=Paper=
{{Paper
|id=Vol-1894/numd2
|storemode=property
|title=Построение обобщенных решений стохастической задачи Коши для квазилинейного уравнения в абстрактной алгебре Коломбо(Construction of generalized solutions for quasi-linear stochastic Cauchy problem in abstract Colombo algebra)
|pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-1894/numd2.pdf
|volume=Vol-1894
|authors=Vadim A. Bovkun
}}
==Построение обобщенных решений стохастической задачи Коши для квазилинейного уравнения в абстрактной алгебре Коломбо(Construction of generalized solutions for quasi-linear stochastic Cauchy problem in abstract Colombo algebra)==
https://ceur-ws.org/Vol-1894/numd2.pdf
Построение обобщенных решений стохастической задачи
Коши для квазилинейного уравнения в абстрактной
алгебре Коломбо
В.А. Бовкун
123456m@inbox.ru
УрФУ (Екатеринбург)
Аннотация
Работа посвящена исследованию абстрактной стохастической за-
дачи Коши для квазилинейного уравнения, с генератором R-
полугруппы в пространстве L2 (R). Случайные возмущения входят
аддитивно в форме гауссового белого шума. На основе теории Ко-
ломбо умножения обобщенных функции и связи R-полугрупп с ин-
тегрированными полугруппами в работе построено приближённое
решение в подходящей фактор-алгебре.
1 Введение
Исследование различных процессов окружающего мира при наличии неполной информации приводит,
как правило, к математическим моделям в форме стохастических задач. Среди них важное место занимают
модели в форме абстрактных стохастических задач Коши для уравнения первого порядка
X 0 (t) = AX(t) + BW(t), t ∈ [0; T ], X(0) = ζ, (1)
где оператор A является генератором некоторой полугруппы в гильбертовом пространстве H, слагаемое
{W(t), t > 0} отражает наличие случайных возмущений и интерпретируется в рамках теории случай-
ных процессов как гауссовый белый шум со значениями в гильбертовом пространстве H, B ∈ L(H, H) и
начальное условие ζ — H-значная случайная величина.
Для решения задачи (1) на современном этапе исследований можно выделить три главных подхода.
Первый основан на переходе от дифференциальной задачи (1) к интегральной с помощью конструкции
интеграла Ито в бесконечномерном случае [1, 2, 3]. Другой подход основан на связи стохастических урав-
нений для процессов и детерминированных уравнений для вероятностных характеристик этих процессов
[4, 5, 6]. Третий подход основан на теории абстрактных обобщенных функций. В рамках данной теории
может быть строго определен процесс W(t), t > 0 как обобщенная производная от винеровского процесса
W (t), t > 0, со значениями в пространстве H, где W (t) = W (t, ω), ω ∈ (Ω, F, P ), Ft ⊂ F, t > 0. В работах
[6]–[9] для задачи (1) построено обобщенное решение в пространстве абстрактных распределений.
В общем случае, наличие нелинейных слагаемых и слагаемых, содержащих нерегулярные коэффициен-
ты в стохастическом уравнении, приводит к проблеме умножения обобщенных функций. Один из методов
Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the International Youth School-conference «SoProMat-2017», Yekaterinburg,
Russia, 06-Feb-2017, published at http://ceur-ws.org
293
преодоления проблемы умножения обобщенных функций состоит в построении некоторой фактор-алгебры,
являющейся расширением пространства распределений, где обобщенные функции представляются клас-
сами эквивалентности. Преимущество данного подхода состоит в том, что во введенной фактор-алгебре
удается определить коммутативное и ассоциативное умножение элементов; более того, операция диффе-
ренцирования согласуется с операцией умножения элементов. Наиболее известным и иситорически первым
расширением пространства обобщенных функций является фактор-алгебра Коломбо (см., напр., [10, 11]) .
