Введение

В различных разделах математики возникают экстремальные задачи с ограничениями не только на значения функций, но и на значения их коэффициентов (преобразования) Фурье. Это относится, например, к теории приближений функций (см. [6], [10]), теории кодирования (см. [9], [5], [12]) и теории чисел (см. [11], [1]). Довольно часто, подозрительными на экстремум являются тригонометрические полиномы, представимые в виде отношения двух тригонометрических полиномов. Поэтому важно знать способы нахождения коэффициентов таких полиномов. Один из таких способов основан на применении теории разностных уравнений, который применялся, например при доказательстве утверждения 1) леммы 3 из работы [2]. Здесь этим способом находятся коэффициенты тригонометрических полиномов, которые являются экстремальными в задаче наилучшего одностороннего интегрального приближения обобщенного ядра Пуассона. Подробнее. В 1979 г. В. Г. Доронин и А. А. Лигун [7, лемма 3] (см. формулы (4) ниже) нашли наилучшие односторонние интегральные приближения классического ядра Пуассона тригонометрическими полиномами заданного порядка. В работе авторов [3] (см. формулы (5) ниже) решена аналогичная задача о величинах наилучших односторонних интегральных приближений обобщенного ядра Пуассона, представляющего собой линейную комбинацию ядра Пуассона и сопряженного ядра Пуассона. В частности, в [3] доказывается формула для соответствующего полинома наилучшего приближения снизу в виде разности двух дробей. После приведения к общему знаменателю эту разность можно преобразовать в тригонометрическую дробь. Кроме того, в [3, теорема] анонсировано представление указанного полинома в виде суммы по синусам и косинусам. В данной заметке приводится развернутое доказательства этого представления.

ОбозначенияПусть T = [−π, π) период длины 2π, C пространство 2π-периодических непрерывных ве- щественнозначных функций; L пространство 2π-периодических измеримых вещественнозначных функций с нормой f = 1 2π T |f (t)| dt; T n подпространство тригонометрических полиномов τ (t) = a 0 + n ν=1 (a ν cos νt + b ν sin νt) порядка не выше n с вещественными коэффициентами. В дальней- шем равенство g = f (неравенство g ≤ f ) для g, f ∈ C означает, что g(x) = f (x) g(x) ≤ f (x) при всех x ∈ R.

Величины наилучшего (интегрального) приближения, наилучшего приближения снизу и сверху функции g ∈ C подпространством T n−1 , n ∈ N, определяются соответственно следующим образом:

E n−1 (g) = inf τ ∈Tn−1 g − τ , E − n−1 (g) = inf τ ∈Tn−1, τ ≤g g − τ , E + n−1 (g) = inf τ ∈Tn−1, g≤τ g − τ .(1)

Тригонометрические полиномы, реализующие точные нижние грани в правых частях равенств (1), называются полиномами наилучшего (интегрального) приближения функции g и наилучшего одностороннего приближения (снизу и сверху) соответственно.

Символами P и Q будем обозначить ядро Пуассона и сопряженное ядро Пуассона, которые опредяляются соответственно формулами (см. [13, т. 1, гл. 1, § 1, с. 12; гл. 3, § 6, формулы (6.2), (6.3)])

P (t) = 1 2 + ∞ k=1 q k cos kt = 1 − q 2 2(1 − 2q cos t + q 2 ) , Q(t) = ∞ k=1 q k sin kt = q sin t 1 − 2q cos t + q 2 , |q| < 1.

(

)2

Обобщенным ядром Пуассона называется следующая линейная комбинация ядер P, Q :

Π q,α (t) = cos απ 2 P (t) + sin απ 2 Q(t) = (1 − q 2 ) cos απ 2 + 2q sin απ 2 sin t 2(1 − 2q cos t + q 2 ) , |q| < 1, α ∈ R.(3)

Постановка задачи

История, относящаяся к одностороннему приближению функций полиномами содержится в монографии [10]. Здесь приведем лишь один результат, имеющий непосредственное отношение к теме данной заметки. В конце 70-х годов прошлого века В. Г. Доронин и А. А. Лигун нашли величины наилучшего интегрального приближения снизу и сверху ядра Пуассона P = Π q,0 тригонометрическими полиномами. А именно, они доказали [7, лемма 3] (см. [10, теорема 3.2.2]), что

E − n−1 (P ) = q n 1 + q n , E + n−1 (P ) = q n 1 − q n , 0 < q < 1, n ∈ N.(4)

Недавно авторы получили аналогичный результат для обобщенного ядра Пуассона. В частности, было доказано [3, теорема], что при любых n ∈ N, q ∈ (−1, 1), α ∈ R выполняются равенства

E − n−1 (Π q,α ) = |q| n 1 − q 2n 1 − |q| n cos απ 2 , E + n−1 (Π q,α ) = |q| n 1 − q 2n 1 + |q| n cos απ 2 .(5)

