=Paper=
{{Paper
|id=Vol-1894/alg1
|storemode=property
|title=Подгруппы в группах лиева типа, нормализуемые элементарной подгруппой(Subgroups in groups of Lie type normalized by an elementary subgroup)
|pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-1894/alg1.pdf
|volume=Vol-1894
|authors=Igor Z. Golubchik,Irina R. Salikhova
}}
==Подгруппы в группах лиева типа, нормализуемые элементарной подгруппой(Subgroups in groups of Lie type normalized by an elementary subgroup)==
https://ceur-ws.org/Vol-1894/alg1.pdf
ПОДГРУППЫ В ГРУППАХ ЛИЕВА ТИПА,
НОРМАЛИЗУЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
ПОДГРУППОЙ
И.З. Голубчик И.Р. Салихова
БГПУ им. М.Акмуллы ГБПОУ УАТК
г. Уфа г. Уфа
irina091185@mail.ru
Аннотация
n
L
Пусть T ⊆ Z — конечное множество, g = α∈T gα — конечно
градуированная
P алгебра Ли над полем рациональных чисел и g0 =
[g ,
α6=0 α −αg ] и для β 6
= 0, β ∈ T имеем gβ = Σγ∈T γ β−γ ], где γ и
[g , g
β линейно независимы. Группу E(g), порожденную ead aα , aα ∈ gα ,
α 6= 0 назовем группой лиева типа. Пусть H — подгруппа в Aut g,
H ⊇ E(g) и N E(g) — нормальная подгруппа
L в H, порожденная E(g)
для идеала I в g такого, что I = α∈T (I ∩ gα ). Положим N E(I)
— нормальная подгруппа в H, порожденная ead aα , где aα ∈ I ∩ gα ,
α 6= 0 и C(I) = {a ∈ H | a(x) − x ∈ I для всех x ∈ g}. В данной
работе доказаны коммутаторные формулы для конгруэнц-подгрупп
групп лиева типа.
1 Введение
Всюду ниже R — ассоциативная P I-алгебра над полем Q рациональных чисел, R(−) – алгебра Ли кольца
R. F , G, H – стандартный базис простой трехмерной алгебры Ли sl2 (Q), то есть [F, G] = H, [H, F ] = 2F ,
[H, G] = −2G и A: sl2 (Q) → R(−) , t(g): sl2 (Q) → R(−) — мономорфизмы алгебр Ли. Напомним, V V что
произвольная Q-подалгебра в алгебре m×m матриц над произвольным коммутативным кольцом , ⊇ Q,
является P I-алгеброй.
Определение 1. Нетрудно показать, что A(F ) и A(G) — нильпотентные элементы кольца R. Для t ∈
Q+ = {a ∈ Q | a > 0} положим wA (t) = exp(tA(F )) exp(−t−1 A(G)) exp(tA(F )) и tA = wA (t)wA (t)−1 .
Положим Ri,A = {x ∈ R | tA xt−1 i
A = t x}, где i — целое число.
Замечание 1. ОтображениеLĀ: Q+ → Gg1 (R), где Ā(t) = tP
A , является мономорфизмом групп, и суще-
n n
ствует n, для которого R = i=−n Ri,A . Пусть a ∈ R и a = i=−n ai , ai ∈ Ri,A . Положим < a, A >= {i|
ai 6= 0}.
Определение 2. Пару мономорфизмов A: sl2 (Q) → R(−) и t(g): sl2 → R(−) назовем согласованной, если:
1) tA st(g) = st(g) tA при s, t ∈ Q+ ;
2) hA(F ), t(g)i = {−1}, hA(G), t(g)i = {1};
3) 0, −4 ∈/ ht(g)(F ), Ai, 0, −4 ∈/ hψ(G), ϕi, где F, G, H — стандартный базис в sl2 (Q).
Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the International Youth School-conference «SoProMat-2017», Yekaterinburg,
Russia, 06-Feb-2017, published at http://ceur-ws.org
1
Определение 3. Пусть A: sl2 (Q) → R(−) — мономорфизм алгебр Ли, подалгебра Ли g ⊆ R(−) и Im A ⊆ g.
Далее, gA = [Im A, g], C(gA ) = {a ∈ Gg1 (R) | agA a−1 = gA } и N E(g) — подгруппа в C(gA ), порожденная
exp(x), где x ∈ g ∩ Ri,A и i 6= 0. Для идеала I алгебры Ли gA пусть C(I) = {a ∈ Cg1 | aIa−1 = I и
axa−1 − x ∈ I для всех x ∈ gA } и пусть N E(I) — нормальная подгруппа в группе N E(g), порожденная
exp(x), где x ∈ g ∩ Ri,A и i 6= 0.
Определение 4. Алгебра Ли g называется специальной, если g ⊆ R(−) , где R — P I-кольцо. Пусть Ad(g)
— присоединеннная ассоциативная алгебра, то есть ассоциативная алгебра, порожденная операторами 1
и ad X, где X ∈ g. Для идеала I алгебры Ли g положим ν(I) = {y ∈ Ad(g) | y(g) ⊆ I}, и пусть r(I, g)
— пересечение всех идеалов T в g, содержащих I, для которых кольцо Ad(g/T ) первично и центр g/T
нулевой.
2 Вспомогательные предложения
Предложение 1. Пусть R — первичная P I-алгебра и C — центр кольца R. Тогда кольцо частных
R(C {0})−1 является кольцом n × n матриц над телом D и тело D — конечномерно над своим центром
([7. теор. 7.3.2]).
Предложение 2. Радикал Джекобсона и, в частности, первичный радикал конечнопорожденной P I-
алгебры нильпотентен [5, 6].
Предложение 3. Пусть g — специальная алгебра Ли. Тогда Ad(g) − P I-алгебра [2, теорема 6.3.4].
Предложение 4. Пусть gA — из определения 3, r({0}, gA ) = {0} и N — пересечение всех идеалов I из gA ,
для которых кольцо Ad(gA/I ) первично, центр gA/I нулевой и p. i. deg Ad(gA/I ) < p. i. deg Ad(gA ) = n, где
p. i. deg алгебры — это наименьшая степень стандартного тождества, выполненного во всех первичных
факторкольцах кольца R. Тогда для любого идеала T алгебры Ли gA такого, что T ⊆ N , существуют
идеал S в gA и идеал P в Ad(gA ) такие, что S ⊆ T ⊆ r(S, gA ), идеал P алгебраичен над ν(T ) ∩ C, где C —
центр алгебры Ad(gA ), и π[G(gA , S), E(g, g)] ⊆ 1 + P .
