=Paper=
{{Paper
|id=Vol-1894/appr6
|storemode=property
|title=Одностороннее приближение сверху в L(-1,1) характеристической функции интервала алгебраическими
многочленами(One-sided approximation to the characteristic function of an interval from above by algebraic polynomials in L(-1,1))
|pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-1894/appr6.pdf
|volume=Vol-1894
|authors=Anastasiya Yu. Torgashova
}}
==Одностороннее приближение сверху в L(-1,1) характеристической функции интервала алгебраическими
многочленами(One-sided approximation to the characteristic function of an interval from above by algebraic polynomials in L(-1,1))==
https://ceur-ws.org/Vol-1894/appr6.pdf
Одностороннее приближение сверху в L(−1, 1)
характеристической функции интервала
алгебраическими многочленами
А. Ю. Торгашова
anastasiya.torgashova@mail.ru
УрФУ (Екатеринбург)
Аннотация
Изучается задача одностороннего приближения сверху
p в L(−1, 1)
характеристической функции интервала J = (− 3/5 , 2/5) ал-
гебраическими многочленами пятой степени. Задача сводится
к приближению
p снизу характеристической функции множества
[−1, − 3/5) ∪ (2/5, 1], уже не являющегося промежутком. Для ре-
шения последней задачи построена соответствующая квадратур-
ная формула с положительными весами. Приближение снизу в
L(−1, 1) характеристической функции интервала J многочленами
пятой степени было найдено автором ранее.
1 Введение
1.1 Обозначения. Постановка задачи
Пусть L = L(−1, 1) есть пространство вещественнозначных суммируемых функций на (−1, 1), наделен-
ное нормой
Z 1
kf k = |f (x)| dx, f ∈ L. (1)
−1
При целом m > 0 обозначим через Pm множество алгебраических многочленов степени не выше m с
вещественными коэффициентами. Функции f, измеримой и ограниченной на отрезке [−1, 1], сопоставим
множества
− +
Pm (f ) = {p ∈ Pm : p 6 f }, Pm (f ) = {p ∈ Pm : p > f }
многочленов из Pm , графики которых лежат соответственно под и над графиком функции f . Здесь и
в дальнейшем для пары функций f и g, определенных на отрезке [−1, 1], неравенство f 6 g означает,
что f (x) 6 g(x) для всех x ∈ [−1, 1]. Рассмотрим величины наилучшего приближения снизу и сверху в
пространстве L функции f множеством Pm :
− −
Em (f ) = inf{kf − pk : p ∈ Pm (f )}, (2)
+ +
Em (f ) = inf{kf − pk : p ∈ Pm (f )}. (3)
Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the International Youth School-conference «SoProMat-2017», Yekaterinburg,
Russia, 06-Feb-2017, published at http://ceur-ws.org
174
В данной статье в качестве приближаемых функций будут рассматриваться характеристические функ-
ции 1J множеств J ⊆ [−1, 1], определенные соотношениями
1, x ∈ J,
1J (x) = (4)
0, x ∈ [−1, 1] \ J.
В настоящее время имеется большое число результатов, посвященных исследованию задач (2) и (3) для
функции (4) в случае, когда J есть промежуток; см. статьи [1, 2, 3] и приведенную в них библиографию.
В [2] дано решение задачи (2) для промежутков J = (a, 1], a ∈ (−1, 1). В [3] этот результат распространен на
одностороннее приближение характеристических функций промежутков J = (a, 1], a ∈ (−1, 1), в весовых
пространствах L с довольно общим весом. В [3] было отмечено, что предложенная авторами методика для
интервала J = (a, b) при b < 1 уже неприменима. Это было проиллюстрировано в случае
r
3 2
a=− = −0.774597 . . . , b= (5)
5 5
при m = 5 для L-нормы (1). В работе автора [4] решена задача (2) об одностороннем приближении снизу
функции 1J в этом конкретном случае. В настоящей статье приведено решение соответствующей задачи (3)
об одностороннем приближении сверху.
