В работе рассматривается процесс торможения диска с использованием модели сухого трения. В данной постановке абсолютно твердый диск рассматривается как простейшая модель колеса, торможение которого осуществляется за счет момента, который имитирует действие тормозной системы, реализующей алгоритм торможения. Для нахождения оптимального алгоритма торможения авторы предлагают в данной работе рассмотреть процесс торможения в виде антагонистической дифференциальной игры, в которой первым игроком является тормозная система, управляющая тормозным моментом, а вторым - поверхность дороги, которая может менять значение коэффициента трения. Также рассматриваются возможные критерии качества.
Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the International Youth School-conference ¾SoProMat-2017¿, Yekaterinburg, Russia, 06-Feb-2017, published at http://ceur-ws.org
Запишем теорему о движении центра масс в проекциях на оси координат: Рис. 1: Система сил, действующих на диск mV_x = (Fтр)x; N
mg = 0: Здесь m – масса диска, Vx – проекция скорости центра масс диска на ось x, (Fтр)x – проекция силы трения на ось x.
Запишем теперь теорему об изменении кинетического момента относительно центра масс в проекции на ось z (которая предполагается направленной перпендикулярно плоскости чертежа в сторону читателя):
J!_ z = Mz + (Fтр)xR + MCz(N~ ): Здесь J – момент инерции относительно оси Cz, R – радиус диска, !z – проекция вектора угловой скорости на ось z, Mz – проекция вектора тормозящего момента на ось z, MCz(N ) – момент нормальной реакции относительно оси Cz.
Мы будем различать два типа сухого трения: трение сцепления, которое будет действовать на диск при качении без проскальзывания, и трение скольжения, действующее на диск при проскальзывании. При качении без проскальзывания сила трения подчиняется закону Fтр 6 f1N , где f1 – коэффициент трения покоя, при этом её направление и точное значение зависит от тормозящего момента. При качении с проскальзыванием значение силы трения определяется по закону Fтр = f2N , где f2 – коэффициент трения скольжения [1, 2].
Момент сопротивления качению подчиняется закону jMCz(N~ )j 6 N . При отсутствии угловой скорости точное значения трения качения зависит от значения тормозящего момента, а при качении достигается равенство [1]. 1. Качение без проскальзывания Vx = !zR.
В данном случае MCz(N~ ) =
sgn(!z)mg . Из (
mR J (Fтр)x = Mz + (Fтр)xR sgn(!z)mg ; mR 2. Скольжение заблокированного колеса !z = 0.
Значение силы трения скольжения (Fтр)x = определяется из уравнения таким образом при этом должно выполняться условие тогда уравнения движения имеют вид Если выполняется условие то сопротивление качения имеет максимальное значение MCz(N~ ) = примут вид sgn(Mz) mg, уравнения движения 3. Общий случай !z 6= 0, Vx 6= !zR.
В этом случае (Fтр)x = sgn(Vx + !zR)f2mg, MCz(N~ ) = sgn(!z) mg, здесь (Vx + !zR) – проекция
скорости точки касания на ось x. Уравнения движения примут вид
(
; Mz sgn(!z)mg mJR + R
6 f1mg: 8 < !_ z = Mz sgn(!z)mg
J+mR2 : V_x = Mz RsJg+n(m!Rz)mg Mz sgn(!z)mg mJR + R
> f1mg; 8 < !_ z = Mz sgn(Mz)f1mgR sgn(!z)mg
J : V_x = sgn(Mz)f1g Mz sgn(Vx)f2mgR + MCz(N~ ) = 0;
MCz(N~ ) = sgn(Vx)f2mgR
Mz; jsgn(Vx)f2mgR
Mzj 6 mg; !z = 0
V_x = sgn(Vx)f2g jsgn(Vx)f2mgR
Mzj > mg; 8 < !_ z = Mz sgn(Vx)f2mgR sgn(Mz) mg
J : V_x = sgn(Vx)f2g
sgn(Vx)f2mg. Точное значение сопротивления качения
Рассмотрим фазовую плоскость переменных !z и Vx (рис. 2). Процесс торможения диска может быть
интерпретирован как движение точки в фазовой плоскости из любого положения в начало координат,
согласно уравнениям, приведенным выше. На фазовой плоскости имеются две специальные области. Первая
область отвечает случаю движения без проскальзывания (Vx = !zR), при выполнении условия (
Рис. 2: Фазовая плоскость переменных !z и Vx 2
Постановка антагонистической дифференциальной игры Рассматривая величину Mz как управляемый параметр, мы можем поставить задачу управления о нахождении оптимального алгоритма торможения (например с наименьшим тормозным путём). Если обратиться к приведенным выше уравнениям движения, становится понятно, что величина момента непосредственно влияет на изменение угловой скорости, изменение же скорости центра масс диска определяется величиной силы сухого трения, которая опосредовано зависит от величины тормозящего момента. Рассмотрим некоторые простейшие варианты таких зависимостей [1, 2]. На рис. 3 приведена модель сухого трения, в которой предполагается f1 = f2; на рис. 4 представлена уточненная модель, в которой предполагается f1 > f2.