В настоящей работе основным объектом является абстрактная стохастическая задача Коши для квази-
линейного уравнения
X 0 (t) = AX(t) + F (X(t)) + BW(t), t ∈ [0; T ], X(0) = ζ, (2)
где оператор A является генератором R-полугруппы {V (t), t > 0} в пространстве H = L2 (R), F — нели-
нейное отображение в H. Данная работа является продолжением исследований [6, 12], посвященных ре-
шению задачи (2) с генератором полугруппы класса C0 : для построения решения задачи (2) c генерато-
ром R-полугруппы используется метод Коломбо погружения задачи в фактор-алгебру. На основе связи
R-полугрупп (регуляризации по пространственной переменной) с интегрированными полугруппами (ре-
гуляризация по переменной t) удается определить структуру подходящей абстрактной фактор-алгебры
Gn (Ω, Ha ) 1 , в которой методом сжимающих отображений построено приближенное решение задачи (2).
2 Определение абстрактной стохастической фактор-алгебры Коломбо
Учитывая приложения, в которых возникают модели в форме абстрактных стохастических задач, в
качестве H будем рассматривать пространство L2 (R). Алгебру Ha определим как совокупность всех m раз
непрерывно дифференцируемых функций из L2 (R), замкнутую по норме
m
X
kykHa := ky (i) (x)kC(R) ,
i=0
где параметр m определяется свойствами оператора A: DomA2 ⊂ Ha ⊂ DomA. R
Рассмотрим A0 — совокупность всех функций ϕ ∈ D = D(R), удовлетворяющих условию R ϕ(t)dt = 1.
Для любого q ∈ N определим множество Aq следующим образом
Z
Aq = {ϕ ∈ A0 : tk ϕ(t)dt = 0, k = 1, ..., q}.
R
Кроме того, рассмотрим подмножество параметризованных функций из A0 :
1 t
ϕε (t) = ϕ , t ∈ R, ε > 0, ϕ ∈ A0 ,
ε ε
которые при εn → 0 представляют собой δ-образные последовательности. Далее, как обобщение простран-
ства E(R) [11], введем пространство E(Ha ) — Ha -значных функций uϕ (t) : A0 × R → Ha
E(Ha ) := {u = uϕ (·) ∈ C ∞ (R; Ha ), ϕ ∈ A0 }.
Заметим, что при определении отображения ϕ играет роль параметра (а не основной функции, как в теории
распределений).
В пространстве E(Ha ) определены операции умножения элементов и дифференцирования следующим
образом:
dα dα
uv := uϕ vϕ , α
u = α (uϕ ), ϕ ∈ A0 , α ∈ N0 . (3)
dt dt
При этом, введенная операция дифференцирования по переменной t согласуется с операцией умножения
и отображение i
i : D0 (Ha ) → E(Ha ), (iw)ϕ := w ∗ ϕ, w ∈ D0 (Ha ), ϕ ∈ A0 .
осуществляет вложение распределений D0 (Ha ) в пространство E(Ha ).
1 Параметр n определяется свойствами R-полугруппы; H
a — некоторая алгебра в H
294
Однако, несмотря на факт возможности вложения D0 (Ha ) в E(Ha ), существует проблема, которая не
позволяет взять пространство E(Ha ) в качестве абстрактной алгебры Коломбо. А именно, даже для двух
бесконечно дифференцируемых отображений w1 , w2 ∈ D0 (Ha ) произведение, определяемое равенством (3),
в общем случае, не согласуется с обычным произведением
(iw1 )ϕ · (iw2 )ϕ = (w1 ∗ ϕ) · (w2 ∗ ϕ) 6= (w1 · w2 ) ∗ ϕ = i(w1 · w2 )ϕ , ϕ ∈ A0 .
Чтобы преодолеть это препятствие, следуя [12], введем нуль-пространство N (Ha ) Ha -значных функций.
