Ход миокардиальных волокон определяет анизотропию проводимости и механических свойств миокарда. Для моделирования поля направлений миокардиальных волокон в конечноэлементных моделях сердца используют подходы, основанные на правилах (англ. rule-based approach). Для их применения необходима специальная сегментация поверхностной сетки сердца, например, выделение субэпикарда, субэндокарда и основания. Близость построенных волокон к экспериментальным данным существенно зависит от качества сегментации. При этом наиболее качественная, ручная сегментация сетки требует от исследователя существенных затрат времени. В данной работе мы предлагаем алгоритм сегментации поверхностной сетки желудочков сердца. Алгоритм основан на геометрических свойствах поверхностной сетки желудочков и поиске минимального разреза в графовом представлении сетки. Разработанный алгоритм позволяет достичь большей близости результата к экспериментальным данным о ходе волокон по данным диффузионнотензорной магнитно-резонансной томографии при сложных геометрих основания желудочков, чем при выделении области основания экспертом.
В настоящий момент порядка одной трети всех смертей в развитых странах приходится на сердечнососудистые заболевания. Создание персонифицированных компьютерных моделей сердца может помочь в планировании операций и выборе медикаментозной терапии для больных с широким спектром заболеваний: кардиомиопатиями, каналопатиями, аритмиями, дисфункцией клапанов и нарушениями кровотока в коронарном русле. Также персонифицированные модели позволят предсказать процессы ремоделирования сердца после перенесенного инфаркта или миокардита. В дополнение к этому, персонифицированные модели имеют широкий спектр приложений в фундаментальных исследованиях, направленных на изучение возникновения и протекания жизнеугрожающих состояний, таких как инфаркт миокарда, желудочковая тахикардия.
Одной из важных проблем моделирования физиологических функций сердца является учет анизотропии
электрофизиологической проводимости и механической жесткости, причиной которой является структура
мышечной ткани сердца (миокарда). Данная особенность оказывает влияние как на функцию целого
органа, так и на локализованные физиологические феномены, например на появление и развитие приступов
аритмий [
Желудочки сердца выбрасывают кровь в легкие и тело. Их механическое сокращение вызвано
электрофизиологической активацией. Миокард желудочков сердца человека состоит из 8.2 миллиардов
кардиомиоцитов [3], форма каждого из которых близка к цилиндрической. При этом кардиомиоциты соединены
торец в торец щелевыми контактами, физиологической функцией которых является ускорение проведения
во внутриклеточной среде. Геометрические свойства этих клеток и щелевые контакты являются причиной
того, что вдоль длинной оси кардиомиоцитов волна возбуждения распространяется со скоростью в 2-3 раза
больше, чем поперек. Основное механическое сокращение также развивается вдоль волокон. В
желудочке сердца волокна имеют сложную пространственную структуру и закручиваются по винтовой линии от
субэпикарда к субэндокарду [
При рассмотрении процессов, происходящих на уровне всего органа, миокард может быть представлен
как непрерывная среда. В этом случае распространение волны возбуждения описывается монодоменным
или бидоменным уравнениями [
Векторное поле касательных к волокнам можно получить на основе экспериментальных данных или
алгоритмов. Экспериментальная ориентация волокон может быть извлечена из гистологических
исследований [
Алгоритм, описанный в работе [2], задает направление волокон в желудочках сердца и состоит из двух этапов. На первом этапе численно решается уравнение Лапласа для задания в двух желудочках системы вложенных друг в друга изоповерхностей от эпикарда к эндокарду. На втором этапе по определенным правилам задается ход волокон на каждой изоповерхности. Для достижения этой цели уравнение Лапласа C = 0 дополняется граничными условиями. На эпикарде и эндокарде желудочка задаются условия Дирихле Cepi = 1; Cendo = 0. При этом требуется задать специальную зону перехода между эпикардом и эндокардом на основании желудочков, у клапанов сердца, с однородным граничным условием типа Неймана @@Cn = 0. Особенности влияния выбора данной зоны перехода, с однородным условием Неймана, на результирующий ход волокон продемонстрированы на рис. 1. В данном случае фундаментальные особенности уравнения Лапласа могут сильно влиять на расположение волокон и их реалистичность. Необходимо обратить внимание, что в реальном сердце волокна лежат параллельно эпикарду и эндокарду, они входят в стенку перпендикулярно только в узкой области рядом с фиброзным кольцом [1].
