=Paper=
{{Paper
|id=Vol-1894/appr3
|storemode=property
|title=Неравенство Планшереля–Полиа для целых функций экспоненциального типа в L²(R)(The Plancherel–Polya inequality for entire functions of exponential type in L²(R))
|pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-1894/appr3.pdf
|volume=Vol-1894
|authors=Ekaterina V. Berestova
}}
==Неравенство Планшереля–Полиа для целых функций экспоненциального типа в L²(R)(The Plancherel–Polya inequality for entire functions of exponential type in L²(R))==
https://ceur-ws.org/Vol-1894/appr3.pdf
Неравенство Планшереля – Полиа
для целых функций экспоненциального типа в L2(R)
Е.В. Берестова
BerestovaEkaterina@gmail.com
УрФУ (Екатеринбург)
Аннотация
На множестве целых функций f экспоненциального типа не выше
ν > 0, принадлежащих Pпространству L2 (R), изучается неравенство
2 2
Планшереля – Полиа k∈Z |f (k)| 6 c2 (ν)kf kL2 (R) . Доказано, что
c2 (ν) = ν/π, если ν/π – натуральное.
1 Введение
Для 1 6 p < ∞ обозначим через Mpν множество функций f (z) экспоненциального типа не выше ν,
сужение которых на вещественную ось имеет конечную норму в пространстве Lp (R), т. е.
Z 1/p
p
kf kp = |f (x)| dx < ∞.
R
В статье изучается неравенство Планшереля – Полиа
X
|f (k)|p 6 cp (ν)kf kpp , f ∈ Mpν , (1.1)
k∈Z
для значения p = 2. Неравенство (1.1) можно интерпретировать как задачу о норме линейного оператора,
сопоставляющего целой функции f ∈ Lp (R) последовательность {f (k)}k∈Z ∈ `p значений функции на
счетном множестве точек.
В силу классической теоремы Уиттекера – Найквиста – Котельникова – Шеннона (см. [4, 20.2, Theorem 1])
для всех 0 < ν 6 π и f ∈ M2ν справедливо равенство
X Z
|f (k)|2 = |f (x)|2 dx, (1.2)
k∈Z R
и, таким образом, c2 (ν) = 1 для всех 0 < ν 6 π.
М. Планшерель и Г. Полиа (см. [4, пп. 20.3–21.2, пп. теорема 5]) установили конечность величины cp (ν)
для значений 1 < p < ∞, ν 6 π и p = 1, ν < π. С. М. Никольский в 1951 г. ([3, п. 1], см. также [2, п.3.3])
получил следующую оценку:
cp (ν) 6 (1 + ν)p , 1 6 p < ∞. (1.3)
Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the International Youth School-conference «SoProMat-2017», Yekaterinburg,
Russia, 06-Feb-2017, published at http://ceur-ws.org
151
Р. П. Боас, Д. Л. Донохо и Б. Ф. Логан, С. Норвидас изучали более общую в сравнении с (1.1) задачу.
Вместо значений {f (k)}k∈Z они рассматривали значения {f (λk )}k∈Z , где последовательность {λk }k∈Z удо-
влетворяет некоторым достаточно общим условиям (см. [6]). При λk = k их результаты дают следующие
оценки величины cp (ν).
Д. Л. Донохо и Б. Ф. Логан в 1992 г. [5] доказали, что при p = 2 и 0 < νδ < π справедливы оценки
2ν([δ] + 1) ν([δ] + 1)
c2 (ν) 6 , c1 (ν) 6 . (1.4)
νδ + sin(νδ) 2 sin(νδ/2)
С. Норвидас в 2014 г. [6] рассмотрел случай 1 6 p 6 2. Он показал, что при 0 < νδ < π
[δ] + 1
cp (ν) 6 . (1.5)
2δk cos(νδ·)kpLp [0,1/2]
Если p = 1 или p = 2, то k cos(νδ·)kpLp [0,1/2] может быть вычислен по формулам
sin(νδ/2) 1 sin(νδ)
k cos(νδ·)kL1 [0,1/2] = и k cos(νδ·)k2L2 [0,1/2] = 1+ .
νδ 4 νδ
В этих случаях оценки С. Норвидаса (1.5) совпадают с оценками Д. Л. Донохо и Б. Ф. Логана (1.4).
Найдем инфимум оценки (1.5) по параметру δ при p = 2 и ν > π. Тогда 0 < δ < π/ν < 1 и, следовательно,
[δ] = 0. Поскольку функция x + sin x возрастает по x, то
2ν 2ν 2ν
c2 (ν) 6 lim = lim = . (1.6)
ν −0 νδ + sin(νδ)
δ→ π δ→ π
ν −0 sin(νδ) π
νδ 1 +
νδ
Так же отметим тот факт, что если функция f ∈ Mp0 , то f тождественно равна нулю ([2, гл. 3.2.2], см.
