Построение обобщенных решений стохастической задачи Коши для квазилинейного уравнения в абстрактной алгебре Коломбо

Abstract

Работа посвящена исследованию абстрактной стохастической задачи Коши для квазилинейного уравнения, с генератором Rполугруппы в пространстве L2(R). Случайные возмущения входят аддитивно в форме гауссового белого шума. На основе теории Коломбо умножения обобщенных функции и связи R-полугрупп с интегрированными полугруппами в работе построено приближённое решение в подходящей фактор-алгебре.

-

t 2 [0; T ];

X(0) = ; ( 1 )

X0(t) = AX(t) + F (X(t)) + BW(t);

tk'(t)dt = 0; k = 1; :::; qg: 1 '"(t) = ' " t "

; t 2 R; " > 0; ' 2 A0; которые при "n ! 0 представляют собой -образные последовательности. Далее, как обобщение пространства E(R) [11], введем пространство E(Ha) Ha-значных функций u'(t) : A0 R ! Ha

E(Ha) := fu = u'( ) 2 C1(R; Ha); ' 2 A0g: Заметим, что при определении отображения ' играет роль параметра (а не основной функции, как в теории распределений).

В пространстве E(Ha) определены операции умножения элементов и дифференцирования следующим образом:

d d uv := u'v'; dt u = dt (u'); ' 2 A0; 2 N0: ( 3 ) При этом, введенная операция дифференцирования по переменной t согласуется с операцией умножения и отображение i i : D0(Ha) ! E(Ha); (iw)' := w '; w 2 D0(Ha); ' 2 A0: осуществляет вложение распределений D0(Ha) в пространство E(Ha).

1Параметр n определяется свойствами R-полугруппы; Ha некоторая алгебра в H (iw1)' (iw2)' = (w1 ') (w2 ') 6= (w1 w2) ' = i(w1 w2)'; ' 2 A0: Чтобы преодолеть это препятствие, следуя [12], введем нуль-пространство N (Ha) Ha-значных функций.

Определение 1. Множество N (Ha) состоит из всех элементов u 2 E(Ha), удовлетворяющих условию: для любых 2 N0 и компакта K R существуют C > 0, p 2 N, такие что sup t2K dt d u'"(t) 6 C"q p; ' 2 Aq; q > p: Однако, множество N (Ha) не является идеалом во всем пространстве E(Ha). Поэтому введем множество отображений EMn (Ha).

Определение 2. Множество EMn (Ha) состоит из всех элементов u 2 E(Ha), удовлетворяющих условию: для любых компакта K R и 2 N0 найдутся C > 0 и p 2 N, такие что sup t2K dt d u'"(t) 6 C" (p+n); ' 2 Ap: Нетрудно убедиться, что для пространства EMn (Ha) введенное нуль-пространство является идеалом. Заметим, что необходимость введения множества EMn (Ha), а не множества отображений умеренного роста EM (Ha) [12], объясняется тем, что оператор A является генератором R-полугруппы.

Таким образом, получаем абстрактную фактор-алгебру Коломбо Ha-значных распределений

Gn(Ha) := EMn (Ha)=N (Ha): Более того, используя структурную теорему в пространстве D0(Ha), можно показать, что отображение i переводит совокупность Ha-значных распределений D0(Ha) в фактор-алгебру Gn(Ha).

Элементами фактор-алгебры Gn(Ha) являются классы отображений, которые мы будем обозначать заглавными буквами Y; Z; :::, а представителей этих классов соответствующими строчными буквами y; z; :::; также, если известен представитель y класса Y , то для этого класса будем использовать обозначение fyg.

Далее, определим абстрактную стохастическую фактор-алгебру Gn( ; Ha), обобщающую абстрактную алгебру Коломбо Gn(Ha), как совокупность измеримых отображений fZ = Z(!); ! 2 g, определённых на вероятностном пространстве ( ; F; P ) и принимающих значение в алгебре Gn(Ha). Измеримость отображения Z понимается в следующем смысле: для любого представителя z 2 Z и произвольной функции ' 2 A0 прообразом множества из борелевской -алгебры B(C1(R; Ha)) при отображении z' является элемент -алгебры F.