Доказательство. Пусть K = Z(n)[x1 , ..., xm , ...] — кольцо общих матриц. Образующие кольца K — мат-
рицы xm = (xmij ), элементы которых — алгебраически независимые коммутирующие переменные. Из пред-
ложения 3.1 [8] следует, что для любого некоммутативного многочлена δ(x1 , ..., xk ), кососимметричного по
первым n2 переменным, выполняется соотношение
2
n
X
δa = (−1)i−1 δ(x1 , ..., a, ..., xn2 , ..., xk )xi , (1)
i=1
где a — любой элемент кольца K. Далее, пусть f (x1 , ..., xp ) — полилинейный полином Капланского порядка
n, принимающий лишь центральные значения, хотя бы одно из которых отлично от нуля на любой алгебре
матриц порядка n коммутативным кольцом. Подставляя в полином f вместо x1 выражение xk+1 δxk+2 ,
а вместо x2 , ..., xp — переменные xk+3 , ..., xk+p+1 , получим полином Капланского, кососимметричный по
первым n2 переменным (существование кососимметричного многочлена, не обращающегося в нуль ни при
какой алгебре матриц порядка n, доказано в [8]). Таким образом, можно считать, что в соотношении (1)
Pn2 Pn2
δ — центральный элемент алгебры K и xj aδ = δxj a = i=1 (−1)i−1 δ(x1 , ..., xj a, ..., xk )xi = i=1 xi cij , где
cij ∈ C(K), C(K) — центр алгебры K. Следовательно, умножение справа на aδ действует как эндомор-
физм правого C(K) — модуля с образующими x1 , ..., xn2 . Следовательно, оператор умножения справа на
aδ удовлетворяет харрактеристическому полиному матрицы (Cij ). Поскольку K — область целостности,
элемент aδ алгебраический над C(K) степени выше n2 . Пусть теперь l — некоторое натуральное число,
δ1 , ..., δl — элементы кольца K, полученные из многочлена δ подстановкой новых переменных так, чтобы
множество переменных, входящих в δ1 , ..., δl , не пересекалось с множеством x1 , ..., xl и переменные в нем не
пересекались попарно. Из теоремы А.И. Ширшова [4] следует, что x1 δ1 + ... + xl δl = X — алгебраический
элемент C(K) — алгебры K. Действительно, в C(K) — алгебре B, порожденной элементами xi δi , любое
произведение образующих — алгебраический элемент, поэтому B — конечный C(K)-модуль и из теоремы
Гамильтона—Кэли x1 δ1 + ... + δl xl алгебраичен над C(K). Значит, условие алгебраичности:
xh + f1 xh−1 + ... + fh = 0, (2)
2
где fi ∈ C(K) — некоторые многочлены. Это соотношение между общими матрицами является тождеством
любой алгебры матриц над полем, следовательно, любая его однородная компонента — также тождество
и является соотношением между общими матрицами. Рассматривая однородную компоненту степени h по
x1 , ..., xl , можем считать, что fi — однородный полином P степени i по переменным x1 , ..., xl .
Пусть теперь P = δ(ν(T ))ν(T ), x ∈ P . Тогда x = δi xi , и из (2), учитывая, что fi — однородные по
x1 , ..., xl многочлены, получаем, что значение fi после подстановки лежит в ν(T ) ∩ C и x алгебраичен над
ν(T ) ∩ C. Положим S = δ(ν(T ))(T ). Тогда, если I — идеал в gA , gA /I имеет нулевой центр, Ad(gA /I) —
первичное кольцо и I ⊇ S, то I ⊇ T . Действительно, если p. i. deg Ad(gA /I) < p. i. deg Ad(gA ), то I ⊇ N ⊇ T ,
а если p. i. deg Ad(gA /I) < p. i. deg Ad(gA ) = n и T не лежит в I, то ad T /ν(T ) порождает ненулевой элемент
в первичном P I-кольце Ad(gA /I), значит, идеал ν(T )/ν(I) ненулевой в Ad(gA /I) и по предложению 1.1 в
нем выполнены те же тождества, что и в Ad(gA /I). По определению центрального полинома δ получаем,
что δ(ν(T )) не лежит в ν(I) и S = δ(ν(T ))(T ) ⊆ I, что противоречит выбору I. Значит I ⊇ T и S ⊆ T ⊆
r(S, gA ). Наконец, если a ∈ G(gA , S), то axa−1 − x ∈ S ⊆ δ(ν(T ))(T ), где x ∈ gA и π(a) ad xπ(a)−1 − ad x =
ad(axa−1 − x) ∈ δ(ν(T )) ad T ⊆ P , ибо ad T ⊆ ν(T ) и ad(λ(x)) = λ ad x при λ ∈ δ(ν(T )) ⊆ C. Но тогда
группы πG(gA , S) и πE(g, g) перестановочны по модулю идеала P , и значит π[G(gA , S), N E(g)] ⊆ 1 + P .
Предложение 4 доказано.