также [7]). Поэтому естественно рассматривать только ν > 0.
Далее мы будем использовать обозначение [x] для наибольшего целого числа, не превосходящего x, и
обозначение dxe для наименьшего целого числа, которое больше или равно x, таким образом, [x] 6 x 6 dxe.
В работе будет доказана следующая теорема
Теорема 1. Для всех ν > 0 справедливы оценки
[ν/π]2 + [ν/π]
[ν/π] 6 2[ν/π] + 1 − 6 c2 (ν) 6 dν/πe . (1.7)
ν/π
В частности, если ν/π натуральное, то неравенство (1.7) обращается в равенство
c2 (ν) = ν/π.
2 Доказательство теоремы 1
Доказательство теоремы 1 мы разобъем на три леммы.
Лемма 1 (Оценка c2 (ν) сверху). Для всех ν > 0 справедливо неравенство
c2 (ν) 6 dν/πe .
Доказательство. Пусть m есть наименьшее натуральное число со свойством ν/m 6 π, т. е. m = dν/πe.
Функции f (z) сопоставим функцию g(z) = f (z/m). Нетрудно проверить, что g ∈ M2π . Применим к функции
g равенство (1.2): Z Z
X X
|f (k/m)|2 = |g(k)|2 = |g(x)|2 dx = m |f (x)|2 dx.
k∈Z k∈Z R R
Поскольку X X
|f (k)|2 6 |f (k/m)|2 ,
k∈Z k∈Z
152
то мы заключаем, что c2 (ν) 6 m = dν/πe . Лемма доказана.
Преобразование Фурье функции f ∈ L1 (R) определим формулой
Z
Ff (z) = f (x)e−2πizx dx.
R
Оператор преобразования Фурье в пространствах L1 (R) и L2 (R) обозначим F.
Лемма 2. Если f ∈ M2ν и f = Fg, то
X X Z
2
f (k) = (g ∗ g)(k), (g ∗ g)(x) = g(t)g(x − t)dt. (2.1)
k∈Z k∈Z R
Доказательство. По теореме Пэли – Винера [1, гл. 3, теорема 4.1] функция f есть преобразование Фурье
некоторой функции g ∈ L2 [−ν/(2π), ν/(2π)], т. е. f = Fg. По свойствам преобразования Фурье [1, гл. 1
теорема 1.4] имеем
F(g ∗ g) = (Fg)2 = f 2 .
Проверим, что для свертки g ∗ g справедлива формула суммирования Пуассона [1, гл. 7, теорема 2.4]. По-
скольку мера множества [−ν/(2π), ν/(2π)] конечна, то g ∈ L1 [−ν/(2π),
Xν/(2π)]. По теореме [1, гл. 1 теорема
1.3] свертка g∗g также принадлежит L1 [−ν/(2π), ν/(2π)]. Тогда ряд (g∗g)(k+x) сходится в пространстве
k∈Z
X X
1
L [−1/2, 1/2], и его сумма имеет разложение в ряд Фурье F(g ∗ g)(k)e2πikx = f 2 (k)e2πikx . Докажем,
k∈Z k∈Z
что справедливо равенство
X X
(g ∗ g)(k + x) = f 2 (k)e2πikx , x ∈ [−1/2, 1/2]. (2.2)
k∈Z k∈Z
X
|f (k)|2 сходится. Cледовательно, ряд f 2 (k)e2πikx , состоящий
P
В силу конечности величины c2 (ν) ряд
k∈Z k∈Z
X сходится к непрерывной функции. Далее, свертка g ∗ g имеет огра-
из непрерывных функций, равномерно
ниченный носитель, поэтому ряд (g ∗ g)(k + x) на отрезке [−1/2, 1/2] превращается в конечную сумму.
k∈Z
Кроме того, свертка g ∗ g есть непрерывная функция, поскольку
Z
|(g ∗ g)(x) − (g ∗ g)(x0 )| = g(t)(g(x − t) − g(x0 − t))dt 6 kgk22 kg(x − ·) − g(x0 − ·)k22
R
и kg(x − ·)
P− g(x0 − ·)k2 → 0, x → x0 (см., например, [1, гл. 1, доказательство теоремы 1.18]). Таким
образом, (g ∗ g)(k + x) является непрерывной функцией. Итак, обе части (2.2) являются непрерывными
k∈Z
функциями, следовательно, они должны быть равны. Подставляя в равенство (2.2) x = 0, получаем (2.1).