Носителем элемента Y фактор-алгебры Gn( ; Ha) назовем дополнение до наибольшего открытого множества, на котором любой представитель класса Y равен нулю. При таком определении носителя класс fiwg, соответствующий вложению распределения w 2 D0(Ha), имеет носитель, в точности совпадающий с носителем распределения w. 3

Постановка задачи в абстрактной стохастической фактор-алгебре Для того чтобы сформулировать постановку задачи ( 2 ) в фактор-алгебре Gn( ; Ha), определим процесс Q-белого шума fW(t) = W(t; x; !); t > 0; x 2 Rg при почти всех ! 2 как элемент пространства D00(H) абстрактных H-значных распределений с носителем на множестве [0; 1). Пусть fWQ(t); t > 0g Hзначный Q-винеровский процесс, определяемый сходящимся рядом ( 4 ) ( 5 ) t > 0; Pa:s: ; где i(t) независимые броуновские движения и ei ортонормированный базис в H, состоящий из собственных векторов оператора следа Q : Qei = i2ei, P i2 < 1. Положим WQ(t) равным нулю на промежутке ( 1; 0) и будем рассматривать его как регулярный элемент пространства D00(H). Пусть оператор h'; BW( ; x; !)i := h'; BW Q0( ; x; !)i = h'0; BWQ( ; x; !)i; ' 2 D; x 2 R; Pa:s:; получим BW обобщенный Ha-значный процесс со свойствами Q-белого шума, supp BW = [0; 1).

С помощью отображения i преобразуем процесс BW 2 D00(Ha) в элемент fiBWg фактор-алгебры Gn( ; Ha), представитель которого определяется следующим образом: (iBW)'(t; x; !) := (BW ')(t; x; !) = h'(t ); BW( ; x; !)i; ' 2 A0; t 2 R; x 2 R; Pa:s:: Далее в работе будем использовать обозначение Bw'( ) := (iBW)'( ; x; !); x 2 R; Pa:s:. Тогда в силу свойств Q-винеровского процесса, оператора B и отображения i , при фиксированном ' 2 A0 имеем Bw' 2 C1(R; Ha); Pa:s:; более того,

Bw' 2 C1(R; L2( ; Ha)); и, следовательно, Bw является представителем класса fiBWg 2 Gn( ; Ha).

Поскольку носителем W 2 D00(H) является множество [0; 1), то носителем Bw также является множество [0; 1), то есть supp fiBWg = [0; 1).

Теперь перейдем к постановке задачи в фактор-алгебре Gn( ; Ha). Пусть в задаче ( 2 ) оператор A является генератором R-полугруппы fV (t); t > 0g в пространстве H, где R линейный ограниченный оператор в H, с плотной областью значений и (A) 6= ?. Поскольку множество регулярных точек не пусто, возьмем 0 2 (A) и рассмотрим резольвенту R( 0). Тогда по теореме о связи R-полугрупп и интегрированных (см., напр., [13]) найдется такое n 2 N, что оператор A является и генератором n-раз интегрированной полугруппы fSn(t); t > 0g, определяемой через R-полугруппу следующим образом:

Sn(t)f = ( 0I

A)n

Z t Z t1

Z tn 1 ::: Далее, применяя отображение i к распределениям и BW и принимая во внимание присутствие нелинейного отображения F в задаче ( 2 ), получим задачу для класса Y 2 Gn( ; Ha): где y(t) = y'(t), supp ' [ ; 1). Положим значения операторов Sn(t) равными нулю при t < 0. Поскольку i '(t) = '(t) и Bw'(t) имеют носители во множестве [ ; 1), то в силу свойств свертки, первое и Следуя работе [12], для задачи ( 9 )–( 10 ) рассмотрим мягкое решение, которое, в силу связи ( 6 ) Rполугруппы с интегрированной полугруппой fSn(t); t > 0g и свойств интегрированной полугруппы, может быть записано следующим образом: dsn Таким образом, решение y(t) = y'(t; x; !); ' 2 A0; t > ; x 2 R; ! 2 , задачи ( 9 )–( 10 ) будем искать в пространстве C1([ ; 1); Ha); Pa:s:.

Оператор V является интегральным оператором типа Вольтерра, однако, ни он, ни любая его степень не являются сжимающими операторами в пространстве H. Чтобы преодолеть это препятствие, рассмотрим семейство fSn(t); t > 0g как регулярный элемент пространства операторнозначных распределений D0(L(H)) (см., напр., [13]) и определим в этом пространстве как обобщенную производную порядка n от Sn(t) распределение U : h'; U i := h'; Sn(n)( )i = ( 1 )nh'(n); Sn( )i; ' 2 D; supp U = [0; 1); которое является разрешающим оператором для задачи ( 8 ) при W = F определим свертку 0 в пространстве D0(H). Далее, h'(t ); U ( )i = ( 1 )n '(n)(s)Sn(t s)ds; ' 2 A0; t > : Имея в виду экспоненциальную ограниченность Sn: kSn(t)kL(H) 6 Ceat; t 2 [0; 1); получим оценку k(U ')(t)kL(H) = ( 1 )n '(n)(s)Sn(t s)ds 6 C(')eat; t >

