Одностороннее приближение сверху в L(−1, 1) характеристической функции интервала алгебраическими многочленами А. Ю. Торгашова anastasiya.torgashova@mail.ru УрФУ (Екатеринбург) Аннотация Изучается задача одностороннего приближения сверху p в L(−1, 1) характеристической функции интервала J = (− 3/5 , 2/5) ал- гебраическими многочленами пятой степени. Задача сводится к приближению p снизу характеристической функции множества [−1, − 3/5) ∪ (2/5, 1], уже не являющегося промежутком. Для ре- шения последней задачи построена соответствующая квадратур- ная формула с положительными весами. Приближение снизу в L(−1, 1) характеристической функции интервала J многочленами пятой степени было найдено автором ранее. 1 Введение 1.1 Обозначения. Постановка задачи Пусть L = L(−1, 1) есть пространство вещественнозначных суммируемых функций на (−1, 1), наделен- ное нормой Z 1 kf k = |f (x)| dx, f ∈ L. (1) −1 При целом m > 0 обозначим через Pm множество алгебраических многочленов степени не выше m с вещественными коэффициентами. Функции f, измеримой и ограниченной на отрезке [−1, 1], сопоставим множества − + Pm (f ) = {p ∈ Pm : p 6 f }, Pm (f ) = {p ∈ Pm : p > f } многочленов из Pm , графики которых лежат соответственно под и над графиком функции f . Здесь и в дальнейшем для пары функций f и g, определенных на отрезке [−1, 1], неравенство f 6 g означает, что f (x) 6 g(x) для всех x ∈ [−1, 1]. Рассмотрим величины наилучшего приближения снизу и сверху в пространстве L функции f множеством Pm : − − Em (f ) = inf{kf − pk : p ∈ Pm (f )}, (2) + + Em (f ) = inf{kf − pk : p ∈ Pm (f )}. (3) Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes. In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the International Youth School-conference «SoProMat-2017», Yekaterinburg, Russia, 06-Feb-2017, published at http://ceur-ws.org 174 В данной статье в качестве приближаемых функций будут рассматриваться характеристические функ- ции 1J множеств J ⊆ [−1, 1], определенные соотношениями  1, x ∈ J, 1J (x) = (4) 0, x ∈ [−1, 1] \ J. В настоящее время имеется большое число результатов, посвященных исследованию задач (2) и (3) для функции (4) в случае, когда J есть промежуток; см. статьи [1, 2, 3] и приведенную в них библиографию. В [2] дано решение задачи (2) для промежутков J = (a, 1], a ∈ (−1, 1). В [3] этот результат распространен на одностороннее приближение характеристических функций промежутков J = (a, 1], a ∈ (−1, 1), в весовых пространствах L с довольно общим весом. В [3] было отмечено, что предложенная авторами методика для интервала J = (a, b) при b < 1 уже неприменима. Это было проиллюстрировано в случае r 3 2 a=− = −0.774597 . . . , b= (5) 5 5 при m = 5 для L-нормы (1). В работе автора [4] решена задача (2) об одностороннем приближении снизу функции 1J в этом конкретном случае. В настоящей статье приведено решение соответствующей задачи (3) об одностороннем приближении сверху. Для любой (измеримой, ограниченной на [−1, 1]) функции f, любой константы c, при любом m > 0, очевидно, имеет место равенство + − Em (f ) = Em (c − f ). (6) Так что, задача одностороннего приближения сверху сводится к задаче одностороннего приближения снизу. В частности, одностороннее интегральное приближение сверху функции 1J 0 для интервала J 0 = (a, b) совпадает с односторонним приближением снизу функции 1J = 1 − 1J 0 , для множества J = [−1, 1] \ J 0 = [−1, a] ∪ [b, 1] . (7) Наряду с (7) рассмотрим множество J = [−1, a) ∪ (b, 1] . (8) − Нетрудно понять, что множества многочленов Pm (f ) = {p ∈ Pm : p 6 f } для функций 1J и 1J совпадают. − − Поэтому Em (1J ) = Em (1J ). Множество (8) не является промежутком, что приводит к особенностям в исследовании задачи (2) для характеристической функции множества (8) в сравнении с такой задачей для промежутка. − В данной работе как раз и изучается задача Em (1J ) для множества (8) со значениями параметров (5) при m = 5. 