Тригонометрические полиномы наилучшего одностороннего интегрального приближения обобщенного ядра Пуассона

Abstract

В данной работе вычисляются коэффициенты тригонометрических полиномов, которые являются экстремальными в задаче наилучшего одностороннего интегрального приближения обобщенного ядра Пуассона. Указанные полиномы представимы в виде специальных тригонометрических дробей и для нахождения их коэффициентов применяется теория разностных уравнений. Подобного рода задачи возникают не только в теории приближений, но и в теории чисел, теории кодирования и других областях математики.

-

Обозначения

+ kX1=1 qk cos kt = 2(1 21q coqs2t + q2) ; Q(t) = kX1=1 qk sin kt = 1 2qq csionstt + q2 ; jqj < 1: Обобщенным ядром Пуассона называется следующая линейная комбинация ядер P; Q : q; (t) = cos

P (t) + sin

Q(t) = 2 2 (1 q2) cos 2 + 2q sin 2 sin t 2(1 2q cos t + q2) ; jqj < 1; (1) (2) (3) (4) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) Учитывая свойства ( 6 ), ( 7 ), ( 8 ) несложно понять, что задача во всех допустимых случаях изменения параметров q и ; сводятся к рассмотрению следующего случая: (1 2qn cos 2 + (1 + q2n) cos 2 ( 9 ) ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) ( 13 ) (14) (15) Заметим, что в силу (3) ядро q; тоже является тригонометрической дробью, знаменатель которой совпадает (с точностью до постоянного множителя) со знаменателем дроби B: Поэтому разность q; B представляет собой тригонометрическую дробь, числитель которой есть тригонометрический полином порядка n; а знаменатель тригонометрический полином первого порядка. В [3] доказано, что указанная дробь является тригонометрическим полиномом1 порядка n 1; причем наилучшим образом приближающий снизу функцию q; в интегральной метрике. Иными словами, для полинома q; 2 Tn 1 наилучшего интегрального приближения снизу функции q; имеет место представление Кроме того, в [3] анонсировано утверждение, что полином

q; (t) = q; (t) B(t): q; (t) := (1 q2n) q; (t) = (1 q2n) q; (t) B(t) представим в виде суммы2 при любых n 2 N; q 2 ( 1; 1);

2 R: q; (t) = (1 + q2n) cos 2 2

k=1 2qn + nX1 qk 1 q2(n k) h (1 + q2n) cos 2 1 q2n 2qn cos kt + sin 2 sin kti Цель данной заметки заключается в доказательстве этой формулы. 4

Доказательство формулы (14) В справедливости формулы (14) при n = 1 несложно убедиться с помощью утверждения ( 10 ). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать случай n 2: Запишем полином ( 13 ) в виде

n 1 n 1 q; (t) = a0 + X ak cos kt + X bk sin kt:

2 k=1 k=1 Требуется найти коэффициенты ak; bk; и убедиться, что они совпадают с соответствующими коэффициентами разложения (14).

Подставив в правую часть равенства ( 13 ) выражения (3), ( 11 ) для функций q; ; B; а затем приравняв полученное выражение к правой части формулы (15), придем к равенству 1То есть знаменатель указанной дроби делит числитель без остатка. 2Сумма, у которой верхний предел суммирования меньше нижнего считается равной нулю. 2(1 q2) cos 2 + 2q sin 2 sin t 2q cos t + q2) 3Иными словами, применим к обеим частям равенства (16) преобразования вида f(t) +2f( t) ; f(t) 2f( t) : : ; (16) (17) (18) (19) (20) (21) Отсюда с учетом определения (20) функции F и равенства (19) прийдем к системе уравнений n 8 >>> b0 > > > <

bk 1 > > > >:>> bn 1 2 которые следуют из последнего уравнения в (22) и условий (21).

Согласно теории разностных уравнений с постоянными коэффициентами (см. [8, гл. 5, § 4, c. 329–347]) сначала находим характеристическое уравнение, которое возникает при замене bk = k в однородном уравнении (23) А именно, Список литературы