Предложение 5. Пусть F — нильпотентное подкольцо в ассоциативной алгебре R над полем Q, a, b ∈ F
и D — подгруппа, порожденная exp(a) и {exp(tb) | t ∈ Q}. Тогда exp(a+b) ∈ D и exp{t(ab−ba) | t ∈ Q} ⊆ D.
Доказательство. Пусть F n = {0}, g — подалгебра Ли в R(−) над полем Q, порожденная A и B, g2 =
[g, g], ..., gk+1 = [gk , g]. Из [3. с.192] вытекает, что
exp(a) exp(b) = exp(c), (3)
где c = a + b + 12 [a, b] + d, d ∈ g3 . Это формула Кемпбелла—Хаусдорфа, поэтому
exp(a + b) = exp(a) exp(b) exp(c1 ), (4)
где c1 ∈ g2 .
Индукцией по n + 1 − k, где 2 6 k 6 n, докажем, что
{exp(x) | x ∈ gk } ⊆ D. (5)
Действительно, если n + 1 − k = 1, то k = n, L ⊆ F = {0} и exp(0) = 1 ∈ D. Пусть {exp(x)|x ∈ gk } ⊆ D
и k > 2. Но gk порождается суммами коммутаторов [...[x1 , x2 ], ..., xk ] и gk+1 , где xi ∈ {a, λb | λ ∈ Q},
кроме того, [gk , gk ] ⊆ gk+1 , и из (4) достаточно доказать, что m = exp([...[x1 , x2 ], ..., xk ]) ∈ D. Из (3), (4),
примененных к произвольным элементам a, b ∈ g, получаем, что m = [...[exp(x1 ), exp(x2 ), ..., exp(xk )] exp(z)],
где z ∈ gk+1 и [exp(x), exp(m)] — коммутатор. По предложению индукции exp(z) ∈ D и exp(xi ) ∈ D по
определению группы D. Тем самым m ∈ D. Включение (5) доказано. Из (5) exp(t, [a, b]) ∈ D, ибо t[a, b] ∈ g2 .
Кроме того, из (4) c1 ∈ g2 , exp(a + b) = exp(a) exp(b) exp(c1 ) и из (5) exp(c1 ) ∈ D. Значит exp(a + b) ∈ D.
Предложение 5 доказано.
Предложение 6. Пусть Aut(g) — группа автоморфизмов алгебры Ли в R(−) , g — подалгебра Ли в
R(−) , D — подгруппа в Gg1 (R), инвариантная относительно N E(g). Для i 6= 0 положим gi (D) = {x ∈ g ∩
Ri,Aut(g) | (∀t ∈ Q) exp(tx) ∈ D}, g0 (D) —Pидеал в алгебре Ли gAut(g) ∩ R0,Aut(g) , порожденный множеством
S n
i6=0 [gi (D), g ∩ R−i,Aut(g) ], и пусть I = i=−n gi (D). Тогда I — идеал в алгебре Ли gA .
Пункт 1 предложения 6 Покажем, что (tt(g)(F ))m exp(tt(g)(G)) ∈ N E(g). Действительно,
ht(g)(F
P ), t(g)i = {2}, ht(g)(G), t(g)i
P = {−2} и по определению 2 пункта 3 получается, что t(g)(F ) =
i6=0 Fi,2 , Fi,2 ∈
P gi,2 , t(g)(G) = j6=0 Gj,−2 , Gj,−2 ∈ gj,−2 . Тогда подкольцо в R, порожденное элементами
Fi,2 , лежит в j>2 Rj,t(g) и, значит, является нильпотентным. По предложению 5, exp(tt(g)(F )) ле-
жит в подгруппе, порожденной элементами exp(tFi,2 ) ∈ E(g, g), ибо i 6= 0. Аналогично, exp(tt(g)(G)) ∈
N E(g). Пункт 1 завершен.
