Постановка задачи. Основной результат

Пусть u и v -две непрерывные 2π-периодические функции, удовлетворяющие всюду на оси R (или, что то же самое, на периоде T = [−π, π]) условию u < v. При n 1 обозначим через F n = F n (u, v) множество тригонометрических полиномов

f n (x) = a 0 2 + n k=1 (a k cos kx + b k sin kx)(1)

порядка n с вещественными коэффициентами, которые удовлетворяют ограничениям

u(x) f n (x) v(x), −π x π.(2)

Нетрудно понять, что, по крайней мере, при достаточно большом n множество F n не пусто; обозначим через n * = n * (u, v) неотрицательное целое число со свойством, что при n n * множество F n не пусто. Основной вопрос, который нас интересует: какие значения могут принимать коэффициенты тригонометрических полиномов из множества F n ? Точнее, нас интересуют следующие величины:

A + n (k) = sup{a k (f n ) : f n ∈ F n }, A − n (k) = inf{a k (f n ) : f n ∈ F n }, B + n (k) = sup{b k (f n ) : f n ∈ F n }, B − n (k) = inf{b k (f n ) : f n ∈ F n }.(3)Величины A + n (k) и B + n (k), очевидно, по n не убывают, а величины A − n (k) и B − n (k) не возрастают. В следу- ющей теореме будут выписаны экстремальные значения A + (k) = sup{A + n (k) : n n * } = lim n→∞ A + n (k), A − (k) = inf{A − n(k) : n n * } = lim n→∞ A − n (k), B + (k) = sup{B + n (k) : n n * } = lim n→∞ B + n (k), B − (k) = inf{B − n (k) : n n * } = lim n→∞ B − n(k)(4)

величин (3). Для функции χ, определенной на числовой оси, обозначим через χ + и χ − ее положительную и отрицательную срезки: χ + = max{χ, 0}, χ − = min{χ, 0}. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Величины (4) имеют следующие значения:

A + (k) = 1 π   π −π v(x) cos + (kx) dx + π −π u(x) cos − (kx) dx   , A − (k) = 1 π   π −π v(x) cos − (kx) dx + π −π u(x) cos + (kx) dx   , B + (k) = 1 π   π −π v(x) sin + (kx) dx + π −π u(x) sin − (kx) dx   , B − (k) = 1 π   π −π v(x) sin − (kx) dx + π −π u(x) sin + (kx) dx   .

К настоящему времени экстремальным задачам для тригонометрических полиномов, в частности, для полиномов с ограничениями на их значения, посвящено немалое число исследовательских работ (см., к примеру, [1,2,3,4,5] и приведенную там библиографию). В работе автора [6] изучены аналоги величин

B + n (k), B − n (k) на множестве нечетных тригонометрических полиномов f n , удовлетворяющих ограничению f n (x)

x, x ∈ (0, 2π). Эта работа, в свою очередь, представляет собой развите идей, содержащихся в статье автора [7], в которой были рассмотрены границы второго коэффициента для множества нечётных тригонометрических полиномов.

Утверждения теоремы 1 содержатся в приведенных ниже теореме 2 и ее следствии.

Более общая задача

Пусть L 2π есть пространство вещественнозначных, измеримых, 2π-периодических функций, суммируемых на произвольном отрезке длины 2π, наделенное нормой

f L2π = 1 π π −π |f (x)|dx, f ∈ L 2π . Обозначим через L ∞ 2π пространство вещественнозначных, измеримых, 2π-периодических, существенно огра- ниченных функций f, наделенное нормой f L ∞ 2π = ess sup {|f (x)| : x ∈ R}, f ∈ L ∞ 2π . С помощью некоторой функции η ∈ L 2π определим на L ∞ 2π функционал I(f ) = I(f, η) = π −π f (x) η(x) dx.(5)

Рассмотрим более общую в сравнении с (3) задачу о наибольшем значении на множестве

F n = F n (u, v) функционала (5) для фиксированной функции η ∈ L 2π . Более точно, нас интересуют при n n * = n * (u, v) величины E + n (η) = E + n (η; u, v) = sup{I(f n , η) : f n ∈ F n }(6)