Работа выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00702). [1] V.V. Arestov. Extremal properties of nonnegative trigonometric polynomials. Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics, 1: 50–70, 221, 1992 (in Russian). = В.В. Арестов. Об экстремальных свойствах неотрицательных тригонометрических полиномов Труды ИММ УрО РАН, 1:50–70, 1992. [2] A.G. Babenko. Jackson’s inequality for mean-square approximations of periodic functions by trigonometric polynomials on a uniform grid. Math. Notes, 43(4):264–272, 1988. = А.Г. Бабенко. Неравенство Джексона для среднеквадратичных приближений периодических функций тригонометрическими полиномами на равномерной сетке. Матем. заметки, 43(4): 460–473, 1988. [3] A.G. Babenko, T. Z. Naum. One-sided integral approximations of the generalized Poisson kernel by trigonometric polynomials. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 22(4):53–63, 2016. = А.Г. Бабенко, Т.З. Наум. Односторонние интегральные приближения обобщенного ядра Пуассона тригонометрическими полиномами. Труды Института матем. и мех. УрО РАН, 22(4):53–63, 2016. [4] N.A. Baraboshkina. L-approximation of a linear combination of the Poisson kernel and its conjugate kernel by trigonometric polynomials. Proc. Steklov Instit. Math, 273(suppl. 1):59–67, 2011. = Н.А. Барабошкина. Приближение в L линейной комбинации ядра Пуассона и его сопряженного тригонометрическими полиномами Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 16(4):79–86, 2010.

Trigonometric polynomials of the best approximations of the generalized Poisson kernel integral Alexander G. Babenko1, Tatiana Z. Naum1;2 1 – Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics (Yekaterinburg, Russia) 2 – Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia) Keywords: approximation with constraints, trigonometric polynomials, generalized Poisson kernel.

In this paper we calculate the coefficients of trigonometric polynomials that are extremal in the problem of the best one-sided integral approximation of the generalized Poisson kernel. These polynomials are representable in the form of special trigonometric fractions and the theory of difference equations is used to find their coefficients. Similar problems arise not only in approximation theory, but also in number theory, coding theory and other areas of mathematics.

References

[5] J.H. Conway , N.J.A. Sloane . Sphere Packings, Lattices and Groups . Springer Verlag, New York, 1988 . = Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы . Т. 1 , 2 . Мир, Москва, 1990 .

[6] N.I. Chernykh. Best approximation of periodic functions by trigonometric polynomials in L2: Math. Notes , 2 ( 5 ): 803 - 808 , 1967 . = Н.И. Черных. О наилучшем приближении периодических функций тригономет- рическими полиномами в L2: Мат . заметки, 2 ( 5 ): 513 - 522 , 1967 .

[7] V.G. Doronin , A.A. Ligun . Exact values of best one-sided approximations of certain classes of periodic functions . Soviet Mathematics , 23 ( 8 ): 20 - 25 , 1979 . = В.Г. Доронин, А.А. Лигун. Точные значения наи- лучших односторонних приближений некоторых классов периодических функций . Изв. вузов. Мате- матика , 8 ( 207 ): 20 - 25 , 1979 .

[8] A.O. Gel 'fond . Finite Difference Calculus. Gosudarstv. Izdat. Fiz .-Mat. Lit., Moscow, 1959 (in Russian). = А .О. Гельфонд Исчисление конечных разностей . Гос . изд-во Физ . -мат . лит., Москва , 1959 .

[9] G.A. Kabatyanskii , V.I. Levenstein . On the Bounds of Packings on a Sphere and in Space. Problemy Peredachi Inform ., 14 ( 1 ): 3 - 25 , 1978 (in Russian). = Г.А. Кабатянский , В.И. Левенштейн. О границах для упаковок на сфере и в пространстве . Проблемы передачи информации , 14 ( 1 ): 3 - 25 , 1978 .

[10] N.P. Korneichuk , A.A. Ligun , V.G. Doronin . Approximation with Constraints . Naukova Dumka , Kiev, 1976 (in Russian). = Н.П. Корнейчук , А.А. Лигун, В.Г. Доронин. Аппроксимация с ограничениями . Наукова думка, Киев , 1982 .

[11] S.B. Stechkin . Some extremal properties of positive trigonometric polynomials . Math. Notes , 7 ( 4 ): 248 - 255 , 1970 . = С.Б. Стечкин. О некоторых экстремальных свойствах положительных тригонометрических полиномов . Матем. заметки , 7 ( 4 ): 411 - 422 , 1970 .

[12] V.A. Yudin . The minimum of potential energy of a system of point charges . Discrete Math. Appl. , 3 ( 1 ): 75 - 81 , 1993 . = В.А. Юдин. Минимум потенциальной энергии точечной системы зарядов . Дискретная математика , 4 ( 2 ): 115 - 121 , 1992 .

[13] A. Zygmund . Trigonometric series, 2nd ed., Vol. 1 , 2 , Cambridge University Press, New York, 1959 . = А. Зигмунд. Тригонометрические ряды: в 2 т . / пер. с англ., Мир , Москва, 1965 .