Полукольца непрерывных частичных действительнозначных функций Е. М. Вечтомов Е. Н. Лубягина vecht@mail.ru shishkina.en@mail.ru ВятГУ (Киров) Аннотация Работа посвящена общей теории полуколец непрерывных функ- ций. Рассматриваются полукольца CP (X, S) непрерывных частич- ных функций на топологических пространствах X со значения- ми в топологических полукольцах S. Исследуются их идеалы и конгруэнции. Основное внимание уделено полукольцам CP (X) = CP (X, R). Показано, что дистрибутивность решетки идеалов по- лукольца CP (X) эквивалентна тому, что X является наслед- ственным F -пространством. Доказана определяемость любого T1 - пространства X решеткой идеалов полукольца CP (X). Установле- на двойственность между категорией T1 -пространств X и их непре- рывных отображений и категорией полуколец CP (X) с ∨-полными гомоморфизмами в качестве морфизмов. 1 Введение. Основные понятия Материал статьи относится к теории колец и полуколец непрерывных функций. Рассматриваются по- лукольца непрерывных частичных функций на топологических пространствах со значениями в топологи- ческих полукольцах. Исследуются решетки их идеалов и конгруэнций, вопросы определяемости и двой- ственности для T1 -пространств. Напомним, T1 -пространством называется топологическое пространство, в котором все одноточечные множества замкнуты. Начнем с исходных понятий и обозначений. Под полукольцом понимается алгебраическая структура hS; +, ·i с коммутативно-ассоциативной операцией сложения + и ассоциативной операцией умножения ·, которая дистрибутивна относительно сложения с обеих сторон. Топологическое полукольцо — это полуколь- цо с заданной на нем топологией, в которой непрерывны полукольцевые операции сложения и умножения. Полукольцо, в котором существует нейтральный по сложению и поглощающий по умножению элемент нуль 0, называется полукольцом с нулем. Полукольцо с нейтральным по умножению элементом единица 1 называется полукольцом с единицей. Для полуколец определения подполукольца, идеала, конгруэнции, фактор-полукольца, гомоморфизма носят общеалгебраический характер. Пусть S — полукольцо и X — произвольное множество. Обозначим через SP X множество {S Y : Y ⊆ S X} всех частичных функций из X в S. Положим D(f ) — область определения частичной функции f ∈ SP X . Множество SP X с поточечными операциями сложения + и умножения функций f и g на их общей области определения D(f ) ∩ D(g): (f + g)(x) = f (x) + g(x) и (f g)(x) = f (x)g(x) для всех x ∈ D(f ) ∩ Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes. In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the International Youth School-conference «SoProMat-2017», Yekaterinburg, Russia, 06-Feb-2017, published at http://ceur-ws.org 20 D(g) = D(f + g) = D(f g), является полукольцом с поглощающим элементом ∅ как по сложению, так и по умножению. Пусть X — топологическое пространство, S — топологическое полукольцо и C(X, S) — полукольцо всех непрерывных S-значных функций на пространстве XSс поточечно определенными операциями сложения и умножения функций. Обозначим через CP (X, S) = {C(Y, S) : Y ⊆ X} полукольцо всевозможных непре- рывных частичных S-значных функций на X с поточечно заданными операциями сложения и умножения частичных функций f и g на их общей области определения D(f ) ∩ D(g). Полукольцо C(X, S) является подполукольцом полукольца CP (X, S). Будем считать, что C(∅, S) = {∅}; при этом ∅ служит поглощающим элементом полукольца CP (X, S). Если топологическое полукольцо S имеет единицу 1, то функция-константа 1 будет единицей полуколец C(X, S) и CP (X, S). Если топологическое полукольцо S имеет нуль 0, то функция-константа 0 является нулем полуколь- ца C(X, S), но не будет нулем полукольца CP (X, S), будучи его нейтральным элементом по сложению. Нас особенно интересует случай, когда S = R — топологическое поле действительных чисел (с обычной топологией). Положим C(X) = C(X, R) и CP (X) = CP (X, R). Тем самым, полукольцо CP (X) всех непрерывных частичных R-значных функций на топологическом пространстве X является дизъюнктным объединением коммутативных колец C(Y ) с нулем и единицей по всевозможным