=Paper=
{{Paper
|id=Vol-1894/bio1
|storemode=property
|title=Сравнение процессов деполяризации и реполяризации в компьютерных моделях левого желудочка и миокардиального среза(Comparison of depolarization and repolarization in mathematical models of the left ventricle and a thin myocardial slice)
|pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-1894/bio1.pdf
|volume=Vol-1894
|authors=Anastasia E. Bazhutina,Konstantin S. Ushenin,Alexey A. Golovin,Anastasia D. Khokhlova
}}
==Сравнение процессов деполяризации и реполяризации в компьютерных моделях левого желудочка и миокардиального среза(Comparison of depolarization and repolarization in mathematical models of the left ventricle and a thin myocardial slice)==
https://ceur-ws.org/Vol-1894/bio1.pdf
Сравнение процессов деполяризации и реполяризации
в компьютерных моделях левого желудочка
и миокардиального среза
А.Е. Бажутина К.С. Ушенин А.А. Головин
УрФУ (Екатеринбург) УрФУ (Екатеринбург) УрФУ (Екатеринбург)
bazhutina.anastasia@urfu.ru Институт иммунологии и rick.alex@yandex.ru
физиологии УрО РАН
(Екатеринбург)
konstantin.ushenin@urfu.ru
А.Д. Хохлова
УрФУ (Екатеринбург)
Институт иммунологии и
физиологии УрО РАН
(Екатеринбург)
a.d.khokhlova@urfu.ru
Аннотация
В данном исследовании при помощи численных экспериментов мы
сравниваем процессы активации, деполяризации и реполяризации,
происходящие в левом желудочке (ЛЖ) сердца и в тонком срезе
ЛЖ. В компьютерных моделях геометрия ЛЖ и направление воло-
кон являются реалистичными, персонифицированными по данным
диффузионно-тензорной магнито-резонансной томографии. Было
показано общее сходство электрофизиологических процессов в тон-
ком срезе и в трехмерном теле. Наблюдаемые различия во времени
активации было более явным, чем во времени реполяризации, при-
чем данные различия были наиболее выражены в отдельных ре-
гионах. Значительное расхождение было получено в значениях по-
тенциалов внеклеточного домена во время распространения волны
возбуждения. Основываясь на полученных результатах, мы можем
предположить, что различия в геометрии и ходе волокон влияют
на процессы деполяризации и реполяризации в миокарде.
Copyright © by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the International Youth School-conference «SoProMat-2017», Yekaterinburg,
Russia, 06-Feb-2017, published at http://ceur-ws.org
226
1 Введение
Тонкие срезы миокардиальной ткани (100-200 мкм) в экспериментальных исследованиях электрофизио-
логических свойств сердца начали использовать в конце 20 века. Так, Бурнашевым и соавт. был применен
метод локальной фиксации потенциала (patch-clamp) для записи ионных токов на одиночных калиевых
каналах на тонком срезе сердца новорожденных крыс без ферментативной обработки миокарда [2].
Позднее было показано, что тонкие срезы сердечной ткани у новорожденных крыс обладают более
репрезентативными электрофизиологическими характеристиками, чем монослойные культуры [3]. В на-
стоящее время тонкие срезы применяют для исследования вклада различных типов клеток в функцию
сердечной ткани, а также для разработки биологических кардиостимуляторов и методов регенерации сер-
дечной ткани с использованием стволовых клеток [4, 5, 6, 11]. Было показано, что такие срезы могут
являться адекватной экспериментальной моделью для изучения сложных процессов, происходящих в мио-
карде, представляя собой компромисс между моделью изолированных клеток и исследованием сердца in
vivo [13, 14, 24, 25, 27, 28].
Тем не менее, при исследовании на тонких срезах возникает ряд новых эффектов. Потенциал покоя
клеток в тонком срезе выше, чем в других препаратах [2]. Также для анализа процессов имеет значение
толщина среза [1]. У исследователей часто возникает вопрос, насколько записи на тонком, практически
плоском срезе соответствуют процессам, протекающим в трехмерном сердце.
