Работа посвящена общей теории полуколец непрерывных функций. Рассматриваются полукольца CP (X; S) непрерывных частичных функций на топологических пространствах X со значениями в топологических полукольцах S. Исследуются их идеалы и конгруэнции. Основное внимание уделено полукольцам CP (X) = CP (X; R). Показано, что дистрибутивность решетки идеалов полукольца CP (X) эквивалентна тому, что X является наследственным F -пространством. Доказана определяемость любого T1пространства X решеткой идеалов полукольца CP (X). Установлена двойственность между категорией T1-пространств X и их непрерывных отображений и категорией полуколец CP (X) с _-полными гомоморфизмами в качестве морфизмов.
Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the International Youth School-conference ¾SoProMat-2017¿, Yekaterinburg, Russia, 06-Feb-2017, published at http://ceur-ws.org D(g) = D(f + g) = D(f g), является полукольцом с поглощающим элементом ; как по сложению, так и по умножению.
Пусть X топологическое пространство, S топологическое полукольцо и C(X; S) полукольцо всех непрерывных S-значных функций на пространстве X с поточечно определенными операциями сложения и умножения функций. Обозначим через CP (X; S) = SfC(Y; S) : Y Xg полукольцо всевозможных непрерывных частичных S-значных функций на X с поточечно заданными операциями сложения и умножения частичных функций f и g на их общей области определения D(f ) \ D(g).
Полукольцо C(X; S) является подполукольцом полукольца CP (X; S). Будем считать, что C(;; S) = f;g; при этом ; служит поглощающим элементом полукольца CP (X; S).
Если топологическое полукольцо S имеет единицу 1, то функция-константа 1 будет единицей полуколец C(X; S) и CP (X; S).
Если топологическое полукольцо S имеет нуль 0, то функция-константа 0 является нулем полукольца C(X; S), но не будет нулем полукольца CP (X; S), будучи его нейтральным элементом по сложению. Нас особенно интересует случай, когда S = R топологическое поле действительных чисел (с обычной топологией).
Положим C(X) = C(X; R) и CP (X) = CP (X; R). Тем самым, полукольцо CP (X) всех непрерывных частичных R-значных функций на топологическом пространстве X является дизъюнктным объединением коммутативных колец C(Y ) с нулем и единицей по всевозможным подпространствам Y пространства X, включая одноэлементное кольцо C(;) = f;g.
Другие необходимые понятия будут вводиться по ходу изложения.
Отметим, что классическая теория колец C(X) непрерывных действительнозначных функций изложена
в монографии Гиллмана и Джерисона [
Заметим, что впервые полукольца непрерывных частичных функций появились в работе [
Полукольца непрерывных частичных функций Сначала коснемся теории идеалов в полукольцах CP (X; S). Легко видеть, что имеют место следующие две леммы: Лемма 1. Пусть топологическое полукольцо S содержит единичный элемент 1 и f1g есть собственное замкнутое подмножество в S, а X произвольное T1-пространство. Множество A X замкнуто тогда и только тогда, когда для каждой функции ex 2 CP (X; S)
eAex = ; ) 9f 2 CP (X; S) (f eA = eAt)^(; 6= f ex 6= ex) : Лемма 2. Для любого идеала I полукольца CP (X; S) и подмножества D X если множество I \ C(D; S) не пусто, то оно является идеалом в C(D; S).
Предложение 1. Для любых топологического пространства X и топологического полукольца S с единицей 1, обладающего хотя бы одним собственным идеалом, максимальные идеалы полукольца CP (X; S) имеют вид
(CP (X; S) n C(X; S)) [ M; Главные идеалы ( x) = xCP (X) = f x; ;g при x 2 X суть в точности минимальные идеалы полукольца CP (X). Заметим, что для любой точки x 2 X идеал (ex), как полукольцо изоморфный R [ f;g, содержит ровно три идеала (ex) ( x) f;g полукольца CP (X).
Идеал J полукольца CP (X; S) называется D-идеалом, если f 2 J, g 2 CP (X; S) и D(g) = D(f ) влекут g 2 J. Идеал J называется биидеалом, если J + CP (X; S) J.
Предложение 2. Для любых топологического пространства X и топологического кольца S с единицей в полукольце CP (X; S) биидеалы совпадают с D-идеалами и исчерпываются всеми объединениями главных идеалов вида (eA), A X.
Доказательство. Пусть идеал I полукольца CP (X; S) является D-идеалом. Рассмотрим функции f 2 I и g 2 CP (X; S) и покажем, что их сумма f + g лежит в идеале I. Возьмем функцию h = f g. Имеем h 2 I и D(h) = D(f ) \ D(g) = D(f + g). Значит, f + g 2 I и I биидеал.