Лемма 3 (Оценка c2 (ν) снизу). Для всех ν > 0 справедливы неравенства
[ν/π]2 + [ν/π]
[ν/π] 6 2[ν/π] + 1 − 6 c2 (ν). (2.3)
ν/π
В частности, если ν/π натуральное, то неравенство (2.3) принимает вид
ν/π 6 c2 (ν).
Доказательство. Рассмотрим функцию f (z) = sin(νz)/(πz), которая является целой функцией экспонен-
циального типа ν. Как известно, функция f (z) есть преобразование Фурье функции
(
1, если t ∈ [−σ, σ];
χσ (t) = σ = ν/(2π).
0, если t 6∈ [−σ, σ],
153
Нетрудно проверить, что свертка (χσ ∗ χσ )(x) = 2σ − |x| для |x| 6 2σ и (χσ ∗ χσ )(x) = 0 в противном случае.
Воспользуемся леммой 2 для данной функции f (z):
[2σ] [2σ]
X X X X
f 2 (k) = (χσ ∗ χσ )(k) = (χσ ∗ χσ )(k) = 2 (χσ ∗ χσ )(k) + (χσ ∗ χσ )(0) =
k∈Z k∈Z k=−[2σ] k=1
[2σ]
X 2σ − 1 + 2σ − [2σ]
=2 (2σ − k) + 2σ = 2 [2σ] + 2σ = (4σ − [2σ] − 1)[2σ] + 2σ.
2
k=1
По теореме Планшереля
2 Z σ
sin(νz) 2
kf k22 = = kχσ k2 = dx = ν/π.
πz 2 −σ
Учитывая, что функция f принимает вещественные значения на R, σ = ν/(2π), [2σ] = [ν/π], мы приходим
к такому результату
2
P
k∈Z |f (k)| (4σ − [2σ] − 1)[2σ] + 2σ [2σ]2 + [2σ] [ν/π]2 + [ν/π]
2 = = 2[2σ] + 1 − = 2[ν/π] + 1 − .
kf k2 2σ 2σ ν/π
[ν/π]2 + [ν/π]
Нетрудно проверить, что [ν/π] 6 2[ν/π] + 1 − . В частности, если ν/π натуральное, то
ν/π
[ν/π]2 + [ν/π]
2[ν/π] + 1 − = 2ν/π + 1 − ν/π = ν/π.
ν/π
Лемма доказана.
Благодарности
Благодарим профессора Г. Тамберга из Таллинского технического университета за постановку задачи.
Работа выполнена при поддержке Программы государственной поддержки ведущих научных школ
(НШ-9356.2016.1) и поддержке постановления № 211 Правительства Российской Федерации, контракт
№ 02.A03.21.0006.
Список литературы
[1] E. Stein, G. Weiss. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Mir, Moscow, 1974 (in Russian).
= Е. Стейн, Г. Вейс. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. Мир, Москва,
1974.
[2] S. M. Nikol’skii. Approximation of functions of several variables and embedding theorems. Nauka, Moscow,
1977 (in Russian). = С. М. Никольский. Приближение функций многих переменных и теоремы вло-
жения. Наука, Москва, 1977.
[3] S. M. Nikol’skii. Inequalities for entire functions of finite degree and their application in the theory of
differentiable functions of several variables. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 38:244–
278, 1951 (in Russian). = С. М. Никольский. Неравенства для целых функций конечной степени и
их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных. Труды математического
института имени В. А. Стеклова, 38:244–278, 1951.
[4] B. Ya. Levin. Lectures on entire functions. Translations of mathematical monographs by the American
mathematical society. – Volume 150, 1996.
[5] D. L. Donoho, B. F. Logan. Signal recovery and the large sieve. SIAM J., 52(2):577–591, April 1992.
[6] S. Norvidas. Concentration of Lp -bandlimited functions on discrete sets. Lithuanian Mathematical Journal,
54(4):471–481, October 2014.
[7] G. Polya. Über ganze Funktionen vom Minimaltypus der Ordnung 1. Aufgabe 105. Jahresbericht der
Deutschen Mathematiker Vereinigung, 40(80):9–12, 1931.
154
The Plancherel – Polya inequality for entire functions of exponential
type in L2 (R)
Ekaterina V. Berestova
Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)
Keywords: Plancherel – Polya inequality, entire function of exponential type, Fourier transform.
We investigate the Plancherel – Polya inequality k∈Z |f (k)|2 6 c2 (ν)kf k2L2 (R) on the set of entire functions
P
f of exponential type 6 ν that belong to the space L2 (R). We proved that c2 (ν) = ν/π, when ν/π is a positive
integer.
155