Мы исследуем линейную независимость над Q элементов из некоторого специального [n=2]-элементного подмножества корней многочлена Im (ix + 1) : : : (ix + 2n). Исследования находят применение в теории оптимального синтеза траекторий в обобщенной задаче Фуллера: мы показываем, что существует обобщенная задача Фуллера, в которой для любого натурального k 6 249 994 914 существует оптимальное управление, за конечное время пробегающее половину всюду плотной обмотки k-мерного тора, отвечающей положительному направлению времени. В предположении неприводимости многочленов Зеликина-Локуциевского над Q для почти всех простых степеней, принадлежащих арифметической прогрессии f26 + 69k j k 2 Ng, показывается, что в качестве k может быть взято сколь угодно большое натуральное число.
на траекториях управляемой системы
J (x) =
Z +1
1;
(
Pn(i j1 ) = Pn(i j2 ) = : : : = Pn(i jN ) = : j1 j2 jN u =
XN expn i m ln jtjoym
m=1
является оптимальным для задачи (
Отметим, что в (
Таким образом, возникает следующая задача
Проблема 1. Пусть VB – Q-линейная оболочка, порожденная элементами множества B из (
1, определяемый следующим образом: xfn(x2) = Im Pn(ix):
1Случай N = 1 не исключается. В этом случае подойдет любое собственное значение j формы C, лишь бы dim Vj > 2.
2Многочлен fn(x) будем называть многочленом Зеликина–Локуциевского.
(
Формулировки и наброски доказательств Всюду далее для простого q > 3 символом xq обозначается выражение параметры p и r подобраны таким образом, что g(x) – сепарабельный многочлен над Fr степени n 3, причем Fr – поле разложения многочлена g(x). Так как (21; r) = 1, то можно в (7) сократить на 21 и получить многочлен x2 35x + 84, дискриминант которого равен 889. По условию 889 не является квадратом в Fr, а потому можно осуществить гензелев подъем разложения (7) в кольцо Zr[x]; мы получим тем самым, что группа разложения некоторого простого дивизора r поля разложения многочлена fn(x) над Q, лежащего над r, содержит транспозицию. Но в таком случае и GalQ(fn) также содержит транспозицию.
Теперь убедимся в неприводимости многочлена fn(x) над Q в условиях теоремы. Для этого обозначим через r; t – элементарный симметрический многочлен степени r от набора [1; t] \ N, а через sr; t – r-ю степенную сумму от набора [1; t] \ N. В таком случае, используя определение многочлена fn(x), нетрудно видеть, что
fn(x) = (
Делимость всех коэффициентов многочлена fn(x) (кроме старшего) на q2 может быть показана с использованием равенства 2k 1; q 1 = (2k 1 1)! s1; q 1 s2; q 1 . . .
1 Набросок доказательства. Пусть p = 26 + 69k для некоторого k 2 N. Заметим, что 26 = 3 + 23, 69 = 3 23, и рассмотрим выражение Pp+1(ix) в кольце Z[x; i]=(23; i2 + 1). Заметим, что 2p + 2 = 8 + 2 23(3k + 1), а потому в кольце F23[x] имеется разложение
fp+1(x) = (x11 + 1)2(3k+1)x3k+1f4(x): Нетрудно убедиться (например, с помощью Maple; хотя можно использовать и алгоритм Берлекемпа), что многочлен f4(x) неприводим над F23, а потому в кольце F23[x] многочлен fp+1(x) разлагается в произведение взаимно простых множителей: f4(x) и (x11 + 1)2(3k+1)x3k+1, причем последнее выражение имеет поле разложения F23. Сделав гензелев подъем разложения (11) в кольцо Z23[x], мы получим, что группа разложения некоторого простого дивизора p23 поля разложения многочлена fp+1(x) над Q, лежащего над 23, содержит элемент порядка 3. Итак, 3 j jGalQ(fp+1)j.
Теперь заметим, что 3 - (p 1), ибо p 2(mod 3). Если теперь p – такое простое число из условий теоремы, что fp+1(x) неприводим над Q, то группа GalQ(fp+1) неразрешима: действительно, в противном случае хорошо известно (см. [3, Гл. 5, п. 23.5, Теорема 23.6]), что она была бы подгруппой голоморфа Zp h Zp 1, а 3 j jGalQ(fp+1)j.
Итак, если p – такое простое число из условий теоремы, что fp+1(x) неприводим над Q, то GalQ(fp+1) – неразрешимая транзитивная группа подстановок простой степени. Но тогда эта группа дважды транзитивна в силу классической теоремы Бернсайда (см. [4, Гл. 8, §38]). Наконец, дважды транзитивные неразрешимые группы подстановок простой степени p хорошо известны. Именно, из результата [4, Гл. 8, §38, Теорема 4] мы получаем тогда либо нужное нам вложение Ap ,! GalQ(fp+1), либо следующие возможности: 1. p = 11 и GalQ(fn) изоморфна либо M11, либо L2(11); 2. p = 23 и GalQ(fn) изоморфна M23; 3. p = (rst 1)=(rs 1) для некоторого простого r и некоторых натуральных s; t, в этом случае GalQ(fn) изоморфна некоторой подгруппе в Aut(Lt(rs)), содержащей Lt(rs).
Пусть N – достаточно большое натуральное число. Оценим количество чисел множества5 не превосходящих N .