Предложение 7. Пусть R = Pk — кольцо k × k матриц над полем P , Char P = 0, g — такая подалгебра
Ли в R(−) , что N = P L — простая алгебра Ли. Далее Aut(g) — группа автоморфизмов в R(−) , D —
подгруппа в G, инвариантная относительно E(g, g), D не лежит в C(gA , {0}). Тогда E(g, I) ⊆ D для
некоторого нецентрального идеала I алгебры Ли gA .
3
Пункт 1 предложения 7 Пусть A — нильпотентное подкольцо в ассоциативном кольце S, b ∈ S и
bn = 0, [b, A] ⊆ A, An = {0}. (6)
n 2n
Тогда для подкольца B, порожденного Qb и A, B = {0}. Действительно, если c ∈ B , то из (6)
имеем, что c ∈ bn B + An B = {0}. Пункт 1 завершен.
Предложение 8. Пусть R — ассоциативная P I-алгебра над полем Q, Aut(g) — группа автоморфизмов
в R(−) , g — Q-алгебра Ли в R(−) . D — подгруппа в G, инвариантная относительно N E(g), D не лежит
в C(gA , {0}). Тогда N E(I) ⊆ D для некоторого нецентрального идеала I алгебры Ли gA .
Пункт 1 предложения 8 Пусть M — простая конечномерная алгебра Ли над полем P , Char P = 0 и
N — подалгебра Ли над Q в g, P ·N = M . Тогда ad N — первичное кольцо. Действительно, P ·Ad N = Ad M
и Ad M — простая ассоциативная конечномерная P I-алгебра. Значит, кольцо Ad N первично. Пункт 1
завершен.
Пункт 2 предложения 8 Пусть J = r({0}, MA ) — из определения 4. Покажем, что ad J лежит в
Rad Ad MA — радикале Джекобсона алгебры Ad MA . Действительно, пусть F — максимальный идеал в
Ad MA . Тогда по предложению 3, R1 = (Ad MA )/F — простая конечномерная над полем P ассоциативная
алгебра и (Ad MA )/F порождает R1 , Следовательно, неприводимое представление. Значит, T — прямая
сумма простых конечномерных над P алгебр Ли и некоторой центральной алгебры. Но [MA , MA ] = MA ,
значит, [T, T ] = T , и T — прямая сумма простых конечномерных над P I-алгебр Ли. Тогда из пункта 1
предложения 8 и определения 4 получаем ad J ⊆ F . Но Ad MA — P I-кольцо, значит, радикал Джекобсона
является пересечением максимальных идеалов и, следовательно, ad J ⊆ Rad Ad MA . Пункт 2 завершен.
3 Основная теорема
Теорема 1. Пусть H — подгруппа в E, инвариантная относительно N E(g). Тогда [C(I), N E(g)] =
N E(I).
(−)
L
Пусть g = α∈K gα ⊆ R — стандартно градуированная, специальная алгебра Ли над полем ра-
циональных чисел Aut(g) группа автоморфизмов алгебры Ли, E(g) — подгруппа в Aut(g), порожденная
элементами ead xα , где α 6= 0, xα ∈ gα . Далее G — подгруппа в Aut(g), содержащая E(g). Для идеала I в g
положим C(I) = {A ∈ G|(∀a ∈ g)A(a) − a ∈ I} и пусть E(g, I) — нормальная подгруппа в G, порожденная
элементами ead xα , где α 6= 0, xα ∈ gα , I.
Предложение 9. Пусть I — идеал в алгебре Ли g, ε ∈ {+, −}, x ∈ g0 + gε ∩ I, xn = 0 и a ∈ C(I),
axa−1 ∈ g0 + g−ε . Тогда [[a, exp(x)], N E(g)] ⊆ N E(I).