Для любой (измеримой, ограниченной на [−1, 1]) функции f, любой константы c, при любом m > 0,
очевидно, имеет место равенство
+ −
Em (f ) = Em (c − f ). (6)
Так что, задача одностороннего приближения сверху сводится к задаче одностороннего приближения снизу.
В частности, одностороннее интегральное приближение сверху функции 1J 0 для интервала J 0 = (a, b)
совпадает с односторонним приближением снизу функции 1J = 1 − 1J 0 , для множества
J = [−1, 1] \ J 0 = [−1, a] ∪ [b, 1] . (7)
Наряду с (7) рассмотрим множество
J = [−1, a) ∪ (b, 1] . (8)
−
Нетрудно понять, что множества многочленов Pm (f ) = {p ∈ Pm : p 6 f } для функций 1J и 1J совпадают.
− −
Поэтому Em (1J ) = Em (1J ). Множество (8) не является промежутком, что приводит к особенностям в
исследовании задачи (2) для характеристической функции множества (8) в сравнении с такой задачей для
промежутка.
−
В данной работе как раз и изучается задача Em (1J ) для множества (8) со значениями параметров (5)
при m = 5.
1.2 Редукция задачи
Задачи (2) и (3) можно переписать в несколько иной, более удобной для аналитического и численного
−
исследования, форме. Если p ∈ Pm (f ), то имеем
Z1 Z1 Z1 Z1
kf − pk = |f (x) − p(x)| dx = (f (x) − p(x)) dx = f (x) dx − p(x) dx.
−1 −1 −1 −1
Поэтому
Z1
− −
Em (f ) = f (x) dx − Im (f ), (9)
−1
где
Z1
− −
Im (f ) = sup p(x) dx : p ∈ Pm (f ) . (10)
−1
175
Z1
+ +
Аналогично, Em (f ) = Im (f ) − f (x) dx, где
−1
Z1
+ +
Im (f ) = inf p(x) dx : p ∈ Pm (f ) . (11)
−1
Задачи (10) и (11) являются задачами бесконечномерного линейного программирования: в них число неиз-
вестных — коэффициентов многочлена — конечное, а число ограничений бесконечное.
1.3 Применение квадратурных формул с неотрицательными весами
Важным инструментом исследования задач (2), (3) или, то же самое, (10), (11) являются квадратур-
ные формулы с положительными весами, точные на множестве Pm алгебраических многочленов. Таким
формулам посвящены обширные исследования, см. монографию [5], статьи [6, 3] и приведенную в них
библиографию.
Следующее утверждение содержится в доказательстве теоремы 2 работы [7]; доказательство варианта
теоремы А можно найти в [8, гл. 1, § 1.7, теорема 1.7.5] и [4].
Теорема A. Предположим, что на множестве Pm имеет место квадратурная формула
Z1 M
X
p(x) dx = λk p(xk ), p ∈ Pm , (12)
−1 k=1
с узлами −1 6 x1 < x2 < · · · < xM 6 1 и положительными весами: λk > 0, 1 6 k 6 M . Тогда для любой
ограниченной и измеримой функции f ∈ L справедливы оценки
M
X M
X
− +
Im (f ) 6 λk f (xk ); Im (f ) > λk f (xk ).
k=1 k=1
2 Одностороннее hприближение
снизу характеристической функции
p
множества J = −1, − 3/5 ∪ (2/5, 1] многочленами пятой степени
− −
В этом параграфе будут изучаться величины Em (1J ) и Im (1J ) для множества
h p
J = −1, − 3/5 ∪ (2/5, 1]
при m = 5. Для краткости будем использовать для них обозначения E− −
5 и I5 соответственно. Ниже будут
построены квадратурная формула с неотрицательными весами и многочлен p5 ∈ P5− (1J ) , которые дадут
совпадающие между собой двусторонние оценки этих величин, а значит и их значения.