1.2 Редукция задачи Задачи (2) и (3) можно переписать в несколько иной, более удобной для аналитического и численного − исследования, форме. Если p ∈ Pm (f ), то имеем Z1 Z1 Z1 Z1 kf − pk = |f (x) − p(x)| dx = (f (x) − p(x)) dx = f (x) dx − p(x) dx. −1 −1 −1 −1 Поэтому Z1 − − Em (f ) = f (x) dx − Im (f ), (9) −1 где  Z1  − − Im (f ) = sup p(x) dx : p ∈ Pm (f ) . (10) −1 175 Z1 + + Аналогично, Em (f ) = Im (f ) − f (x) dx, где −1  Z1  + + Im (f ) = inf p(x) dx : p ∈ Pm (f ) . (11) −1 Задачи (10) и (11) являются задачами бесконечномерного линейного программирования: в них число неиз- вестных — коэффициентов многочлена — конечное, а число ограничений бесконечное. 1.3 Применение квадратурных формул с неотрицательными весами Важным инструментом исследования задач (2), (3) или, то же самое, (10), (11) являются квадратур- ные формулы с положительными весами, точные на множестве Pm алгебраических многочленов. Таким формулам посвящены обширные исследования, см. монографию [5], статьи [6, 3] и приведенную в них библиографию. Следующее утверждение содержится в доказательстве теоремы 2 работы [7]; доказательство варианта теоремы А можно найти в [8, гл. 1, § 1.7, теорема 1.7.5] и [4]. Теорема A. Предположим, что на множестве Pm имеет место квадратурная формула Z1 M X p(x) dx = λk p(xk ), p ∈ Pm , (12) −1 k=1 с узлами −1 6 x1 < x2 < · · · < xM 6 1 и положительными весами: λk > 0, 1 6 k 6 M . Тогда для любой ограниченной и измеримой функции f ∈ L справедливы оценки M X M X − + Im (f ) 6 λk f (xk ); Im (f ) > λk f (xk ). k=1 k=1 2 Одностороннее hприближение  снизу характеристической функции p множества J = −1, − 3/5 ∪ (2/5, 1] многочленами пятой степени − − В этом параграфе будут изучаться величины Em (1J ) и Im (1J ) для множества h p  J = −1, − 3/5 ∪ (2/5, 1] при m = 5. Для краткости будем использовать для них обозначения E− − 5 и I5 соответственно. Ниже будут построены квадратурная формула с неотрицательными весами и многочлен p5 ∈ P5− (1J ) , которые дадут совпадающие между собой двусторонние оценки этих величин, а значит и их значения. 2.1 Численный эксперимент С целью выработки гипотезы относительно вида экстремального многочлена и соответствующей квад- ратурной формулы было проведено приближенное решение задачи (10) для функции 1J при m = 5. Для реализации численного эксперимента оказалось удобным использовать разложение многочленов p ∈ Pm в виде линейной комбинации m X p(x) = ck πk (x) k=0 многочленов Лежандра {πk }k>0 , ортогональных на (−1, 1) с единичным весом (см. например, [9, гл. IV]). Z 1 Поскольку π0 ≡ 1, то из условия ортогональности многочленов Лежандра следует, что p(x) dx = 2c0 . −1 Поэтому ( ) 5 X I− 5 = sup 2c0 : ck πk (x) 6 1J (x), x ∈ [−1, 1] . (13) k=0 176 Ограничения на отрезке [−1, 1] в (13) были заменены ограничениями на густой сетке. Решение полученной задачи с помощью пакета Matlab дало следующие примерные значения коэффициентов: c0 = 0.193580; c1 = 0.329033; c2 = 0, 673871; c3 = 0.002890; c4 = 0.047953; c5 = −0.416519. На рисунке изображены графики функции 1J и найденного многочлена. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 a b -0.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 График экстремального многочлена В результате этого p эксперимента сформировалась гипотеза, что для экстремального многочлена зада- чи (13)  pточки a = − 3/5 и b = 2/5 являются простыми нулями, этот многочлен имеет двойной ноль x1 ∈ − 3/5 , 0 , простой нуль x3 > 1 и достигает максимального значения на отрезке [−1, 1], равно- го 1, в некоторой точке x2 ∈ (2/5, 1), а также в точке −1. Как следствие, соответствующая задаче (13) квадратурная формула (12) должна иметь вид Z1 3 X 2 X p(x) dx = A` p(a` ) + Bk p(xk ), p ∈ P5 , −1 `=1 k=1 с узлами r r !   