О классах функций с ограничением на фрактальность
их графиков
М.Л. Гриднев
coraxcoraxg@gmail.com
ИММ УрО РАН (Екатеринбург)
Аннотация
Рассматриваются классы непрерывных на отрезке функций с огра-
ничениями на фрактальную размерность их графиков. Вводится
характеристика фрактальности графика непрерывной функции и
определяются соответствующие ей классы функций. Изучена связь
этих классов с классами функций обобщенной ограниченной вари-
ации.
1 Необходимые определения и обозначения
Пусть f : [a, b] → R, τ = {a = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = b} — разбиение отрезка [a, b]. Напомним, что
вариацией функции f на отрезке [a, b] называется следующая величина
n
X
V f = sup V (f, τ ) = sup |f (tk ) − f (tk−1 )|.
τ τ
k=1
Функции, вариация которых конечна на отрезке, называются функциями ограниченной вариации, а класс
таких функций обозначается BV [a, b].
Определение 1. Пусть 1 6 p < +∞, обобщенной p-вариацией или просто p-вариацией функции f
называется следующая величина
n
X p1
p
Vp f = sup Vp (f, τ ) = sup |f (tk ) − f (tk−1 )| .
τ τ
k=1
Функции, p-вариация которых конечна на отрезке, называются функциями обобщенной ограниченной
p-вариации, а класс таких функций обозначается BVp [a, b] (см., например, [1, гл.IV, §5]).
Определение 2. Пусть дана ограниченная функция f : [a, b] → R. Тогда модулем фрактальности
функции f будем называть функцию ν(f, ε), которая любому ε, большему нуля, сопоставляет минимальное
число квадратов, со сторонами длины ε, параллельными осям координат, которыми можно покрыть график
функции f .
Определение 3. Пусть µ : (0, +∞) → R — невозрастающая функция, lim µ(ε) = +∞. Определим класс
ε→0
функций F µ следующим образом
F µ := {f ∈ C[a, b] : ν(f, ε) = O(µ(ε))}.
Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the International Youth School-conference «SoProMat-2017», Yekaterinburg,
Russia, 06-Feb-2017, published at http://ceur-ws.org
167
Далее, принимая µ(ε) = ε1α , мы будем рассматривать только следующие классы:
1
Fα := F εα , 1 6 α 6 2.
Через dxe будем обозначать целочисленное округление вверх числа x.
T
2 Равенство классов F1 и BV [a, b] C[a, b]
Теорема 1. Если функция f принадлежит классу F1 , то она является функцией ограниченной вариации.
Доказательство. Будем доказывать от противного: пусть существует функция f из F1 , не принадле-
жащая классу BV [a, b].
Тогда для любых положительных чисел А и δ существует разбиение τ = {a = t0 < t1 < ... < tn−1 <
< tn = b} отрезка [a, b] такое, что
n
X
V (f, τ ) = |f (tk ) − f (tk−1 )| > 3A,
k=1
tk − tk−1 < δ, k = 1, . . . , n.
Возьмем ε = max(tk − tk−1 ). Так как функция f непрерывна, то образом отрезка будет отрезок. Тогда,
|f (tk ) − f (tk−1 )|
6 ν[tk ,tk−1 ] (f, ε),
ε
где ν[tk−1 ,tk ] (f, ε) — минимальное число квадратов со сторонами длины ε, которыми можно покрыть пря-
моугольник [tk−1 , tk ] × f ([tk−1 , tk ]), а, следовательно, и участок графика на отрезке [tk−1 , tk ]. Принимая
во внимание тот факт, что ν[tk−1 ,tk ] (f, ε) меньше числа квадратов, покрывающих график функции f на
отрезке [tk−2 , tk+1 ] и подсчитанных при вычислении числа ν(f, ε), можно получить следующую оценку
n Xn
V (f, τ ) X |f (tk ) − f (tk−1 )|
6 6 ν[tk−1 ,tk ] (f, ε) 6 3ν(f, ε).
ε ε
k=1 k=1
Итак,
V (f, τ ) 3A A
ν(f, ε) > > = .