2.1 Численный эксперимент
С целью выработки гипотезы относительно вида экстремального многочлена и соответствующей квад-
ратурной формулы было проведено приближенное решение задачи (10) для функции 1J при m = 5. Для
реализации численного эксперимента оказалось удобным использовать разложение многочленов p ∈ Pm в
виде линейной комбинации
m
X
p(x) = ck πk (x)
k=0
многочленов Лежандра {πk }k>0 , ортогональных на (−1, 1) с единичным весом (см. например, [9, гл. IV]).
Z 1
Поскольку π0 ≡ 1, то из условия ортогональности многочленов Лежандра следует, что p(x) dx = 2c0 .
−1
Поэтому ( )
5
X
I−
5 = sup 2c0 : ck πk (x) 6 1J (x), x ∈ [−1, 1] . (13)
k=0
176
Ограничения на отрезке [−1, 1] в (13) были заменены ограничениями на густой сетке. Решение полученной
задачи с помощью пакета Matlab дало следующие примерные значения коэффициентов: c0 = 0.193580;
c1 = 0.329033; c2 = 0, 673871; c3 = 0.002890; c4 = 0.047953; c5 = −0.416519. На рисунке изображены графики
функции 1J и найденного многочлена.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 a b
-0.2
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
График экстремального многочлена
В результате этого p
эксперимента сформировалась гипотеза, что для экстремального многочлена зада-
чи (13)
pточки a = − 3/5 и b = 2/5 являются простыми нулями, этот многочлен имеет двойной ноль
x1 ∈ − 3/5 , 0 , простой нуль x3 > 1 и достигает максимального значения на отрезке [−1, 1], равно-
го 1, в некоторой точке x2 ∈ (2/5, 1), а также в точке −1. Как следствие, соответствующая задаче (13)
квадратурная формула (12) должна иметь вид
Z1 3
X 2
X
p(x) dx = A` p(a` ) + Bk p(xk ), p ∈ P5 ,
−1 `=1 k=1
с узлами
r r !
3 2 3 2
a1 = −1, a2 = a = − , a3 = b = , x1 ∈ − ,0 , x2 ∈ ,1 . (14)
5 5 5 5
2.2 Построение точек x1 , x2 , x3
Осуществим теперь точный выбор узлов x1 , x2 и точки x3 . Наложим на узлы x1 , x2 и точку x3 следу-
ющие условия.
(1) Выполнены ограничения (14) и ограничение x3 > 1.
(2) Точка x1 выбирается из условия, что квадратурная формула с фиксированными узлами a1 , a2 , a3 , x2
и свободным узлом x1 имела бы максимальный, в данном случае, пятый, алгебраический порядок точности.
Это свойство означает, что должно быть выполнено условие ортогональности (см., например, [5, гл. 9, § 1])
Z1
ω(x) dx = 0, ω(x) = (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 )(x − x1 )(x − x2 ). (15)
−1
(3) Потребуем, чтобы производная многочлена p5 (x) = (x − a2 )(x − a3 )(x − x3 )(x − x1 )2 в точке x2 была
равна нулю:
p5 0 (x2 ) = 0. (16)
177
(4) Потребуем, чтобы совпадали значения многочлена p5 (x) в точках a1 и x2 :
p5 (x2 ) = p5 (a1 ). (17)
При сделанных предположениях многочлен p5 после домножения на нормирующий множитель окажется
экстремальным.
Условия (15), (16) и (17) образуют систему трех полиномиальных уравнений относительно трех неиз-
вестных x1 , x2 , x3 :
6 2√ 2 2√ 2 2√ 2 2√
+ 15 − x1 − 15 x1 − x2 − 15 x2 + x1 x2 − 15 x1 x2 = 0;
25 75 15 25 15 25 5 75
1√
2 2
x2 + 15 x2 − (x2 − x1 )
5 5
1√
2 2 2
+ (x2 − x3 ) x2 − (x2 − x1 ) + (x2 − x3 ) x2 + 15 (x2 − x1 ) (18)
5 5
1√
2
+ (2 x2 − 2 x3 ) x2 + 15 x2 − (x2 − x1 ) = 0;
5 5
r !
