Одностороннее приближение сверху в L( 1; 1) характеристической функции интервала алгебраическими многочленами

Abstract

Изучается задача одностороннего приближения сверху в L( 1; 1) характеристической функции интервала J = ( p3=5 ; 2=5) алгебраическими многочленами пятой степени. Задача сводится к приближению снизу характеристической функции множества [ 1; p3=5) [ (2=5; 1]; уже не являющегося промежутком. Для решения последней задачи построена соответствующая квадратурная формула с положительными весами. Приближение снизу в L( 1; 1) характеристической функции интервала J многочленами пятой степени было найдено автором ранее.

-

Em(f ) = inffkf

pk : p 2 Pm(f )g; Em+(f ) = inffkf

pk : p 2 Pm+(f )g: 1.1

Z 1

1 kf k =

jf (x)j dx; f 2 L:

Pm(f ) = fp 2 Pm : p 6 f g;

Pm+(f ) = fp 2 Pm : p > f g ( 3 ) Поэтому где

Em(f ) =

f (x) dx Im(f ); Im(f ) = sup p(x) dx : p 2 Pm(f ) : ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) (10) В настоящее время имеется большое число результатов, посвященных исследованию задач ( 2 ) и ( 3 ) для функции ( 4 ) в случае, когда J есть промежуток; см. статьи [1, 2, 3] и приведенную в них библиографию. В [2] дано решение задачи ( 2 ) для промежутков J = (a; 1]; a 2 ( 1; 1): В [3] этот результат распространен на одностороннее приближение характеристических функций промежутков J = (a; 1]; a 2 ( 1; 1); в весовых пространствах L с довольно общим весом. В [3] было отмечено, что предложенная авторами методика для интервала J = (a; b) при b < 1 уже неприменима. Это было проиллюстрировано в случае a = r 3 5 = 0:774597 : : : ; b = при m = 5 для L-нормы ( 1 ). В работе автора [4] решена задача ( 2 ) об одностороннем приближении снизу функции 1J в этом конкретном случае. В настоящей статье приведено решение соответствующей задачи ( 3 ) об одностороннем приближении сверху.

Для любой (измеримой, ограниченной на [ 1; 1]) функции f; любой константы c, при любом m > 0; очевидно, имеет место равенство

Em+(f ) = Em(c f ): Так что, задача одностороннего приближения сверху сводится к задаче одностороннего приближения снизу. В частности, одностороннее интегральное приближение сверху функции 1J0 для интервала J0 = (a; b) совпадает с односторонним приближением снизу функции 1J = 1 1J0; для множества В данной статье в качестве приближаемых функций будут рассматриваться характеристические функции 1J множеств J [ 1; 1]; определенные соотношениями 1J (x) = 1; x 2 J; 0; x 2 [ 1; 1] n J: Нетрудно понять, что множества многочленов Pm(f ) = fp 2 Pm : p 6 f g для функций 1J и 1J совпадают. Поэтому Em(1J ) = Em(1J): Множество ( 8 ) не является промежутком, что приводит к особенностям в исследовании задачи ( 2 ) для характеристической функции множества ( 8 ) в сравнении с такой задачей для промежутка.

В данной работе как раз и изучается задача Em(1J) для множества ( 8 ) со значениями параметров ( 5 ) при m = 5: 1.2 Редукция задачи

Задачи ( 2 ) и ( 3 ) можно переписать в несколько иной, более удобной для аналитического и численного исследования, форме. Если p 2 Pm(f ); то имеем Одностороннее приближение снизу характеристической функции множества J = h 1; p3=5 [ (2=5; 1] многочленами пятой степени В этом параграфе будут изучаться величины Em(1J) и Im(1J) для множества

J = h 1; p3=5 [ (2=5; 1] при m = 5: Для краткости будем использовать для них обозначения E5 и I5 соответственно. Ниже будут построены квадратурная формула с неотрицательными весами и многочлен p5 2 P5 (1J) ; которые дадут совпадающие между собой двусторонние оценки этих величин, а значит и их значения. 2.1

Численный эксперимент С целью выработки гипотезы относительно вида экстремального многочлена и соответствующей квадратурной формулы было проведено приближенное решение задачи (10) для функции 1J при m = 5: Для реализации численного эксперимента оказалось удобным использовать разложение многочленов p 2 Pm в виде линейной комбинации

m p(x) = X ck k(x)

k=0 Поскольку 0 1; то из условия ортогональности многочленов Лежандра следует, что

( 5 ) I5 = sup 2c0 : X ck k(x) 6 1J(x); x 2 [ 1; 1] : k=0 1 p(x) dx = 2c0:

(13) (11) (12) Ограничения на отрезке [ 1; 1] в (13) были заменены ограничениями на густой сетке. Решение полученной задачи с помощью пакета Matlab дало следующие примерные значения коэффициентов: c0 = 0:193580; c1 = 0:329033; c2 = 0; 673871; c3 = 0:002890; c4 = 0:047953; c5 = 0:416519: На рисунке изображены графики функции 1J и найденного многочлена.