Определение 1. Множество N (Ha ) состоит из всех элементов u ∈ E(Ha ), удовлетворяющих условию:
для любых α ∈ N0 и компакта K ⊂ R существуют C > 0, p ∈ N, такие что
dα
sup uϕ (t) 6 Cεq−p , ϕ ∈ Aq , q > p. (4)
t∈K dtα ε
Однако, множество N (Ha ) не является идеалом во всем пространстве E(Ha ). Поэтому введем множество
n
отображений EM (Ha ).
n
Определение 2. Множество EM (Ha ) состоит из всех элементов u ∈ E(Ha ), удовлетворяющих условию:
для любых компакта K ⊂ R и α ∈ N0 найдутся C > 0 и p ∈ N, такие что
dα
sup uϕ (t) 6 Cε−(p+n) , ϕ ∈ Ap . (5)
t∈K dtα ε
n
Нетрудно убедиться, что для пространства EM (Ha ) введенное нуль-пространство является идеалом.
n
Заметим, что необходимость введения множества EM (Ha ), а не множества отображений умеренного роста
EM (Ha ) [12], объясняется тем, что оператор A является генератором R-полугруппы.
Таким образом, получаем абстрактную фактор-алгебру Коломбо Ha -значных распределений
Gn (Ha ) := EM
n
(Ha )/N (Ha ).
Более того, используя структурную теорему в пространстве D0 (Ha ), можно показать, что отображение i
переводит совокупность Ha -значных распределений D0 (Ha ) в фактор-алгебру Gn (Ha ).
Элементами фактор-алгебры Gn (Ha ) являются классы отображений, которые мы будем обозначать за-
главными буквами Y, Z, ..., а представителей этих классов соответствующими строчными буквами y, z, ...;
также, если известен представитель y класса Y , то для этого класса будем использовать обозначение {y}.
Далее, определим абстрактную стохастическую фактор-алгебру Gn (Ω, Ha ), обобщающую абстрактную
алгебру Коломбо Gn (Ha ), как совокупность измеримых отображений {Z = Z(ω), ω ∈ Ω}, определённых
на вероятностном пространстве (Ω, F, P ) и принимающих значение в алгебре Gn (Ha ). Измеримость отоб-
ражения Z понимается в следующем смысле: для любого представителя z ∈ Z и произвольной функции
ϕ ∈ A0 прообразом множества из борелевской σ-алгебры B(C ∞ (R; Ha )) при отображении zϕ является
элемент σ-алгебры F.
Носителем элемента Y фактор-алгебры Gn (Ω, Ha ) назовем дополнение до наибольшего открытого мно-
жества, на котором любой представитель класса Y равен нулю. При таком определении носителя класс
{iw}, соответствующий вложению распределения w ∈ D0 (Ha ), имеет носитель, в точности совпадающий с
носителем распределения w.
3 Постановка задачи в абстрактной стохастической фактор-алгебре
Для того чтобы сформулировать постановку задачи (2) в фактор-алгебре Gn (Ω, Ha ), определим процесс
Q-белого шума {W(t) = W(t, x, ω), t > 0, x ∈ R} при почти всех ω ∈ Ω как элемент пространства D00 (H)
абстрактных H-значных распределений с носителем на множестве [0; ∞). Пусть {WQ (t), t > 0} — H-
значный Q-винеровский процесс, определяемый сходящимся рядом
∞
X
WQ (t) = µi βi (t)ei , t > 0, Pa.s. ,
i=1
где βi (t) — независимые броуновские движения и ei P — ортонормированный базис в H, состоящий из соб-
ственных векторов оператора следа Q : Qei = µ2i ei , µ2i < ∞. Положим WQ (t) равным нулю на проме-
жутке (−∞; 0) и будем рассматривать его как регулярный элемент пространства D00 (H). Пусть оператор
295
B ∈ L(H, Ha ), тогда в силу определения обобщенной производной в пространстве D00 (Ha )
hϕ, BW(·, x, ω)i := hϕ, BWQ0 (·, x, ω)i = −hϕ0 , BWQ (·, x, ω)i, ϕ ∈ D, x ∈ R, Pa.s. ,
получим BW — обобщенный Ha -значный процесс со свойствами Q-белого шума, supp BW = [0; ∞).
