На множестве целых функций f экспоненциального типа не выше > 0, принадлежащих пространству L2(R), изучается неравенство Планшереля - Полиа Pk2Z jf (k)j2 6 c2( )kf k2L2(R): Доказано, что c2( ) = = ; если = - натуральное. Для 1 6 p < 1 обозначим через Mp множество функций f (z) экспоненциального типа не выше , сужение которых на вещественную ось имеет конечную норму в пространстве Lp(R), т. е. В статье изучается неравенство Планшереля - Полиа для значения p = 2. Неравенство (1.1) можно интерпретировать как задачу о норме линейного оператора, сопоставляющего целой функции f 2 Lp(R) последовательность ff (k)gk2Z 2 `p значений функции на счетном множестве точек. В силу классической теоремы Уиттекера - Найквиста - Котельникова - Шеннона (см. [4, 20.2, Theorem 1]) для всех 0 < 6 и f 2 M2 справедливо равенство и, таким образом, c2( ) = 1 для всех 0 < 6 . М. Планшерель и Г. Полиа (см. [4, пп. 20.3-21.2, пп. теорема 5]) установили конечность величины cp( ) для значений 1 < p < 1; 6 и p = 1; < : С. М. Никольский в 1951 г. ([3, п. 1], см. также [2, п.3.3]) получил следующую оценку: cp( ) 6 (1 + )p; 1 6 p < 1:
R
1=p jf (x)jpdx
< 1: X jf (k)jp 6 cp( )kf kpp; f 2 Mp; k2Z
X jf (k)j2 = k2Z
Z
R
jf (x)j2dx; Р. П. Боас, Д. Л. Донохо и Б. Ф. Логан, С. Норвидас изучали более общую в сравнении с (1.1) задачу. Вместо значений ff (k)gk2Z они рассматривали значения ff ( k)gk2Z; где последовательность f kgk2Z удовлетворяет некоторым достаточно общим условиям (см. [6]). При k = k их результаты дают следующие оценки величины cp( ).
Д. Л. Донохо и Б. Ф. Логан в 1992 г. [5] доказали, что при p = 2 и 0 < < справедливы оценки
)kpLp[0;1=2] может быть вычислен по формулам k cos( )kL1[0;1=2] =
и k cos( sin( =2) (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) 2
Доказательство теоремы 1 Доказательство теоремы 1 мы разобъем на три леммы. Лемма 1 (Оценка c2( ) сверху). Для всех
> 0 справедливо неравенство Поскольку Доказательство. Пусть m есть наименьшее натуральное число со свойством =m 6 ; т. е. m = d = e. Функции f (z) сопоставим функцию g(z) = f (z=m): Нетрудно проверить, что g 2 M2 . Применим к функции g равенство (1.2):
X jf (k=m)j2 = X jg(k)j2 = k2Z jg(x)j2dx = m
jf (x)j2dx: Z
R k2Z k2Z
X jf (k)j2 6 X jf (k=m)j2; то мы заключаем, что c2( ) 6 m = d = e : Лемма доказана.
Преобразование Фурье функции f 2 L1(R) определим формулой
Z
R F f (z) =
f (x)e 2 izxdx: Оператор преобразования Фурье в пространствах L1(R) и L2(R) обозначим F . Лемма 2. Если f 2 M2 и f = F g; то
X f 2(k) = X(g g)(k); (g g)(x) = g(t)g(x
t)dt: k2Z k2Z
Z
R (2.1) (2.2) (2.3) Доказательство. По теореме Пэли – Винера [1, гл. 3, теорема 4.1] функция f есть преобразование Фурье некоторой функции g 2 L2[ =(2 ); =(2 )], т. е. f = F g. По свойствам преобразования Фурье [1, гл. 1 теорема 1.4] имеем
F (g g) = (F g)2 = f 2: Проверим, что для свертки g g справедлива формула суммирования Пуассона [1, гл. 7, теорема 2.4]. Поскольку мера множества [ =(2 ); =(2 )] конечна, то g 2 L1[ =(2 ); =(2 )]: По теореме [1, гл. 1 теорема 1.3] свертка g g также принадлежит L1[ =(2 ); =(2 )]. Тогда ряд X(g g)(k+x) сходится в пространстве X(g g)(k + x) = X f 2(k)e2 ikx; x 2 [ 1=2; 1=2]: k2Z
k2Z Z
R В силу конечности величины c2( ) ряд P jf (k)j2 сходится. Cледовательно, ряд X f 2(k)e2 ikx; состоящий k2Z k2Z из непрерывных функций, равномерно сходится к непрерывной функции. Далее, свертка g g имеет ограниченный носитель, поэтому ряд X(g g)(k + x) на отрезке [ 1=2; 1=2] превращается в конечную сумму.
k2Z Кроме того, свертка g g есть непрерывная функция, поскольку j(g g)(x) (g g)(x0)j = g(t)(g(x t) g(x0 t))dt 6 kgk22kg(x ) g(x0 )k22 и kg(x ) g(x0 )k2 ! 0; x ! x0 (см., например, [1, гл. 1, доказательство теоремы 1.18]). Таким образом, P (g g)(k + x) является непрерывной функцией. Итак, обе части (2.2) являются непрерывными k2Z функциями, следовательно, они должны быть равны. Подставляя в равенство (2.2) x = 0, получаем (2.1). Лемма 3 (Оценка c2( ) снизу). Для всех
> 0 справедливы неравенства В частности, если = натуральное, то неравенство (2.3) принимает вид (1; если t 2 [ ; ]; 0; если t 62 [ ; ];
= =(2 ): = 6 c2( ): Нетрудно проверить, что свертка ( )(x) = 2 jxj для jxj 6 2 и ( Воспользуемся леммой 2 для данной функции f (z): )(x) = 0 в противном случае.
X f 2(k) = X( k2Z k2Z
[2 ] = 2 X(2
k=1 По теореме Планшереля )(k) =
The Plancherel – Polya inequality for entire functions of exponential type in L2(R)
Ekaterina V. Berestova Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia) Keywords: Plancherel – Polya inequality, entire function of exponential type, Fourier transform.
We investigate the Plancherel – Polya inequality Pk2Z jf (k)j2 6 c2( )kf k2L2(R) on the set of entire functions f of exponential type 6 that belong to the space L2(R). We proved that c2( ) = = , when = is a positive integer.