подпространствам Y пространства X, включая одноэлементное кольцо C(∅) = {∅}. Другие необходимые понятия будут вводиться по ходу изложения. Отметим, что классическая теория колец C(X) непрерывных действительнозначных функций изложена в монографии Гиллмана и Джерисона [15]. В первых главах книг [10, 12] рассматриваются начала теории полуколец. Теории полуколец непрерывных числовых функций посвящена двухтомная монография [10, 11]. Информация по общей топологии содержится в трудах [14, 15]. Заметим, что впервые полукольца непрерывных частичных функций появились в работе [6]. Коснемся кратко содержания статьи. В пункте 2 исследуются полукольца непрерывных частичных функций со значениями в абстрактных топологических полукольцах с некоторыми дополнительными усло- виями. Основной пункт 3 посвящен развитию теории полуколец CP (X). В пункте 4 приводятся дополнения и замечания, связанные с дальнейшим изучением полуколец непрерывных частичных функций. 2 Полукольца непрерывных частичных функций Сначала коснемся теории идеалов в полукольцах CP (X, S). Легко видеть, что имеют место следующие две леммы: Лемма 1. Пусть топологическое полукольцо S содержит единичный элемент 1 и {1} есть собствен- ное замкнутое подмножество в S, а X — произвольное T1 -пространство. Множество A ⊆ X замкнуто тогда и только тогда, когда для каждой функции ex ∈ CP (X, S)  eA ex = ∅ ⇒ ∃f ∈ CP (X, S) (f eA = eA t)∧(∅ = 6 f ex 6= ex ) . Лемма 2. Для любого идеала I полукольца CP (X, S) и подмножества D ⊆ X если множество I ∩ C(D, S) не пусто, то оно является идеалом в C(D, S). Предложение 1. Для любых топологического пространства X и топологического полукольца S с еди- ницей 1, обладающего хотя бы одним собственным идеалом, максимальные идеалы полукольца CP (X, S) имеют вид (CP (X, S) \ C(X, S)) ∪ M, где M — произвольный максимальный идеал полукольца C(X, S). Доказательство. Ясно, что (CP (X, S) \ C(X, S)) ∪ M — максимальный идеал в CP (X, S) для всякого максимального идеала M полукольца C(X, S). Покажем, что других максимальных идеалов в полукольце CP (X, S) нет. Пусть J — максимальный  идеал полукольца CP (X, S). Тогда 1 ∈ / J. Если J ∩ C(X, S) = ∅, то J ⊂ CP (X, S) \ C(X, S) ∪ M для любого идеала M полукольца C(X, S) — противоречие. Если I = J ∩ C(X, S) 6= ∅, то по лемме 2 I — собственный идеал полукольца C(X, S). Получаем, что I ⊆ M для некоторого максимального идеала M полукольца C(X, S). Таким образом, J ⊆ (CP (X, S) \ C(X, S)) ∪ M . Отсюда J = (CP (X, S) \ C(X, S)) ∪ M . 21 Главные идеалы (θx ) = θx CP (X) = {θx , ∅} при x ∈ X суть в точности минимальные идеалы полукольца CP (X). Заметим, что для любой точки x ∈ X идеал (ex ), как полукольцо изоморфный R ∪ {∅}, содержит ровно три идеала (ex ) ⊃ (θx ) ⊃ {∅} полукольца CP (X). Идеал J полукольца CP (X, S) называется D-идеалом, если f ∈ J, g ∈ CP (X, S) и D(g) = D(f ) влекут g ∈ J. Идеал J называется биидеалом, если J + CP (X, S) ⊆ J. Предложение 2. Для любых топологического пространства X и топологического кольца S с единицей в полукольце CP (X, S) биидеалы совпадают с D-идеалами и исчерпываются всеми объединениями главных идеалов вида (eA ), A ⊆ X. Доказательство. Пусть идеал I полукольца CP (X, S) является D-идеалом. Рассмотрим функции f ∈ I и g ∈ CP (X, S) и покажем, что их сумма f + g лежит в идеале I. Возьмем функцию h = f g. Имеем h ∈ I и D(h) = D(f ) ∩ D(g) = D(f + g). Значит, f + g ∈ I и I — биидеал. Пусть теперь идеал I полукольца CP (X, S) является биидеалом. Рассмотрим функции f ∈ I и g ∈ CP (X, S) такие, что D(g) = D(f ) = D. Тогда f, g, f + g ∈ C(D, S). Так как I — биидеал, то f + g ∈ I. По лемме 2 непустое множество J = I ∩ C(D, S) — идеал в кольце C(D, S) с единицей. Имеем f ∈ J и f + g ∈ J. Выразим функцию g через функции f + g и f : g = (f + g) − f = (f + g) + (−1)f . Получаем, что g ∈ J ⊆ I. Значит, I — D-идеал. Последнее утверждение очевидно. Через Id CP (X, S) обозначим множество всех идеалов полукольца CP (X). Относительно теоретико- множественного включения ⊆ получаем решетку Id CP (X, S) с операциями sup(I, J) = I ∪ J ∪ (I + J) и inf(I, J) = I ∩ J. Решетка Id CP (X) содержит наименьшим элемент {∅} и наибольший элемент CP (X). Предложение 3. Для любого топологического пространства X и топологического полукольца S с ну- лем и единицей решетка Id CP (X, S) — решетка с псевдодополнениями. Дополнениями в Id CP (X, S) об- ладают только элементы {∅} и CP (X, S). Доказательство. Для произвольных идеалов A и B полукольца CP (X, S) имеем A · B = {∅} ⇔ A ∩ B = {∅}. Поэтому для любого идеала A полукольца CP (X, S) идеал CP (X \ D(A), S) будет наибольшим идеалом среди идеалов B с условием A ∩ B = {∅}, т. е. является псевдодополнением к A. Возьмем произвольный идеал A полукольца CP (X, S). Для его дополнения A0 получаем 1 ∈ A ∪ A0 ∪ (A + A0 ). Если 1 ∈ A, то A = CP (X, S), если 1 ∈ A0 , то A = {∅}. Пусть 1 ∈ A + A0 . Тогда 1 = f + g для некоторых функций f ∈ A, g ∈ A0 . Значит, 0 ∈ A ∩ A0 — противоречие. Предложение 4. Для любого топологического пространства X и топологического кольца S с едини- цей решетка Id CP (X, S) модулярна. Доказательство. Пусть A, B, C — произвольные идеалы полукольца CP (X, S) и B ⊆ A. Нужно пока- зать, что A ∧ (B ∨ C) ⊆ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C), т. е. A ∩ (B ∪ C ∪ (B + C)) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (A ∩ B + A ∩ C). Достаточно доказать, что A ∩ (B + C) ⊆ A ∩ B + A ∩ C. Пусть для функции f ∈ A ∩ (B + C) выполняется равенство f = g + h, где g ∈ B ⊆ A и h ∈ C. Тогда D(f ) = D(g) ∩ D(h) = D и функции geD , heD и f = geD + heD принадлежат кольцу C(D, S). По лемме 1 A0 = A ∩ C(D, S), B 0 = B ∩ C(D, S), C 0 = C ∩ C(D, S) — идеалы в C(D, S). Так как geD ∈ B 0 ⊆ A0 , heD = f − geD ∈ A0 ∩ C 0 , то f ∈ A0 ∩ B 0 + A0 ∩ C 0 ⊆ A ∩ B + A ∩ C. Значит, A ∩ (B + C) ⊆ A ∩ B + A ∩ C. Итак, решетка Id CP (X, S) модулярна. Следствие 1. Решетки Id CP (X) модулярны для всех топологических пространств X. Отметим, что решетка идеалов любого кольца модулярна. Обозначим через Con CP (X, S) решетку всех конгруэнций на полукольце CP (X, S) относительно от- ношения включения ⊆. Точной нижней гранью любого непустого множества конгруэнций на полукольце CP (X, S) является их пересечение, точной верхней гранью двух конгруэнций ρ и σ будет транзитивное замыкание их композиции ρ◦σ, наименьшей конгруэнцией служит отношение равенства 0, а наибольшей — одноклассовая конгруэнция 1. Конгруэнцию ρ на полукольце CP (X, S) назовем D-конгруэнцией, если f, g ∈ CP (X, S) и D(f ) = D(g) влекут f ρ g. Наименьшей D-конгруэнцией на полукольце CP (X, S) служит конгруэнция ρD . Предложение 5. Для любых топологического пространства X и неодноэлементного топологиче- ского кольца S максимальные конгруэнции на полукольце CP (X, S) совпадают с двухклассовыми D- конгруэнциями. При этом любая собственная конгруэнция содержится в некоторой максимальной кон- груэнции. 22 Доказательство. Покажем, что для произвольной конгруэнции ρ на CP (X, S) если ρ∨ρD = 1, то ρ = 1. Действительно, пусть ρ ∨ ρD = 1. Тогда найдутся такие функции f1 , . . . , fn ∈ CP (X, S), что ∅ ρ f1 ρD f2 ρ f3 ρD . . . ρ fn ρD 0. Имеем (∅ + (f2 − f1 )) ρ (f1 + (f2 − f1 )) т. е. ∅ ρ f2 , откуда ∅ ρ f3 . Рассуждая аналогично, получаем ∅ ρ f4 , ∅ ρ f5 , . . . , ∅ ρ 0. Для любой функции f ∈ CP (X, S) имеем (f + ∅) ρ (f + 0) или ∅ ρ f , т. е. ρ = 1. Итак, любая собственная конгруэнция ρ содержится в собственной D-конгруэнции ρ ∨ ρD , и максималь- ные конгруэнции на CP (X, S) являются D-конгруэнциями. Подрешетка D-конгруэнций на CP (X, S) изоморфна решетке конгруэнций идемпотентного моно- полукольца h℘(X), ∩, ∩i. Поэтому в силу [13, лемма 3.1] максимальные D-конгруэнции на CP (X, S) будут двуxклассовыми. Предложение 6. Для любых топологического пространства X и топологического полукольца S ре- шетка Con CP (X, S) модулярна (дистрибутивна) тогда и только тогда, когда X одноэлементно и ре- шетка Con S модулярна (дистрибутивна). Доказательство. Достаточно доказать немодулярность решетки Con CP (X, S) для произвольных неодноэлементного топологического пространства X и топологического полукольца S. Возьмем в X двухэлементное подпространство Y = {x, y}. Получаем семиэлементную решетку Con CP (Y, S) = {0, ρ1 , ρ2 , ρ3 , ρ4 , ρ5 , 1}, где конгруэнции ρi , i = 1, 2, 3, 4, 5, заданы своими разбиениями: ρ1 = {C({x}, S) ∪ {∅}, C({y}, S), C(Y, S)}, ρ2 = {C({x}, S) ∪ {∅}, C({y}, S) ∪ C(Y, S)}, ρ3 = {C({y}, S) ∪ {∅}, C({x}, S) ∪ C(Y, S)}, ρ4 = {C({y}, S) ∪ {∅}, C({x}, S), C(Y, S)}, ρ5 = {C({x}, S) ∪ C({y}, S) ∪ {∅}, C(Y, S)}. Решетка Con CP (Y, S) содержит подрешетку {0, ρ1 , ρ2 , ρ3 , 1}, изоморфную пентагону, поэтому она не мо- дулярна. Далее, каждая из конгруэнций ρi продолжается до соответствующей конгруэнции σi на всем полукольце CP (X, S): конгруэнция σi имеет те же классы, что и конгруэнция ρi , а остальные ее классы одноэлементны. Поэтому гомоморфизм ограничения Con CP (X, S) → Con CP (Y, S) является решеточным эпиморфизмом, стало быть, решетка Con CP (X, S) также не модулярна. 3 Полукольца непрерывных частичных R-значных функций Рассмотрим некоторые аспекты теории полуколец CP (X) всех непрерывных частичных R-значных функций на T1 -пространствах X. Каждой функции f ∈ CP (X) соответствуют ее нуль-множество Z(f ) = f −1 (0) и конуль-множество coz f = X \ Z(f ). Топологическое пространства X называется P -пространством, если любое нуль- множество на X открыто. Известно, что для тихоновских пространств любое подмножество P-пространства X является P-пространством [15, chapter 14]. Поэтому имеет место Предложение 7. Тихоновское пространство X будет P-пространством тогда и только тогда, когда полукольцо CP (X) регулярно. Пространство X называется F-пространством, если любые два непересекающиеся конуль-множества на X функционально отдалимы. Не всякое подмножество F-пространства само будет F-пространством [15, chapter 14]. Топологическое пространство X называется наследственным F-пространством, если любое подпространство в X является F-пространством. Теорема А. [2, теорема 1] Топологическое пространство X является F-пространством тогда и только тогда, когда решетка Id C(X) всех идеалов кольца C(X) дистрибутивна. Теорема 1. Для любого топологического пространства X решетка идеалов Id CP (X) дистрибутивна тогда и только тогда, когда X — наcледственное F-пространство. Доказательство. Пусть решетка идеалов Id CP (X) дистрибутивна и Y — произвольное подпростран- ство в X. Заметим, что решетка Id CP (Y ) изоморфна подрешетке {J ∪ (CP (Y ) \ C(Y ) : J — идеал кольца C(Y )} решетки Id CP (X). Поэтому решетки Id CP (Y ) дистрибутивны для всех подпространств Y ⊆ X. По теореме А заключаем, что X — наcледственное F-пространство. Пусть теперь X — наcледственное F-пространство и A, B, C — произвольные идеалы полукольца CP (X). Покажем, что A ∧ (B ∨ C) ⊆ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C), т. е. A ∩ (B ∪ C ∪ (B + C)) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (A ∩ B + A ∩ C). Достаточно доказать, что A ∩ (B + C) ⊆ A ∩ B + A ∩ C. 23 Пусть для функции f ∈ A ∩ (B + C) выполняется равенство f = g + h, где g ∈ B и h ∈ C. Снова обозначим D = D(f ) = D(g) ∩ D(h). Функции geD , heD и f = geD + heD принадлежат кольцу C(D), для которого решетка идеалов Id C(D) дистрибутивна. Значит, для идеалов A0 = A ∩ C(D), B 0 = B ∩ C(D), C 0 = C ∩ C(D) из Id C(D) выполняется A0 ∩ (B 0 + C 0 ) ⊆ A0 ∩ B 0 + A0 ∩ C 0 . Получаем, что f ∈ A0 ∩ (B 0 + C 0 ) и f = g 0 + h0 для подходящих функций g 0 ∈ A0 ∩ B 0 = A ∩ B ∩ C(D), h0 ∈ A0 ∩ C 0 = A ∩ C ∩ C(D), т. е. f ∈ A ∩ B + A ∩ C. Значит, A ∩ (B + C) ⊆ A ∩ B + A ∩ C. Поэтому решетка Id CP (X) дистрибутивна. Теорема 2. Всякое T1 -пространство X определяется — однозначно с точностью до гомеоморфизма — решеткой Id CP (X). Доказательство. Элементы вида (eA ) = CP (A), A ⊆ X, решетки Id CP (X) суть в точности псевдодо- полнения в ней, а элементы вида (ex ) = CP ({x}), A ⊆ X — ее минимальные псевдодополнения. Конечно- порожденные идеалы полукольца CP (X) будут компактными элементами решетки Id CP (X). По предложению 1 пересечением идеалов, максимальных в подрешетке Id CP (A), A ⊆ X, будет идеал O(A) = (CP (A)\C(A))∪{θA }. Идеал P (A) = CP (A)\C(A) будет точной верхней гранью псевдодополнений решетки Id CP (X), содержащихся в идеале O(A). Невыполнение соотношения CP (A) > (ex ) равносильно тому, что x ∈/ A. Идеал CP (A∪{x}) является наименьшим из