Рассматривается краевая задача Коши уравнения ГамильтонаЯкоби-Беллмана. Предполагается, что решение данной задачи содержится в классе кусочно-гладких функций. Рассматривается случай, когда гамильтониан зависит только от импульсной переменной и является непрерывно-дифференцируемой функцией, как и краевая функция. Предложена процедура построения сингулярного множества с помощью характеристик уравнения ГамильтонаЯкоби-Беллмана и условия Ранкина-Гюгонио. Метод продемонстрирован на классическом примере.
+ H(Dx'(t; x)) = 0; '(T; x) = (x); (1) jDsH(s0)
DsH(s00)j
L js0 s00j; для любых s0, s00 2 D.
A3. Выполнены условия подлинейного роста: существует такое > 0, что выполняются условия jDsH(s)j (1 + jsj); для любого s 2 R.
A4. Функция (x) непрерывно дифференцируема.
Целью работы является изучение структуры решения '( ) задачи (1). 3.3
Сингулярное множество Напомним определение сингулярного множества для обобщенного решения '( ) задачи (1). Определение 3 Сингулярным множеством Q для обобщенного решения '( ) задачи (1) называется множество точек (t; x) 2 T , в которых функция ' недифференцируема. Согласно работ [1, §5.2.4; 2, §1.2], справедливы следующие утверждения Утверждение 2 Пусть в задаче (1) выполнены условия A1–A4. Для того чтобы точка (t; x) принадлежала Q, необходимо и достаточно, чтобы существовали 1; 2 2 R, 1 6= 2, для которых выполнены соотношения
x~(t; 1) = x~(t; 2) = x; z~(t; 1) = z~(t; 2) = '(t; x); s~(t; 1) 6= s~(t; 2); где x~( ; i), s~( ; i), z~( ; i), i = 1; 2
решения характеристической системы (2), (3). Утверждение 3 Если множество сингулярности Q содержит кривую, описываемую дифференцируемой функцией t 7! x(t), 0 < t t0 < T , то справедливо соотношение dx(t)
dt (s~(t; 1) s~(t; 2))
= H(s~(t; 1)) H(s~(t; 2)); 8t 2 (0; t0] : Это соотношение известно как условие Ранкина–Гюгонио. 3.4
Класс кусочно-гладких функций В данной работе рассматриваются обобщенные решения '( ) задачи (1) из класса кусочно-гладких функций (см., [5, §6.3]). Определение 4 Функция '( ) : T ! R называется кусочно-гладкой в T , если (1) Область определения этой функции T имеет следующую структуру
T = [ Mi; Mi \ Mj = ;; если i 6= j; i; j 2 I; I = f1; 2; :::N g ;
i2I где Mi дифференцируемые подмногообразия в T .
(2) Сужение кусочно-гладкой функции '( ; ) на M j, j 2 J, является непрерывно дифференцируемой функцией, где
J := fi 2 I : Mi 2-мерное многообразиеg; символ M j означает замыкание множества Mj.
(3) Для любых i 2 I, (t1; x1), (t2; x2) 2 Mi выполнено J(t1; x1) = J(t2; x2), где
J(t; x) := fj 2 J : (t; x) 2 M jg: Выбор для исследования класса кусочно-гладких решений уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана мотивирован тем, что в практических задачах, как правило решения содержатся в классе кусочно-гладких функций. Сингулярное множество Q в этом классе выглядит следующим образом: Q = Sj2InJ Mj, где Mi T Mj = ;; i 6= j; i; j 2 I n J. 4
Процедура построения сингулярного множества Пусть существуют две характеристики с краевыми параметрами и . Из характеристической системы (2), (3) следует, что s~(t; ) = Dx ( ). 1) Распишем, из утверждения 2, необходимые условия принадлежности точки сингулярному множеству. Равенства (6) и (7) говорят о том, что если характеристики пришли в точку (t; x) 2 Q то краевые параметры этих характеристик должны удовлетворять равенствам (4) и (5), при этом выполнено D ( ) 6= D ( ), при 6= , и T t > 0.