3ε 3ε ε
И мы получаем отрицание того, что ν(f, ε) = O( 1ε ), а именно
A
∀δ > 0 ∀A > 0 ∃ε ∈ (0, δ) ν(f, ε) > ,
ε
а это противоречит тому, что f принадлежит классу F1 . Теорема доказана.
Теорема 2. Непрерывная функция ограниченной вариации принадлежит классу F1 .
Теорема 2 является частным случаем теоремы 3, которую мы сформулируем и докажем ниже.
T
Из теорем 1 и 2 вытекает, что F1 = BV [a, b] C[a, b].
3 Связь классов Fα и BVp [a, b]
Всюду далее без ограничения общности будем считать, что [a, b] = [0, 1].
T
Теорема 3. Пусть 1 6 p < ∞, тогда любая функция f ∈ BVp [a, b] C[a, b] принадлежит классу F2− p1 .
Доказательство. Зафиксируем ε > 0. Пусть
1
n= ,
ε
168
dk - минимальное количество квадратов, которыми можно покрыть график функции f на отрезке
[ k−1 k
n , n ], k = 1, ..., n, тогда
n
X
ν(f, ε) 6 dk .
k=1
Понятно, что
n
X n
X p
(dk − 1)p εp 6 max f (t) − min f (t) 6 (Vp f )p .
t[ k−1 k
n ;n] t[ k−1 k
n ;n]
k=1 k=1
Воспользовавшись выпуклостью функции xp :
p
ap bp
a b
+ 6 + , a, b > 0,
2 2 2 2
получим следующую оценку
n n p n n
X X 2(dk − 1) 2 1X 1X p p
(dk ε)p = + εp 6 (2dk − 2)p εp + 2 ε 6
2 2 2 2
k=1 k=1 k=1 k=1
n
X 1
6 2p−1 (dk − 1)p εp + 2p−1 εp +1 6 C = const, 0 < ε < 1.
ε
k=1
И наконец, используя неравенство Гельдера, получаем
n n
X p1 X
n p−1 p−1 1
X
p 1 p 1 1 p
Cp
ν(f, ε) 6 dk 6 (dk ε) p 6C p
p = 1 .
p−1 +1
k=1 k=1 k=1 ε
p−1 ε ε2− p
Иными словами,
1
ν(f, ε) = O 1 ,
ε2− p
что и требовалось доказать.
Теперь покажем невозможность обратного вложения.
Теорема 4. Пусть 1 < α < 2, тогда для любого q > 1 существует функция f ∈ Fα , которая не
принадлежит классу BVq [0, 1].
1
Доказательство. Пусть p > 0 такое, что α = 2 − p+1 . Теперь возьмём последовательность чисел {xk },
1
где xk = k − p , k ∈ N.
Зададим функцию fp : [0, 1] → [0, 1] следующим образом
xk + xk−1 − 2x
, x ∈ [xk , xk−12+xk ), k ∈ N;
xk−1 − xk
fp (x) =
2x − xk − xk+1
, x ∈ [ xk +x
2
k+1
, xk ), k ∈ N.
xk − xk+1
Можно заметить, что fp (xk ) = 1 и fp ( xk +x
2
k+1
) = 0, k ∈ N.
При ε > 0(всюду далее будем считать, что ε мало) рассмотрим следующее покрытие графика этой
1
функции: покроем квадратами со стороной ε прямоугольник [0, ε p+1 ] × [0, 1] – это будет покрытие графика
1 1 1
сужения функции fp на отрезок [0, ε p+1 ], состоящее не более чем из 1ε · ε p+1 −1 6 4 ε p+1 −2 квадратов.
Оставшуюся часть графика будем покрывать на каждом участке линейности функции отдельно, при этом
−p 1
для каждого участка достаточно не более 2ε квадратов, а таких участков не более 2ε p+1 (т.к. xk = k − p >
1
ε p+1 ).
169
В итоге, количество квадратов в покрытии можно оценить так
1 2 −p 1 8 −p 1
ν(fp , ε) 6 4 ε p+1 −2 + 2ε p+1 6 8ε p+1 −2 + ε p+1 = 16ε p+1 −2 ,
ε ε
то есть ν(fp , ε) = O(ε−α ).
p
Пусть 0 < β = 2q , возьмём непрерывную функцию xβ fp (x), можно заметить, что если покрывать её
график так же, как мы это делали выше, то мощность такого покрытия не увеличится, значит xβ fp (x) ∈ Fα .