псевдодополнений J, для которых J > CP (A) и J > (ex ). В силу леммы 1 множество A ⊆ X замкнуто тогда и только тогда, когда для всех x ∈ X  x∈/ A ⇒ ∃e ∈ (eA∪{x} ) (e(A) = {1})∧(e(x) = 0) . (1) Покажем, что замкнутость множества A ⊆ X эквивалентна выполнению следующего условия (*): Для любого идеала (ex ), x ∈ X, не удовлетворяющего условию CP (A) > (ex ), найдется такой конечнопорожденный идеал (f1 , . . . , fn ) 6 CP (A ∪ {x}), что (f1 , . . . , fn ) ∨ P (A) является максимальным идеалом в CP (A ∪ {x}) и не выполняется условие (f1 , . . . , fn ) ∨ P (A) > (ex ). Пусть множество A замкнуто в X. Возьмем произвольную точку x ∈ X \ A. Рассмотрим функцию e из критерия (1). Получаем главный идеал (e) 6 (eA∪{x} ), для которого не выполняется соотношение(e) ∨ P (A) > (ex ) и (e) ∩ C(A ∪ {x}) = Mx = {f ∈ C(A ∪ {x}) : f (x) = 0} — максимальный идеал в кольце C(A ∪ {x}). Ясно, что (e)∨P (A) является максимальным идеалом в CP (A∪{x}). Значит, выполняется условие (*). Обратно, пусть для множества A ⊆ X выполняется условие (*). Среди функций f1 , . . . , fn ∈ CP (A∪{x}) найдутся функции из C(A ∪ {x}). Рассмотрим эти функции fi1 , . . . , fik и соответствующий идеал I = (fi1 , . . . , fik ) кольца C(A ∪ {x}). Идеал I = (fi1 , . . . , fik ) = (f1 , . . . , fn ) ∩ C(A ∪ {x}) — максимальный в кольце C(A ∪ {x}). Поскольку не выполняется (f1 , . . . , fn ) > (ex ), то fi (x) = 0 для любого i = i1 , . . . , ik , стало быть, I ⊆ Mx . Поэтому I = Mx . Идеал Mx = I = (fi1 , . . . , fik ) является главным в кольце C(A ∪ {x}). Действительно, положим q g = 3 fi21 + . . . + fi2k ∈ C(A ∪ {x}). Для каждой функции fi при i = i1 , . . . , ik найдется такая функция hi ∈ C(A ∪ {x}), что fi = hi g: √  s 0, x ∈ Z(fi ), q 3 fi3 fi hi (x) = и |hi | = 3 fi2 + P 2 6 3 fi2 = | 3 fi | на cozfi . fi /g, x ∈ cozfi j6=i fj Поскольку {hi (xj )} → 0 для любой точки y ∈ Z(fi ) и произвольной направленности {xj } → y, то функция hi непрерывна на A ∪ {x}. √ Получаем Mx = (g). Функция g положительна на A и равна 0 в точке x. При этом g = hg для некоторой функции h ∈ C(A ∪ {x}). Имеем g = (h g)g и h g — идемпотент, причем (h g)(x) = 0 и (h2 g)(A) = {1}. Зна- 2 2 2 чит, множество A замкнуто во всех подпространствах A ∪ {x} T1 -пространства X, x ∈ / A. Следовательно, A замкнуто в X. Тем самым T1 -пространство X можно сконструировать как множество {(ex ) : x ∈ X} с системой за- мкнутых множеств — псевдодополнений (eA ), соответствующих замкнутым множествам A ⊆ X. Следствие 2. ([5, теорема 1]). Любое T1 -пространство X определяется полукольцом CP (X). Рассмотрим на полукольце CP (X) естественный порядок 6: f 6 g ⇔ (D(f ) ⊆ D(g))∧(f (x) 6 g(x)) 24 для x ∈ D(f ). Порядок 6 порождает операцию ∧: D(f ∧ g) = D(f ) ∩ D(g), (f ∧ g)(x) = min(f (x), g(x)) для всех x ∈ D(f ∧ g). Получаем нижнюю полурешетку hCP (X), ∧i с наименьшим элементом ∅. Упорядоченное множество {eA : A ⊆ X} всех унитарных идемпотентов изоморфно булеану ℘(X) про- странства X. Для любых A, B ⊆ X имеем eA ∧ eB = eA∩B , eA ∨ eB = eA∪B . Отметим, что для произвольного тихоновского пространства X существование f ∨ g = sup(f, g) относи- тельно порядка 6 для всех f, g ∈ CP (X) равносильно дискретности пространства X. Для антидискретных топологических пространств X операция ∨ на CP (X) также определена. Полукольцевой гомоморфизм α : CP (X) → CP (Y ), сохраняющий единицу 1, назовем ∨-полным, если α сохраняет точную верхнюю грань любого множества {eA : A ∈ F }, F ⊆ ℘(X), унитарных идемпотентов:  _  _ α eA = α(eA ). A∈F A∈F Любое непрерывное отображение ϕ : Y → X топологических пространств индуцирует полукольцевой гомоморфизм ϕ : CP (X) → CP (Y ) по правилу ϕ(f )(y) = f (ϕ(y)) для любой функции f ∈ CP (X) и всех y ∈ D(ϕ(f )) = ϕ−1 (D(f )), т. е. ϕ(f ) = f ◦ ϕ. Ясно, что индуцированные гомоморфизмы сохраняют функции-константы, унитарные идемпотенты eA , A ⊆ X, переводят в унитарные идемпотенты eB , где B = ϕ−1 (A) ⊆ Y , поглощающий элемент в погло- щающий. Предложение 8. Для произвольного T1 -пространства X полукольцевой гомоморфизм CP (X) → CP (Y ) будет индуцированным тогда и только тогда, когда он является ∨-полным. Доказательство. Пусть