Введение

1.1 Обозначения. Постановка задачи Пусть L = L(−1, 1) есть пространство вещественнозначных суммируемых функций на (−1, 1), наделенное нормой

f = 1 −1 |f (x)| dx, f ∈ L.(1)

При целом m 0 обозначим через P m множество алгебраических многочленов степени не выше m с вещественными коэффициентами. Функции f, измеримой и ограниченной на отрезке [−1, 1], сопоставим множества P − m (f ) = {p ∈ P m : p f }, P + m (f ) = {p ∈ P m : p f } многочленов из P m , графики которых лежат соответственно под и над графиком функции f . Здесь и в дальнейшем для пары функций f и g, определенных на отрезке [−1, 1], неравенство f g означает, что f (x) g(x) для всех x ∈ [−1 , 1]. Рассмотрим величины наилучшего приближения снизу и сверху в пространстве L функции f множеством P m :

E − m (f ) = inf{ f − p : p ∈ P − m (f )},(2)E + m (f ) = inf{ f − p : p ∈ P + m (f )}.(3)

В данной статье в качестве приближаемых функций будут рассматриваться характеристические функции 1 J множеств J ⊆ [−1, 1], определенные соотношениями

1 J (x) = 1, x ∈ J, 0, x ∈ [−1, 1] \ J.(4)

В настоящее время имеется большое число результатов, посвященных исследованию задач (2) и (3) для функции (4) в случае, когда J есть промежуток; см. статьи [1,2,3] и приведенную в них библиографию. В [2] дано решение задачи (2) для промежутков J = (a, 1], a ∈ (−1, 1). В [3] этот результат распространен на одностороннее приближение характеристических функций промежутков J = (a, 1], a ∈ (−1, 1), в весовых пространствах L с довольно общим весом. В [3]

E + m (f ) = E − m (c − f ).(6)

Так что, задача одностороннего приближения сверху сводится к задаче одностороннего приближения снизу. В частности, одностороннее интегральное приближение сверху функции 1 J для интервала J = (a, b) совпадает с односторонним приближением снизу функции

1 J = 1 − 1 J , для множества J = [−1, 1] \ J = [−1, a] ∪ [b, 1] .(7)

Наряду с (7) рассмотрим множество

J = [−1, a) ∪ (b, 1] .(8)

Нетрудно понять, что множества многочленов

P − m (f ) = {p ∈ P m : p f } для функций 1 J и 1 J совпадают. Поэтому E − m (1 J ) = E − m (1 J

). Множество (8) не является промежутком, что приводит к особенностям в исследовании задачи (2) для характеристической функции множества (8) в сравнении с такой задачей для промежутка.

В данной работе как раз и изучается задача E − m (1 J ) для множества (8) со значениями параметров (5) при m = 5.

Редукция задачи

Задачи (2) и (3) можно переписать в несколько иной, более удобной для аналитического и численного исследования, форме. Если p ∈ P − m (f ), то имеем

f − p = 1 −1 |f (x) − p(x)| dx = 1 −1 (f (x) − p(x)) dx = 1 −1 f (x) dx − 1 −1 p(x) dx. Поэтому E − m (f ) = 1 −1 f (x) dx − I − m (f ),(9)

где

I − m (f ) = sup 1 −1 p(x) dx : p ∈ P − m (f ) .(10)

Аналогично,

E + m (f ) = I + m (f ) − 1 −1 f (x) dx, где I + m (f ) = inf 1 −1 p(x) dx : p ∈ P + m (f ) .(11)

Задачи (10) и (11) являются задачами бесконечномерного линейного программирования: в них число неизвестных коэффициентов многочлена конечное, а число ограничений бесконечное.

Применение квадратурных формул с неотрицательными весами

Важным инструментом исследования задач (2), (3) или, то же самое, (10), (11) являются квадратурные формулы с положительными весами, точные на множестве P m алгебраических многочленов. Таким формулам посвящены обширные исследования, см. монографию [5], статьи [6,3] и приведенную в них библиографию.

Следующее утверждение содержится в доказательстве теоремы 2 работы [7]; доказательство варианта теоремы А можно найти в [8, гл. 1, § 1.7, теорема 1.7.5] и [4].

Теорема A. Предположим, что на множестве P m имеет место квадратурная формула

1 −1 p(x) dx = M k=1 λ k p(x k ), p ∈ P m ,(12)с узлами −1 x 1 < x 2 < • • • < x M 1 и положительными весами: λ k > 0, 1 k M . Тогда для любой ограниченной и измеримой функции f ∈ L справедливы оценки I − m (f ) M k=1 λ k f (x k ); I + m (f ) M k=1 λ k f (x k ).