1√
3 2 7
x2 + x2 − (x2 − x3 )(x2 − x1 )2 = − (−1 − x3 ) −1 + 15 (−1 − x1 )2 . (19)
5 5 5 5
Первое из них можно записать в виде явного выражения x2 через x1 :
√ √
−9 − 15 + 5 z + 3 15 z
x2 = W (x1 ), где W (z) = − √ √ . (20)
5 + 3 15 − 15 z + 15 z
Подставив это выражение в (18), можно выразить явно x3 через x1 :
U1 (x1 ) 1 √
x3 = , где U1 (z) = (16485 + 140550z 2 − 57360z − 25880 15z 3
U2 (x1 ) 5
√ √ √ √
− 21040 15z + 25545z + 3159 15 + 22554 15z 2 − 43720z 3 + 75 15z 4 );
4
(21)
√ √ √ √
U2 (z) = 6030 15z 2 − 2440 15z + 1113 15z 4 − 15648z 3 − 32 15z 3
√
+ 893 15 − 15272z + 2625 − 1995z 4 + 8862z 2 .
При подстановке (20) и (21) в выражение (19) получаем, что x1 является корнем многочлена одинна-
дцатой степени √ √
H(z)(−21z + 12 + 5 15)(−85z + 40 + 13 15)2 ,
где √
H(z) = −36280044675z 8 + 129561147450z 7 + 83973134070 15z 7
√ √
− 1401463484190z 6 − 239870661660 15z 6 + 2724305213610z 5 + 870761213330 15z 5
√ √
− 4607311500000z 4 − 1049020167712 15z 4 + 3030422326950z 3 + 856064046114 15z 3
√ √
− 774569826930z 2 − 176550391084 15z 2 − 342609058890z − 84302075578 15z
√
+ 143003290515 + 37239075672 15.
Многочлен H имеет четыре вещественных и четыре комплексных корня. Нас интересует отрицательный
вещественный корень. Локализуем этот корень. Рассмотрим точки z1 = −0.4 и z2 = −0.3. Имеем
√
H(z1 ) = −1.896517908 · 1011 − 4.896785856 · 1010 15 < 0,
√
H(z2 ) = 4.92616539 · 1010 + 1.272019016 · 1010 15 > 0.
Значит, многочлен H имеет корень на интервале (z1 , z2 ), его мы и возьмем в качестве x1 .
178
√
5 15 + 12
Функция W, определенная в (20), убывает по z на полуоси (−∞, Z), где Z = > 1. Поэтому
21
для x1 ∈ (−0.4, −0.3) имеем
x2 = W (x1 ) ∈ W (−0.3), W (−0.4) , (22)
при этом
√ √
103 15 − 228 −88 15 + 154
W (−0.3) = = 0.8948548 . . . , W (−0.4) = = 0.9264731 . . . .
191 196
Отношение U (x1 ) = U1 (x1 )/U2 (x1 ), определенное в (21), убывает на рассматриваемом интервале. А сле-
довательно, x3 > U (−0.3) > 1, что нам и требовалось.
Отметим, что вычисления на компьютере дают следующие значения:
x1 = −0.3278186917 . . . , x2 = 0.9039992481 . . . , x3 = 1.141897229 . . . .
2.3 Исследование экстремальной квадратуры
Рассмотрим интерполяционную квадратурную формулу (см., например, [5, гл. 6, § 1])
Z1 3
X 2
X
f (x) dx = A` f (a` ) + Bk f (xk ), (23)
−1 `=1 k=1
построенную по узлам (14) в предположении, что точки x1 , x2 выбраны на предыдущем этапе рассуждений.
В соответствии с выбором точек x1 , x2 , формула (23) точна на множестве P5 многочленов пятой степени.
Коэффициенты формулы (23) строятся с помощью фундаментальных многочленов интерполяционного
процесса Лагранжа по узлам квадратурной формулы.
Лемма 1. Коэффициенты {A` }3`=1 и {Bk }2k=1 квадратурной формулы (23) положительные.