полукольцевой гомоморфизм α : CP (X) → CP (Y ) индуцирован отображени- S ϕ : Y → X. Тогда α сохранят единицу ем −1 1. Для любого множества F подмножеств A ⊆ X обозначим A∈F A = D. Тогда D(α(∨eA )) = ϕ (D(∨eA )) = ϕ−1 (D). Для любой точки y ∈ ϕ−1 (D) имеем α(∨eA )(y) = α(eD )(y) = (eD )(ϕ(y)) = 1 = ∨eA (ϕ(y)) = ∨α(eA )(y). Значит, α является ∨-полным. Пусть полукольцевой гомоморфизм α : CP (X) → CP (Y ) является ∨-полным. Тогда для любой точки y ∈ Y найдется точка x ∈ X, такая, что α(ex ) = eB , B ⊆ Y, y ∈ B. Действительно, существование точки y ∈ Y такой, что для любого x ∈ X α(ex ) = eB , B ⊆ Y \ {y}, противоречит ∨-полноте гомоморфизма: _  α ex = 1 6= ∨x∈X α(ex ) = eC , y ∈/ C. x∈X Для различных точек x1 , x2 ∈ X имеем α(ex1 )α(ex2 ) = α(ex1 ex2 ) = α(∅) = ∅. Таким образом, для любого y ∈ Y найдется единственный x ∈ X такой, что α(ex ) = eB , B ⊆ Y, y ∈ B. Зададим отображение ϕ : Y → X по правилу ϕ(y) = x ⇔ ∃B ⊆ Y, y ∈ B α(ex ) = eB . Покажем, что отображение ϕ непрерывно в каждой точке y ∈ Y . То есть для любой окрестности U точки α(y) ∈ X множество W = ϕ−1 (U ) открыто. Имеем: W открыто в Y тогда и только тогда, когда Y \ W замкнуто, что, в свою очередь, равносильно истинности импликации  eY \W ey = ∅ ⇒ ∃f ∈ CP (Y ) (f eY \W = eY \W )∧(∅ = 6 f ey 6= ey ) для каждой функции ey ∈ CP (Y ). Иными словами, для каждого элемента y ∈ Y найдется такая функ- ция f ∈ CP (Y ), что  y ∈ W ⇒ ∃ (f (Y \ W ) = 1)∧(f (y) = 0) . (2) 25 Зафиксируем произвольную точку y 0 ∈ W , обозначим x0 = ϕ(y 0 ) ∈ U . В CP (X) возьмем функцию f такую, что D(f ) = (X \ U ) ∪ {x0 }, f (X \ U ) = 1, f (x0 ) = 0. Имеем eϕ−1 (x0 ) = α(ex0 ) = α(θx0 + ex0 ) = θC + eϕ−1 (x0 ) , α(θx0 ) = θC для некоторого C ⊆ Y , т. е. y 0 ∈ ϕ−1 (x0 ) ⊆ C. Для функции α(f ) ∈ CP (Y ) получаем α(f )(y 0 ) = α(f )(eϕ−1 (x0 ) )(y 0 ) = α(f )α(ex0 )(y 0 ) = α(f ex0 )(y 0 ) = α(θx0 )(y 0 ) = 0. Так как W = ϕ−1 (U ), то для любой точки y 00 ∈ / W получаем, что x00 = ϕ(y 00 ) ∈ / U и α(ex00 ) = eB , y ∈ B. Для любой y 00 ∈ Y \ W получаем α(f )(y 00 ) = α(f ex00 )(y 00 ) = α(ex00 )(y 00 ) = 1. Итак, W удовлетворяет условиям (2), т. е. открыто. Обозначим через K категорию всех T1 -пространств X и их непрерывных отображений ϕ, а через C — категорию всех полуколец CP (X) и их ∨-полных гомоморфизмов α. Для любых непрерывных отображений ψ : Z → Y и ϕ : Y → X имеем ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ. Поэтому соответствие F, F(X) = CP (X) и F (ϕ) = ϕ является контрвариантным функтором из категории K в категорию C. В результате получаем следующую теорему двойственности. Теорема 3. Категория всех T1 -пространств X и их непрерывных отображений антиэквивалентна (двойственна) категории полуколец CP (X) с ∨-полными гомоморфизмами в качестве морфизмов. 4 Дополнения 4.1 Определяемость Теме определяемости топологических пространств различными алгебраическими системами непрерыв- ных функций на них посвящен обзор [3]. Определяемость топологических пространств полугруппами непрерывных частичных функций рассматривалась в [4]. Для произвольного топологического полукольца S с замкнутой единицей T1 -пространства X определяются полукольцами CP (X, S) [5]. Наша теорема 2 утверждает определяемость T1 -пространств X решеткой идеалов полуколец CP (X). Наконец, имеет место теорема из статьи [9], показывающая, что любое T1 -пространство X определяется абсолютно, т. е. в классе всевозможных топологических пространств, решеткой подалгебр полукольца CP (X). При этом подалгеб- рой полукольца CP (X) называется произвольное подполукольцо в CP (X), возможно пустое, выдержива- ющее умножение на числа-константы из R. Но T0 -пространства X не обязаны определяться полукольцами CP (X) [9, примеры 2 и 3]. Напомним, что топологическое пространство называется T0 -пространством, если для любых его различных точек существует открытое множество, содержащее ровно одну из данных точек. Заметим, что T1 -пространства являются T0 -пространствами. Остается открытым вопрос об определяемости T1 -пространств X решеткой конгруэнций полуколец CP (X). 