С помощью отображения i преобразуем процесс BW ∈ D00 (Ha ) в элемент {iBW} фактор-алгебры
n
G (Ω, Ha ), представитель которого определяется следующим образом:
(iBW)ϕ (t, x, ω) := (BW ∗ ϕ)(t, x, ω) = hϕ(t − ·), BW(·, x, ω)i, ϕ ∈ A0 , t ∈ R, x ∈ R, Pa.s. .
Далее в работе будем использовать обозначение Bwϕ (·) := (iBW)ϕ (·, x, ω), x ∈ R, Pa.s. . Тогда в силу свойств
Q-винеровского процесса, оператора B и отображения i , при фиксированном ϕ ∈ A0 имеем
Bwϕ ∈ C ∞ (R; Ha ), Pa.s. , более того, Bwϕ ∈ C ∞ (R; L2 (Ω; Ha )),
и, следовательно, Bw является представителем класса {iBW} ∈ Gn (Ω, Ha ).
Поскольку носителем W ∈ D00 (H) является множество [0; ∞), то носителем Bw также является множе-
ство [0; ∞), то есть supp {iBW} = [0; ∞).
Теперь перейдем к постановке задачи в фактор-алгебре Gn (Ω, Ha ). Пусть в задаче (2) оператор A явля-
ется генератором R-полугруппы {V (t), t > 0} в пространстве H, где R — линейный ограниченный оператор
в H, с плотной областью значений и ρ(A) 6= ∅. Поскольку множество регулярных точек не пусто, возьмем
λ0 ∈ ρ(A) и рассмотрим резольвенту R(λ0 ). Тогда по теореме о связи R-полугрупп и интегрированных
(см., напр., [13]) найдется такое n ∈ N, что оператор A является и генератором n-раз интегрированной
полугруппы {Sn (t), t > 0}, определяемой через R-полугруппу следующим образом:
Z t Z t1 Z tn−1
Sn (t)f = (λ0 I − A)n ... V (tn )f dtn ...dt2 dt1 , f ∈ H. (6)
0 0 0
Таким образом, в дальнейшем будем использовать тот факт, что по известной R-полугруппе операторов
{V (t), t > 0} построена n-раз интегрированная полугруппа {Sn (t), t > 0} с тем же генератором — операто-
ром A.
Следуя постановке абстрактной задачи Коши в обобщенном смысле [14] и постановке стохастической
задачи в пространстве D00 (H) [3, 6], задача (2) при F ≡ 0 формулируется следующим образом:
hψ, X 0 (t)i = hψ, δiζ + hψ, AX(t)i + hψ, BW(t)i, ψ ∈ D. (7)
Далее, применяя отображение i к распределениям δ и BW и принимая во внимание присутствие нелиней-
ного отображения F в задаче (2), получим задачу для класса Y ∈ Gn (Ω, Ha ):
Y 0 (t) = {ζiδ}(t) + AY (t) + F (Y (t)) + {iBW}(t), supp Y ⊆ [0; ∞). (8)
Решение задачи (8) сведем к решению задачи для представителя. Пусть Bw = Bwϕ (t), ϕ ∈ A0 , является
представителем класса {iBW} ∈ Gn (Ω, Ha ) с носителем [0; ∞). Возьмем представителя класса {iδ}, соот-
ветствующего вложению δ-функции в фактор-алгебру: iδ = δ ∗ ϕ = ϕ. Пусть ϕ ∈ A0 , supp ϕ ⊂ [−τ ; ∞).