При помощи математических моделей сердца, построенных на основании экспериментальных данных,
поведение сердца можно проанализировать на различных уровнях организации – от клеточного до орган-
ного. При этом, в экспериментах in silico появляется возможность контролировать все внешние условия
и регистрировать все интересующие исследователя параметры, что невозможно в исследованиях ex vivo
и in vivo. Таким образом, математическое моделирование выступает в роли метода для оценки отличий
электрофизиологических характеристик в тонком срезе и в интактном органе. Также при помощи мате-
матических моделей можно построить новые протоколы физиологических экспериментов для коррекции
внешних условий (температуры, частоты стимулирующего тока, концентрации ионов в растворе в перфу-
зируемой ванне и др.) таким образом, чтобы поведение среза можно было интерпретировать на уровне
целого органа с меньшей ошибкой.
Современные компьютерные трехмерные (3D) модели электрической функции левого желудочка (ЛЖ)
сердца могут учитывать такие анатомические и физиологические особенности, как реалистичную геомет-
рию, направление волокон, пространственную неоднородность свойств клеток, а также включать свойства
среды, в которой находится орган. Дальнейшее развитие таких 3D моделей выявило недостатки существу-
ющих численных методов для решения дифференциальных уравнений, на основании этих исследований
были выработаны тестовые примеры для верификации таких моделей [17]. Большинство исследований,
проведенных на двумерных (2D) моделях, выполнены в методологии редукционизма и не учитывают реа-
листичную геометрию, направление волокон и т.д. Такие 2D модели, учитывающие неоднородность элек-
трофизиологических свойств клеток, могут найти применение при разработке новых численных методов.
В настоящей статье мы предлагаем компьютерную модель 2D миокардиального среза ЛЖ для сравнения
процессов деполяризации и реполяризации, происходящих в таком срезе и трехмерном ЛЖ. Наша модель
включает анизотропию среды, соответствующую реалистичному ходу волокон в миокарде, полученному
на основании данных диффузионно-тензорной магнито-резонансной томографии (ДТ МРТ).
2 Методы
2.1 Расчетная сетка
Мы воспользовались данными ДТ МРТ сердца собаки, полученными ex vivo и предоставленными в
открытый доступ университетом Джонса Хопкинса (Johns Hopkins University) [26].
Данные ДТ МРТ представляют собой дискретное трехмерное тензорное поле, полученное на основе
измерения величины и направления диффузии молекул воды в миокарде. Каждый тензор является сим-
метричным диадическим тензором диффузии, описывающим диффузию молекул воды в точке измерения.
Расстояние между точками измерения по осям X и Y составляет 0.3 мм. Расстояние между точками измере-
ния по оси Z составляет 0.8 мм. Общий размер трехмерного массива в элементах составляет 256×256×130.
Направление оси сердца в данных приблизительно совпадает с осью Z. Предполагается, что преимуще-
ственный ход волокон в миокарде в точке совпадает с направлением главной компоненты тензора диффу-
зии в ней.
227
(а) (б) (в)
(г) (д) (е)
Рис. 1: (а) Поверхностная сетка, полученная применением алгоритма шагающих кубов, (б) поверхностная
сетка, сглаженная с помощью пакета Blender, (в) часть тетраэдральной сетки, построенной в пакете GMSH,
(г) совмещение исходных данных с построенной конечноэлементной сеткой, (д) распределение значений
двугранных углов в градусах в трехмерной сетке, (е) разметка субэндокарда для дальнейшей активации
током стимуляции в 3D модели (выделена фиолетовым цветом).
Для построения 3D расчетной сетки было сделано следующее. Была проведена очистка данных ДТ
МРТ от шумов, из данных были удалены предсердия и правый желудочек, затем была получена воксель-
ная геометрия ЛЖ сердца. У каждого тензора диффузии в точках, оставшихся после очистки от шумов,
была взята длина главной компоненты, которая позволяет судить о принадлежности точки миокарду или
окружающему пространству. Таким образом, 3D тензорное поле было преобразовано в 3D скалярное поле
с сохранением местоположения точек измерения. Предсердия и правый желудочек были удалены из дан-
ных отсечением по плоскостям. Получившийся трехмерный массив обрабатывался по срезам вдоль оси Z.
Таким образом, 3D воксельное изображение представлялось как серия 2D изображений, к которым можно
применять классические методы обработки изображений без их модификации.