Доказательство. Положительность коэффициента A2 . Рассмотрим квадратуру Лобатто с фиксирован-
ными узлами −1, 1 и двумя свободными узлами {x2,k }2k=1 :
Z1 2
X
f (x) dx = A2,k f (x2,k ) + A2,3 f (−1) + A2,4 f (1), f ∈ P5 . (24)
−1 k=1
Узлы этой формулы находятся из условия соответствующей ортогональности [5, гл. 9, § 1, теорема 1] и
равны
1 1
x2,1 = − √ = −0.447213 . . . , x2,2 = √ = 0.447213 . . . .
5 5
Коэффициенты квадратурной формулы (24) положительные [5, гл. 7, § 1, теорема 3].
Рассмотрим многочлен пятой степени g(x) = (x − a1 )(x − a3 )(x − x1 )(x − x2 )(x − 1). Применив к нему
формулы (23) и (24), получаем
Z1 2
X
g(x) dx = A2 g(a2 ) = A2,k g(x2,k ).
−1 k=1
Исходя из (14) и (22), легко понять, что a1 = −1 < a2 < x1 < a3 < x2 < 1, поэтому g(a2 ) > 0. При этом
a1 < x2,1 < x1 , a3 < x2,2 < x2 . (25)
Z 1
В силу (25) имеем g(x2,1 ) > 0, g(x2,2 ) > 0. Из этого вытекает, что g(x) dx > 0. Тем самым доказана
−1
положительность коэффициента A2 .
179
Положительность коэффициентов A1 , A3 , B1 , B2 доказывается по такой же схеме, только вместо
квадратурной формулы Лобатто используется квадратурная формула Гаусса
Z1 3
X
f (x) dx = A3,k f (x3,k ), f ∈ P5 ,
−1 k=1
с тремя узлами {x3,k }3k=1 , а вместо многочлена g — соответственно многочлены
g1 (x) = (x − x1 )(x − x2 )(x − a2 )(x − a3 )x,
g2 (x) = (x − x1 )(x − x2 )(x − a1 )(x − a2 )x,
g3 (x) = (x − x2 )(x − a1 )(x − a2 )(x − a3 )x,
g4 (x) = (x − x1 )(x − a1 )(x − a2 )(x − a3 )x.
Аналогичное рассуждение применялось при обосновании соответствующего утверждения в [4]. Лемма до-
казана.
2.4 Основной результат
p
Tеорема 1. Пусть m = 5, a = − 3/5, b = 2/5, J = [−1, a) ∪ (b, 1]. Тогда
− −
Im (1J ) = A1 + B2 , Em (1J ) = (a + 1) + (1 − b) − A1 − B2 , (26)
где A1 и B2 — коэффициенты квадратурной формулы (23). При этом многочлен пятой степени
p5 (x)
p∗5 (x) = , p5 (x) = (x − a)(x − b)(x − x3 )(x − x1 )2 , (27)
p5 (x2 )
является многочленом наилучшего приближения снизу функции 1J ; этот многочлен интерполирует
функцию 1J в узлах квадратурной формулы (23).
Доказательство. Исходя из выбора узлов x1 , x2 и точки x3 , нетрудно понять, что многочлен (27) удо-
влетворяет условию p∗5 6 1J . Этот многочлен дает оценку снизу для величины I− 5 . Применяя теорему A,
получим, что квадратурная формула (23) дает для величины I− 5 оценку сверху, которая, как легко увидеть,
совпадает с оценкой снизу. При этом многочлен (27) является экстремальным. Правая часть формулы (23),
примененной к многочлену p∗5 , равна A1 + B2 . Следовательно, I− 5 = A1 + B2 . Для обоснования второго ра-
венства в (26) осталось применить (9). Теорема доказана.
+ −
В силу соотношения (6) имеет место равенство Em (1(a, b) ) = Em (1J ). Кроме того, как можно заметить,
+ +
Em (1(a, b) ) = Em (1[a, b] ). Поэтому, вместе с теоремой 1, справедливо такое утверждение.
p
Tеорема 2. Пусть m = 5, a = − 3/5, b = 2/5. Тогда
+ +
Em (1(a, b) ) = Em (1[a, b] ) = (b − a) − A1 − B2 .