Будем рассматривать задачу для y(t) = yϕ (t) с выбранным ϕ:
y 0 (t) = ζϕ(t) + Ay(t) + F (y(t)) + Bw(t), t > −τ, (9)
y(t) = 0, t < −τ. (10)
Следуя работе [12], для задачи (9)–(10) рассмотрим мягкое решение, которое, в силу связи (6) R-
полугруппы с интегрированной полугруппой {Sn (t), t > 0} и свойств интегрированной полугруппы, может
быть записано следующим образом:
Z t Z t Z t
dn
y(t) = Sn (t − s)ζϕ(n) (s)ds + Sn (t − s) n F (y(s))ds + Sn (t − s)(Bw)(n) (s)ds =: Vy(t), (11)
−τ −τ ds −τ
где y(t) = yϕ (t), supp ϕ ⊂ [−τ ; ∞). Положим значения операторов Sn (t) равными нулю при t < 0. По-
скольку iδϕ (t) = ϕ(t) и Bwϕ (t) имеют носители во множестве [−τ ; ∞), то в силу свойств свертки, первое и
296
третье слагаемые в правой части равенства (11) тоже имеют носители в [−τ ; ∞). Второе слагаемое, в силу
равенства F (0) = 0 и бесконечной дифференцируемости F , имеет носитель, совпадающий с носителем y.
Следовательно, правая часть (11) имеет носитель, совпадающий с носителем y.
По свойствам n-раз интегрированной полугруппы справедливы соотношения [6]:
Z t
dn
Sn (t − s) F (y(s))ds ∈ DomA,
−τ dsn
Z t
dn dn tn dn
A Sn (t − s) F (y(s))ds = Sn (t) F (y(t)) − F (y(t)), t > −τ.
−τ dsn dtn n! dtn
n
d
Поскольку для любого y(t) ∈ Ha справедливо вложение dt n F (y(t)) ∈ Ha ⊂ DomA, правая часть последнего
равенства при каждом t > −τ принадлежит DomA. Следовательно, интеграл в левой части принадлежит
DomA2 : Z t
dn
Sn (t − s) n F (y(s))ds ∈ DomA2 ⊂ Ha , t > −τ. (12)
−τ ds
Таким образом, решение y(t) = yϕ (t, x, ω), ϕ ∈ A0 , t > −τ, x ∈ R, ω ∈ Ω, задачи (9)–(10) будем искать в
пространстве C ∞ ([−τ ; ∞); Ha ), Pa.s. .
Оператор V является интегральным оператором типа Вольтерра, однако, ни он, ни любая его степень
не являются сжимающими операторами в пространстве H. Чтобы преодолеть это препятствие, рассмот-
рим семейство {Sn (t), t > 0} как регулярный элемент пространства операторнозначных распределений
D0 (L(H)) (см., напр., [13]) и определим в этом пространстве как обобщенную производную порядка n от
Sn (t) распределение U :
hϕ, U i := hϕ, Sn(n) (·)i = (−1)n hϕ(n) , Sn (·)i, ϕ ∈ D, supp U = [0; ∞), (13)
которое является разрешающим оператором для задачи (8) при W = F ≡ 0 в пространстве D0 (H). Далее,
определим свертку
Z t
hϕ(t − ·), U (·)i = (−1)n ϕ(n) (s)Sn (t − s)ds, ϕ ∈ A0 , t > −τ. (14)
−τ
Имея в виду экспоненциальную ограниченность Sn : kSn (t)kL(H) 6 Ceat , t ∈ [0; ∞), получим оценку
Z t
n
k(U ∗ ϕ)(t)kL(H) = (−1) ϕ(n) (s)Sn (t − s)ds 6 C(ϕ)eat , t > −τ, (15)
−τ L(H)
в частности
k(U ∗ ϕε )(t)kL(H) 6 Cε−n−1 eat , t > −τ. (16)
Учитывая равенство (14), определяющее вложение производной n-го порядка полугруппы {Sn (t), t > 0}
в пространство распределений D0 (L(H)), введем оператор
Z t Z t Z t
Vy(t) = (U ∗ ϕ)(t − s)ζϕ(s)ds + (U ∗ ϕ)(t − s)F (y(s))ds + (U ∗ ϕ)(t − s)Bw(s)ds, (17)
−τ −τ −τ
который, как и V, является интегральным оператором типа Вольтерра. В силу определения оператора U
равенством (13) через производную от операторов интегрированной полугруппы и включения (12) получа-
ем, что каждое слагаемое правой части (17) при каждом t > −τ является элементом Ha . Таким образом,
оператор V действует из Ha в Ha при каждом t > −τ .