В самых простых вариантах реализации алгоритма [2] зона с нулевым потоком через границу может быть выбрана как множество всех граней поверхностной сетки тела, лежащих выше определенной плоскости, как это показано на рис. 1. Однако, при таком подходе мы получаем направление хода волокон на основании, Рис. 1: Особенности хода волокон на основании при различных способах задания зоны c граничным условием @@Cn = 0. Пример в двухмерном случае. Слева: Плоское основание. Волокна входят под прямым углом к поверхности основания. В центре: Выпуклое основание, зона c граничным условием @@Cn = 0 лежит выше определенной плоскости. Волокна входят под углами, близким к прямым, на всей области основания. Справа: Выпуклое основание. Регион c граничным условием @@Cn = 0 задан узким. Волокна сходятся к нему. далекое от физиологического. Задание зон сетки, выполненное специалистом вручную, позволяет достичь лучшего результата, но требует от исследователя больших затрат времени.
В этой работе мы предлагаем два эвристических алгоритма, улучшающих метод [2] и позволяющих определять волокна в левом желудочке (ЛЖ) или двух желудочках сердца при неплоском основании. При этом алгоритмы не требуют участия человека. 2
Описание алгоритма
В данной работе предлагается два эвристических алгоритма. Первый алгоритм на вход принимает
треугольную поверхностную сетку ЛЖ или двух желудочков сердца, которая может быть получена другими
методами из данных МРТ, ДТ МРТ [
Работа первого алгоритма показана на рис. 2. На первом этапе ищется центр масс сетки, обозначим его A. От точки A ищется наиболее удаленная точка сетки, обозначим ее B. Расстояние AB составляет радиус r для сферы Sphere(A; r) с центром в A. Вся поверхностная сетка содержится внутри шара, окруженного Sphere(A; r). На сфере ищется точка C, для которой расстояние до ближайшей точки сетки максимально. Через точки C и A проводится ось CA, задающая нормаль n для плоскости рассечения Plane(A; n) и плоскости поиска основания Plane(C; n).
С помощью плоскости рассечения Plane(A; n) производится отрезание элементов сетки, лежащих в полупространстве, задаваемом обратной по направлению нормалью n. Таким образом, из замкнутой поверхностной сетки получается обрезанная сетка, содержащая верхушку сердца, дно левого и правого желудочка и имеющая три компоненты связности. В каждой компоненте связности ищется наиболее удаленная от плоскости разрезания точка. Наиболее удаленная из трех выбранных точек лежит на эпикарде, обозначим ее как Pepi. Оставшиеся точки принадлежат эндокарду левого или правого желудочка. От сеток, являюРис. 2: Визуализации работы первого алгоритма. Слева – местоположение точек A; B; C, плоскостей Plane(A; n), Plane(C; n). Справа – три компоненты связности, образующиеся при отрезании сетки по плоскости рассечения Plane(C; n). щихся низом ЛЖ или ПЖ, берется выпуклая оболочка. Полость правого желудочка обладает большим отношением площади поверхности к объему. Благодаря описанным выше построениям появляется возможность автоматически определить, какому желудочку принадлежат оставшиеся точки. Точку в правом желудочке обозначим как Prv, а в левом Plv.
Итак, по окончании работы первый алгоритм размечает плоскость поиска основания Plane(C; n), точку на эпикарде около верхушки желудочков Pepi, а также точки на эндокарде ЛЖ и ПЖ (Plv, Prv). Используя получившуюся разметку, второй алгоритм выполняет сегментацию сетки.
На первом этапе работы второго алгоритма поверхностная сетка преобразуется в неориентированный граф. При этом точки сетки становятся вершинами графа, а ребра сетки – ребрами графа. После этого ребрам графа приписывается вес по правилу w((x; y)) = exp (0:5 (dist(x) + dist(y))), где (x; y) – ребро графа, w((x; y)) – вес ребра, dist(x) – расстояние от точки x до плоскости поиска основания Plane(C; n).
На втором этапе работы алгоритма дважды ищется минимальный разрез графа [4]. Источником становится точка Pepi, а стоком – Plv при первом запуске и Prv при втором запуске. Таким образом, получается два множества ребер Wcut_lv = f(xi; yi)gin=0 и Wcut_rv = f(xi; yi)gim=0. Первое множество содержит ребра минимального разреза при стоке в ЛЖ, а второе – при стоке в ПЖ.
Ребра из полученных множеств сопоставляются с ребрами поверхностной сетки. Для каждого ребра находятся смежные с ним грани сетки: Tcut_lv = f(xi; yi; zi)gin=0 для множества Wcut_lv и Tcut_rv = f(xi; yi; zi)gim=0 для множества Wcut_rv. Далее два множества граней сетки объединяются в одно Tbase = Tcut_lv [ Tcut_rv. Получившееся множество содержит треугольные элементы поверхностной сетки, соответствующие основанию. Учитывая расположение точек Plv и Prv, размечается множество граней эпикарда Tepi, а также эндокарда левого Tendo_lv и правого желудочка Tendo_rv.