Значения тех пикселей, которые на изображении соответствовали сердечной ткани, отделялись от пиксе-
лей, соответствующих внешней среде, с помощью порогового метода Отсу [10]. Значение порога составило
3.737e-06. К получившемуся бинарному изображению были применены последовательно методы матема-
тической морфологии: удаление связных областей с площадью менее 300 пикселей, заливка замкнутых
областей с площадью менее 6 пикселей, эрозия с квадратным окном 9 × 9, заливка замкнутых областей
с площадью менее 500 пикселей, эрозия с квадратным окном 5 × 5, дилатация с квадратным окном 5 × 5
пикселей.
Первая поверхностная сетка строилась алгоритмом шагающих кубов (marching cube), рис. 1а. Затем
поверхностная сетка, полученная на предыдущем этапе и отвечающая за геометрию ЛЖ, была улучшена
применением фильтров Blender, рис. 1б. Конечноэлементная тетраэдральная сетка была построена в про-
грамме GMSH [8], рис. 1в. В полученной таким образом тетраэдральной сетке якобианы всех элементов
положительны, двугранные углы тетраэдров лежат в диапазоне 17° – 82°. Максимальная длина ребра –
228
0.07 см, количество тетраэдров в сетке – 9 630 862.
Для построения 2D расчетной сетки в качестве тонкого среза миокарда был взят продольный срез
ЛЖ. Для этого поверхностная сетка ЛЖ была рассечена плоскостью, проходящей через верхушку ЛЖ и
параллельной плоскости OY Z. На полученном 2D срезе была построена треугольная конечноэлементная
сетка в программе GMSH. В полученной таким образом 2D модели тонкого среза максимальная длина
ребра составила – 0.07 см, а количество треугольников – 22406. Геометрическое соответствие исходных
данных и построенных сеток представлено на рис. 1г.
Для каждого элемента тетраэдральной и треугольной конечноэлементной сетки было задано направле-
ние волокна в нем путем покомпонентной интерполяции главных компонент ближайших тензоров диффу-
зии на середину элемента. Для плоской треугольной сетки векторы, задающие направления волокон, были
спроецированы на плоскость.
2.2 Протокол численных экспериментов
В качестве электрофизиологической модели кардиомиоцита использовалась модель генерации потенци-
ала действия (ПД) клетками ЛЖ собаки Luo-Rudy I [15], описывающая 6 трансмембранных токов: IN a –
быстрый натриевый ток, Isi – медленный входящий кальциевый ток, IK – исходящий калиевый ток, IK1 –
ток аномального выпрямления, IKp – исходящий калиевый ток во время фазы плато, Ib – ток утечки. Вме-
сте со стимулирующим током Istim эти токи составляют общий ток Iion = IN a +Isi +IK +IK1 +IKp +Ib +Istim .
Миокардиальная ткань представлена как непрерывная среда, описываемая уравнениями бидоменной
модели без бассейна [21]:
∂V
∇ · Di (∇V + ∇φ) = βm (Cm + Iion (V, w)), (1)
∂t
∇ · ((Di + De )∇φ) = −∇ · (Di ∇V ), (2)
где емкость мембраны Cm = 0.7 мкФсм2 [23]; V – трансмембранный потенциал; w – вектор фазовых перемен-
ных; φ – внеклеточный потенциал; отношение площади поверхности мембраны к объему βm = 700 см 1
; De
– тензор проводимости во внеклеточной среде; внеклеточная проводимость вдоль волокна De = 3.4 мСм
11
см ;
поперек волокна De = 0.6 см ; Di – тензор проводимости во внутриклеточной среде; внутриклеточ-
22 мСм
ная проводимость вдоль волокна Di11 = 1.2 мСм см ; поперек волокна Di = 0.8 см [22, 20]. При данных
22 мСм
параметрах скорость проведения вдоль волокна 0.76 с и поперек волокна 0.44 мс , что соответствует экс-
м
периментальным данным по здоровому миокарду [7]. На границе ∂Ω расчетной области Ω устанавливали
граничные условия Неймана с нулевым потоком через границу ∂V ∂φ
∂n = 0, ∂n = 0.