Далее построим решение уравнения
y(t) = Vy(t), t ∈ [0; T ], (18)
доказав для этого, что оператор Vk является сжимающим в пространстве H для некоторого k = k(T ).
297
4 Основной результат
Теорема. Пусть выполнены условия:
• оператор A является генератором R-полугруппы {V (t), t > 0} в H и DomA2 ⊂ Ha ⊂ DomA;
• отображение F является бесконечно дифференцируемым, удовлетворяет условию Липшица и F (0) =
0;
• B ∈ L(H, Ha );
• {W(t), t > 0} — процесс Q-белого шума;
• ζ — Ha -значная F0 -измеримая случайная величина.
Тогда для любого t ∈ [0; T ] и почти всех ω ∈ Ω существует фундаментальная в H последователь-
ность yj приближенных решений задачи (9)–(10). Данная последовательность принадлежит классу
Y ∈ Gn (Ω, Ha ), который является решением задачи (8).
Доказательство. Пусть y, z — произвольные представители некоторых классов фактор-алгебры
Gn (Ω, Ha ). Тогда, в силу липшицевости отображения F , в алгебре Ha имеет место оценка
kF (y(s)) − F (z(s))k 6 Lky(s) − z(s)k, s ∈ [−τ ; T ].
Рассмотрим разность
Z t
Vy(t) − Vz(t) = (U ∗ ϕ)(t − s)[F (y(s)) − F (z(s))]ds, t ∈ [−τ ; T ].
−τ
Из предыдущего неравенства и экспоненциальной оценки (15) получаем
kVy(t) − Vz(t)k 6 Cϕ Lea(t+τ ) (t + τ ) max ky(s) − z(s)k, Pa.s. .
s∈[−τ ;T ]
Аналогично, для разности квадратов оператора V:
Z t Z t
V2 y(t) − V2 z(t) = (U ∗ ϕ)(t − s)F (Vy(s))ds − (U ∗ ϕ)(t − s)F (Vz(s))ds =
−τ −τ
Z t
= (U ∗ ϕ)(t − s) (F (Vy(s)) − F (Vz(s))) ds,
−τ
получаем оценку
(t + τ )2
kV2 y(t) − V2 z(t)k 6 Cϕ2 L2 ea(t+τ ) max ky(s) − z(s)k.
2 s∈[−τ ;T ]
Несложно убедиться, что в общем случае
(t + τ )k
kVk y(t) − Vk z(t)k 6 Cϕk Lk ea(t+τ ) max ky(s) − z(s)k, k ∈ N.
k! s∈[−τ ;T ]
Отсюда
(T + τ )k
max kVk y(t) − Vk z(t)k 6 Cϕk Lk ea(T +τ ) max ky(t) − z(t)k.
t∈[−τ ;T ] k! t∈[−τ ;T ]
Выберем константу k = k(T ), при которой оператор Vk является сжимающим. Тогда для любого на-
чального приближения yϕ,0 (t) ∈ Ha итерационная последовательность yϕ,j (t) = Vjk yϕ,0 (t) имеет предел в
пространстве H:
yϕ (t) = lim Vjk yϕ,j (t), t ∈ [−τ ; T ].
j→∞
Здесь возможны два случая. В первом из них предельный элемент yϕ (t) ∈ Ha , во втором — yϕ (t) 6∈ Ha .