1 0.8 0.6 0.4 0.2

0 -0.2 1 Z 1 a

b x1)2: x2 = W (x1); где

W (z) =

9 p15 + 5 z + 3p15 z 5 + 3p15 15 z + p15 z : x3 = UU21((xx11)) ; где U1(z) = 15 (16485 + 140550z2 21040p15z + 25545z4 + 3159p15 + 22554p15z2 для x1 2 ( 0:4; 0:3) имеем при этом Положительность коэффициентов A1; A3; B1; B2 доказывается по такой же схеме, только вместо квадратурной формулы Лобатто используется квадратурная формула Гаусса с тремя узлами fx3;kg3k=1; а вместо многочлена g

соответственно многочлены (27) Список литературы

One-sided approximation to the characteristic function of an interval from above by algebraic polynomials in L( 1; 1)

Anastasiya Yu. Torgashova Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia) Keywords: algebraic polynomials, one-sided approximation, characteristic function of an interval.

We study the problem of one-sided approximation to the characteristic function of the interval J = ( p3=5 ; 2=5) from above by fifth-degree algebraic polynomials in L( 1; 1). This problem reduces to the approximation from below to the characteristic function of the set [ 1; p3=5) [ (2=5; 1]; which is not an interval. To solve the latter problem, we construct the corresponding quadrature formula with positive weights. The approximation to the characteristic function of the interval J from below by fifth-degree polynomials in L( 1; 1) was found by the author earlier.

References

1 + 1 p15 ( 1 5

[1] A. G. Babenko , Yu. V. Kryakin , V. A. Yudin . One-sided approximation in L of the characteristic function of an interval by trigonometric polynomials . Proc. Steklov Inst. Math. , 280 ( Suppl . 1): 39 - 52 , 2013 . = А.Г. Бабенко, Ю.В. Крякин, В.А. Юдин. Одностороннее приближение в L характеристической функ- ции интервала тригонометрическими полиномами . Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН , 18 ( 1 ): 82 - 95 , 2012 .

[2] J. Bustamante , R. Mart ´ınez- Cruz , J.M. Quesada , Quasi orthogonal Jacobi polynomials and best one-sided L1 approximation to step functions . J. Approx. Theory , 198 : 10 - 23 , 2015 .

[3] A. G. Babenko , M. V. Deikalova , Sz. G. R´ev´esz. Weighted one-sided integral approximations to characteristic functions of intervals by polynomials on a closed interval . Proc. Steklov Inst. Math. , 297 ( Suppl . 1): S11 - S18 , 2017 . = А.Г. Бабенко, М.В. Дейкалова, С.Д. Ревес. Односторонние интегральные приближения характеристических функций интервалов многочленами на отрезке с весом . Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН , 21 ( 4 ): 46 - 53 , 2015 .

[4] A. Yu . Torgashova. One-sided integral approximation of the characteristic function of an interval by algebraic polynomials . Proc. Steklov Inst. Math. , 296 ( Suppl . 1): S228 - S235 , 2017 . = А.Ю. Торгашова. Одностороннее интегральное приближение характеристической функции интервала алгебраическими многочленами . Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН , 22 ( 3 ): 265 - 272 , 2016 .

[5] V. I. Krylov. Approximate calculation of integrals . Dover, New York, 2005 . = В.И. Крылов. Приближенное вычисление интегралов . Физматгиз, Москва, 1959 .

[6] B. Beckermann , J. Bustamante , R. Mart ´ınez- Cruz , J. M. Quesada . Gaussian, Lobatto and Radau positive quadrature rules with a prescribed abscissa . Calcolo , 51 ( 2 ): 319 - 328 , 2014 .

[7] R. Bojanic , R. DeVore. On polynomials of best one-sided approximation . Enseign. Math., 2 ( 12 ): 139 - 164 , 1966 .

[8] N. P. Korneichuk , A. A. Ligun , V. G. Doronin . Approximation with constraints . Naukova Dumka , Kiev, 1982 (in Russian). = Н.П. Корнейчук , А.А. Лигун, В.Г. Доронин. Аппроксимация с ограничениями . Наукова думка, Киев , 1982 .

[9] P. K. Suetin . Classical orthogonal polynomials . Nauka , Moscow, 1976 (in Russian). = П.К. Суетин. Клас- сические ортогональные многочлены. Наука , Москва, 1976 .