О классах функций с ограничением на фрактальность их графиков МЛГриднев Mathematics and Mechanics ( Krasovskii Institute
Yekaterinburg Russia
MaximLGridnev Mathematics and Mechanics ( Krasovskii Institute
Yekaterinburg Russia
О классах функций с ограничением на фрактальность их графиков B16381D444F1E8CCF1DDEE5E282BACDB GROBID - A machine learning software for extracting information from scholarly documents fractal dimension, functions of bounded variation
Аннотация

Рассматриваются классы непрерывных на отрезке функций с ограничениями на фрактальную размерность их графиков. Вводится характеристика фрактальности графика непрерывной функции и определяются соответствующие ей классы функций. Изучена связь этих классов с классами функций обобщенной ограниченной вариации.

1 Необходимые определения и обозначения

Функции, вариация которых конечна на отрезке, называются функциями ограниченной вариации, а класс таких функций обозначается BV [a, b]. Определение 1. Пусть 1 p < +∞, обобщенной p-вариацией или просто p-вариацией функции f называется следующая величина

1 p . Функции, p-вариация которых конечна на отрезке, называются функциями обобщенной ограниченной p-вариации, а класс таких функций обозначается BV p [a, b] (см., например, [1, гл.IV, §5]). Определение 2. Пусть дана ограниченная функция f : [a, b] → R. Тогда модулем фрактальности функции f будем называть функцию ν(f, ε), которая любому ε, большему нуля, сопоставляет минимальное число квадратов, со сторонами длины ε, параллельными осям координат, которыми можно покрыть график функции f . Определение 3. Пусть µ : (0, +∞) → R невозрастающая функция, lim ε→0 µ(ε) = +∞. Определим класс функций F µ следующим образом F µ := {f ∈ C[a, b] : ν(f, ε) = O(µ(ε))}.

Далее, принимая µ(ε) = 1 ε α , мы будем рассматривать только следующие классы:

F α := F 1 ε α , 1 α 2.

Через x будем обозначать целочисленное округление вверх числа x.

2 Равенство классов F 1 и BV [a, b] C [a, b] Теорема 1. Если функция f принадлежит классу F 1 , то она является функцией ограниченной вариации.

Доказательство. Будем доказывать от противного: пусть существует функция f из F 1 , не принадлежащая классу BV [a, b].

Тогда для любых положительных чисел А и δ существует разбиение τ = {a = t 0 < t 1 < ... < t n−1 < < t n = b} отрезка [a, b] такое, что

V (f, τ ) = n k=1 |f (t k ) − f (t k−1 )| > 3A, t k − t k−1 < δ, k = 1, . . . , n. Возьмем ε = max(t k − t k−1 ). Так как функция f непрерывна, то образом отрезка будет отрезок. Тогда, |f (t k ) − f (t k−1 )| ε ν [t k ,t k−1 ] (f, ε), где ν [t k−1 ,t k ] (f, ε) минимальное число квадратов со сторонами длины ε, которыми можно покрыть пря- моугольник [t k−1 , t k ] × f ([t k−1 , t k ]), а, следовательно, и участок графика на отрезке [t k−1 , t k ]. Принимая во внимание тот факт, что ν [t k−1 ,t k ] (f, ε) меньше числа квадратов, покрывающих график функции f на отрезке [t k−2 , t k+1 ] и подсчитанных при вычислении числа ν(f, ε), можно получить следующую оценку V (f, τ ) ε n k=1 |f (t k ) − f (t k−1 )| ε n k=1 ν [t k−1 ,t k ] (f, ε) 3ν(f, ε). Итак, ν(f, ε) V (f, τ ) 3ε > 3A 3ε = A ε . И мы получаем отрицание того, что ν(f, ε) = O( 1 ε ), а именно ∀δ > 0 ∀A > 0 ∃ε ∈ (0, δ) ν(f, ε) > A ε ,

а это противоречит тому, что f принадлежит классу F 1 . Теорема доказана.

Теорема 2. Непрерывная функция ограниченной вариации принадлежит классу F 1 .

Теорема 2 является частным случаем теоремы 3, которую мы сформулируем и докажем ниже.