298
Сначала рассмотрим случай yϕ (t) ∈ Ha . Покажем, что yϕ (t) является представителем некоторого класса
Y ∈ Gn (Ω, Ha ). Из уравнения (18) c оператором (17) следует оценка
max kyϕε (t)k 6 C(ϕε ) max ea(t+τ ) kζϕε (t)k + C(ϕε ) max ea(t+τ ) k(Bw)ϕε (t)k+
t∈[−τ ;T ] t∈[−τ ;T ] t∈[−τ ;T ]
+C(ϕε ) max ea(t+τ ) kF (yϕε (t))k 6 C1 (ϕε ) max (kζϕε (t)k + k(Bw)ϕε (t)k) +
t∈[−τ ;T ] t∈[−τ ;T ]
Z t
+C2 (ϕε ) max kF (yϕε (t))k kyϕε (s)kds, Pa.s. .
t∈[−τ ;T ] −τ
Силу липшицевости и условия F (0) = 0, отображение F является ограниченным, следовательно
Z t
max kyϕε (t)k 6 C1 (ϕε ) max (kζϕε (t)k + k(Bw)ϕε (t)k) + C3 (ϕε ) max kyϕε (s)kds. (19)
t∈[−τ ;T ] t∈[−τ ;T ] t∈[−τ ;T ] −τ
Поскольку ζiδ и Bw можно рассматривать в качестве представителей соответствующих классов
из Gn (Ω, Ha ), то по определению (5) пространства EM n
(Ha ), найдется p ∈ N такое, что нормы
−(p+n)
kζϕε (·)k, k(Bw)ϕε (·)k растут не быстрее, чем ε при ϕ ∈ Ap . Отсюда первое слагаемое в правой части
неравенства (19) при ε → 0 растет не быстрее, чем ε−(p+2n+1) на ϕ ∈ Ap . Тогда, согласно (16) и лемме
Гронуолла–Беллмана, справедлива оценка
max kyϕε (t)k 6 Cε−(p+2n+1) , ϕ ∈ Ap ,
t∈[−τ ;T ]
и, следовательно, yϕ (t) является представителем некоторого класса Y ∈ Gn (Ω, Ha ). Более того, его сужение
на фактор-алгебру Gn(−∞;−τ ) (Ω, Ha ) равно нулю. Напомним, что функция ϕ в постановке задачи (9)–(10)
была выбрана произвольной с носителем во множестве [−τ ; ∞). Теперь выбирая |τ | сколь угодно малым,
заключаем, что носитель yϕ (t) принадлежит множеству [0; ∞). Итак, мы получили приближенное решение
задачи (8) в стохастической фактор-алгебре Gn (Ω, Ha ) с носителем [0; ∞).
Теперь обсудим вопрос единственности полученного решения. Пусть Y, Z ∈ Gn (Ω, Ha ) — два решения
задачи (8) с носителями на множестве [0; ∞). Возьмем ϕ ∈ A0 , supp ϕ ⊂ [−τ ; ∞) и рассмотрим предста-
вителей yϕ ∈ Y, zϕ ∈ Z, которые являются соответствующими решениями задачи (9)–(10) с различными
представителями классов {ζiδ} и {iBW}. Покажем, что yϕ − zϕ ∈ N (Ha ). В силу уравнения (9) для yϕ и
zϕ , имеем
yϕ0 (t) − zϕ0 (t) = h(t) + A(yϕ (t) − zϕ (t)) + F (yϕ (t)) − F (zϕ (t)) + g(t), t ∈ [−τ ; T ],
где h ∈ N (Ha ) и g ∈ N (Ha ) — разности двух представителей классов {ζiδ} и {iBW}, соответственно.
Тогда, аналогично выводу оценки (19), получаем
max kyϕε (t) − zϕε (t)k 6 C1 (ϕε ) max khϕε (t)k + C1 (ϕε ) max kgϕε (t)k
t∈[−τ ;T ] t∈[−τ ;T ] t∈[−τ ;T ]
Z t
+C3 (ϕε ) max kyϕε (s) − zϕε (s)kds.
t∈[−τ ;T ] −τ
Поскольку первые два слагаемые правой части данного неравенства удовлетворяют условию (4), то в силу
леммы Гронуолла–Беллмана заключаем, что разность yϕ − zϕ также принадлежит N (Ha ). Следовательно,
yϕ и zϕ принадлежат одному классу Y фактор-алгебры Gn (Ω, Ha ), носитель которого, как было показано
выше, принадлежит [0; ∞). Таким образом, решение задачи (8) единственно.