2 Одностороннее приближение снизу характеристической функции множества J = −1, − 3/5 ∪ (2/5, 1] многочленами пятой степени

В этом параграфе будут изучаться величины E − m (1 J ) и I − m (1 J ) для множества J = −1, − 3/5 ∪ (2/5, 1]

при m = 5. Для краткости будем использовать для них обозначения E − 5 и I − 5 соответственно. Ниже будут построены квадратурная формула с неотрицательными весами и многочлен p 5 ∈ P − 5 (1 J ) , которые дадут совпадающие между собой двусторонние оценки этих величин, а значит и их значения.

Численный эксперимент

С целью выработки гипотезы относительно вида экстремального многочлена и соответствующей квадратурной формулы было проведено приближенное решение задачи (10) для функции 1 J при m = 5. Для реализации численного эксперимента оказалось удобным использовать разложение многочленов p ∈ P m в виде линейной комбинации

p(x) = m k=0 c k π k (x) многочленов Лежандра {π k } k 0 , ортогональных на (−1, 1) с единичным весом (см. например, [9, гл. IV]). Поскольку π 0 ≡ 1, то из условия ортогональности многочленов Лежандра следует, что 1 −1 p(x) dx = 2c 0 . Поэтому I − 5 = sup 2c 0 : 5 k=0 c k π k (x) 1 J (x), x ∈ [−1, 1] .(13)a 1 = −1, a 2 = a = − 3 5 , a 3 = b = 2 5 , x 1 ∈ − 3 5 , 0 , x 2 ∈ 2 5 , 1 .(14)

2.2 Построение точек x 1 , x 2 , x 3

Осуществим теперь точный выбор узлов x 1 , x 2 и точки x 3 . Наложим на узлы x 1 , x 2 и точку x 3 следующие условия.

(1) Выполнены ограничения (14) и ограничение x 3 > 1.

(2) Точка x 1 выбирается из условия, что квадратурная формула с фиксированными узлами a 1 , a 2 , a 3 , x 2 и свободным узлом x 1 имела бы максимальный, в данном случае, пятый, алгебраический порядок точности. Это свойство означает, что должно быть выполнено условие ортогональности (см., например, [5, гл. 9, § 1])

1 −1 ω(x) dx = 0, ω(x) = (x − a 1 )(x − a 2 )(x − a 3 )(x − x 1 )(x − x 2 ).(15)

(3) Потребуем, чтобы производная многочлена

p 5 (x) = (x − a 2 )(x − a 3 )(x − x 3 )(x − x 1 ) 2 в точке x 2 была равна нулю: p 5 (x 2 ) = 0.(16)

(4) Потребуем, чтобы совпадали значения многочлена p 5 (x) в точках a 1 и x 2 :

p 5 (x 2 ) = p 5 (a 1 ).(17)

При сделанных предположениях многочлен p 5 после домножения на нормирующий множитель окажется экстремальным.

Условия (15), ( 16) и (17) образуют систему трех полиномиальных уравнений относительно трех неизвестных x 1 , x 2 , x 3 :

6 25 + 2 75 √ 15 − 2 15 x 1 − 2 25 √ 15 x 1 − 2 15 x 2 − 2 25 √ 15 x 2 + 2 5 x 1 x 2 − 2 75 √ 15 x 1 x 2 = 0; x 2 + 1 5 √ 15 x 2 − 2 5 (x 2 − x 1 ) 2 + (x 2 − x 3 ) x 2 − 2 5 (x 2 − x 1 ) 2 + (x 2 − x 3 ) x 2 + 1 5 √ 15 (x 2 − x 1 ) 2 + (2 x 2 − 2 x 3 ) x 2 + 1 5 √ 15 x 2 − 2 5 (x 2 − x 1 ) = 0;

(18)

x 2 + 3 5 x 2 − 2 5 (x 2 − x 3 )(x 2 − x 1 ) 2 = − 7 5 (−1 − x 3 ) −1 + 1 5 √ 15 (−1 − x 1 ) 2 . (19)

Первое из них можно записать в виде явного выражения x 2 через x 1 :

x 2 = W (x 1 ), где W (z) = − −9 − √ 15 + 5 z + 3 √ 15 z 5 + 3 √ 15 − 15 z + √ 15 z . (20)

Подставив это выражение в (18), можно выразить явно x 3 через x 1 : Значит, многочлен H имеет корень на интервале (z 1 , z 2 ), его мы и возьмем в качестве x 1 .