При этом полином τ + q,α ∈ T n−1 наилучшего интегрального приближения сверху функции Π q,α связан с полином τ − q,α+2 ∈ T n−1 наилучшего приближения снизу функции Π q,α+2 равенством

τ + q,α = −τ − q,α+2 , поскольку Π q,α+2 (t) = −Π q,α (t), q ∈ (−1, 1), α, t ∈ R.(6)

Поэтому достаточно исследовать лишь задачу приближения снизу. Кроме того, в силу следующего легко проверяемого соотношения:

Π q,α (t + π) = Π −q,α (t), q ∈ (−1, 1), α, t ∈ R,(7)

выполняются равенства

E − n−1 (Π q,α ) = E − n−1 (Π −q,α ) = E − n−1 (Π |q|,α ) при q ∈ (−1, 1), α, t ∈ R.(8)

Учитывая свойства ( 6), ( 7), ( 8) несложно понять, что задача во всех допустимых случаях изменения параметров q и α, сводятся к рассмотрению следующего случая:

q ∈ (0, 1), α ∈ [0, 4];(9)

здесь также учтено, что в случае q = 0 решение задачи является тривиальным. Ясно также, что в случае n = 1 полином τ − q,α ∈ T 0 наилучшего интегрального приближения снизу ядра Π q,α является постоянной функцией, значение которой совпадает с глобальным минимумом ядра Π q,α , который известен [3, лемма 1], т. е.

τ − q,α (t) ≡ min ξ∈T Π q,α (ξ) = 1 + q 2 2(1 − q 2 ) cos απ 2 − q 1 − q 2 при n = 1, q ∈ (0, 1), α ∈ [0, 4].(10)

Обозначим через B = B q,α,n тригонометрическую дробь

B(t) = q n (1 − q 2 ) (1 − q 2n ) 2 • 1 + q 2n − 2q n cos απ 2 + (1 + q 2n ) cos απ 2 − 2q n cos nt + (1 − q 2n ) sin απ 2 sin nt 1 − 2q cos t + q 2 . (11)

Заметим, что в силу (3) ядро Π q,α тоже является тригонометрической дробью, знаменатель которой совпадает (с точностью до постоянного множителя) со знаменателем дроби B. Поэтому разность Π q,α − B представляет собой тригонометрическую дробь, числитель которой есть тригонометрический полином порядка n, а знаменатель тригонометрический полином первого порядка. В [3] доказано, что указанная дробь является тригонометрическим полиномом1 порядка n − 1, причем наилучшим образом приближающий снизу функцию Π q,α в интегральной метрике. Иными словами, для полинома τ − q,α ∈ T n−1 наилучшего интегрального приближения снизу функции Π q,α имеет место представление

τ − q,α (t) = Π q,α (t) − B(t).(12)

Кроме того, в [3] анонсировано утверждение, что полином

Υ q,α (t) := (1 − q 2n )τ − q,α (t) = (1 − q 2n ) Π q,α (t) − B(t)(13)

представим в виде суммы2

Υ q,α (t) = (1 + q 2n ) cos απ 2 − 2q n 2 + n−1 k=1 q k 1 − q 2(n−k) (1 + q 2n ) cos απ 2 − 2q n 1 − q 2n cos kt + sin απ 2 sin kt(14)

при любых n ∈ N, q ∈ (−1, 1), α ∈ R.

Цель данной заметки заключается в доказательстве этой формулы.

Доказательство формулы (14)

В справедливости формулы (14) при n = 1 несложно убедиться с помощью утверждения (10). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать случай n ≥ 2.

Запишем полином (13) в виде

Υ q,α (t) = a 0 2 + n−1 k=1 a k cos kt + n−1 k=1 b k sin kt. (15)

Требуется найти коэффициенты a k , b k , и убедиться, что они совпадают с соответствующими коэффициентами разложения (14). Подставив в правую часть равенства ( 13) выражения ( 3), (11) для функций Π q,α , B, а затем приравняв полученное выражение к правой части формулы (15), придем к равенству

a 0 2 + n−1 k=1 a k cos kt + n−1 k=1 b k sin kt = (1 − q 2n ) (1 − q 2 ) cos απ 2 + 2q sin απ 2 sin t 2(1 − 2q cos t + q 2 ) − − q n (1 − q 2 ) 1 − q 2n • 1 + q 2n − 2q n cos απ 2 + (1 + q 2n ) cos απ 2 − 2q n cos nt + (1 − q 2n ) sin απ 2 sin nt 1 − 2q cos t + q 2 . (16)

Приравняв четные и нечетные части функций, расположенных в обеих частях этого равенства 3 , получим следующие два равенства:

a 0 2 + n−1 k=1 a k cos kt = = (1 − q 2n )(1 − q 2 ) cos απ 2 2(1 − 2q cos t + q 2 ) − q n (1 − q 2 ) 1 − q 2n • 1 + q 2n − 2q n cos απ 2 + (1 + q 2n ) cos απ 2 − 2q n cos nt 1 − 2q cos t + q 2 , (17) n−1 k=1 b k sin kt = q(1 − q 2n ) sin απ 2 sin t − q n (1 − q 2 ) sin απ 2 sin nt 1 − 2q cos t + q 2 . (18)

Займемся поиском коэффициентов b k .