3 2 3 2 a1 = −1, a2 = a = − , a3 = b = , x1 ∈ − ,0 , x2 ∈ ,1 . (14) 5 5 5 5 2.2 Построение точек x1 , x2 , x3 Осуществим теперь точный выбор узлов x1 , x2 и точки x3 . Наложим на узлы x1 , x2 и точку x3 следу- ющие условия. (1) Выполнены ограничения (14) и ограничение x3 > 1. (2) Точка x1 выбирается из условия, что квадратурная формула с фиксированными узлами a1 , a2 , a3 , x2 и свободным узлом x1 имела бы максимальный, в данном случае, пятый, алгебраический порядок точности. Это свойство означает, что должно быть выполнено условие ортогональности (см., например, [5, гл. 9, § 1]) Z1 ω(x) dx = 0, ω(x) = (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 )(x − x1 )(x − x2 ). (15) −1 (3) Потребуем, чтобы производная многочлена p5 (x) = (x − a2 )(x − a3 )(x − x3 )(x − x1 )2 в точке x2 была равна нулю: p5 0 (x2 ) = 0. (16) 177 (4) Потребуем, чтобы совпадали значения многочлена p5 (x) в точках a1 и x2 : p5 (x2 ) = p5 (a1 ). (17) При сделанных предположениях многочлен p5 после домножения на нормирующий множитель окажется экстремальным. Условия (15), (16) и (17) образуют систему трех полиномиальных уравнений относительно трех неиз- вестных x1 , x2 , x3 : 6 2√ 2 2√ 2 2√ 2 2√ + 15 − x1 − 15 x1 − x2 − 15 x2 + x1 x2 − 15 x1 x2 = 0; 25 75 15 25 15 25 5 75 1√    2 2 x2 + 15 x2 − (x2 − x1 ) 5 5 1√     2 2 2 + (x2 − x3 ) x2 − (x2 − x1 ) + (x2 − x3 ) x2 + 15 (x2 − x1 ) (18) 5 5 1√    2 + (2 x2 − 2 x3 ) x2 + 15 x2 − (x2 − x1 ) = 0; 5 5 r ! 1√    3 2 7 x2 + x2 − (x2 − x3 )(x2 − x1 )2 = − (−1 − x3 ) −1 + 15 (−1 − x1 )2 . (19) 5 5 5 5 Первое из них можно записать в виде явного выражения x2 через x1 : √ √ −9 − 15 + 5 z + 3 15 z x2 = W (x1 ), где W (z) = − √ √ . (20) 5 + 3 15 − 15 z + 15 z Подставив это выражение в (18), можно выразить явно x3 через x1 : U1 (x1 ) 1 √ x3 = , где U1 (z) = (16485 + 140550z 2 − 57360z − 25880 15z 3 U2 (x1 ) 5 √ √ √ √ − 21040 15z + 25545z + 3159 15 + 22554 15z 2 − 43720z 3 + 75 15z 4 ); 4 (21) √ √ √ √ U2 (z) = 6030 15z 2 − 2440 15z + 1113 15z 4 − 15648z 3 − 32 15z 3 √ + 893 15 − 15272z + 2625 − 1995z 4 + 8862z 2 . При подстановке (20) и (21) в выражение (19) получаем, что x1 является корнем многочлена одинна- дцатой степени √ √ H(z)(−21z + 12 + 5 15)(−85z + 40 + 13 15)2 , где √ H(z) = −36280044675z 8 + 129561147450z 7 + 83973134070 15z 7 √ √ − 1401463484190z 6 − 239870661660 15z 6 + 2724305213610z 5 + 870761213330 15z 5 √ √ − 4607311500000z 4 − 1049020167712 15z 4 + 3030422326950z 3 + 856064046114 15z 3 √ √ − 774569826930z 2 − 176550391084 15z 2 − 342609058890z − 84302075578 15z √ + 143003290515 + 37239075672 15. Многочлен H имеет четыре вещественных и четыре комплексных корня. Нас интересует отрицательный вещественный корень. Локализуем этот корень. Рассмотрим точки z1 = −0.4 и z2 = −0.3. Имеем √ H(z1 ) = −1.896517908 · 1011 − 4.896785856 · 1010 15 < 0, √ H(z2 ) = 4.92616539 · 1010 + 1.272019016 · 1010 15 > 0. Значит, многочлен H имеет корень на интервале (z1 , z2 ), его мы и возьмем в качестве x1 . 178 √ 5 15 + 12 Функция W, определенная в (20), убывает по z на полуоси (−∞, Z), где Z = > 1. Поэтому 21 для x1 ∈ (−0.4, −0.3) имеем  x2 = W (x1 ) ∈ W (−0.3), W (−0.4) , (22) при этом √ √ 103 15 − 228 −88 15 + 154 W (−0.3) = = 0.8948548 . . . , W (−0.4) = = 0.9264731 . . . . 191 196 Отношение U (x1 ) = U1 (x1 )/U2 (x1 ), определенное в (21), убывает на рассматриваемом интервале. А сле- довательно, x3 > U (−0.3) > 1, что нам и требовалось. Отметим, что вычисления на компьютере дают следующие значения: x1 = −0.3278186917 . . . , x2 = 0.9039992481 . . . , x3 = 1.141897229 . . . . 