Введем замену ( ) ( ) = (
D ( ) + (1 ) D ( )) ( ) и, если (8), (6) подставить в (7), получим
H(D ( ))
H(D ( )) = (
DsH(D ( )) + (1 ) DsH(D ( ))) (D ( )
D ( )): Заметим, что нас интересуют конечные, так как s 6= s , 6= , DsH(s ) 6= DsH(s ) из того, что x~_(t; ) 6= x~_(t; ) [8]. С другой стороны из того, что гамильтониан H является вогнутым по переменной s, следует, что 2 (0; 1).
Для наглядности формул (8) и (9) перейдем к заменам s = D ( ) и s = D ( ). Отсюда получим два представления на параметр .
Первое представление Второе представление = ( ) (s ( 3) Из равенства (12) собираем такие , у которых одинаковое значение (T t) > 0, при этом учтем, что если существует 2 ( ; ) с тем же моментом пересечения (T t), то нужно проверить, что характеристика с краевым параметром не выживает в графике решения. Это является достаточным условием принадлежности точки (t; x) к сингулярному множеству. Для наглядности данного метода, рассмотрим классический пример с ¾ласточкиным хвостом¿ 2 2 1) Запишем два представления , которые являются первой частью необходимого условия принадлежности точки сингулярному множеству.
Представление 2 можно упростить до Рассмотрим графическое представление пересечения двух графиков 1, 2.
1 = ( ) (s ( Рис. 2: По оси абсцис отложены значения параметров Благодарности 2 получаем, что x(t; ) = 0. Отсюда следует, что сингулярное множество выглядит
Q = f(t; x) : (T t) > 1; x = 0g : [5] A.I. Subbotin.
Birkh¨auser, 1995.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект №17-01-00074) и Комплексной программы УрО РАН (проект №15-16-1-11). Список литературы [1] N.N. Subbotina et al. The Method of Characteristics for Hamilton–Jacobi–Bellman equations. UB RAS, Yekaterinburg, 2013 (in Russian). = Н.Н. Субботина и др. Метод характеристик для уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана. УрО РАН, Екатеринбург, 2013. [2] E.A. Kolpakova. A generalized method of characteristics in the theory of Hamilton–Jacobi equations and conservation laws. Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 16(5):95–102, 2010. [3] I.G. Petrovskii. Lectures on the Theory of Ordinary Differential Equations. Moskow State Univ., Moscow, 1984 (in Russian). = И.Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. МГУ, Москва, 1984. [4] R. Rockafellar. Convex Analysis. Princeton Univ., Princeton, 1970.
Generalized Solutions of First-Order PDEs. The Dynamical Optimization Perspective. [6] M.G. Crandall, P.L. Lions. Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations, Trans. Amer. Math. Soc.
277(1):1–42, 1983. [7] N.N. Subbotina, E.A. Kolpakova. On the structure of locally Lipschitz minimax solutions of the Hamilton– Jacobi–Bellman equation in terms of classical characteristics. Proc. Steklov Inst. Math., 268 (Suppl. 1):S222– S239, 2010. [8] A.S. Rodin. On the structure of the singular set of a piecewise smooth minimax solution of the Hamilton–Jacobi–Bellman equation. Ural Mathematical Journal, 2(1):58-68, 2016.
The procedure for constructing a singular Hamilton–Jacobi–Bellman equation set for solving the Aleksei S. Rodin Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia) Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics (Yekaterinburg, Russia)
Keywords: Hamilton–Jacobi–Bellman equation, minimax solution, singular set, piecewise smooth solution, Rankin–Hugoniot’s condition.
We consider the Cauchy boundary value problem of the Hamilton–Jacobi–Bellman equation. It is assumed that the solution of this problem is contained in the class of piecewise smooth functions. We consider the case when the Hamiltonian depends only on the impulse variable is a continuously differentiable function, as well as the edge feature. A procedure for constructing a singular set with the help of characteristics of the Hamilton– Jacobi–Bellman equation and the Rankin–Hugoniot condition is proposed.