Рис. 3: Модель сухого трения (f1 = f2) Предположим, что нас интересует задача о наименьшем тормозном пути. Если рассмотреть её в рамках первой модели трения, то довольно очевидным является, что оптимальный момент для торможения имеет максимальное значение. Диск при этом, скорее всего, перейдет в режим проскальзывания. Однако, на практике установлено, что тормозной путь при торможении без проскальзывания будет короче, что объясняется второй моделью трения, из которой видно, что значение трения скольжения меньше, чем максимальное значение трения сцепления. Поэтому наиболее эффективным в этом случае будет приложить такой момент, чтобы добиться максимально возможной силы трения сцепления, не переходя при этом в режим проскальзывания. Отметим, что при торможении диска проскальзывание возникает из-за слишком быстрого снижения угловой скорости диска по сравнению со снижением скорости центра масс (на фазовой плоскости это область выше прямой Vx = !zR), при этом существует угроза блокировки диска, которая может существенно снизить управляемость транспортным средством. Для предотвращения блокировки на практике зачастую используется система АБС (антиблокировочная система) [3], работа которой заключается в отслеживании значения угловой скорости и снятии тормозного усилия в случае возможной блокировки диска. Кроме этого, существует класс тормозных систем, не оборудованных системой АБС. Некоторые модели таких систем описаны в работе [4]. Приведем одну из них: Здесь M0; n – конструкционные параметры механизма, t0 – момент времени, когда тормозящий момент достигает наибольшего значения Mmax = 1;1f1 N R (f1 – коэффициент трения сцепления для поверхности сухого асфальта, т.е. максимальный тормозящий момент не более чем на 10 процентов превосходит максимальный момент силы трения сцепления на поверхности сухого асфальта), t! – момент времени, когда угловая скорость становится равной нулю, tv – момент времени, когда скорость центра диска становится равной нулю. Такая модель тормозной системы позволяет избежать блокировки колеса, либо блокировка наступает на позднем этапе торможения, что уже не так критично. Таким образом, модель (13) и системы с АБС не препятствуют движению в режиме проскальзывания, поэтому не могут быть оптимальными в рамках поставленной задачи управления.
Однако, оптимальный алгоритм в условиях реальной эксплуатации вполне может оказаться хуже, чем, например, представленный выше алгоритм (13). Основная причина этого состоит в том, что он будет зависеть от величин f1 и f2, которые могут быть различны для разных участков дороги (причиной может быть различное дорожное покрытие, лужа на дороге и пр.). Для того чтобы получить более универсальное решение, можно рассмотреть задачу об оптимальном торможении как задачу об управлении с неполной информацией. Один из подходов к решению такого рода задач – это представление их в виде дифференциальных антагонистических игр [6]. 1. Игроки и их управления
В предлагамой игре первым игроком является система торможения, которая управляет тормозящим моментом Mz, значение которого ограничено некоторой величиной M : jMzj 6 M : Вторым игроком является поверхность дороги, которая управляет величинами f1 и f2, которые также ограничены некоторыми величинами a и b:
0 < a 6 f2 < f1 6 b < 1: Задача игроков состоит в том, чтобы перевести систему из начального положения (!0; V0) в точку (0; 0), при этом первый игрок стремится минимизировать критерий качества, а второй его максимизирует. 2. Критерий качества
Рассмотрим некоторые критерии качества, которые, на наш взгляд, представляют интерес для изучения. В критерии отражается наше желание потребовать минимальность тормозного пути при минимальных энергозатратах [5], при этом вклады каждой из этих величин можно суммировать с некоторым весом, тогда будем иметь где T – момент остановки, ; – некоторые положительные постоянные. Также представляет интерес критерий, в котором оценивается эффективность энергозатрат
T Z 0 T Z 0 I = jVx(t)jdt +
jMz(t)jdt; I = jVx(t)jdt +
Mz FтрR
dt: T Z 0 T Z 0 (14) (15) Второе слагаемое этого критерия показывает, что первый игрок пытается достичь наибольшего значения силы трения при наименьшем значении тормозящего момента.
Считая дорогу антагонистом, мы делаем существенное предположение о её поведении, которое, строго говоря, ей не свойственно. Однако, антагонистическая постановка задачи позволяет оценить гарантированный результат в наихудшем случае. Решение данной задачи может помочь в оптимизации современных систем торможения и послужит основой дальнейшим исследованиям оптимальных алгоритмов торможения. Список литературы
On the possibility of considering the braking of a disk in the form of an antagonistic differential game
Alexey E. Lamotkin, Sergey I. Osipov, Dmitriy A. Pronchatov Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia) Keywords: antagonistic differential game, disk braking, optimal control.