Из теорем 1 и 2 вытекает, что

F 1 = BV [a, b] C[a, b]. 3 Связь классов F α и BV p [a, b] Всюду далее без ограничения общности будем считать, что [a, b] = [0, 1]. Теорема 3. Пусть 1 p < ∞, тогда любая функция f ∈ BV p [a, b] C[a, b] принадлежит классу F 2− 1 p . Доказательство. Зафиксируем ε > 0. Пусть n = 1 ε , d k -минимальное количество квадратов, которыми можно покрыть график функции f на отрезке [ k−1 n , k n ], k = 1, ..., n, тогда ν(f, ε) n k=1 d k . Понятно, что n k=1 (d k − 1) p ε p n k=1 max t [ k−1 n ; k n ] f (t) − min t [ k−1 n ; k n ] f (t) p (V p f ) p .

Воспользовавшись выпуклостью функции x p :

a 2 + b 2 p a p 2 + b p 2 , a, b 0, получим следующую оценку n k=1 (d k ε) p = n k=1 2(d k − 1) 2 + 2 2 p ε p 1 2 n k=1 (2d k − 2) p ε p + 1 2 n k=1 2 p ε p 2 p−1 n k=1 (d k − 1) p ε p + 2 p−1 ε p 1 ε + 1 C = const, 0 < ε < 1. И наконец, используя неравенство Гельдера, получаем ν(f, ε) n k=1 d k n k=1 (d k ε) p 1 p n k=1 1 ε p p−1 p−1 p C 1 p 1 ε p p−1 +1 p−1 p = C 1 p ε 2− 1 p . Иными словами, ν(f, ε) = O 1 ε 2− 1 p , что и требовалось доказать.

Теперь покажем невозможность обратного вложения.

Теорема 4. Пусть 1 < α < 2, тогда для любого q 1 существует функция f ∈ F α , которая не принадлежит классу BV q [0, 1]. Доказательство. Пусть p > 0 такое, что α = 2 − 1 p+1 . Теперь возьмём последовательность чисел {x k }, где x k = k − 1 p , k ∈ N. Зададим функцию f p : [0, 1] → [0, 1] следующим образом f p (x) =          x k + x k−1 − 2x x k−1 − x k , x ∈ [x k , x k−1 +x k 2 ), k ∈ N; 2x − x k − x k+1 x k − x k+1 , x ∈ [ x k +x k+1 2 , x k ), k ∈ N. Можно заметить, что f p (x k ) = 1 и f p ( x k +x k+1 2 ) = 0, k ∈ N. При ε > 0(всюду далее будем считать, что ε мало) рассмотрим следующее покрытие графика этой функции: покроем квадратами со стороной ε прямоугольник [0, ε 1 p+1 ] × [0, 1] -это будет покрытие графика сужения функции f p на отрезок [0, ε 1 p+1 ], состоящее не более чем из 1 ε • ε 1 p+1 −1 4 ε 1 p+1 −2 квадратов.

Оставшуюся часть графика будем покрывать на каждом участке линейности функции отдельно, при этом для каждого участка достаточно не более 2 ε квадратов, а таких участков не более 2ε

−p p+1 (т.к. x k = k − 1 p ε 1 p+1 ).

В итоге, количество квадратов в покрытии можно оценить так

ν(f p , ε) 4 ε 1 p+1 −2 + 2 ε 2ε −p p+1 8ε 1 p+1 −2 + 8 ε ε −p p+1 = 16ε 1 p+1 −2 , то есть ν(f p , ε) = O(ε −α ).

Пусть 0 < β = p 2q , возьмём непрерывную функцию x β f p (x), можно заметить, что если покрывать её график так же, как мы это делали выше, то мощность такого покрытия не увеличится, значит x β f p (x) ∈ F α .

Возьмём разбиение

τ n = {0 = t n < ... < t 2k+2 = x k +x k+1 2 < t 2k+1 = x k < ... < t 1 = 1}. Оценим с его помощью q−вариацию функции x β f p (x) снизу следующим образом (V q [x β f p (x)]) q n k=1 |t β k f p (t k ) − t β k−1 f p (t k−1 )| q = n k=1 x βq k = n k=1 k − βq p = n k=1 k − 1 2 − −−−− → n→+∞ +∞, а это значит, что x β f p (x) / ∈ BV q [0, 1]. Теорема доказана. Лемма 1. Пусть функции f и g непрерывны на [0, 1], тогда ν(f + g, ε) 3ν(f, ε) + 3ν(g, ε).

Доказательство. Покроем график функции f + g так же, как в доказательстве теоремы 3. Тогда

ν(f + g, ε) n k=1 d k = n k=1 max t [ k−1 n ; k n ] (f (t) + g(t)) − min t [ k−1 n ; k n ] (f (t) + g(t)) n k=1 max t [ k−1 n ; k n ] f (t) − min t [ k−1 n ; k n ] f (t) + n k=1 max t [ k−1 n ; k n ] g(t) − min t [ k−1 n ; k n ] g(t) 3ν(f, ε) + 3ν(g, ε). Следствие. Если f ∈ F α и g ∈ F α , то и f + g ∈ F α .