; L(H) в частности k(U '")(t)kL(H) 6 C" n 1eat; t > : Учитывая равенство ( 14 ), определяющее вложение производной n-го порядка полугруппы fSn(t); t > 0g в пространство распределений D0(L(H)), введем оператор ( 12 ) ( 13 ) ( 14 ) (15) (16)

Основной результат Теорема. Пусть выполнены условия: оператор A является генератором R-полугруппы fV (t); t > 0g в H и DomA2 Ha

DomA; отображение F является бесконечно дифференцируемым, удовлетворяет условию Липшица и F (0) = 0; B 2 L(H; Ha); fW(t); t > 0g

процесс Q-белого шума;

Ha-значная F0-измеримая случайная величина. Тогда для любого t 2 [0; T ] и почти всех ! 2 существует фундаментальная в H последовательность yj приближенных решений задачи ( 9 )–( 10 ). Данная последовательность принадлежит классу Y 2 Gn( ; Ha), который является решением задачи ( 8 ).

Доказательство. Пусть y; z произвольные представители некоторых классов фактор-алгебры Gn( ; Ha). Тогда, в силу липшицевости отображения F , в алгебре Ha имеет место оценка kF (y(s))

F (z(s))k 6 Lky(s) z(s)k; s 2 [ ; T ]: Рассмотрим разность

Vy(t)

Vz(t) = (U ')(t s)[F (y(s))

F (z(s))]ds; t 2 [ ; T ]: Из предыдущего неравенства и экспоненциальной оценки (15) получаем Аналогично, для разности квадратов оператора V: kVy(t)

Vz(t)k 6 C'Lea(t+ )(t + ) s2m[ax;T ] ky(s) z(s)k; kVky(t)

Vkz(t)k 6 C'kLkea(t+ ) (t + ) k! k s2m[ax;T ] ky(s) z(s)k; k 2 N: t2m[ax;T ] kVky(t)

Vkz(t)k 6 C'kLkea(T + ) (T + ) k! k t2m[ax;T ] ky(t) z(t)k: Выберем константу k = k(T ), при которой оператор Vk является сжимающим. Тогда для любого начального приближения y';0(t) 2 Ha итерационная последовательность y';j(t) = Vjky';0(t) имеет предел в пространстве H: y'(t) = lim Vjky';j(t); j!1 t 2 [ ; T ]: Здесь возможны два случая. В первом из них предельный элемент y'(t) 2 Ha, во втором y'(t) 62 Ha. Сначала рассмотрим случай y'(t) 2 Ha. Покажем, что y'(t) является представителем некоторого класса Y 2 Gn( ; Ha). Из уравнения (18) c оператором (17) следует оценка t2m[ax;T ] ky'" (t)k 6 C('") t2m[ax;T ]

ea(t+ )k '"(t)k + C('") t2m[ax;T ] ea(t+ )k(Bw)'" (t)k+ +C('") t2m[ax;T ] ea(t+ )kF (y'" (t))k 6 C1('") t2m[ax;T ] (k '"(t)k + k(Bw)'" (t)k) + +C2('") t2m[ax;T ] kF (y'" (t))k ky'" (s)kds; t2m[ax;T ] ky'" (t)k 6 C1('") t2m[ax;T ] (k '"(t)k + k(Bw)'" (t)k) + C3('") t2m[ax;T ] ky'" (s)kds: (19) Поскольку i и Bw можно рассматривать в качестве представителей соответствующих классов из Gn( ; Ha), то по определению ( 5 ) пространства EMn (Ha), найдется p 2 N такое, что нормы k '"( )k; k(Bw)'" ( )k растут не быстрее, чем " (p+n) при ' 2 Ap. Отсюда первое слагаемое в правой части неравенства (19) при " ! 0 растет не быстрее, чем " (p+2n+1) на ' 2 Ap. Тогда, согласно (16) и лемме Гронуолла–Беллмана, справедлива оценка и, следовательно, y'(t) является представителем некоторого класса Y 2 Gn( ; Ha). Более того, его сужение на фактор-алгебру G(n 1; )( ; Ha) равно нулю. Напомним, что функция ' в постановке задачи ( 9 )–( 10 ) была выбрана произвольной с носителем во множестве [ ; 1). Теперь выбирая j j сколь угодно малым, заключаем, что носитель y'(t) принадлежит множеству [0; 1). Итак, мы получили приближенное решение задачи ( 8 ) в стохастической фактор-алгебре Gn( ; Ha) с носителем [0; 1).