Доказательство. Из пункта 1 предложения 7 имеем exp(−x) = exp(x1 ) exp(x2 ), x1 ∈ g0 , x2 ∈ gε ∩ I,
exp(axa−1 ) = exp(y1 ) exp(y2 ), y1 ∈ g0 , y2 ∈ g−ε и
[a, exp(x1 )] = exp(y1 ) exp(x1 ) exp(y3 ) exp(x2 ), y3 ∈ g−ε , (7)
ибо [g0 , g−ε ] ⊆ g0−ε = g−ε . Покажем, что y3 ∈ g−ε ∩I. Действительно, x2 ∈ gε ∩I, значит, exp(x2 ) ∈ E(g, g) ⊆
C(I) и b = exp(y1 ) exp(x1 ) exp(y3 ) ∈ C(I). Но тогда C(I) 3 [tA · t2t (g) , m exp(y3 )] = exp(y4 (t)), где y4 (t) ∈
g−ε и подпространство, порожденное y4 (t), содержит y3 , и по предложению 5 получаем exp(ty3 ) ∈ C(I).
По определению C(I) получаем, что [y3 , gA ] = I. Следовательно, y5 (t) = tA · t2t(g) · y3 · t−2 −1
t(g) · tA ∈ I и
подпространство, порожденное y5 (t), содержит y3 . Итак, y3 ∈ g−ε ∩ I, x2 ∈ gε ∩ I и из (7) получаем
d = exp(y1 ) exp(x1 ) ∈ C(I). (8)
Теперь доcтаточно доказать, что [d, N E(I)] ∈ N E(I). Но y1 , z1 ∈ g0 и если z ∈ g+ либо z ∈ g− , то
[d, exp(z)] = exp(z1 ) ∈ C(I), где z1 ∈ g+ либо z1 ∈ g− . Так же, как для y3 , получаем, что exp(z1 ) ∈ N E(I) и
[d, exp(z)] ∈ N E(I), (9)
при z ∈ g+ ∪ g− .
Наконец, из пункта 1 предложения 6, определения 1, определения 2 и предложения 5 следует, что
{exp(z)|z ∈ g+ ∪ g− } (10)
4
порождает группу N E(g). Из (9) и (10) следует, что [d, N E(g)] ⊆ N E(I), и из (7) и (8) получаем, что
[[a, exp(x)], N E(g)] ⊆ N E(I). Предложение 9 доказано.
Предложение 10. Пусть R, Aut(g), g — из теоремы, gA — конечнопорожденная алгебра Ли на Q, J =
r({0}, gA ) из определения 4 и I — идеал в алгебре Ли gA , I ⊆ J. Тогда [G(I), N E(g), N E(g), N E(g), N E(g)] ⊆
N E(I).
Доказательство. Из пункта 2 предложения 8 получаем ad J ⊆ Rad Ad(gA ). Пусть a ∈ G(gA , J). Тогда
axa−1 − x ∈ J, где x ∈ gA и π(a) ad(x)π(a)−1 − ad(x) = ad(axa−1 − x) ∈ ad J ∈ Rad Ad(gA ). Тогда группы
πG(gA , J) и πE(g, g) перестановочны по модулю Rad ad(gA ), и значит,
π[G(gA , J), N E(g)] ⊆ 1 + Rad ad(gA ). (11)
Из предложения 2 идеал Rad Ad(gA ) нильпотентен.
Пусть a ∈ π[G(I), N E(g)]. Тогда из (11) и того, что идеал Rad Ad(gA ) нильпотентен, получаем a = exp(x),
P
x ∈ Rad ad(gA ). Пусть R = Ad gA и A = ad A, t(g) = ad t(g), Rij = Ri,A ∩ Rj,t(g) . Тогда x = xij ,
−1 P i −1 P j
xij ∈ Rij и tA atA = exp( t xij ), tt(g) at = exp( t xij ) и из того, что идеал Rad Ad(gA ) нильпотентен,
t(g)
и предложения 6 получаем
a = exp(y) exp(z1 )... exp(zm ), (12)
где y ∈ R0,A , zk ∈ Rik ,jk , ik 6= 0 и exp(zk ) ∈ πG(I). Тогда, коммутируя exp(zk ) с h = tA , если пара (i, j)
не пропорциональна паре (2, −1), и с h = tt(g) в противном случае, получаем, что exp(αzk ) ∈ πN E(I),
α 6= 0, и значит, exp(zk ) ∈ πN E(I). Кроме того, y ∈ R0,A , значит [exp(y), πN E(g)] ⊆ πN E(I), и (12)
[a, πN E(g)] ⊆ πN E(I) для всех a ∈ π[G(I), N E(I)]. Наконец, [ker π, N E(g)] = {1}, и следовательно,
[G(I), N E(g), ..., N E(g)] ⊆ N E(I). Предложение 10 доказано.