Активация длительностью 2 мс проводилась в начальный момент времени. В физиологических экспе-
риментах и при помощи математического моделирования было показано, что при активации возбудимых
тканей, если деполяризующий потенциал больше порогового значения, развивается ПД, амплитуда и дли-
тельность которого не зависит от амплитуды стимулирующего тока [12]. Поэтому в нашей работе плотность
стимулирующего тока была подобрана таким образом, чтобы довести деполяризующий потенциал до по-
рогового значения, и составила −13.5 сммA
2 для каждого узла, попадающего в область стимуляции, в 2D и
3D моделях. Процедура подбора выполнялась вручную отдельно на 2D и 3D моделях с использованием
метода деления пополам на отрезке от −70 см мA
2 до −3 см2 . В качестве зоны активации для 3D модели
мA
ЛЖ и 2D модели тонкого среза были взяты точки, лежащие на глубине R = 0.1 см от размеченной ранее
поверхности эндокарда (рис. 1е).
Для проведения вычислительных экспериментов был использован пакет Chaste [16]. Метод дискретиза-
ции уравнения и техническая реализация, используемые в этом пакете, подробно описаны в статье [18].
Для сравнения результатов моделирования в 2D и 3D моделях ЛЖ значения трансмембранного по-
тенциала с тетраэдральной сетки ЛЖ были интерполированы на треугольную сетку среза ЛЖ методом
линейной интерполяции. Таким образом, мы сравнивали два скалярных поля Vt,i 2D
и Vt,i
3D
, где t – момент
времени, а i – номер узла, Vt,i – значение трансмембранного потенциала в i-м узле в момент времени t в
2D
2D модели, Vt,i
3D
– интерполированное значение трансмембранного потенциала в i-м узле в момент времени
t в срезе 3D модели ЛЖ.
Для оценки различий в значениях трансмембранных потенциалов ∆Vt и потенциалов во внеклеточной
среде ∆φt в 3D и 2D моделях в момент времени t, мы сравнивали значения потенциалов в узлах конечно-
229
элементной сетки, используя нормированное на максимум Евклидово расстояние:
v ,
u N N
uX X
∆Vt =t 3D − V 2D )2
(Vt,i max 3D − V 2D )2 ,
(Vt,i
t,i t t,i
i=1 i=1
v ,
u N N
uX X
∆φ = t 3D 2D
(φ − φ ) 2 max (φ3D − φ2D )2 ,
t t,i t,i t,i t,i
t
i=1 i=1
где N – количество узлов в двумерной модели, t – момент времени.
3 Результаты
Различие в значениях трансмембранного потенциала ∆Vt и потенциала во внеклеточном домене ∆φt
между 2D и 3D моделями в каждый момент времени представлено на рис. 2. Максимальная разница на-
блюдалась в момент времени 13 мс, а минимальная – в момент времени 50 мс. Помимо этого, наблюдалось
значительное возрастание ошибки на промежутке от 300 до 345 мс. Карты различий в значениях транс-
мембранных потенциалов в отдельные моменты времени (где они наиболее значительны) представлены на
рис. 3.
(а) (б)
Рис. 2: (а) Различие трансмембранных потенциалов в плоском срезе 3D модели и 2D модели в момент
времени t (∆Vt ), (б) различие в потенциалах во внеклеточном домене (∆φt ).
Общие различия времени активации и реполяризации в 2D модели, 3D модели, срезе, полученном ин-
терполяцией значений с трехмерного тела на двумерное, представлены в таблице. Карты активации, дли-
тельности потенциала действия на 90 % реполяризации (ДПД90 ) и карты реполяризации в каждой точке
(узле сетки) для 2D модели и двумерного среза 3D модели показаны на рис. 4. Максимальная и минималь-
ная разница во времени активации между моделями составляет −9 . . . 5 мс, реполяризации −9 . . . 3 мс, а
длительности ПД −3 . . . 3 мс.
Таблица. Электрофизиологические характеристики, полученные в двумерной (2D), трехмерной (3D) мо-
дели и на двумерном срезе трехмерной модели интерполяцией значений из трехмерной модели на плоский
срез (3D→2D).
Характеристика 2D 3D 3D→2D
Время полной активации (мс) 17 19 18
Время полной реполяризации (мс) 331 333 332
Дисперсия реполяризации (мс) 13 16 14
Дисперсия ДПД90 (мс) 6 8 5
Отдельного внимания заслуживает карта потенциалов во внеклеточном домене, представленная на рис.
5. Максимальное различие между моделями составило 57 мВ в момент времени t = 6 мс.
230
1 мс 6 мс 11 мс 16 мс
312 мс 321 мс 330 мс 339 мс
Рис. 3: Разница значений трансмембранного потенциала (V) в плоском срезе 3D и 2D модели в разные
моменты времени. Показаны в те моменты времени, когда эта разница была наиболее значительна.