Мы имеем
B = rst rs (10) (11) (12) 1) < Но тогда количество элементов множества B, не превосходящих N , заведомо не превосходит величины BN = pN ln N ln 2 С другой стороны, количество простых чисел в арифметической прогрессии f26+69k j k 2 Ng эквивалентно при N ! +1 величине Теорема 4. Пусть число q > 3 является простым с условием xq 2= q3Zq, тогда многочлен f(q 1)=2(x) неприводим над Q.
Используя результат теоремы 4, можно доказать следующее утверждение6: Теорема 5. Пусть q 2(mod 3) – такое нечетное простое число, что многочлен f4(x) неприводим над Q, а число p = 3 + q + 3qk также простое для некоторого натурального k. Положим n = p + 1. Если число 2p + 3 = 2n + 1 является простым с условием x2p+3 2= (2p + 3)3Z2p+3, то Ap ,! GalQ(fn), кроме, быть может, случая, когда p = (rst 1)=(rs 1) для некоторого простого r и некоторых натуральных r; s.
Нетрудно видеть, что в теореме 5 можно положить q = 23 и получить Следствие 1. Пусть p – простое число из прогрессии f26 + 69k j k 2 Ng, не представимое в виде (rst 1)=(rs 1) ни для каких простого r и натуральных s; t. Пусть, далее, число 2p + 3 является простым с условием x2p+3 2= (2p + 3)3Z2p+3. Тогда имеется вложение Ap ,! GalQ(fp+1) и, в частности, при n = p + 1 справедливо равенство dimQ VB = [n=2].
Если все-таки оказалось, что простое p из следствия 1 представляется в виде (rst 1)=(rs 1) для какихто простого r и натуральных s; t, то при выполнении остальных условий следствия 1 получается оценка dimQ VB > 3.
Наконец, укажем примеры натуральных n, удовлетворяющих условиям следствия 1.
Теорема 6. Для натуральных n 2 f1 614; 34 503 270; 499 989 828g выполнены все условия следствия 1,
а потому имеются вложения An 1 ,! GalQ(fn). В частности, для рассматриваемых n справедливо
равенство dimQ VB = [n=2].
Следствие 2. В задаче (
О простых числах Вольстенхольма Простые числа q > 3 со свойством xq 2 q3Zq называются простыми числами Вольстенхольма (см. [5]). На сегодняшний день известно лишь два простых числа Вольстенхольма: 16 843 и 2 124 679. Более того, других простых чисел Вольстенхольма на отрезке [5; 109] нет (см. [5]). Оценка k 6 249 994 914 является принципиально неулучшаемой на текущий момент потому, что простое p = 499 989 827 – максимальное из 6К сожалению, более слабое, чем теорема 3. Проблема 2. Можно ли утверждать, что для почти всех простых p из арифметической прогрессии f26 + 69k j k 2 Ng многочлен Зеликина–Локуциевского fp+1(x) неприводим над Q?
В настоящий момент из результатов по неприводимости многочлена fn(x) над Q установлена лишь теорема 4. 2.2.2
О теореме 3 Количество простых чисел в арифметической прогрессии f26 + 69k j k 2 Ng, не превосходящих N , эквивалентно при N ! +1 величине N=(44 ln N ), что вытекает из теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. В наброске доказательства теоремы 3 показано, что количество простых чисел не выше N , принадлежащих множеству
X = rst rt 1 1 r 2 P; s; t 2 N ; (15) оценивается сверху величиной
BN = pN ln N ln N + 1 : (16)
ln 2 ln 2 Таким образом, для построения задачи оптимального управления, в которой имеется оптимальное управление, проходящее за конечное время половину всюду плотной обмотки k-мерного тора (отвечающей положительному направлению времени) для любого наперед заданного натурального k, достаточно решить следующую более слабую форму проблемы 2: Проблема 3. Количество простых чисел p из арифметической прогрессии f26+69k j k 2 Ng, для которых многочлен Зеликина–Локуциевского fp+1(x) приводим над Q, равно O(BN ) при N ! +1, где величина BN определена в (16). Благодарности
Автор выражает глубокую благодарность акад. РАН д.ф.-м.н. профессору Сергею Владимировичу Конягину, чл.-корр. РАН д.ф.-м.н. профессору Михаилу Ильичу Зеликину, д.ф.-м.н. профессору Вячеславу Александровичу Артамонову и д.ф.-м.н. Льву Вячеславовичу Локуциевскому за полезные консультации и неоценимую моральную поддержку. Список литературы Denis D. Kiselev Russian Foreign Trade Academy (Moscow, Russia) Keywords: Galois group, linear independence, dense winding, generalized Fuller optimal control problem.
We investigate linear independence over Q of elements from some specific [n=2]-elementary root subsystem of the polynomial Im (ix + 1) : : : (ix + 2n). We apply our investigations to the optimal synthesis problem of the generalized Fuller optimal control problem: there exists the generalized Fuller optimal control problem, the optimal control of which runs through the half of the dense winding of k-dimensional torus in finite positive time for arbitrary natural k 6 249 994 914. Under irreducibility assumption of Zelikin–Lokutsievskiy polynoms over Q of almost all prime degrees from arithmetic progression f26 + 69k j k 2 Ng one could assign an arbitrary natural value for k.