ D. Предложение 5 доказано.
Предложение 7 . 6 )Пусть R = P k кольцо k × k матриц над полем P , Char P = 0, g такая подалгебра Ли в R (−) , что N = P L простая алгебра Ли. Далее Aut(g)группа автоморфизмов в R (−) , D подгруппа в G, инвариантная относительно E(g, g), D не лежит в C(g A , {0}). Тогда E(g, I) ⊆ D для некоторого нецентрального идеала I алгебры Ли g A . Пункт 1 предложения 7 Пусть A нильпотентное подкольцо в ассоциативном кольце S, b ∈ S и b n = 0, [b, A] ⊆ A, A n = {0}. (Тогда для подкольца B, порожденного Qb и A, B n = {0}. Действительно, если c ∈ B 2n , то из (6) имеем, что c ∈ b n B + A n B = {0}. Пункт 1 завершен. Предложение 8. Пусть R ассоциативная P I-алгебра над полем Q, Aut(g) группа автоморфизмов в R (−) , g Q-алгебра Ли в R (−) . D подгруппа в G, инвариантная относительно N E(g), D не лежит в C(g A , {0}). Тогда N E(I) ⊆ Dдля некоторого нецентрального идеала I алгебры Ли g A . Пункт 1 предложения 8 Пусть M простая конечномерная алгебра Ли над полем P , Char P = 0 и N подалгебра Ли над Q в g, P •N = M . Тогда ad N первичное кольцо. Действительно, P •Ad N = Ad M и Ad M простая ассоциативная конечномерная P I-алгебра. Значит, кольцо Ad N первично. Пункт 1 завершен. Пункт 2 предложения 8 Пусть J = r({0}, M A ) из определения 4. Покажем, что ad J лежит в Rad Ad M A радикале Джекобсона алгебры Ad M A . Действительно, пусть F максимальный идеал в Ad M A . Тогда по предложению 3, R 1 = (Ad M A )/F простая конечномерная над полем P ассоциативная алгебра и (Ad M A )/F порождает R 1 , Следовательно, неприводимое представление. Значит, T прямая сумма простых конечномерных над P алгебр Ли и некоторой центральной алгебры. Но [M A , M A ] = M A , значит, [T, T ] = T , и T прямая сумма простых конечномерных над P I-алгебр Ли. Тогда из пункта 1 предложения 8 и определения 4 получаем ad J ⊆ F . Но Ad M A P I-кольцо, значит, радикал Джекобсона является пересечением максимальных идеалов и, следовательно, ad J ⊆ Rad Ad M A . Пункт 2 завершен.
при z ∈ g + ∪ g − .Наконец, из пункта 1 предложения 6, определения 1, определения 2 и предложения 5 следует, что{exp(z)|z ∈ g + ∪ g − }(10)порождает группу N E(g). Из (9) и (10) следует, что [d, N E(g)] ⊆ N E(I), и из (7) и (8) получаем, что [[a, exp(x)], N E(g)] ⊆ N E(I). Предложение 9 доказано.
Доказательство. 5 ]Достаточно доказать предложение в случае, когда алгебра Ли g конечнопорожденная. Пункт 1 Пусть I идеал в g A , центр g A /I нулевой и τ : G(g A ) → G(g), где g = ad(g A /I) такой гомоморфизм групп, что τ (a)(x + I) = axa −1 + I. Тогда ker τ = G(g A /I), кроме того, алгебры g и (g A /I) изоморфны, значит, Ad g и Ad(g A /I) изоморфны. Пункт 1 завершен. Пусть пункту 1 достаточно разобрать случай, когда J = {0}. Аналогично проводя индукцию по p. i. deg Ad(g A ), из пункта 1 получаем, что достаточно разобрать случай, когда K ⊆ N , где N пересечение всех идеалов M алгебры Ли g таких, что центр g A /M нулевой и Ad(g A /M ) первичная алгебра, p. i.-степень которой меньше, чем у алгебры Ad(g A ).Пусть I максимальный идеал в g A . Из того, что [G(g A ), N E(g), ..., N E(g)] ⊆ N E(g)G(I), получаем [C(g A , K), E(g, g), ..., E(g, g) ⊆ E(g, K) G(g A , K ∩ I).(13)Пусть T = K ∩ I и идеалы S в g A , P ⊆ Ad g A взяты из предложения 4. ТогдаS ⊆ K ∩ I ⊆ r(S, g A ).(14)Из предложения 10, пункта 1 и условий (13) и (14) получаем[C(g A , K), N E(g), ...N E(g) 9 ] ⊆ N E(K)G(g A , S). (15)По предложению 4 π[G(g A , S), N E(g), ..., N E(g)] = 1 + P (16)и идеал P алгебраичен над ν(K ∩ I) ∩ C, где C центр кольца Ad(g A ). Пусть e 1 : g A → g + , e 2 : g A → g α канонические гомоморфизмы и as ∈ [gC(K), N E(g), ..., N E(g) 11 ] ⊆ N E(K)[G(S), N E(g)].Тогда из (11) π(b I a) ∈ 1 + P для некоторого b I ∈ E(K) и из того, что идеал P алгебраичен над ν(K ∩ I) ∩ C, e 1 π(b I a)e 1 d I a 1 = (1 + λ I )e 1 , (17) для некоторого λ I ∈ ν(K ∩ I) ∩ C, d I ∈ Ad(g A ). Пункт 2 Покажем, что M = I (1 + λ I )g A совпадает с g A . Действительно, так как i + λ I ∈ C, то M идеал в g A , и если M = g A , то M ⊆ I для некоторого максимального идеала I алгебры Ли g A . Так как λ I ∈ ν(K ∩ I) ⊆ ν(I), то λ I g A ⊆ I и (1 + λ I )g A ⊆ M ⊆ I. Значит, g A ⊆ I, что противоречит максимальности идеала I. Значит, M = g A . Пункт 2 завершен.
A , для которых кольцо Ad(g A/I ) первично, центр g A/I нулевой и p. i. deg Ad(g A/I ) < p. i. deg Ad(g A ) = n, где p. i. deg алгебры это наименьшая степень стандартного тождества, выполненного во всех первичных факторкольцах кольца R. Тогда для любого идеала T алгебры Ли gПредложение 1. Пусть Rпервичная P I-алгебра и Cцентр кольца R. Тогда кольцо частныхR(C {0}) −1 является кольцом n × n матриц над телом D и тело Dконечномерно над своим центром([7. теор. 7.3.2]).Предложение 2. Радикал Джекобсона и, в частности, первичный радикал конечнопорожденной P I-алгебры нильпотентен [5, 6].
Предложение 3. Пусть g специальная алгебра Ли. Тогда Ad(g) − P I-алгебра [2, теорема 6.3.4]. Предложение 4. Пусть g A из определения 3, r({0}, g A ) = {0} и N пересечение всех идеалов I из g
Subgroups in groups of Lie type normalized by an elementary subgroup

