Рассматриваются классы непрерывных на отрезке функций с ограничениями на фрактальную размерность их графиков. Вводится характеристика фрактальности графика непрерывной функции и определяются соответствующие ей классы функций. Изучена связь этих классов с классами функций обобщенной ограниченной вариации.
Пусть f : [a; b] ! R, = fa = t0 < t1 < ::: < tn 1 < tn = bg разбиение отрезка [a; b]. Напомним, что вариацией функции f на отрезке [a; b] называется следующая величина
Vpf = sup Vp(f; ) = sup n 1 X jf (tk) f (tk 1)jp p : k=1
Определение 3. Пусть : (0; +1) ! R функций F следующим образом невозрастающая функция, lim (") = +1. Определим класс
"!0
F := ff 2 C[a; b] : (f; ") = O( ("))g:
F := F "1 ; 1 6 Понятно, что Воспользовавшись выпуклостью функции xp: Можно заметить, что fp(xk) = 1 и fp( xk+xk+1 ) = 0; k 2 N.
2 При " > 0(всюду далее будем считать, что " мало) рассмотрим следующее покрытие графика этой 1 функции: покроем квадратами со стороной " прямоугольник [0; " p+1 ] [0; 1] – это будет покрытие графика сужения функции fp на отрезок [0; " p+11 ], состоящее не более чем из 1" " p+11 1 6 4 " p+11 2 квадратов. Оставшуюся часть графика будем покрывать на каждом участке линейности функции отдельно, при этом p для каждого участка достаточно не более 2" квадратов, а таких участков не более 2" p+1 (т.к. xk = k p1 > 1 " p+1 ). (fp; ") 6 4 " p+11 2 + 2 "
1 2 (2 am) p+ 2 ; Так как элементы последовательности fakg удовлетворяют (3), то справедливы неравенства +1
X k=m+1
1 2am 1 2ak 9m0 > 1 8m > m0 1
X Tk; 2 am k=m+1 6 2am 6 то мы можем оценить сверху Vp(T; ) независимо от разбиения. Значит, мы показали, что T 2 BVp+ [0; 1]. Осталось показать, что T 2= F2 p1 .
Возьмём последовательность "m = 2 am ; m > m0; где m0 из (4). Оптимально покроем квадратами со стороной "m участки графика функции Tm(x) на каждом отрезке вида [2 am (2k); 2 ak (2k + 1)]; k = 0; :::; (2ak 1 1), таких участков 2ak 1, а квадратов из покрытия на каждом таком участке
About classes of functions with a restriction on the fractality of their graphs
Maxim L. Gridnev Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics (Yekaterinburg, Russia) Keywords: fractal dimension, functions of bounded variation.