2.3 Исследование экстремальной квадратуры Рассмотрим интерполяционную квадратурную формулу (см., например, [5, гл. 6, § 1]) Z1 3 X 2 X f (x) dx = A` f (a` ) + Bk f (xk ), (23) −1 `=1 k=1 построенную по узлам (14) в предположении, что точки x1 , x2 выбраны на предыдущем этапе рассуждений. В соответствии с выбором точек x1 , x2 , формула (23) точна на множестве P5 многочленов пятой степени. Коэффициенты формулы (23) строятся с помощью фундаментальных многочленов интерполяционного процесса Лагранжа по узлам квадратурной формулы. Лемма 1. Коэффициенты {A` }3`=1 и {Bk }2k=1 квадратурной формулы (23) положительные. Доказательство. Положительность коэффициента A2 . Рассмотрим квадратуру Лобатто с фиксирован- ными узлами −1, 1 и двумя свободными узлами {x2,k }2k=1 : Z1 2 X f (x) dx = A2,k f (x2,k ) + A2,3 f (−1) + A2,4 f (1), f ∈ P5 . (24) −1 k=1 Узлы этой формулы находятся из условия соответствующей ортогональности [5, гл. 9, § 1, теорема 1] и равны 1 1 x2,1 = − √ = −0.447213 . . . , x2,2 = √ = 0.447213 . . . . 5 5 Коэффициенты квадратурной формулы (24) положительные [5, гл. 7, § 1, теорема 3]. Рассмотрим многочлен пятой степени g(x) = (x − a1 )(x − a3 )(x − x1 )(x − x2 )(x − 1). Применив к нему формулы (23) и (24), получаем Z1 2 X g(x) dx = A2 g(a2 ) = A2,k g(x2,k ). −1 k=1 Исходя из (14) и (22), легко понять, что a1 = −1 < a2 < x1 < a3 < x2 < 1, поэтому g(a2 ) > 0. При этом a1 < x2,1 < x1 , a3 < x2,2 < x2 . (25) Z 1 В силу (25) имеем g(x2,1 ) > 0, g(x2,2 ) > 0. Из этого вытекает, что g(x) dx > 0. Тем самым доказана −1 положительность коэффициента A2 . 179 Положительность коэффициентов A1 , A3 , B1 , B2 доказывается по такой же схеме, только вместо квадратурной формулы Лобатто используется квадратурная формула Гаусса Z1 3 X f (x) dx = A3,k f (x3,k ), f ∈ P5 , −1 k=1 с тремя узлами {x3,k }3k=1 , а вместо многочлена g — соответственно многочлены g1 (x) = (x − x1 )(x − x2 )(x − a2 )(x − a3 )x, g2 (x) = (x − x1 )(x − x2 )(x − a1 )(x − a2 )x, g3 (x) = (x − x2 )(x − a1 )(x − a2 )(x − a3 )x, g4 (x) = (x − x1 )(x − a1 )(x − a2 )(x − a3 )x. Аналогичное рассуждение применялось при обосновании соответствующего утверждения в [4]. Лемма до- казана. 2.4 Основной результат p Tеорема 1. Пусть m = 5, a = − 3/5, b = 2/5, J = [−1, a) ∪ (b, 1]. Тогда − − Im (1J ) = A1 + B2 , Em (1J ) = (a + 1) + (1 − b) − A1 − B2 , (26) где A1 и B2 — коэффициенты квадратурной формулы (23). При этом многочлен пятой степени p5 (x) p∗5 (x) = , p5 (x) = (x − a)(x − b)(x − x3 )(x − x1 )2 , (27) p5 (x2 ) является многочленом наилучшего приближения снизу функции 1J ; этот многочлен интерполирует функцию 1J в узлах квадратурной формулы (23). Доказательство. Исходя из выбора узлов x1 , x2 и точки x3 , нетрудно понять, что многочлен (27) удо- влетворяет условию p∗5 6 1J . Этот многочлен дает оценку снизу для величины I− 5 . Применяя теорему A, получим, что квадратурная формула (23) дает для величины I− 5 оценку сверху, которая, как легко увидеть, совпадает с оценкой снизу. При этом многочлен (27) является экстремальным. Правая часть формулы (23), примененной к многочлену p∗5 , равна A1 + B2 . Следовательно, I− 5 = A1 + B2 . Для обоснования второго ра- венства в (26) осталось применить (9). Теорема доказана. + − В силу соотношения (6) имеет место равенство Em (1(a, b) ) = Em (1J ). Кроме того, как можно заметить, + + Em (1(a, b) ) = Em (1[a, b] ). Поэтому, вместе с теоремой 1, справедливо такое утверждение. p Tеорема 2. Пусть m = 5, a = − 3/5, b = 2/5. Тогда + + Em (1(a, b) ) = Em (1[a, b] ) = (b − a) − A1 − B2 . При этом многочленом наилучшего приближения сверху для функций 1[a, b] и 1(a, b) является многочлен пятой степени 1 − p∗5 , который интерполирует функцию 1[a, b] в узлах квадратурной формулы (23). Благодарности Автор признателен своему научному руководителю М. В. Дейкаловой за постановку задачи и полезное обсуждение результатов исследования. Работа выполнена при финансовой поддержке Программы государственной поддержки ведущих науч- ных школ РФ (проект НШ-9356.2016.1) и Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (поста- новление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013). 