Igor Z. Golubchik 1 , Irina R. Salikhova 2 1 -Bashkir State Pedagogical University named after M. Akmulla, Bashkortostan, Ufa, Russia 2 -Ufa Motor Transport College, Bashkortostan, Ufa, Russia Keywords: Pi-rings, groups of Lie type, special algebra.

Let T ⊆ Z n be a finite set, g = α∈T g α is a finitely graded Lie algebra over the field of rational numbers and g 0 = α =0 [g α , g −α ] and for β = 0, β ∈ T we have g β = Σ γ∈T [g γ , g β−γ ] where γ and β linearly independent. The group E(g) generated by e ad aα , a α ∈ g α , α = 0 a group of Lie type. Let H be a subgroup of Aut g, H ⊇ E(g) and N E(g) is a normal subgroup in H, generated by E(g) for the ideal I in g such that I = α∈T (I ∩ g α ) we put N E(I) the normal subgroup of H generated by e ad aα where a α ∈ I∩g α , α = 0 and C(I) = {a ∈ H | a(x)−x ∈ I for all x ∈ g}. In this paper we prove commutator formulas for congruences of subgroups of groups of Lie type.

Groups of Lie type over P I rings IZGolubchik Фундаментальная и прикладная математика 3 2 1997. 1997 Fundamental and Applied Mathematics Identities in Lie algebras YABakhturin А. Бахтурин. Тождества в алгебрах Ли. Наука
Moscow; Москва
 Nauka 1985. 1985 Lie algebras NJacobson Алгебры Ли. Мир, Москва 1964. 1964 Mir Moscow in Russian Alternative rings KLZhevlakov AMSlinko IPShestakov AIShirshov Ширшов. Альтернативные кольца АМЖевлаков ИПСлинько АШестаков
Novosibirsk
 Новосибирск 1976. 1976 in Russian The Kapeli identities and the nilpotency of the radical of a finitely generated P I-algebra ARKemer DAN SSSR 255 4 1980. 1980 in Russian. А.Р. Кемер. Тождества Капели и нильпотентность радикала конечнопорожденной P I-алгебры Algebras satisfying Capelli identities PYu Razmyslov Размыслов удовлетворяющие тождественным соотношениям типа Капелли. Изв. АН 1982. 1981 18 . Алгебры IHerstein Херстейн. Некоммутативные кольца. Мир, Москва
Moscow
 Mir 1972. 1972 Non-commutative rings Identities and linear dependence SAAmitsur Israel J. Math 22 2 1975