Пусть теперь идеал I полукольца CP (X; S) является биидеалом. Рассмотрим функции f 2 I и g 2 CP (X; S) такие, что D(g) = D(f ) = D. Тогда f; g; f + g 2 C(D; S). Так как I биидеал, то f + g 2 I. По лемме 2 непустое множество J = I \C(D; S) идеал в кольце C(D; S) с единицей. Имеем f 2 J и f +g 2 J. Выразим функцию g через функции f + g и f : g = (f + g) f = (f + g) + ( 1)f . Получаем, что g 2 J I. Значит, I D-идеал.
Последнее утверждение очевидно.
Через Id CP (X; S) обозначим множество всех идеалов полукольца CP (X). Относительно теоретикомножественного включения получаем решетку Id CP (X; S) с операциями sup(I; J) = I [ J [ (I + J) и inf(I; J) = I \ J. Решетка Id CP (X) содержит наименьшим элемент f;g и наибольший элемент CP (X).
Предложение 3. Для любого топологического пространства X и топологического полукольца S с нулем и единицей решетка Id CP (X; S) решетка с псевдодополнениями. Дополнениями в Id CP (X; S) обладают только элементы f;g и CP (X; S).
Доказательство. Для произвольных идеалов A и B полукольца CP (X; S) имеем
A B = f;g , A \ B = f;g: Поэтому для любого идеала A полукольца CP (X; S) идеал CP (X n D(A); S) будет наибольшим идеалом среди идеалов B с условием A \ B = f;g; т. е. является псевдодополнением к A.
Возьмем произвольный идеал A полукольца CP (X; S): Для его дополнения A0 получаем 1 2 A [ A0 [ (A + A0): Если 1 2 A; то A = CP (X; S); если 1 2 A0; то A = f;g: Пусть 1 2 A + A0: Тогда 1 = f + g для некоторых функций f 2 A; g 2 A0: Значит, 0 2 A \ A0 противоречие.
Предложение 4. Для любого топологического пространства X и топологического кольца S с единицей решетка Id CP (X; S) модулярна.
Доказательство. Пусть A; B; C произвольные идеалы полукольца CP (X; S) и B A. Нужно показать, что A ^ (B _ C) (A ^ B) _ (A ^ C), т. е. A \ (B [ C [ (B + C)) (A \ B) [ (A \ C) [ (A \ B + A \ C). Достаточно доказать, что A \ (B + C) A \ B + A \ C: Пусть для функции f 2 A \ (B + C) выполняется равенство f = g + h, где g 2 B A и h 2 C. Тогда D(f ) = D(g) \ D(h) = D и функции geD, heD и f = geD + heD принадлежат кольцу C(D; S). По лемме 1 A0 = A \ C(D; S), B0 = B \ C(D; S), C0 = C \ C(D; S) идеалы в C(D; S):
Так как geD 2 B0 A0; heD = f geD 2 A0 \ C0; то f 2 A0 \ B0 + A0 \ C0 A \ B + A \ C: Значит, A \ (B + C) A \ B + A \ C: Итак, решетка Id CP (X; S) модулярна.
Следствие 1. Решетки Id CP (X) модулярны для всех топологических пространств X. Отметим, что решетка идеалов любого кольца модулярна.
Обозначим через Con CP (X; S) решетку всех конгруэнций на полукольце CP (X; S) относительно отношения включения . Точной нижней гранью любого непустого множества конгруэнций на полукольце CP (X; S) является их пересечение, точной верхней гранью двух конгруэнций и будет транзитивное замыкание их композиции , наименьшей конгруэнцией служит отношение равенства 0, а наибольшей одноклассовая конгруэнция 1.
Конгруэнцию на полукольце CP (X; S) назовем D-конгруэнцией, если f; g 2 CP (X; S) и D(f ) = D(g) влекут f g. Наименьшей D-конгруэнцией на полукольце CP (X; S) служит конгруэнция D.