Рассмотрим сначала случай n ≥ 3. Умножим обе части равенства (18) на полином 1 q (2q cos t − 1 − q 2 ), в результате получим

1 q (2q cos t − 1 − q 2 ) n−1 k=1 b k sin kt = q n−1 (1 − q 2 ) sin απ 2 sin nt − (1 − q 2n ) sin απ 2 sin t.(19)

Функцию, расположенную в левой части этого равенства, обозначим через F, т. е. положим

F (t) = 1 q (2q cos t − 1 − q 2 ) n−1 k=1 b k sin kt.(20)

Используя известные тригонометрические формулы, преобразуем эту функцию

F (t) = n−1 k=1 2b k cos t sin kt − 1 + q 2 q n−1 k=1 b k sin kt = n−1 k=1 b k sin (k + 1)t + n−1 k=1 b k sin (k − 1)t − 1 + q 2 q n−1 k=1 b k sin kt = = n−1 k=1 b k sin (k + 1)t + n−1 k=2 b k sin (k − 1)t − 1 + q 2 q n−1 k=1 b k sin kt.

Отсюда, с помощью подходящих замен переменных суммирования, получим

F (t) = n k=2 b k−1 sin kt + n−2 k=1 b k+1 sin kt − 1 + q 2 q n−1 k=1 b k sin kt. Положив b 0 = 0, b n = 0, b n+1 = 0,(21)

перепишем выражение для F в виде

F (t) = n k=1 b k−1 sin kt + n k=1 b k+1 sin kt − 1 + q 2 q n k=1 b k sin kt = n k=1 b k−1 − 1 + q 2 q b k + b k+1 sin kt.

3 Иными словами, применим к обеим частям равенства (16) преобразования вида

f (t) + f (−t) 2 , f (t) − f (−t) 2 .

Отсюда с учетом определения (20) функции F и равенства (19) прийдем к системе уравнений n

               b 0 − 1 + q 2 q b 1 + b 2 = −(1 − q 2n ) sin απ 2 , b k−1 − 1 + q 2 q b k + b k+1 = 0 при k = 2, 3, . . . , n − 1, b n−1 − 1 + q 2 q b n + b n+1 = q n−1 (1 − q 2 ) sin απ 2(k−1 − 1 + q 2 q b k + b k+1 = 0 при k = 2, 3, . . . , n − 1,(23)с краевыми условиями b n−1 = q n−1 (1 − q 2 ) sin απ 2 , b n = 0,(24)= λ k в однородном уравнении (23) А именно, λ k−1 − 1 + q 2 q λ k + λ k+1 = 0, или λ k−1 λ 2 − 1 + q 2 q λ + 1 = 0. Поскольку λ k−1 = 0, то отсюда получаем уравнение λ 2 − 1 + q 2 q λ + 1 = 0,

которое и является характеристическим уравнением для конечно-разностного уравнения (23). Решения характеристического уравнения следующие: λ 1 = q, λ 2 = 1/q. Общее решение однородного уравнения (23) имеет вид

b k = C 1 λ k 1 + C 2 λ k 2 = q k C 1 + C 2 q k , где C 1 , C 2

произвольные постоянные. С помощью краевых условий (24) находим

C 1 = sin απ 2 , C 2 = −q 2n sin απ 2 .

Таким образом, получаем b k = (q k − q 2n−k ) sin απ 2 при k = 1, 2, . . . , n.

Осталось убедиться, что первое уравнение в системе (22) выполняется автоматически. Действительно, в силу (21) и (25) имеем b 0 = 0, b 1 = (q − q 2n−1 ) sin απ 2 , b 2 = (q 2 − q 2n−2 ) sin απ 2 .

Подставим эти коэффициенты в левую часть первого уравнения системы (22), в результате придем к равенствам b 0 − 1 + q 2 q b 1 + b 2 = − 1 + q 2 q (q − q 2n−1 ) sin απ 2 + (q 2 − q 2n−2 ) sin απ 2 = = q 2 − q 2n−2 − (1 + q 2 )(1 − q 2n−2 ) sin απ 2 = q 2 − q 2n−2 − 1 + q 2n−2 − q 2 + q 2n sin απ 2 = − 1 + q 2n sin απ 2 .

Отсюда видно, что первое уравнение в системе (22) выполняется. Проверка справедливости равенства (18) в случае n = 2 проводится аналогично. Равенство (17) проверяется по той же схеме, которая использовалась при доказательстве равенства (18). Таким образом, формула (14) доказана.