Теперь обсудим вопрос единственности полученного решения. Пусть Y; Z 2 Gn( ; Ha) два решения задачи ( 8 ) с носителями на множестве [0; 1). Возьмем ' 2 A0, supp ' [ ; 1) и рассмотрим представителей y' 2 Y; z' 2 Z, которые являются соответствующими решениями задачи ( 9 )–( 10 ) с различными представителями классов f i g и fiBWg. Покажем, что y' z' 2 N (Ha). В силу уравнения ( 9 ) для y' и z', имеем y'0(t) z'0(t) = h(t) + A(y'(t) z'(t)) + F (y'(t))

F (z'(t)) + g(t); t 2 [ ; T ]; где h 2 N (Ha) и g 2 N (Ha) разности двух представителей классов f i g и fiBWg; соответственно. Тогда, аналогично выводу оценки (19), получаем t2m[ax;T ] ky'" (t) z'" (t)k 6 C1('") t2m[ax;T ] kh'" (t)k + C1('") t2m[ax;T ] kg'" (t)k +C3('") t2m[ax;T ] Поскольку первые два слагаемые правой части данного неравенства удовлетворяют условию ( 4 ), то в силу леммы Гронуолла–Беллмана заключаем, что разность y' z' также принадлежит N (Ha). Следовательно, y' и z' принадлежат одному классу Y фактор-алгебры Gn( ; Ha), носитель которого, как было показано выше, принадлежит [0; 1). Таким образом, решение задачи ( 8 ) единственно.

Теперь вернемся ко второму случаю, когда предельный элемент y'(t) не входит в алгебру Ha. Здесь мы имеем лишь приближенное, в соответствии с требуемым уровнем погрешности, решение задачи ( 9 )–( 10 ) для представителя. Это решение определяется элементами итерационной фундаментальной последовательности yj(t) = Vjky0(t) и параметром ". Благодарности

Работа выполнена при поддержке Программы государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-9356.2016.1) и программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013). Список литературы

Construction of generalized solutions for Cauchy problem in abstract Colombo algebra stochastic Vadim A. Bovkun Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)

References

[1] G. Da Prato , J. Zabczyk . Stochastic equations in infinite dimensions . Cambridge University Press, 2014 .

[2] L. Gawarecki , V. Mandrekar . Stochastic differential equations in infinite dimensions . Springer, Berlin, 2011 .

[3] I. V. Melnikova , A. I. Filinkov and U. А. Anufrieva . Abstract stochastic equations I. Classical and Generalized Solutions Journal of Mathematical Sciences , 111 ( 2 ): 3430 - 3475 , 2002 .

[4] G. Da Prato . Kolmogorov equations for stochastic PDEs . Birkhauser Verlag AG , 2004 .

[5] I. V. Melnikova , V. S. Parfenenkova . Feynman-Kac theorem in Hilbrt spaces . Electronic Journal of Differential Equations , 2014 ( 208 ): 1 - 10 , 2014 .

[6] I. V. Melnikova . Stochastic Cauchy Problems in Infinite Dimensions. Regularized and Generalized Solutions . CRC Press, Taylor & Francis Group: Boca Raton and London, 2016 .

[7] M. A. Alshanskiy , I. V. Melnikova . Regularized and generalized solutions of infinite-dimensional stochastic problems . Sbornik Mathematics , 202 ( 11 ): 1565 - 1592 , 2011 (in Russian). = М. А. Альшанский , И. В. Мель- никова. Регуляризованные и обобщенные решения бесконечномерных стохастических задач . Матема- тический сборник, 202 ( 11 ): 3 - 30 , 2011 .

[8] I. V. Melnikova , A. I. Filinkov . Weak and generalized solutions of abstract stochastic equations . Doklady Mathematics , 62 ( 3 ): 373 - 377 , 2000 (in Russian). = И. В. Мельникова , А. И. Филинков. Слабые и обобщен- ные решения абстрактных стохастических уравнений . Доклады академии наук , 375 ( 4 ): 443 - 447 , 2000 .

[9] I. V. Melnikova , U. А. Alekseeva . Weak regularized solutions to stochastic Cauchy problems . Chaotic modeling and simulations , 2014 (1 ): 49 - 56 , 2014 .

[10] J. F. Colombeau . Elementary Introduction to New Generalized Functions. North Holland, Amsterdam, 1985 .

[11] M. Oberguggenberger . Multiplication of Distributions and Applications to Partial Differential Equations . Pitman Research Notes Math. 259 , Longman Scientific & Technical, Essex, Harlow, 1992 .

[12] I. V. Melnikova , U. А. Alekseeva . Quasilinear stochastic Cauchy problems in spaces of distributions . International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences , 2012 : 1 - 11 , 2012 .

[13] I. V. Melnikova , U. А. Anufrieva . Peculiarities and regularization of ill-posed Cauchy problems with differential operators . Journal of Mathematical Sciences , 148 ( 4 ): 481 - 632 , 2008 .

[14] H. O. Fattorini . The Cauchy Problem . Cambridge Academ, 2009 .