4 Обсуждение
В данной работе мы сравнили электрофизиологические характеристики компьютерных моделей ЛЖ
и тонкого среза ЛЖ, основанных на данных ДТ МРТ ex vivo. Были построены карты трансмембран-
ного потенциала, потенциала во внеклеточном домене, карты активации, длительности ПД и карты ре-
поляризации, которые показывают разницу в поведении системы в определенные моменты времени и в
определенных регионах модели.
Общее время активации, длительности ПД и времени реполяризации отличаются не более чем на 1-2
мс между 2D моделью миокардиального среза и 3D моделью ЛЖ (см. таблицу) и не более чем на 3-5 мс
для отдельных точек в 2D модели и срезе 3D модели ЛЖ (рис. 4). Полученные отличия в 1-2 мс явля-
ются не столь значимыми для физиологических экспериментов: так, экспериментально измеряемые время
активации, длительность ПД и др. имеют дисперсию более 1-2 мс [9, 19]. Тем не менее, по рис. 2 и рис.
4 видно, что отличия могут быть более выраженными в отдельных регионах на 2D срезе и 3D модели. В
целом, плоские срезы достаточно близко повторяют процессы в трехмерном теле, однако объемная гео-
метрия и ход волокон приводят к количественным различиям в электрофизиологических свойствах. На
картах активации можно заметить зоны, в которых разница максимальна, они локализованы небольшими
группами, примерно по 1 см в длину (рис. 4). Данные различия, скорее всего, вызваны влиянием хода
волокон. Заметим, что на карте реполяризации таких зон с максимальным отклонением значений не было
обнаружено.
Так как в работе использовалась бидоменная модель без бассейна, то не учитывалась утечка заряда
из внеклеточного домена. Этим можно объяснить существенную разницу в потенциалах внеклеточного
домена (рис. 5). Данный результат должен быть учтен в постановке задач для будущих исследований.
Отметим, однако, что в физиологическом эксперименте можно воспроизвести ситуацию, когда поток
231
(а) (б) (в)
(г) (д) (е)
Рис. 4: (а) Карта активации в 2D модели, (б) карта реполяризации в 2D модели, (в) ДПД90 в 2D модели,
(г) разница между картами активации плоского среза 3D модели и 2D модели, (д) разница времени репо-
ляризации между плоским срезом 3D модели и 2D модели, (е) разница ДПД90 между плоским срезом 3D
модели и 2D модели.
(а) (б) (в)
Рис. 5: (а) Карта потенциалов во внеклеточном домене в момент времени t = 6 мс в 2D модели, (б) в
плоском срезе 3D модели, (в) разница потенциалов во внеклеточном домене между моделями.
потенциалов через границу можно считать равным нулю, так же как и в нашей модели. В случае препа-
рата Лангендорфа (изолированного сердца) внутри сердца оказывается вещество с высокой проводимо-
стью, при этом эпикард граничит с воздухом. В экспериментах на тонких миокардиальных срезах обычно
препарат погружен в жидкость целиком. Значит, разные граничные условия могут приводить к разным
значениям потенциалов во внеклеточной среде в эксперименте. Таким образом, для сравнения результа-
тов моделирования в 2D модели, 3D модели с экспериментальными данными in vitro и in vivo необходимо
соответствующим образом выбирать граничные условия.
Насколько нам известно, разработанные до настоящего времени 2D модели не учитывают реалистичную
232
геометрию, направление волокон в миокарде. Поэтому сравнение 2D и 3D моделей электрической актив-
ности ЛЖ, подробно учитывающих геометрию желудочка, может являться одним из методов для анализа
влияния формы желудочка и хода волокон в нем на электрические процессы в миокарде.
5 Заключение
В данном исследовании мы сравнили процессы деполяризации и реполяризации в компьютерных мо-
делях ЛЖ сердца и тонкого среза ЛЖ, в которых реалистичный ход волокон задавался на основании
данных ДТ МРТ.
Мы показали, что электрофизиологические процессы в трехмерном теле и срезе схожи, однако существу-
ют промежутки времени и регионы миокарда с существенными отличиями. Процесс активации проявляет
больше различий, чем процесс реполяризации. Нами была обнаружена значительная разница в потенциа-
лах во внеклеточном домене в момент распространения волны возбуждения.