180 Список литературы [1] A. G. Babenko, Yu. V. Kryakin, V. A. Yudin. One-sided approximation in L of the characteristic function of an interval by trigonometric polynomials. Proc. Steklov Inst. Math., 280(Suppl. 1):39–52, 2013. = А.Г. Бабенко, Ю.В. Крякин, В.А. Юдин. Одностороннее приближение в L характеристической функ- ции интервала тригонометрическими полиномами. Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 18(1):82–95, 2012. [2] J. Bustamante, R. Martı́nez-Cruz, J.M. Quesada, Quasi orthogonal Jacobi polynomials and best one-sided L1 approximation to step functions. J. Approx. Theory, 198:10–23, 2015. [3] A. G. Babenko, M. V. Deikalova, Sz. G. Révész. Weighted one-sided integral approximations to characteristic functions of intervals by polynomials on a closed interval. Proc. Steklov Inst. Math., 297(Suppl. 1):S11– S18, 2017. = А.Г. Бабенко, М.В. Дейкалова, С.Д. Ревес. Односторонние интегральные приближения характеристических функций интервалов многочленами на отрезке с весом. Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 21(4):46–53, 2015. [4] A. Yu. Torgashova. One-sided integral approximation of the characteristic function of an interval by algebraic polynomials. Proc. Steklov Inst. Math., 296(Suppl. 1):S228-S235, 2017. = А.Ю. Торгашова. Одностороннее интегральное приближение характеристической функции интервала алгебраическими многочленами. Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 22(3):265–272, 2016. [5] V. I. Krylov. Approximate calculation of integrals. Dover, New York, 2005. = В.И. Крылов. Приближенное вычисление интегралов. Физматгиз, Москва, 1959. [6] B. Beckermann, J. Bustamante, R. Martı́nez-Cruz, J. M. Quesada. Gaussian, Lobatto and Radau positive quadrature rules with a prescribed abscissa. Calcolo, 51(2):319–328, 2014. [7] R. Bojanic, R. DeVore. On polynomials of best one-sided approximation. Enseign. Math., 2(12):139–164, 1966. [8] N. P. Korneichuk, A. A. Ligun, V. G. Doronin. Approximation with constraints. Naukova Dumka, Kiev, 1982 (in Russian). = Н.П. Корнейчук, А.А. Лигун, В.Г. Доронин. Аппроксимация с ограничениями. Наукова думка, Киев, 1982. [9] P. K. Suetin. Classical orthogonal polynomials. Nauka, Moscow, 1976 (in Russian). = П.К. Суетин. Клас- сические ортогональные многочлены. Наука, Москва, 1976. 181 One-sided approximation to the characteristic function of an interval from above by algebraic polynomials in L(−1, 1) Anastasiya Yu. Torgashova Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia) Keywords: algebraic polynomials, one-sided approximation, characteristic function of an interval. We study the problem of one-sided approximation to the characteristic function of the interval J = p (− 3/5 , 2/5) from above by fifth-degree algebraic polynomials in L(−1,p 1). This problem reduces to the approximation from below to the characteristic function of the set [−1, − 3/5) ∪ (2/5, 1], which is not an interval. To solve the latter problem, we construct the corresponding quadrature formula with positive weights. The approximation to the characteristic function of the interval J from below by fifth-degree polynomials in L(−1, 1) was found by the author earlier. 182