Рассматривается задача о точной оценке величины En 1(f ) наилучшего среднеквадратического приближения на периоде произвольной комплекснозначной 2 -периодической функции f 2 L2 тригонометрическими полиномами порядка не выше n 1 через е¨е неклассический модуль непрерывности !2m 1(f; ) в L2, порожд¨енный конечно-разностным оператором t;2m 1f (x) = P2m=0 1( 1) +1f (x + t): С помощью одного результата С. Н. Васильева (2001) здесь доказано, что при фиксированных n > 1 и m > 2 точное обобщенное неравенство Джексона выполняется при > 1:4 : Этот результат уточняет аналогичный результат Н. А. Барабошкиной (2001), получившей такое неравенство при > 2 : Случай m = 1 был полностью исследован Н. И. Черных (1967), который установил, что в этом случае в качестве можно взять любое число, удовлетворяющее неравенству > ; причем значение = является минимально возможным.
En 1(f ) 6 p 1 2m !2m 1 f; n
; f 2 L2; Пусть L2 с комплексными коэффициентами; n 1
P ckeikx порядка не выше n k= (n 1) En 1(f ) = inf nkf 2 Tn 1 o 1 (1) f (t)e ikt dt; сходится к ней по норме пространства L2; т. е. kf
Sn 1(f )k ! 0 при n ! 1; где Sn 1(f; x) = jkj6n 1 частная сумма порядка n 1 ряда (2); корме того, точная нижняя грань в правой части (1) достигается на единственном полиноме из Tn 1; совпадающим с частной суммой Sn 1(f ); и X fbkeikx 0
11=2
=
jkj>n
1
X 2k(f )
k=n
!1=2
; где
2k(f ) = jfbkj2 + jfb kj2
при k 2 N:
(2)
(
X
1 2j + 1
m 1 + X 2j 1
1 1 A : (см. [8, гл. 4, п. 4.1.5, с. 601, формула 10]), приходим (2j j=2 j=1 j=1 j=1 Произведя замену j0 = j + 1 индекса суммирования в первой сумме, расположенной в круглых скобках, вновь упростим выражение для m = 2m + mX1 1 : Отсюда и (15) следует (17).
2m 1 2j 1 3
Основной результат
В данной заметке с помощью результата С. Н. Васильева [3, теорема 1] доказано, что равенство (14)
сохранится, если точку 2 в последнем аргументе K заменить на точку 1:4 : А именно, имеет место
следующее утверждение.
1
Теорема. Справедливо равенство K (m; n; 1:4 ) = p при m; n 2 N; m > 2:
2m
Доказательство. Как следует из [1, следствие 1, пример 2], [2, доказательство теремы 1], разностный
оператор t;2m 1 (см. (
1 k t;2m 1f k2 = X 2k (kt); t 2 R;
k=1
в котором числа k связаны с коэффициентами Фурье fbk функции f равенствами 2k(f ) = jfbkj2 + jfb kj2
(см. (
cos 2mt 1 + cos t = 2m 2 2m 1 X ( 1)l+1(2m l=1 j) cos jt: В силу теоремы 1 из [3] для доказательства теоремы достаточно установить, что в нашем случае функция является ненулевой, неотрицательной и удовлетворяет следующим условиям: (0) = 0; ( t) = (t) и (
t) = ( + t) для t 2 R; 1 Z t 0 t (x)dx 6 I( ) для любого t 2 (0; ); где I( ) = (t) dt = 2m: (17) (18) (19) [12] V.V. Arestov, N.I. Chernykh. On the L2-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials.
Approximation and functions spaces: proc. intern. conf., Gdan0sk, 1979, North-Holland, Amsterdam, 25–43, 1981.
Sharp Jackson inequality in L2 in terms of a nonclassical modulus of continuity
Alexander G. Babenko1;2, Yulya A. Yunasheva2 1 – Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics (Yekaterinburg, Russia) 2 – Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)
We consider the problem of an exact estimate of the value En 1(f ) of the best mean-square approximation on the period of an arbitrary complex-valued 2 -periodic function f 2 L2 by trigonometric polynomials of degree at most n 1 through its nonclassical modulus of continuity !2m 1(f; ) in L2, generated by a finite-difference operator t;2m 1f (x) = P2m=0 1( 1) +1f (x + t): With the help of one the result of S. N. Vasil’ev (2001) here it is proved, that for fixed n 1; m 2 and 1:4 the sharp generalized Jackson inequality ; holds. This result refines similar result of N. A. Baraboshkina (2001), she obtained such an inequality for 2 : Case m = 1 was completely investigated by N. I. Chernykh (1967), he established that in this case any number can be taken as , which satisfies the inequality ; and the = is the lowest possible.