x 3 = U 1 (x 1 ) U 2 (x 1 ) , где U 1 (z) = 1 5 (16485 + 140550z 2 − 57360z − 25880 √ 15z 3 − 21040 √ 15z + 25545z

Функция W, определенная в (20), убывает по z на полуоси

(−∞, Z), где Z = 5 √ 15 + 12 21 > 1. Поэтому для x 1 ∈ (−0.4, −0.3) имеем x 2 = W (x 1 ) ∈ W (−0.3), W (−0.4) ,(22)Отношение U (x 1 ) = U 1 (x 1 )/U 2 (x 1 ), определенное в (21), убывает на рассматриваемом интервале. А сле- довательно, x 3 > U (−0.3) > 1, что нам и требовалось.

Отметим, что вычисления на компьютере дают следующие значения:

x 1 = −0.3278186917 . . . , x 2 = 0.9039992481 . . . , x 3 = 1.141897229 . . . .

Исследование экстремальной квадратуры

Рассмотрим интерполяционную квадратурную формулу (см., например, [5, гл. 6, § 1])

1 −1 f (x) dx = 3 =1 A f (a ) + 2 k=1 B k f (x k ),(23)

построенную по узлам (14) в предположении, что точки x 1 , x 2 выбраны на предыдущем этапе рассуждений. В соответствии с выбором точек x 1 , x 2 , формула (23) точна на множестве P 5 многочленов пятой степени. Коэффициенты формулы (23) строятся с помощью фундаментальных многочленов интерполяционного процесса Лагранжа по узлам квадратурной формулы.

Лемма 1. Коэффициенты {A } 3 =1 и {B k } 2 k=1 квадратурной формулы (23) положительные. Доказательство. Положительность коэффициента A 2 . Рассмотрим квадратуру Лобатто с фиксирован- ными узлами −1, 1 и двумя свободными узлами {x 2,k } 2 k=1 : 1 −1 f (x) dx = 2 k=1 A 2,k f (x 2,k ) + A 2,3 f (−1) + A 2,4 f (1), f ∈ P 5 .(24)

Узлы этой формулы находятся из условия соответствующей ортогональности [5, гл. 9, § 1, теорема 1] и равны

(x) = (x − a 1 )(x − a 3 )(x − x 1 )(x − x 2 )(x − 1). Применив к нему формулы (23) и (24), получаем 1 −1 g(x) dx = A 2 g(a 2 ) = 2 k=1 A 2,k g(x 2,k ). Исходя из (14) и (22), легко понять, что a 1 = −1 < a 2 < x 1 < a 3 < x 2 < 1, поэтому g(a 2 ) > 0. При этом a 1 < x 2,1 < x 1 , a 3 < x 2,2 < x 2 .(25)

В силу (25) имеем g(x 2,1 ) > 0, g(x 2,2 ) > 0. Из этого вытекает, что Положительность коэффициентов A 1 , A 3 , B 1 , B 2 доказывается по такой же схеме, только вместо квадратурной формулы Лобатто используется квадратурная формула Гаусса

1 −1 f (x) dx = 3 k=1 A 3,k f (x 3,k ), f ∈ P 5 , с тремя узлами {x 3,k } 3 k=1 , а вместо многочлена g соответственно многочлены g 1 (x) = (x − x 1 )(x − x 2 )(x − a 2 )(x − a 3 )x, g 2 (x) = (x − x 1 )(x − x 2 )(x − a 1 )(x − a 2 )x, g 3 (x) = (x − x 2 )(x − a 1 )(x − a 2 )(x − a 3 )x, g 4 (x) = (x − x 1 )(x − a 1 )(x − a 2 )(x − a 3 )x.

Аналогичное рассуждение применялось при обосновании соответствующего утверждения в [4]. Лемма доказана.

Основной результат

Tеорема 1.

Пусть m = 5, a = − 3/5, b = 2/5, J = [−1, a) ∪ (b, 1]. Тогда I − m (1 J ) = A 1 + B 2 , E − m (1 J ) = (a + 1) + (1 − b) − A 1 − B 2 ,(26)

где A 1 и B 2 коэффициенты квадратурной формулы (23). При этом многочлен пятой степени

p * 5 (x) = p 5 (x) p 5 (x 2 ) , p 5 (x) = (x − a)(x − b)(x − x 3 )(x − x 1 ) 2 ,(27)

является многочленом наилучшего приближения снизу функции 1 J ; этот многочлен интерполирует функцию 1 J в узлах квадратурной формулы (23).