При этом многочленом наилучшего приближения сверху для функций 1[a, b] и 1(a, b) является многочлен
пятой степени 1 − p∗5 , который интерполирует функцию 1[a, b] в узлах квадратурной формулы (23).
Благодарности
Автор признателен своему научному руководителю М. В. Дейкаловой за постановку задачи и полезное
обсуждение результатов исследования.
Работа выполнена при финансовой поддержке Программы государственной поддержки ведущих науч-
ных школ РФ (проект НШ-9356.2016.1) и Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (поста-
новление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).
180
Список литературы
[1] A. G. Babenko, Yu. V. Kryakin, V. A. Yudin. One-sided approximation in L of the characteristic function
of an interval by trigonometric polynomials. Proc. Steklov Inst. Math., 280(Suppl. 1):39–52, 2013. = А.Г.
Бабенко, Ю.В. Крякин, В.А. Юдин. Одностороннее приближение в L характеристической функ-
ции интервала тригонометрическими полиномами. Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН,
18(1):82–95, 2012.
[2] J. Bustamante, R. Martı́nez-Cruz, J.M. Quesada, Quasi orthogonal Jacobi polynomials and best one-sided
L1 approximation to step functions. J. Approx. Theory, 198:10–23, 2015.
[3] A. G. Babenko, M. V. Deikalova, Sz. G. Révész. Weighted one-sided integral approximations to characteristic
functions of intervals by polynomials on a closed interval. Proc. Steklov Inst. Math., 297(Suppl. 1):S11–
S18, 2017. = А.Г. Бабенко, М.В. Дейкалова, С.Д. Ревес. Односторонние интегральные приближения
характеристических функций интервалов многочленами на отрезке с весом. Тр. Ин-та математики
и механики УрО РАН, 21(4):46–53, 2015.
[4] A. Yu. Torgashova. One-sided integral approximation of the characteristic function of an interval by algebraic
polynomials. Proc. Steklov Inst. Math., 296(Suppl. 1):S228-S235, 2017. = А.Ю. Торгашова. Одностороннее
интегральное приближение характеристической функции интервала алгебраическими многочленами.
Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 22(3):265–272, 2016.
[5] V. I. Krylov. Approximate calculation of integrals. Dover, New York, 2005. = В.И. Крылов. Приближенное
вычисление интегралов. Физматгиз, Москва, 1959.
[6] B. Beckermann, J. Bustamante, R. Martı́nez-Cruz, J. M. Quesada. Gaussian, Lobatto and Radau positive
quadrature rules with a prescribed abscissa. Calcolo, 51(2):319–328, 2014.
[7] R. Bojanic, R. DeVore. On polynomials of best one-sided approximation. Enseign. Math., 2(12):139–164,
1966.
[8] N. P. Korneichuk, A. A. Ligun, V. G. Doronin. Approximation with constraints. Naukova Dumka, Kiev,
1982 (in Russian). = Н.П. Корнейчук, А.А. Лигун, В.Г. Доронин. Аппроксимация с ограничениями.
Наукова думка, Киев, 1982.
[9] P. K. Suetin. Classical orthogonal polynomials. Nauka, Moscow, 1976 (in Russian). = П.К. Суетин. Клас-
сические ортогональные многочлены. Наука, Москва, 1976.
181
One-sided approximation to the characteristic function of an interval
from above by algebraic polynomials in L(−1, 1)
Anastasiya Yu. Torgashova
Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)
Keywords: algebraic polynomials, one-sided approximation, characteristic function of an interval.
We study the problem of one-sided approximation to the characteristic function of the interval J =
p
(− 3/5 , 2/5) from above by fifth-degree algebraic polynomials in L(−1,p 1). This problem reduces to the
approximation from below to the characteristic function of the set [−1, − 3/5) ∪ (2/5, 1], which is not an
interval. To solve the latter problem, we construct the corresponding quadrature formula with positive weights.
The approximation to the characteristic function of the interval J from below by fifth-degree polynomials in
L(−1, 1) was found by the author earlier.
182