и их экстремальное значение

E + (η) = E + (η; u, v) = sup{E + n (η; u, v) : n n * } = lim n→∞ E + n (η).(7)

По функции η определим на оси 2π-периодическую функцию f + соотношением

f + (x) =      v(x), η(x) > 0; (v(x) + u(x))/2, η(x) = 0; u(x), η(x) < 0.(8)

Согласно следующей теореме, в некотором смысле функция (8) является экстремальной в задаче (7). Отметим на будущее, что с помощью срезок η + = max{η, 0}, η − = min{η, 0} функции η функционал (5) для функции (8) принимает вид

I(f + , η) = π −π u(x) η − (x) dx + π −π v(x) η + (x) dx.

Теорема 2. Для любой функции η ∈ L 2π величина (7) имеет следующее значение:

E + (η) = π −π u(x) η − (x) dx + π −π v(x) η + (x) dx.

Доказательство. Если тригонометрический полином f n принадлежит множеству F n , т. е. удовлетворяет ограничениям (2), то имеем

I(f n ) = π −π f n (x) η(x) dx = π −π f n (x)(η − (x) + η + (x)) dx = = π −π f n (x) η − (x) dx + π −π f n (x) η + (x) dx π −π u(x) η − (x) dx + π −π v(x) η + (x) dx = I(f + , η).

Следовательно, справедливо неравенство

E + (η) I(f + , η).(9)

Получим теперь для величины E + (η) такую же оценку снизу. Возьмем такое малое число ε > 0, что v − ε > u + ε. Определим на оси вспомогательную функцию

f ε (x) =      v(x) − ε, η(x) > 0; (v(x) + u(x))/2, η(x) = 0; u(x) + ε, η(x) < 0; Функция f ε , очевидно, удовлетворяет ограничениям u(x) + ε f ε (x) v(x) − ε, x ∈ R. (10)

Функция f ε в общем случае разрывная; с помощью стандартной процедуры сгладим ее. Обозначим через ϕ δ , δ > 0, функцию Соболева со следующими свойствами: функция ϕ δ определена, неотрицательная, четная, бесконечно дифференцируемая на R, ее носитель лежит на отрезке

[−δ, δ] и, наконец, ∞ −∞ ϕ δ (x)dx = δ −δ ϕ δ (x)dx = 1.

С её помощью зададим на оси вспомогательную функцию

f δ = f ε δ в виде свертки f δ (x) = (f ε * ϕ δ )(x) = ∞ −∞ f ε (t) ϕ δ (t − x) dt = δ −δ f ε (t + x) ϕ δ (t) dt.(11)

В силу (10) для функции (11) имеем

f δ (x) = δ −δ f ε (t + x) ϕ δ (t) dt δ −δ (v(t + x) − ε) ϕ δ (t) dt = δ −δ v(t + x) ϕ δ (t) dt − ε, f δ (x) = δ −δ f ε (t + x) ϕ δ (t) dt δ −δ (u(t + x) + ε) ϕ δ (t) dt = δ −δ u(t + x) ϕ δ (t) dt + ε. (12) Функции u и v непрерывные на R и 2π-периодические, поэтому равномерно непрерывные на R. Сле- довательно, существует δ > 0 такое, что для любой пары точек x , x ∈ R со свойством |x − x | < δ выполняются неравенства |u(x ) − u(x )| < ε/2, |v(x ) − v(x )| < ε/2. Отсюда и из оценок (12) для функции f δ заключаем, что если 0 < δ < δ, то всюду на R u(x) + ε 2 < f δ (x) < v(x) − ε 2 . (13)

Функция f δ бесконечно дифференцируемая (и 2π-периодическая). Поэтому ряд Фурье этой функции сходится к ней равномерно. Следовательно, существует такое N, что при n > N на всей оси для разности между функцией

f δ и частичными суммами S n (x) = S n (x; f δ ) порядка n ряда Фурье функции f δ выполняется оценка |f δ (x) − S n (x)| < ε/2. (14)

Из ( 14) и (13) вытекает, что при n > N (тригонометрический полином) S n удовлетворяет ограничениям (2), т. е. принадлежит множеству F n . Следовательно, если n > N , то для величины (6) справедлива оценка снизу E + n (η) I(S n , η). Поскольку последовательность {S n } сходится к функции f δ равномерно, то

I(S n , η) = π −π S n (t) η(t) dt −→ π −π f δ (t) η(t) dt = I(f δ , η), n → ∞.

