Институт естественных наук и математики УрФУ (Екатеринбург) В данной статье исследуются наибольшие и наименьшие значения коэффициентов тригонометрических полиномов при условии, что полиномы ограничены сверху и снизу непрерывными 2 периодическими функциями. Исследование наибольших и наименьших значений коэффициентов нечётных тригонометрических полиномов, ограниченных сверху на отрезке [0; 2 ] функцией '(x) = x, было проведено в более ранней работе автора [6].
(
An (k) = inffak(fn) : fn 2 Fng; Bn (k) = inffbk(fn) : fn 2 Fng: Величины An+(k) и Bn+(k); очевидно, по n не убывают, а величины An (k) и Bn (k) не возрастают. В следу
A+(k) = supfAn+(k) : n > n g = lim An+(k);
n!1 A (k) = inffA n(k) : n > n g = lim An (k);
n!1 B+(k) = supfBn+(k) : n > n g = lim Bn+(k);
n!1
B (k) = inffBn (k) : n > n g = lim B n(k)
n!1
(
A+(k) = A (k) = B+(k) = B (k) = 1 1 1 1 0
Z Z Z Z
Z Z Z
Z v(x) cos+(kx) dx +
u(x) cos (kx) dxA ; v(x) cos (kx) dx +
u(x) cos+(kx) dxA ; v(x) sin+(kx) dx +
u(x) sin (kx) dxA ; v(x) sin (kx) dx + u(x) sin+(kx) dxA : 1 1 1 1 К настоящему времени экстремальным задачам для тригонометрических полиномов, в частности, для полиномов с ограничениями на их значения, посвящено немалое число исследовательских работ (см., к примеру, [1, 2, 3, 4, 5] и приведенную там библиографию). В работе автора [6] изучены аналоги величин Bn+(k); Bn (k) на множестве нечетных тригонометрических полиномов fn; удовлетворяющих ограничению fn(x) 6 x; x 2 (0; 2 ). Эта работа, в свою очередь, представляет собой развите идей, содержащихся в статье автора [7], в которой были рассмотрены границы второго коэффициента для множества нечётных тригонометрических полиномов.
Утверждения теоремы 1 содержатся в приведенных ниже теореме 2 и ее следствии. 2
Более общая задача Пусть L2 есть пространство вещественнозначных, измеримых, 2 -периодических функций, суммируемых на произвольном отрезке длины 2 ; наделенное нормой
1 Z kf kL2 = jf (x)jdx; f 2 L2 : Обозначим через L21 пространство вещественнозначных, измеримых, 2 -периодических, существенно ограниченных функций f; наделенное нормой kf kL21 = ess sup fjf (x)j : x 2 Rg; f 2 L21 : С помощью некоторой функции 2 L2 определим на L21 функционал
I(f ) = I(f; ) = f (x) (x) dx:
(
Z
Рассмотрим более общую в сравнении с (
En+( ) = En+( ; u; v) = supfI(fn; ) : fn 2 Fng и их экстремальное значение
E+( ) = E+( ; u; v) = supfEn+( ; u; v) : n > n g = lim En+( ): n!1 По функции определим на оси 2 -периодическую функцию f + соотношением
8>v(x);
f +(x) = <(v(x) + u(x))=2;
>:u(x);
(x) > 0;
(x) = 0;
(x) < 0:
Согласно следующей теореме, в некотором смысле функция (
v(x) +(x) dx: Z
Z u(x) (x) dx +
v(x) +(x) dx: I(f +; ) =
Z E+( ) =
Z Z
Z
Z Z
Z
(
I(fn) = fn(x) (x) dx =
fn(x)( (x) + +(x)) dx = =
Z
1 f "(t + x) ' (t) dtA (x) dx:
Z f "(t + x) ' (t) dtA (x) dx =
Z ' (t)
Z f "(t + x) (x) dx dt Функция f бесконечно дифференцируемая (и 2 -периодическая). Поэтому ряд Фурье этой функции сходится к ней равномерно. Следовательно, существует такое N; что при n > N на всей оси для разности между функцией f и частичными суммами Sn(x) = Sn(x; f ) порядка n ряда Фурье функции f выполняется оценка jf (x)
Sn(x)j < "=2:
Из (14) и (13) вытекает, что при n > N (тригонометрический полином) Sn удовлетворяет ограничениям (
Sn(t) (t) dt ! f (t) (t) dt = I(f ; ); n ! 1: Убедимся, что если
! +0; то В самом деле, имеем
Z
Z
Z " 2 t) dy dt = ' (t) (y t) dt dy: В результате получено представление в котором
Z Переходя здесь к пределу при " ! +0; получаем оценку снизу совпадающую с оценкой сверху (9). Теорема 2 доказана.
Наряду с (
E+( ) > I(f +; ); Следствие 1. Для любой функции
2 L2 величина (19) имеет следующее значение: En ( ) = En ( ; u; v) = inffI(fn; ) : fn 2 Fng;
n > n ; E ( ) = E ( ; u; v) = inffEn ( ; u; v) : n > n g = lim En ( ):
n!1 E ( ) =
Z u(x) +(x) dx + v(x)
(x) dx:
Z Z В самом деле, для полинома fn 2 Fn = Fn(u; v) имеем I(fn; ) = E ( ; u; v) = E+( ; u; v): Согласно теореме 2 I(fn;
): Отсюда заключаем, что E+(
Z ) = u(x)( ) (x) dx + v(x)( )+(x) dx: Далее, имеем Следовательно, Тем самым утверждение следствия проверено.
( ) = min(0; ) = max(0; ) = +; ( )+ = max(0; ) = min(0; ) = : E+( ) = 0
Z u(x) +(x) dx +
v(x) Z
1 (x) dxA :
Доказательство теоремы 1
Investigation of coefficients of trigonometric polynomials under twosided constraints
Dmitry O. Zykov Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)