Теперь покажем точность вложения в теореме 3.

Теорема 5. Для любых p > 1 и δ > 0 найдется непрерывная функция T ∈ BV p+δ [0, 1] такая, что T / ∈ F 2− 1 p . Доказательство. Положим T 0 (x) = |2x| для |x| 1 2 и продолжим эту функцию периодически с периодом 1. Далее для k > 1 положим T k (x) = 1 2 a k 1 p+ δ 2 T 0 (2 a k x),

где {a k } -возрастающая последовательность натуральных чисел, которую мы сейчас определим по индукции. Пусть a 1 = 2 p + δ 2 . Далее, предположим, что уже определены a 1 , ..., a m−1 ; выберем a m так, чтобы оно удовлетворяло условиям (1), (2) и (3):

1 2 am 1 p+ δ 2 1 4 m ; (1) нетрудно понять, что m−1 k=0 T k ∈ BV [0, 1], тогда по теореме 3 m−1 k=0 T k ∈ F 1 , то есть ν m−1 k=0 T k , ε C m−1 1 ε значит, a m можно взять таким большим, что ν m−1 k=0 T k , 2 −am 1 24 (2 −am ) 1 p+ δ 2 −2 ;

(2) кроме того, a m можно выбрать так, чтобы

1 2 am 1 p+ δ 2 1 2 1 2 am−1 .

(3)

Так как элементы последовательности {a k } удовлетворяют (3), то справедливы неравенства

+∞ k=m+1 1 2 a k 1 p+ δ 2 1 2 am , m 1, откуда 0 ∞ k=m+1 T k (x) 1 2 am , значит ∃m 0 1 ∀m m 0 ν ∞ k=m+1 T k , 2 −am 2 am 1 24 (2 −am ) 1 p+ δ 2 −2 ; (4) Легко видеть, что T k (x) -непрерывная периодическая функция с периодом 2 −a k и максимальным зна- чением 2 a k −1 p+ δ 2 . Теперь определим на [0, 1] функцию T (x) так: T (x) = ∞ k=1 T k (x) = ∞ k=1 1 2 a k 1 p+ δ 2 T 0 (2 a k x). Так как |T k (x)| 4 −k , то по признаку Вейерштрасса T (x) равномерно сходится на [0, 1], а значит функция T (x) непрерывна. (При построении функции T (x) мы частично воспользовались конструкцией из [2, глава 2, пример 21]) Покажем, что T ∈ BV p+δ [0, 1]. Возьмём произвольное разбиение τ = {t i } n i=0 отрезка [0, 1]. Имеем n i=1 (T k (t i )) p+δ 1 p+δ 2 • 2 a k 1 2 a k p+δ p+ δ 2 1 p+δ = 2 1 p+δ 1 2 a k δ (2p+δ)(p+δ)

, k ∈ N.

(5)

Оценим сверху V p (T, τ ). Последовательно применяя неравенство Минковского N раз и оценку (5), получаем

n i=1 |T (t i ) − T (t i−1 )| p+δ 1 p+δ 2 n i=1 ∞ k=1 T k (t i ) p+δ 1 p+δ 2 n i=1 (T 1 (t i )) p+δ 1 p+δ + +2 n i=1 ∞ k=2 T k (t i ) p+δ 1 p+δ • • • 2 N k=1 n i=1 (T k (t i )) p+δ 1 p+δ + 2 n i=1 ∞ k=N +1 T k (t i ) p+δ 1 p+δ 4 N k=1 1 2 a k δ (2p+δ)(p+δ) + 4n 1 2 a N 1 p+ δ 2 . Можно подобрать N так, чтобы 4n 1 2 a N 1 p+ δ 2 1,

, то мы можем оценить сверху V p (T, τ ) независимо от разбиения. Значит, мы показали, что

Из неравенств (2), ( 4) и ( 6) получим, что

Благодарности

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00702).

Список литературы

[1] N.C. Bari. Trigonometric series. GIMFL, Moscow, 1961 (in Russian). = Н.К. Бари. Тригонометрические ряды. ГИМФЛ, Москва, 1961.

[2] B. Gelbaum, J. Olmsted. Counterexamples in analysis. Platon, Volgograd, 1997 (in Russian). = Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализе. Волгоград: Платон, 1997.