Отсюда заключаем, что для величины (7) справедлива оценка снизу

E + (η) I(f δ , η), 0 < δ < δ.(15)

Убедимся, что если δ → +0, то

I(f δ , η) = π −π f δ (t) η(t) dt −→ I(f ε , η) = π −π f ε (t) η(t) dt.(16)

В самом деле, имеем

I(f δ , η) = π −π f δ (x) η(x) dx = π −π   δ −δ f ε (t + x) ϕ δ (t) dt   η(x) dx.

В последнем двойном интеграле сменим порядок интегрирования, заменим переменную интегрирования x на y = x + t и еще раз сменим порядок интегрирования:

I(f δ , η) = π −π   δ −δ f ε (t + x) ϕ δ (t) dt   η(x) dx = δ −δ ϕ δ (t) π −π f ε (t + x) η(x) dx dt = δ −δ ϕ δ (t) π −π f ε (y) η(y − t) dy dt = π −π f ε (y) δ −δ ϕ δ (t) η(y − t) dt dy.

В результате получено представление

I(f δ , η) = π −π f ε (y) η δ (y) dy,(17)

в котором

η δ (y) = δ −δ ϕ δ (t) η(y − t) dt = δ −δ ϕ δ (t) η(y + t) dt.(18)

Известно (см., например, [8, гл. I, § 1]), что свертка (18) при δ → +0 сходится в пространстве L 2π к функции η. Поэтому представление (17) влечет свойство (16). Неравенство (15) в пределе при δ → +0 принимает вид

E + (η) I(f ε , η) = π −π (u(x) + ε) η − (x) dx + π −π (v(x) − ε) η + (x) dx.

Переходя здесь к пределу при ε → +0, получаем оценку снизу

E + (η) I(f + , η),

совпадающую с оценкой сверху (9). Теорема 2 доказана. Наряду с ( 6) и (7) рассмотрим величины

E − n (η) = E − n (η; u, v) = inf{I(f n , η) : f n ∈ F n }, n n * , E − (η) = E − (η; u, v) = inf{E − n (η; u, v) : n n * } = lim n→∞ E − n (η). (19)

Следствие 1. Для любой функции η ∈ L 2π величина (19) имеет следующее значение:

E − (η) = π −π u(x) η + (x) dx + π −π v(x) η − (x) dx. В самом деле, для полинома f n ∈ F n = F n (u, v) имеем I(f n , η) = −I(f n , −η). Отсюда заключаем, что E − (η; u, v) = −E + (−η; u, v). Согласно теореме 2 E + (−η) = π −π u(x)(−η) − (x) dx + π −π v(x)(−η) + (x) dx. Далее, имеем (−η) − = min(0, −η) = − max(0, η) = −η + , (−η) + = max(0, −η) = − min(0, η) = −η − . Следовательно, E + (−η) = −   π −π u(x) η + (x) dx + π −π v(x) η − (x) dx   .

Тем самым утверждение следствия проверено.

3 Доказательство теоремы 1

Для коэффициентов тригонометрического полинома (1) имеют место формулы

a k = 1 π π −π f n (x) cos kx dx, b k = 1 π π −π f n (x) sin kx dx.

Они являются значениями функционала (5) в случае, когда η есть соответственно функция

1 π cos kx, 1 π sin kx.

Утверждения теоремы 2 и следствия для этих двух функций дают утверждения теоремы 1.

Благодарности

Список литературы

Investigation of coefficients of trigonometric polynomials under twosided constraints Dmitry O. Zykov Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia) Keywords: trigonometric polynomials, two-sided constraints, coefficients.

We study the largest and the smallest values of coefficients of trigonometric polynomials bounded from below and above by continuous 2π-periodic functions. A similar problem for coefficients of odd trigonometric polynomials bounded from above by the function ϕ(x) = x on the interval [0, 2π] was studied by the author earlier in [6].