Предложение 5. Для любых топологического пространства X и неодноэлементного топологического кольца S максимальные конгруэнции на полукольце CP (X; S) совпадают с двухклассовыми Dконгруэнциями. При этом любая собственная конгруэнция содержится в некоторой максимальной конгруэнции. Доказательство. Покажем, что для произвольной конгруэнции на CP (X; S) если _ D = 1, то = 1. Действительно, пусть _ D = 1. Тогда найдутся такие функции f1; : : : ; fn 2 CP (X; S), что ; f1 D f2 f3 D : : : fn D 0: Пусть для функции f 2 A \ (B + C) выполняется равенство f = g + h, где g 2 B и h 2 C. Снова обозначим D = D(f ) = D(g) \ D(h). Функции geD, heD и f = geD + heD принадлежат кольцу C(D), для которого решетка идеалов Id C(D) дистрибутивна. Значит, для идеалов A0 = A \ C(D), B0 = B \ C(D), C0 = C \ C(D) из Id C(D) выполняется A0 \ (B0 + C0) A0 \ B0 + A0 \ C0. Получаем, что f 2 A0 \ (B0 + C0) и f = g0 + h0 для подходящих функций g0 2 A0 \ B0 = A \ B \ C(D), h0 2 A0 \ C0 = A \ C \ C(D), т. е. f 2 A \ B + A \ C. Значит, A \ (B + C) A \ B + A \ C. Поэтому решетка Id CP (X) дистрибутивна.
Теорема 2. Всякое T1-пространство X определяется однозначно с точностью до гомеоморфизма решеткой Id CP (X).
Доказательство. Элементы вида (eA) = CP (A), A X, решетки Id CP (X) суть в точности псевдодополнения в ней, а элементы вида (ex) = CP (fxg), A X ее минимальные псевдодополнения. Конечнопорожденные идеалы полукольца CP (X) будут компактными элементами решетки Id CP (X).
По предложению 1 пересечением идеалов, максимальных в подрешетке Id CP (A), A X, будет идеал O(A) = (CP (A)nC(A))[f Ag. Идеал P (A) = CP (A)nC(A) будет точной верхней гранью псевдодополнений решетки Id CP (X), содержащихся в идеале O(A). Невыполнение соотношения CP (A) > (ex) равносильно тому, что x 2= A. Идеал CP (A[fxg) является наименьшим из псевдодополнений J, для которых J > CP (A) и J > (ex).
В силу леммы 1 множество A
X замкнуто тогда и только тогда, когда для всех x 2 X x 2= A ) 9e 2 (eA[fxg) (e(A) = f1g)^(e(x) = 0) : (1) Покажем, что замкнутость множества A
X эквивалентна выполнению следующего условия (*): Для любого идеала (ex), x 2 X, не удовлетворяющего условию CP (A) > (ex), найдется такой конечнопорожденный идеал (f1; : : : ; fn) 6 CP (A [ fxg), что (f1; : : : ; fn) _ P (A) является максимальным идеалом в CP (A [ fxg) и не выполняется условие (f1; : : : ; fn) _ P (A) > (ex).
Пусть множество A замкнуто в X. Возьмем произвольную точку x 2 X n A. Рассмотрим функцию e из критерия (1). Получаем главный идеал (e) 6 (eA[fxg), для которого не выполняется соотношение(e) _ P (A) > (ex) и (e) \ C(A [ fxg) = Mx = ff 2 C(A [ fxg) : f (x) = 0g максимальный идеал в кольце C(A [ fxg). Ясно, что (e)_P (A) является максимальным идеалом в CP (A[fxg). Значит, выполняется условие (*).
Обратно, пусть для множества A X выполняется условие (*). Среди функций f1; : : : ; fn 2 CP (A[fxg) найдутся функции из C(A [ fxg). Рассмотрим эти функции fi1; : : : ; fik и соответствующий идеал I = (fi1; : : : ; fik ) кольца C(A [ fxg).
Идеал I = (fi1; : : : ; fik ) = (f1; : : : ; fn) \ C(A [ fxg) максимальный в кольце C(A [ fxg). Поскольку не выполняется (f1; : : : ; fn) > (ex), то fi(x) = 0 для любого i = i1; : : : ; ik, стало быть, I Mx. Поэтому I = Mx.
Идеал Mx = I = (fi1; : : : ; fik ) является главным в кольце C(A [ fxg). Действительно, положим g = q3fi21 + : : : + fi2k 2 C(A [ fxg): Для каждой функции fi при i = i1; : : : ; ik найдется такая функция hi 2 C(A [ fxg), что fi = hig: hi(x) =
0; x 2 Z(fi); fi=g; x 2 cozfi
s f3 и jhij = 3 fi2+jPi6=i fj2 6 q3 ffi32 = j p3fij на cozfi: i Поскольку fhi(xj)g ! 0 для любой точки y 2 Z(fi) и произвольной направленности fxjg ! y, то функция hi непрерывна на A [ fxg.