Возьмём разбиение τn = {0 = tn < ... < t2k+2 = xk +x
2
k+1
< t2k+1 = xk < ... < t1 = 1}. Оценим с его
β
помощью q−вариацию функции x fp (x) снизу следующим образом
n n n n
X X X βq X 1
(Vq [xβ fp (x)])q > |tβk fp (tk ) − tβk−1 fp (tk−1 )|q = xβq
k = k− p = k − 2 −−−−−→ +∞,
n→+∞
k=1 k=1 k=1 k=1
а это значит, что xβ fp (x) ∈
/ BVq [0, 1].
Теорема доказана.
Лемма 1. Пусть функции f и g непрерывны на [0, 1], тогда
ν(f + g, ε) 6 3ν(f, ε) + 3ν(g, ε).
Доказательство. Покроем график функции f + g так же, как в доказательстве теоремы 3. Тогда
n
X n
X
ν(f + g, ε) 6 dk = max (f (t) + g(t)) − min (f (t) + g(t)) 6
t[ k−1 k
n ;n] t[ k−1 k
n ;n]
k=1 k=1
n
X n
X
6 max f (t) − min f (t) + max g(t) − min g(t) 6
t[ k−1 k
n ;n] t[ k−1 k
n ;n] t[ k−1 k
n ;n] t[ k−1 k
n ;n]
k=1 k=1
6 3ν(f, ε) + 3ν(g, ε).
Следствие. Если f ∈ Fα и g ∈ Fα , то и f + g ∈ Fα .
Теперь покажем точность вложения в теореме 3.
Теорема 5. Для любых p > 1 и δ > 0 найдется непрерывная функция T ∈ BVp+δ [0, 1] такая, что
T ∈
/ F2− p1 .
Доказательство. Положим T0 (x) = |2x| для |x| 6 21 и продолжим эту функцию периодически с
периодом 1. Далее для k > 1 положим
1δ
1 p+
T0 (2ak x),
2
Tk (x) =
2ak
где {ak } – возрастающая последовательность натуральных чисел, которую мы сейчас определим по индук-
ции. Пусть a1 = 2dp + 2δ e. Далее, предположим, что уже определены a1 , ..., am−1 ; выберем am так, чтобы
оно удовлетворяло условиям (1), (2) и (3):
1δ m
1 p+
2 1
6 ; (1)
2am 4
нетрудно понять, что
m−1
X
Tk ∈ BV [0, 1],
k=0
тогда по теореме 3
m−1 m−1
X X 1
Tk ∈ F1 , то есть ν Tk , ε 6 Cm−1
ε
k=0 k=0
170
значит, am можно взять таким большим, что
m−1
X 1 −am p+1 δ −2
ν Tk , 2−am 6 (2 ) 2 ; (2)
24
k=0
кроме того, am можно выбрать так, чтобы
1δ
1 p+
2 1 1
6 . (3)
2am 2 2am−1
Так как элементы последовательности {ak } удовлетворяют (3), то справедливы неравенства
+∞ 1
X 1 p+ δ2 1
6 am , m > 1,
2ak 2
k=m+1
откуда
∞
X 1
06 Tk (x) 6 ,
2am
k=m+1
значит
∞
X
−am 1 −am p+1 δ −2
∃m0 > 1 ∀m > m0 ν Tk , 2 6 2am 6 (2 ) 2 ; (4)
24
k=m+1
Легко видеть, что Tk (x) – непрерывная периодическая функция с периодом 2−ak и максимальным зна-
−1δ
чением 2ak p+ 2 . Теперь определим на [0, 1] функцию T (x) так:
∞ ∞ 1
X X 1 p+ δ2
T (x) = Tk (x) = T0 (2ak x).
2ak
k=1 k=1
Так как |Tk (x)| 6 4−k , то по признаку Вейерштрасса T (x) равномерно сходится на [0, 1], а значит функция
T (x) непрерывна. (При построении функции T (x) мы частично воспользовались конструкцией из [2, глава
2, пример 21])
Покажем, что T ∈ BVp+δ [0, 1].