Основываясь на полученных результатах, мы полагаем, что различия в геометрии и ходе волокон влияют
на процессы деполяризации и реполяризации в миокарде.
Благодарности
Работа поддержана грантом Президиума РАН I.33П. и Постановлением Правительства РФ № 211 от
16.03.2013. Расчеты выполнялись на суперкомпьютере Уральского федерального университета и супер-
компьютере «Уран» Института математики и механики Уральского отделения Российской академии наук.
Список литературы
[1] Martin J Bishop, Blanca Rodriguez, Fujian Qu, and Igor R Efimov. The role of photon scattering in optical
signal distortion during arrhythmia and defibrillation. Biophysical journal, 93(10):3714–3726, 2007.
[2] Nail A Burnashev, Frances A Edwards, and Alexej N Verkhratsky. Patch-clamp recordings on rat cardiac
muscle slices. Pflügers Archiv European Journal of Physiology, 417(1):123–125, 1990.
[3] Nenad Bursac, Maria Papadaki, John A White, and Solomon Eisenberg. Cultivation in rotating bioreactors
promotes maintenance of cardiac myocyte electrophysiology and molecular properties. Tissue engineering,
9(6):1243–1253, 2003.
[4] Patrizia Camelliti, Colin R Green, Ian LeGrice, and Peter Kohl. Fibroblast network in rabbit sinoatrial
node. Circulation research, 94(6):828–835, 2004.
[5] Teun P de Boer, Marcel AG van der Heyden, Martin B Rook, and Ronald Wilders. Pro-arrhythmogenic
potential of immature cardiomyocytes is triggered by low coupling and cluster size. Cardiovascular research,
71(4):704–714, 2006.
[6] Teun P de Boer, Toon AB van Veen, Malin KB Jonsson, and Bart GJM Kok. Human cardiomyocyte
progenitor cell-derived cardiomyocytes display a maturated electrical phenotype. Journal of molecular and
cellular cardiology, 48(1):254–260, 2010.
[7] Paramdeep S Dhillon, Rosaire Gray, Pipin Kojodjojo, and Rita Jabr. The relationship between gap
junction conductance and conduction velocity in mammalian myocardium. Circulation: Arrhythmia and
Electrophysiology, pages CIRCEP–113, 2013.
[8] Christophe Geuzaine and Jean-François Remacle. Gmsh: A 3-D finite element mesh generator with
built-in pre- and post-processing facilities. International Journal for Numerical Methods in Engineering,
79(11):1309–1331, 2009.
[9] Alexey V Glukhov, Vadim V Fedorov, Paul W Kalish, and Vinod K Ravikumar. Conduction remodeling in
human end-stage nonischemic left ventricular cardiomyopathyclinical perspective. Circulation, 125(15):1835–
1847, 2012.
[10] R.C. Gonzalez, R.E. Woods, and S.L. Eddins. Digital Image processing using MATLAB. Pearson/Prentice
Hall, 2004.
233
[11] Tobias Hannes, Marcel Halbach, Rewa Nazzal, and Lukas Frenzel. Biological pacemakers: characterization
in an in vitro coculture model. Journal of electrocardiology, 41(6):562–566, 2008.
[12] Alan L Hodgkin and Andrew F Huxley. A quantitative description of membrane current and its application
to conduction and excitation in nerve. The Journal of physiology, 117(4):500, 1952.
[13] Hisaharu Kohzuki, Hiromi Misawa, Susumu Sakata, and Yoshimi Ohga. Energy expenditure by Ba2+
contracture in rat ventricular slices derives from cross-bridge cycling. American Journal of Physiology-Heart
and Circulatory Physiology, 46(1):H74, 1999.
[14] Hisaharu Kohzuki, Hiromi Misawa, Susumu Sakata, and Yoshimi Ohga. Sustained high O2 use for Ca2+
handling in rat ventricular slices under decreased free shortening after ryanodine. American Journal of
Physiology-Heart and Circulatory Physiology, 281(2):H566–H572, 2001.
[15] Ching-hsing Luo and Yoram Rudy. A model of the ventricular cardiac action potential. Depolarization,
repolarization, and their interaction. Circulation research, 68(6):1501–1526, 1991.