Получаем Mx = (g). Функция g положительна на A и равна 0 в точке x. При этом pg = hg для некоторой функции h 2 C(A [ fxg). Имеем g = (h2g)g и h2g идемпотент, причем (h2g)(x) = 0 и (h2g)(A) = f1g. Значит, множество A замкнуто во всех подпространствах A [ fxg T1-пространства X, x 2= A. Следовательно, A замкнуто в X.
Тем самым T1-пространство X можно сконструировать как множество f(ex) : x 2 Xg с системой замкнутых множеств псевдодополнений (eA), соответствующих замкнутым множествам A X. Следствие 2. ([5, теорема 1]). Любое T1-пространство X определяется полукольцом CP (X). Рассмотрим на полукольце CP (X) естественный порядок 6: f 6 g , (D(f )
D(g))^(f (x) 6 g(x)) для x 2 D(f ): Порядок 6 порождает операцию ^:
D(f ^ g) = D(f ) \ D(g); (f ^ g)(x) = min(f (x); g(x)) для всех x 2 D(f ^ g): Получаем нижнюю полурешетку hCP (X); ^i с наименьшим элементом ;.
Упорядоченное множество feA : A Xg всех унитарных идемпотентов изоморфно булеану }(X) пространства X. Для любых A; B X имеем eA ^ eB = eA\B;
eA _ eB = eA[B: Отметим, что для произвольного тихоновского пространства X существование f _ g = sup(f; g) относительно порядка 6 для всех f; g 2 CP (X) равносильно дискретности пространства X. Для антидискретных топологических пространств X операция _ на CP (X) также определена.
Полукольцевой гомоморфизм : CP (X) ! CP (Y ), сохраняющий единицу 1, назовем _-полным, если сохраняет точную верхнюю грань любого множества feA : A 2 F g, F }(X), унитарных идемпотентов: _ eA = _
(eA): A2F
A2F Любое непрерывное отображение ' : Y ! X топологических пространств индуцирует полукольцевой гомоморфизм ' : CP (X) ! CP (Y ) по правилу '(f )(y) = f ('(y)) для любой функции f 2 CP (X) и всех y 2 D('(f )) = ' 1(D(f )), т. е. '(f ) = f '.
Ясно, что индуцированные гомоморфизмы сохраняют функции-константы, унитарные идемпотенты eA; A X, переводят в унитарные идемпотенты eB, где B = ' 1(A) Y , поглощающий элемент в поглощающий.
Предложение 8. Для произвольного T1-пространства X полукольцевой гомоморфизм CP (X) ! CP (Y ) будет индуцированным тогда и только тогда, когда он является _-полным.
Доказательство. Пусть полукольцевой гомоморфизм : CP (X) ! CP (Y ) индуцирован отображением ' : Y ! X. Тогда сохранят единицу 1. Для любого множества F подмножеств A X обозначим SA2F A = D. Тогда D( (_eA)) = ' 1(D(_eA)) = ' 1(D). Для любой точки y 2 ' 1(D) имеем (_eA)(y) = (eD)(y) = (eD)('(y)) = 1 = _eA('(y)) = _ (eA)(y): Значит, является _-полным.
Пусть полукольцевой гомоморфизм : CP (X) ! CP (Y ) является _-полным. Тогда для любой точки y 2 Y найдется точка x 2 X, такая, что (ex) = eB, B Y; y 2 B. Действительно, существование точки y 2 Y такой, что для любого x 2 X (ex) = eB; B Y n fyg, противоречит _-полноте гомоморфизма: _ ex = 1 6= _x2X (ex) = eC; y 2= C: x2X Для различных точек x1; x2 2 X имеем (ex1) (ex2) = (ex1ex2) = (;) = ;. Таким образом, для любого y 2 Y найдется единственный x 2 X такой, что (ex) = eB; B Y; y 2 B. Зададим отображение ' : Y ! X по правилу '(y) = x , 9B
Y; y 2 B (ex) = eB: Покажем, что отображение ' непрерывно в каждой точке y 2 Y . То есть для любой окрестности U точки (y) 2 X множество W = ' 1(U ) открыто.
Имеем: W открыто в Y тогда и только тогда, когда Y n W замкнуто, что, в свою очередь, равносильно истинности импликации eY nW ey = ; ) 9f 2 CP (Y )
(f eY nW = eY nW )^(; =6 f ey 6= ey) для каждой функции ey 2 CP (Y ). Иными словами, для каждого элемента y 2 Y найдется такая функция f 2 CP (Y ), что y 2 W ) 9 (f (Y n W ) = 1)^(f (y) = 0) : (2) Зафиксируем произвольную точку y0 2 W , обозначим x0 = '(y0) 2 U . В CP (X) возьмем функцию f такую, что D(f ) = (X n U ) [ fx0g, f (X n U ) = 1, f (x0) = 0.