Возьмём произвольное разбиение τ = {ti }ni=0 отрезка [0, 1]. Имеем
n
X 1
p+δ p+δ 1 δ
p+δ ak 1 p+ δ2 p+δ 1 1 (2p+δ)(p+δ)
(Tk (ti )) 6 2·2 =2 p+δ , k ∈ N. (5)
i=1
2ak 2ak
Оценим сверху Vp (T, τ ). Последовательно применяя неравенство Минковского N раз и оценку (5), получаем
n
X 1
p+δ X ∞
n X 1
p+δ p+δ n
X 1
p+δ
p+δ p+δ
|T (ti ) − T (ti−1 )| 62 Tk (ti ) 62 (T1 (ti )) +
i=1 i=1 k=1 i=1
X ∞
n X 1
p+δ p+δ N X
n 1
p+δ ∞
n X
X 1
p+δ p+δ
X
p+δ
+2 Tk (ti ) 6 ··· 6 2 (Tk (ti )) +2 Tk (ti ) 6
i=1 k=2 k=1 i=1 i=1 k=N +1
N δ
(2p+δ)(p+δ) 1δ
X 1 1 p+
2
64 + 4n .
2ak 2aN
k=1
Можно подобрать N так, чтобы
1δ
1 p+
2
4n 6 1,
2aN
171
и так как сходится ряд
∞ δ
X 1 (2p+δ)(p+δ)
,
2ak
k=1
то мы можем оценить сверху Vp (T, τ ) независимо от разбиения. Значит, мы показали, что T ∈ BVp+δ [0, 1].
Осталось показать, что T ∈ / F2− p1 .
Возьмём последовательность εm = 2−am , m > m0 , где m0 из (4). Оптимально покроем квадратами
со стороной εm участки графика функции Tm (x) на каждом отрезке вида [2−am (2k), 2−ak (2k + 1)], k =
0, ..., (2ak −1 − 1), таких участков 2ak −1 , а квадратов из покрытия на каждом таком участке
1
−am p+ δ2 −1
2 ε ,
при этом весь график Tm (x) нельзя покрыть
ak −1 −am
p+1 δ −1
2 2 2 ε
квадратами, поэтому
1 1δ 1 1
δ −2
ν(Tm , εm ) > (εm )−2 2−am p+ 2 = (εm ) p+ 2 . (6)
2 2
Из неравенств (2), (4) и (6) получим, что
m−1 ∞
X 1
1 X 1 δ −2
ν(Tm , εm ) − ν Tk , εm −ν Tk , εm > (εm ) p+ 2 .
3 12
k=1 k=m+1
По лемме 1
∞
X m−1
X ∞
X ∞
X m−1
X ∞
X
ν(Tm , εm ) = ν Tk − Tk − Tk , εm 6 3ν Tk , εm + 3ν Tk , εm + 3ν Tk , εm ,
k=0 k=1 k=m+1 k=1 k=1 k=m+1
то есть
∞
X m−1 ∞
X 1
1 X 1 δ −2
ν Tk , εm > ν(Tm , εm ) − ν Tk , εm −ν Tk , εm > (εm ) p+ 2 ,
3 12
k=1 k=1 k=m+1
следовательно T ∈
/ F2− p1 . Теорема доказана.
Благодарности
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00702).
Список литературы
[1] N.C. Bari. Trigonometric series. GIMFL, Moscow, 1961 (in Russian). = Н.К. Бари. Тригонометрические
ряды. ГИМФЛ, Москва, 1961.
[2] B. Gelbaum, J. Olmsted. Counterexamples in analysis. Platon, Volgograd, 1997 (in Russian). = Б. Гелбаум,
Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализе. Волгоград: Платон, 1997.
172
About classes of functions with a restriction on the fractality of their
graphs
Maxim L. Gridnev
Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics (Yekaterinburg, Russia)
Keywords: fractal dimension, functions of bounded variation.
We investigate classes of continuous functions with a restriction on the fractal dimension of their graphs. The
fractality characteristic of graph of continuous function is given and the classes of functions according to it are
determined. The connection between these classes and the classes of functions of generalized bounded variation
investigated.
173