[16] Gary R Mirams, Christopher J Arthurs, Miguel O Bernabeu, et al. Chaste: an open source C++ library for
computational physiology and biology. PLoS Comput Biol, 9(3):e1002970, 2013.
[17] Steven A Niederer, Eric Kerfoot, Alan P Benson, et al. Verification of cardiac tissue electrophysiology
simulators using an N-version benchmark. Phil. Trans. R. Soc. A, 369(1954):4331–4351, 2011.
[18] Pras Pathmanathan, Miguel O Bernabeu, Rafel Bordas, and Jonathan Cooper. A numerical guide to the
solution of the bidomain equations of cardiac electrophysiology. Progress in biophysics and molecular biology,
102(2):136–155, 2010.
[19] Espen W Remme, Steven Niederer, Ola Gjesdal, and Kristoffer Russell. Factors determining the magnitude
of the pre-ejection leftward septal motion in left bundle branch block. EP Europace, 18(12):1905–1913, 2016.
[20] David E Roberts and Allen M Scher. Effect of tissue anisotropy on extracellular potential fields in canine
myocardium in situ. Circulation Research, 50(3):342–351, 1982.
[21] Bradley J Roth. A comparison of two boundary conditions used with the bidomain model of cardiac tissue.
Annals of Biomedical Engineering, 19(6):669–678, 1991.
[22] Bradley J Roth. Electrical conductivity values used with the bidomain model of cardiac tissue. IEEE
Transactions on Biomedical Engineering, 44(4):326–328, 1997.
[23] Masahiro Sokabe, Frederick Sachs, and ZQ Jing. Quantitative video microscopy of patch clamped membranes
stress, strain, capacitance, and stretch channel activation. Biophysical journal, 59(3):722–728, 1991.
[24] Miyako Takaki, Hisaharu Kohzuki, Yuki Kawatani, and Aki Yoshida. Sarcoplasmic reticulum Ca2+ pump
blockade decreases O2 use of unloaded contracting rat heart slices: thapsigargin and cyclopiazonic acid.
Journal of molecular and cellular cardiology, 30(3):649–659, 1998.
[25] Tadayuki Uetani, Daisuke Yamashita, Juichiro Shimizu, et al. Heart slice NMR. American Journal of
Physiology-Heart and Circulatory Physiology, 292(2):H1181–H1186, 2007.
[26] Johns Hopkins University. DTMRI Data From Ex-Vivo Canine and Human Hearts. Normal Canine Hearts.
http://gforge.icm.jhu.edu/gf/project/dtmri_data_sets/docman/?subdir=45, 2009. Accessed: 2017-
05-10.
[27] Daisuke Yamashita, Hisaharu Kohzuki, Yutaka Kitagawa, Tamiji Nakashima, Akio Kikuta, and Miyako
Takaki. O2 consumption of mechanically unloaded contractions of mouse left ventricular myocardial slices.
American Journal of Physiology - Heart and Circulatory Physiology, 287(1):H54–H62, 2004.
[28] S Yasuhara, M Takaki, A Kikuta, and H Ito. Myocardial VO2 of mechanically unloaded contraction of
rat ventricular slices measured by a new approach. American Journal of Physiology-Heart and Circulatory
Physiology, 270(3):H1063–H1070, 1996.
234
Comparison of depolarization and repolarization in mathematical
models of the left ventricle and a thin myocardial slice
Аnastasia E. Bazhutina1 , Konstantin S. Ushenin1,2 , Alexey A. Golovin1 , Аnastasia D. Khokhlova1,2
1 – Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)
2 – Institute of Immunology and Physiology (Yekaterinburg, Russia)
Keywords: heart simulation, fiber orientation, heart slice, conduction velocity, repolarization.
In this simulation study we compare activation, depolarization and repolarization in the left ventricle (LV)
of the heart and in a thin slice of the LV. In these models LV geometry and fiber orientations are realistic
and personalized by diffusion tensor magnetic resonance imaging data. We show the general similarity of
electrophysiological processes between the LV slice and the three-dimensional LV. The difference in the activation
time was more pronounced than the difference in repolarization time, moreover, these differences were most
pronounced in individual regions. A significant discrepancy between the models was found in values of the
extracellular domain potentials during the excitation wave propagation. Based on the results obtained, we can
assume that the differences in the heart geometry and fiber orientation affect the processes of depolarization and
repolarization in the myocardium.
235