Теперь вернемся ко второму случаю, когда предельный элемент yϕ (t) не входит в алгебру Ha . Здесь мы
имеем лишь приближенное, в соответствии с требуемым уровнем погрешности, решение задачи (9)–(10) для
представителя. Это решение определяется элементами итерационной фундаментальной последовательно-
сти yj (t) = Vjk y0 (t) и параметром ε.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке Программы государственной поддержки ведущих научных школ
(НШ-9356.2016.1) и программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Прави-
тельства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).
299
Список литературы
[1] G. Da Prato, J. Zabczyk. Stochastic equations in infinite dimensions. Cambridge University Press, 2014.
[2] L. Gawarecki, V. Mandrekar. Stochastic differential equations in infinite dimensions. Springer, Berlin, 2011.
[3] I. V. Melnikova, A. I. Filinkov and U. А. Anufrieva. Abstract stochastic equations I. Classical and Generalized
Solutions Journal of Mathematical Sciences, 111(2):3430–3475, 2002.
[4] G. Da Prato. Kolmogorov equations for stochastic PDEs. Birkhauser Verlag AG, 2004.
[5] I. V. Melnikova, V. S. Parfenenkova. Feynman-Kac theorem in Hilbrt spaces. Electronic Journal of Differential
Equations, 2014(208):1–10, 2014.
[6] I. V. Melnikova. Stochastic Cauchy Problems in Infinite Dimensions. Regularized and Generalized Solutions.
CRC Press, Taylor & Francis Group: Boca Raton and London, 2016.
[7] M. A. Alshanskiy, I. V. Melnikova. Regularized and generalized solutions of infinite-dimensional stochastic
problems. Sbornik Mathematics, 202(11):1565–1592, 2011 (in Russian). = М. А. Альшанский, И. В. Мель-
никова. Регуляризованные и обобщенные решения бесконечномерных стохастических задач. Матема-
тический сборник, 202(11):3–30, 2011.
[8] I. V. Melnikova, A. I. Filinkov. Weak and generalized solutions of abstract stochastic equations. Doklady
Mathematics, 62(3):373–377, 2000 (in Russian). = И. В. Мельникова, А. И. Филинков. Слабые и обобщен-
ные решения абстрактных стохастических уравнений. Доклады академии наук, 375(4):443–447, 2000.
[9] I. V. Melnikova, U. А. Alekseeva. Weak regularized solutions to stochastic Cauchy problems. Chaotic modeling
and simulations, 2014(1):49–56, 2014.
[10] J. F. Colombeau. Elementary Introduction to New Generalized Functions. North Holland, Amsterdam,
1985.
[11] M. Oberguggenberger. Multiplication of Distributions and Applications to Partial Differential Equations.
Pitman Research Notes Math. 259, Longman Scientific & Technical, Essex, Harlow, 1992.
[12] I. V. Melnikova, U. А. Alekseeva. Quasilinear stochastic Cauchy problems in spaces of distributions.
International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2012:1–11, 2012.
[13] I. V. Melnikova, U. А. Anufrieva. Peculiarities and regularization of ill-posed Cauchy problems with
differential operators. Journal of Mathematical Sciences, 148(4):481–632, 2008.
[14] H. O. Fattorini. The Cauchy Problem. Cambridge Academ, 2009.
300
Construction of generalized solutions for quasi-linear stochastic
Cauchy problem in abstract Colombo algebra
Vadim A. Bovkun
Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)
Keywords: Cauchy problem, Wiener process, white noise, R-semi-group of operators, generalized function,
Colombeau algebra.
The paper is devoted to investigation of the stochastic Cauchy problem for a quasi-linear equation with
an operator generating an R-semi-group in L2 (R). Random perturbations are included additively in the form
of Gaussian white noise. An approximate solution is constructed in an appropriate factor-algebra based on the
Colombo theory of multiplication for generalized functions and the connection between R-semi-groups of operator
with integrated semi-groups.
301