| {z }
4
Предложение 11. Пусть R, Aut(g), g — из теоремы и K — идеал в gA . Тогда существует число m > 0
такое, что [C(K), N E(g), ..., N E(g)] ⊆ N E(K).
Доказательство. Достаточно доказать предложение в случае, когда алгебра Ли g конечнопорожденная.
Пункт 1 Пусть I — идеал в gA , центр gA /I нулевой и τ : G(gA ) → G(g), где g = ad(gA /I) — такой
гомоморфизм групп, что τ (a)(x + I) = axa−1 + I. Тогда ker τ = G(gA /I), кроме того, алгебры g и (gA /I)
изоморфны, значит, Ad g и Ad(gA /I) изоморфны. Пункт 1 завершен. Пусть пункту 1 достаточно разо-
брать случай, когда J = {0}. Аналогично проводя индукцию по p. i. deg Ad(gA ), из пункта 1 получаем, что
достаточно разобрать случай, когда K ⊆ N , где N — пересечение всех идеалов M алгебры Ли g таких,
что центр gA /M нулевой и Ad(gA /M ) — первичная алгебра, p. i.-степень которой меньше, чем у алгеб-
ры Ad(gA ). Пусть I — максимальный идеал в gA . Из того, что [G(gA ), N E(g), ..., N E(g)] ⊆ N E(g)G(I),
получаем
[C(gA , K), E(g, g), ..., E(g, g)] ⊆ E(g, K) G(gA , K ∩ I). (13)
| {z }
5
Пусть T = K ∩ I и идеалы S в gA , P ⊆ Ad gA взяты из предложения 4. Тогда
S ⊆ K ∩ I ⊆ r(S, gA ). (14)
Из предложения 10, пункта 1 и условий (13) и (14) получаем
[C(gA , K), N E(g), ...N E(g)] ⊆ N E(K)G(gA , S). (15)
| {z }
9
По предложению 4
π[G(gA , S), N E(g), ..., N E(g)] = 1 + P (16)
+
и идеал P алгебраичен над ν(K ∩ I) ∩ C, где C — центр кольца Ad(gA ). Пусть e1 : gA → g , e2 : gA → gα
— канонические гомоморфизмы и as ∈ [gC(K), N E(g), ..., N E(g)] ⊆ N E(K)[G(S), N E(g)]. Тогда из (11)
| {z }
11
π(bI a) ∈ 1 + P для некоторого bI ∈ E(K) и из того, что идеал P алгебраичен над ν(K ∩ I) ∩ C,
5
e1 π(bI a)e1 dI a1 = (1 + λI )e1 , (17)
для некоторого λI ∈ ν(K ∩ I) ∩ C,PdI ∈ Ad(gA ).
Пункт 2 Покажем, что M = I (1 + λI )gA совпадает с gA . Действительно, так как i + λI ∈ C, то M
— идеал в gA , и если M 6= gA , то M ⊆ I для некоторого максимального идеала I алгебры Ли gA . Так как
λI ∈ ν(K ∩ I) ⊆ ν(I), то λI gA ⊆ I и (1 + λI )gA ⊆ M ⊆ I. Значит, gA ⊆ I, что противоречит максимальности
идеала I. Значит, M = gA . Пункт 2 завершен.