4.2 Полукольца CP (X, R+ ) Предложение 7 и теорема 1 верны и для полуколец CP (X, R+ ), но следствие 1 для CP (X, R+ ), вообще говоря, не имеет места. Нам понадобится следующий результат, полученный В. И. Варанкиной: Теорема Б. [1, теорема 2.1] Для всякого топологического пространства X равносильны следующие условия: 1) решетка идеалов полукольца C(X, R+ ) дистрибутивна; 2) решетка идеалов полукольца C(X, R+ ) модулярна; 3) пространство X будет F-пространством. Предложение 9. Для любого топологического пространства X эквивалентны следующие утвержде- ния: 1) решетка идеалов полукольца CP (X, R+ ) дистрибутивна; 2) решетка идеалов полукольца CP (X, R+ ) модулярна; 3) пространство X является наследственным F-пространством. Доказательство. Ясно, что 1) ⇒ 2). 2) ⇒ 3). Предположим, что решетка Id CP (X, R+ ) модулярна. Тогда, как и в начале доказательства теоремы 1, модулярна и решетка Id C(Y, R+ ) для любого подпространства Y пространства X. По теореме Б все подпространства Y в X являются F-пространствами, т. е. X будет наследственным F-пространством. Импликация 3) ⇒ 1) доказывается точно так же, как и в теореме 1. Заметим также, что для полуколец CP (X, R+ ) справедлив аналог теоремы 3 о двойственности. 26 4.3 К теории полуколец CP (X, S) Актуальной является задача исследования свойств полуколец CP (X, S) непрерывных частичных функ- ций со значениями в других числовых полукольцах S с интервальной топологией, в частности в полуполе P всех положительных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения чисел. За- метим, что на R+ и P можно также взять сложение max вместо обычного сложения +. Общее направление изучения полуколец CP (X, S), начатое в параграфе 2, допускает дальнейшее развитие. Благодарности Работа выполнена при поддержке госзадания Минобрнауки РФ «Функциональная алгебра и полу- кольца» № 1.1375.2014/К, и в рамках госзадания Минобрнауки РФ «Полукольца и их связи», проект № 1.5879.2017/8.9. Список литературы [1] V. I. Varankina, E. M. Vechtomov, I. A. Semenova. Semirings of continuous nonnegative functions: divisibility, ideals, congruences. Fundam. Prikl. Mat., 4:2: 493–510, 1998 (in Russian). = В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов, И. А. Семенова. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции. Фундамент. и прикл. матем., 4:2: 493–510, 1998. [2] E. M. Vechtomov. Distributive rings of continuous functions and F -spaces. Mat. Zametki, 34:3: 321–332, 1983 (in Russian). = Е. М. Вечтомов. Дистрибутивные кольца непрерывных функций и F-пространства. Матем. заметки, 34:3: 321–332, 1983. [3] E. M. Vechtomov. Questions on the determination of topological spaces by algebraic systems of continuous functions. Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Algebra. Topol. Geom., 28: 3–46, 1990 (in Russian). = Е. М. Вечто- мов. Вопросы определяемости топологических пространств алгебраическими системами непрерывных функций. Итоги науки и техн, ВИНИТИ. Адгебра. Геометрия. Топология, 28: 3–46, 1990. [4] E. M. Vechtomov. On semigroups of continuous partial functions of topological spaces. Uspekhi Mat. Nauk, 45:4(274): 143–144, 1990 (in Russian). = Е. М. Вечтомов. О полугруппах непрерывных частичных функций на топологических пространствах. Успехи матем. наук, 45:4(274): 143–144, 1990. [5] E. M. Vechtomov, E. N. Lubyagina. About semirings of partial functions. Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Computer science. 1 (19): 3–11, 2014 (in Russian). = Е. М. Вечтомов, Е. Н. Лубягина. О полукольцах частичных функций. Вестн. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1: Матем. Мех. Инф., 1 (19): 3–11, 2014. [6] E. M. Vechtomov, E. N. Lubyagina. Semirings of Partial Functions. Materials of the XIII International Conference «Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: Modern Problems and Applications», dedicated to S. S. Ryshkov, TGPU, Tula: 148-150, 2015 (in Russian). = Е. М. Вечтомов, Е. Н. Лубягина. Полукольца частичных функций. Материалы XIII Международной конференции «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», посвященной С. С. Рышкову, ТГПУ, Тула: 148-150, 2015. [7] E. M. Vechtomov, E. N. Lubyagina. On the