Выполнив полную разметку модели сердца описанным выше способом, можно применить алгоритм построения поля направлений волокон [2]. 3
Верификация алгоритма и обсуждение Для демонстрации преимуществ предложенного нами подхода мы провели качественную и количественную оценку результата. Так как в оригинальной статье [2] основание было плоским, прямое сравнение результатов не представляется возможным, поэтому мы сравнивали результаты работы предлагаемого подхода к сегментации и наиболее простого подхода, когда основание желудочка принимается лежащим выше некоторой плоскости.
Сначала мы обработали две идеализированные геометрии, сегментируя их поверхностные сетки с помощью нашего подхода и выделяя основание по расположению относительно этой плоскости. Результаты представлены на рис. 3. После этого на всех вариантах сегментации был запущен алгоритм задания волокон Рис. 3: Сегментация идеализированных геометрий для случая ЛЖ и двух желудочков сердца. Два изображения слева – сегментация основания относительно разделяющей плоскости. Два изображения справа – предлагаемый нами подход. Рис. 4: Результаты построения волокон на основании. Слева: алгоритм сегментации основания относительно разделяющей плоскости. Справа: предлагаемый подход. Рис. 5: Визуализация хода волокон в левом желудочке. Слева: результаты использования алгоритма сегментации относительно разделяющей плоскости. В центре: ход волокон, восстановленный по данным ДТ МРТ сердца собаки. Справа: результаты использования предлагаемого подхода. Рис. 6: Гистограммы угла между направлениями волокон в области основания. Слева применена сегментация основания выше определенной плоскости. Справа – сегментация основания предложенным нами алгоритмом. ворит о том, что механизм улучшения заключается именно в уменьшении зоны, где волокна выходят на поверхность под углами, близкими к прямым.
Кроме того, мы провели проверку нашего алгоритма при альтернативном способе обработки тех же данных ДТ МРТ, выполненном с сохранением ПЖ и миокарда вокруг выносящего тракта ПЖ. В случае новой геометрии основание желудочков принимает более сложную форму.
На основании этих численных данных можно сделать вывод, что наш подход обладает преимуществом, так как не зависит от выбора секущей плоскости и показывает лучшие результаты по сравнению с несколькими возможными вариантами сегментации, выполненной на основании экспертного мнения. Таблица. Распределение углов между направлением волокон по данным ДТ МРТ и двумя вариантами сегментации. Среднее и среднеквадратичное отклонение.
Угол между направлением волокон Угол в касательной к слою плоскости Разметка основания плоскостью Рис. 7: Средние арифметические и среднеквадратичные отклонения распределения углов между направлением волокон в области основания желудочков для различных расположений секущей плоскости и по предлагаемому подходу. Первые пять моделей были построены путем выделения основания выше секущей плоскости. Шестая модель сегментировалась предложенным нами подходом. 4
Заключение В данной работе был предложен метод сегментации поверхностной сетки сердца, состоящий из двух эвристических алгоритмов. Первый алгоритм выполняет первоначальную разметку сетки. Второй алгоритм сегментирует ее на зону эпикарда, эндокарда ЛЖ, эндокарда ПЖ и основание. Получившаяся сетка позволяет задавать поле направлений волокон методом [2] для геометрий с неплоским основанием.
Мы сравнивали предложенный нами подход с наиболее простой сегментацией, когда точки основания выделяются лежащими выше определенной плоскости, задаваемой экспертом. Наш подход качественно лучше согласуется с данными справочника [1]. Количественное сравнение показывает, что в области основания распределение угла между векторами в нашей модели значительно лучше. Благодарности Список литературы
Работа поддержана грантом Президиума РАН I.33П. Расчеты выполнялись на суперкомпьютере Уральского федерального университета и суперкомпьютере ¾УРАН¿ ИММ УрО РАН. [1] R.H. Anderson, D.E. Spicer, A.M. Hlavacek, A.C. Cook, and C.L. Backer. Wilcox’s Surgical Anatomy of the Heart. Cambridge University Press, 2013. [2] JD Bayer, RC Blake, G Plank, and NA Trayanova. A novel rule-based algorithm for assigning myocardial fiber orientation to computational heart models. Annals of biomedical engineering, 40(10):2243–2254, 2012. [3] RH Clayton, Olivier Bernus, EM Cherry, Hans Dierckx, FH Fenton, L Mirabella, AV Panfilov, Frank B Sachse, G Seemann, and H Zhang. Models of cardiac tissue electrophysiology: progress, challenges and open questions. Progress in biophysics and molecular biology, 104(1):22–48, 2011. [4] T.H. Cormen. Introduction to Algorithms. MIT Press, 2009.
Segmentation of surface meshes of the cardiac ventricles for the modeling of myofiber direction field