Из пункта 2 и равенста (17) получаем
m
X
xα = (1 + λi )ni , (18)
i=1
где ni ∈ gA . exp(λi xα ) ∈ E(J), exp(λi dα ) ∈ E(J), поэтому их можно отбросить и тогда получим:
Aeβxα A−1 e−βxα B = Aex A−1 e−x B, B ∈ E(J). (19)
По предложению 9 получаем
[[A, eβxα ], N E(g)] ∈ E(J). (20)
Значит [A, N E(g), ..., N E(g)] ∈ E(J). Предложение 11 доказано.
Список литературы
[1] I.Z. Golubchik. Groups of Lie type over P I rings. Fundamental and Applied Mathematics, 3(2):399–424,
1997. (in Russian)= И.З. Голубчик. Группы лиевского типа над P I кольцами. Фундаментальная и
прикладная математика, 3(2):399–424, 1997.
[2] Y.A. Bakhturin. Identities in Lie algebras. Nauka, Moscow, 1985 (in Russian). = Ю.А. Бахтурин. Тожде-
ства в алгебрах Ли. Наука, Москва, 1985.
[3] N. Jacobson. Lie algebras. Mir, Moscow, 1964 (in Russian). = Н. Джекобсон. Алгебры Ли. Мир, Москва,
1964.
[4] K.L. Zhevlakov, A.M. Slinko, I.P. Shestakov, A.I. Shirshov. Alternative rings. Novosibirsk, 1976 (in Russian).
= К.Л. Жевлаков, А.М. Слинько, И.П. Шестаков, А.И. Ширшов. Альтернативные кольца. Новоси-
бирск, 1976.
[5] A.R. Kemer. The Kapeli identities and the nilpotency of the radical of a finitely generated P I-algebra. DAN
SSSR, 255(4):793–797, 1980 (in Russian). = А.Р. Кемер. Тождества Капели и нильпотентность радикала
конечнопорожденной P I-алгебры. ДАН СССР, 255(4):793–797, 1980.
[6] Yu.P. Razmyslov. Algebras satisfying Capelli identities. Mathematics of the USSR-Izvestiya, 18(1): 125, 1982.
= Ю.П. Размыслов. Алгебры, удовлетворяющие тождественным соотношениям типа Капелли. Изв.
АН СССР. Сер. матем., 45(1): 143–166, 1981.
[7] I. Herstein. Non-commutative rings. Mir, Moscow, 1972 (in Russian). = И. Херстейн. Некоммутативные
кольца. Мир, Москва, 1972.
[8] S.A. Amitsur. Identities and linear dependence. Israel J. Math., 22(2):127–137, 1975.
6
Subgroups in groups of Lie type normalized by an elementary
subgroup
Igor Z. Golubchik1 , Irina R. Salikhova2
1 – Bashkir State Pedagogical University named after M. Akmulla, Bashkortostan, Ufa, Russia
2 – Ufa Motor Transport College, Bashkortostan, Ufa, Russia
Keywords: Pi-rings, groups of Lie type, special algebra.
LetPT ⊆ Z n be a finite set, g = α∈T gα is a finitely graded Lie algebra over the field of rational numbers and
L
g0 = α6=0 [gα , g−α ] and for β 6= 0, β ∈ T we have gβ = Σγ∈T [gγ , gβ−γ ] where γ and β — linearly independent.
The group E(g) generated by ead aα , aα ∈ gα , α 6= 0 a group of Lie type. Let H be a subgroupLof Aut g, H ⊇ E(g)
and N E(g) is a normal subgroup in H, generated by E(g) for the ideal I in g such that I = α∈T (I ∩ gα ) we put
N E(I) — the normal subgroup of H generated by ead aα where aα ∈ I∩gα , α 6= 0 and C(I) = {a ∈ H | a(x)−x ∈ I
for all x ∈ g}. In this paper we prove commutator formulas for congruences of subgroups of groups of Lie type.
7