Имеем e' 1(x0) = (ex0) = ( x0 + ex0) = C + e' 1(x0), ( x0) = C для некоторого C Y , т. е. y0 2 ' 1(x0) C. Для функции (f ) 2 CP (Y ) получаем
(f )(y0) = (f )(e' 1(x0))(y0) = (f ) (ex0)(y0) = (f ex0)(y0) = ( x0)(y0) = 0: Так как W = ' 1(U ), то для любой точки y00 2= W получаем, что x00 = '(y00) 2= U и (ex00) = eB; y 2 B.
Для любой y00 2 Y n W получаем (f )(y00) = (f ex00)(y00) = (ex00)(y00) = 1. Итак, W удовлетворяет условиям (2), т. е. открыто.
Обозначим через K категорию всех T1-пространств X и их непрерывных отображений ', а через C категорию всех полуколец CP (X) и их _-полных гомоморфизмов . Для любых непрерывных отображений : Z ! Y и ' : Y ! X имеем ' = '. Поэтому соответствие F, F(X) = CP (X) и F (') = ' является контрвариантным функтором из категории K в категорию C.
В результате получаем следующую теорему двойственности.
Теорема 3. Категория всех T1-пространств X и их непрерывных отображений антиэквивалентна (двойственна) категории полуколец CP (X) с _-полными гомоморфизмами в качестве морфизмов. 4 4.1 Дополнения
Определяемость
Теме определяемости топологических пространств различными алгебраическими системами
непрерывных функций на них посвящен обзор [
Остается открытым вопрос об определяемости T1-пространств X решеткой конгруэнций полуколец CP (X). 4.2
Полукольца CP (X; R+) Предложение 7 и теорема 1 верны и для полуколец CP (X; R+), но следствие 1 для CP (X; R+), вообще говоря, не имеет места. Нам понадобится следующий результат, полученный В. И. Варанкиной: Теорема Б. [1, теорема 2.1] Для всякого топологического пространства X равносильны следующие условия: 1) решетка идеалов полукольца C(X; R+) дистрибутивна; 2) решетка идеалов полукольца C(X; R+) модулярна; 3) пространство X будет F-пространством.
Предложение 9. Для любого топологического пространства X эквивалентны следующие утверждения: 1) решетка идеалов полукольца CP (X; R+) дистрибутивна; 2) решетка идеалов полукольца CP (X; R+) модулярна; 3) пространство X является наследственным F-пространством. Доказательство. Ясно, что 1) ) 2).
2) ) 3): Предположим, что решетка Id CP (X; R+) модулярна. Тогда, как и в начале доказательства теоремы 1, модулярна и решетка Id C(Y; R+) для любого подпространства Y пространства X. По теореме Б все подпространства Y в X являются F-пространствами, т. е. X будет наследственным F-пространством. Импликация 3) ) 1) доказывается точно так же, как и в теореме 1. Заметим также, что для полуколец CP (X; R+) справедлив аналог теоремы 3 о двойственности. 4.3
К теории полуколец CP (X; S) Актуальной является задача исследования свойств полуколец CP (X; S) непрерывных частичных функций со значениями в других числовых полукольцах S с интервальной топологией, в частности в полуполе P всех положительных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения чисел. Заметим, что на R+ и P можно также взять сложение max вместо обычного сложения +. Общее направление изучения полуколец CP (X; S), начатое в параграфе 2, допускает дальнейшее развитие. логика: теория и приложения, тез. докл. Междунар. конф., посвящ. 70-летию В. М. Левчука, Сиб. федерал. ун-т, Красноярск: 11–12, 2016. Evgenii M. Vechtomov, Elena N. Lubyagina Vyatka State University (Kirov, Russia)
Keywords: semiring, ideal, congruence, lattice, T1-space, field of real numbers, continuous partial function, definability, duality.
The paper is devoted to the general theory of semirings of continuous functions. We study semirings CP (X; S) of continuous partial functions on topological spaces X with values in topological semirings S. We explore their ideals and congruences. The main attention is paid to semirings CP (X) = CP (X; R). We show that the distributivity of the lattice of all ideals of a semiring CP (X) is equivalent to the fact that X is a hereditary F -space. We prove the definability of any T1-space X by the lattice of all ideals of a semiring CP (X). A duality between the category of all T1-spaces X and their continuous mappings and the category of all semirings CP (X) with _-complete homomorphisms considered as morphisms is established.