category of semirings of continuous partial numerical functions. Materials of Internat. Conf. On algebra, analysis and geometry, dedicated to the anniversaries of outstanding professors of the Kazan University, mathematicians Peter Alekseevich (1895-1944) and Alexander Petrovich (1926-1998) Shirokovs, Izd. Akad. Sciences of the Republic of Tatarstan, Kazan: 128–129, 2016 (in Russian). = Е. М. Вечтомов, Е. Н. Лубягина. О категории полуколец непрерывных частичных числовых функ- ций. Материалы медунар. конф. по алгебре, анализу и геометрии, посвященной юбилеям выдающихся профессоров Казанского ун-та, математиков Петра Алексеевича (1895–1944) и Александра Петро- вича (1926–1998) Широковых, Изд-во Акад. наук РТ, Казань: 128–129, 2016. [8] E. M. Vechtomov, E. N. Lubyagina. On semirings of continuous partial real-valued functions. Algebra and logic: theory and applications, Proceedings of the Internat. Conf., Dedicated. To the 70th anniversary of V. M. Levchuk, Siberian Federal University, Krasnoyarsk: 11-12, 2016 (in Russian). = Е. М. Вечтомов, Е. Н. Лубягина. О полукольцах непрерывных частичных действительнозначных функций. Алгебра и 27 логика: теория и приложения, тез. докл. Междунар. конф., посвящ. 70-летию В. М. Левчука, Сиб. федерал. ун-т, Красноярск: 11–12, 2016. [9] E. M. Vechtomov, E. N. Lubyagina. Determinability of T1 -spaces by the lattice of subalgebras of semirings of continuous partial real-valued functions on them. Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Computer science., 1(22): 21-28, 2017 (in Russian). = Е. М. Вечтомов, Е. Н. Лубягина. Опреде- ляемость T1 -пространств решеткой подалгебр полуколец непрерывных частичных действительнознач- ных функций на них. Вестн. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1: математика, механика, информатика, 1(22): 21–28, 2017. [10] E. M. Vechtomov, E. N. Lubyagina, V. V. Sidorov, D. V. Chuprakov. Elements of a functional algebra, Vol. 1, Raduga-Press, Kirov, 2016 (in Russian). = Е. М. Вечтомов, Е. Н. Лубягина, В. В. Сидоров, Д. В. Чупраков. Элементы функциональной алгебры, т. 1, Радуга-ПРЕСС, Киров, 2016. [11] E. M. Vechtomov, E. N. Lubyagina, V. V. Sidorov, D. V. Chuprakov. Elements of a functional algebra, Vol. 2, Raduga-Press, Kirov, 2016 (in Russian). = Е. М. Вечтомов, Е. Н. Лубягина, В. В. Сидоров, Д. В. Чупраков. Элементы функциональной алгебры, т. 2, Радуга-ПРЕСС, Киров, 2016. [12] E. M. Vechtomov, E. N. Lubyagina, V. V. Chermnykh. Elements of the theory of semirings, Raduga-PRESS, Kirov, 2012 (in Russian). = Е. М. Вечтомов, Е. Н. Лубягина, В. В. Чермных. Элементы теории полуколец, Радуга-ПРЕСС, Киров, 2012. [13] E. M. Vechtomov, A. A. Petrov. Multiplicatively idempotent semirings. Fundam. Prikl. Mat., 18(4):41-70, 2013 (in Russian). = Е. М. Вечтомов, А. А. Петров. Мультипликативно идемпотентные полукольца. Фундаментальная и прикладная математика, 18(4): 41–70, 2013. [14] R. Engelking. General topology. Mir, Moscow, 1986 (in Russian). = Р. Энгелькинг. Общая топология. Мир, Москва, 1986. [15] L. Gillman, M. Jerison. Rings of Continuous Functions. New York, 1976. 28 Semirings of continuous partial real-valued functions Evgenii M. Vechtomov, Elena N. Lubyagina Vyatka State University (Kirov, Russia) Keywords: semiring, ideal, congruence, lattice, T1 -space, field of real numbers, continuous partial function, definability, duality. The paper is devoted to the general theory of semirings of continuous functions. We study semirings CP (X, S) of continuous partial functions on topological spaces X with values in topological semirings S. We explore their ideals and congruences. The main attention is paid to semirings CP (X) = CP (X, R). We show that the distributivity of the lattice of all ideals of a semiring CP (X) is equivalent to the fact that X is a hereditary F -space. We prove the definability of any T1 -space X by the lattice of all ideals of a semiring CP (X). A duality between the category of all T1 -spaces X and their continuous mappings and the category of all semirings CP (X) with ∨-complete homomorphisms considered as morphisms is established. 29