Исследуется множество достижимости в момент для нелинейной управляемой системы третьего порядка, называемой часто ¾машина Дубинса¿. Объект перемещается на плоскости с постоянной по величине линейной скоростью и несимметрично заданными ограничениями на повороты вправо и влево. Доказывается утверждение о числе и характере переключений управления, ведущего на границу множества достижимости. Приведены результаты численного построения множеств достижимости.
Для машины Дубинса известен синтез оптимального управления в задаче быстродействия в
симметричном [
Целью данной работы является исследование границы множества достижимости в момент для
несимметричного случая. Существенным образом используется схема рассуждений из статьи [
Из анализа структуры множества достижимости в момент вытекают некоторые полезные факты для задачи быстродействия (например, оценка числа переключений и характер переключений оптимального управления). Но в целом, исследование границы множества достижимости в момент и построение оптимального синтеза в задаче быстродействия это разные задачи.
При исследовании границы множества достижимости используется принцип максимума Понтрягина для
управлений, ведущих на границу множества достижимости [
Выполнены численные расчеты множеств достижимости с представлением в трехмерном фазовом пространстве. 2 Постановка задачи Пусть движение управляемого объекта на плоскости X0Y описывается системой дифференциальных уравнений y x_ = V cos '; y_ = V sin '; '_ = u; u 2 [umin; umax]; (1)
V φ где x; y координаты объекта, ' угол наклона вектора скорости (рис. 1), V величина скорости. Допустимыми про- x граммными управлениями u( ) считаются измеримые функции времени со значениями u(t) 2 [umin; umax]. Значения угла ' рас- Рис. 1: Система координат сматриваются на промежутке ( 1; 1).
Фазовый вектор (x; y; ') системы (1) обозначим через z. Зафиксируем z0 произвольное состояние системы (1) в начальный момент времени t0 = 0. Множество достижимости G(tf ) в момент времени tf > t0 есть совокупность всех точек z трехмерного фазового пространства, в каждую из которых возможен перевод системы (1) в момент tf при помощи некоторого допустимого управления на промежутке [t0; tf ] из начальной точки z0.
В работе утверждения из статьи [
Принцип максимума Понтрягина
Опираясь на результаты из [
2V cos ' (t):
По аналогии с [
Исходя из условия 0 2 (umin; umax), принцип максимума будет выполнен для u (t) = 0, если 3(t) = 0, т.е. при движении по прямой 1y 2x + C = 0: (2) При движении в полуплоскости 1y 2x + C < 0 (> 0) условие максимума выполнено для u (t) = umin (u (t) = umax). Очевидно, что управления, ведущие на границу можества достижимости и, соответственно, удовлетворяющие условию максимума, могут изменять свое значение только на прямой (2), которую будем называть прямой переключения.
Движение вне прямой переключения представляет собой дугу окружности. Пересечение таких
участков движения с прямой переключения происходит под одинаковым углом, откуда по аналогии с [
Типовые движения системы (1), удовлетворяющие условию максимума, показаны на рис. 2. Условимся называть циклом участок движения с постоянным управлением u(t) = umin или u(t) = umax, вдоль которого фазовая переменная ' изменяется на 2 . г) Если на движении z ( ) есть совпадающие точки геометрического положения в моменты переключения, то на этом движении имеется хотя бы один цикл.
д) Если на движении z ( ) есть участок с нулевым управлением, то любой участок постоянства управления со значением umin или umax, не лежащий на краю, представляет собой один или несколько подряд идущих циклов. 4
Свойства движений, удовлетворяющих принципу максимума Из записанных выше соотношений принципа максимума Понтрягина нельзя напрямую сделать заключение о числе переключений управления при формировании границы множества достижимости. Для этого потребуется вывод ряда свойств, определяющих длительность последовательно идущих участков управления при выполнении условий принципа максимума.
Будем рассматривать кусочно-постоянные управления u( ) со значениями umin; 0; umax. Исходя из принципа максимума, таких управлений достаточно для построения границы множества достижимости. Условимся обозначать символом @ границу множества, а символом int внутренность. Ниже в леммах 2 и 3 рассматриваются движения без участков с нулевым управлением. Лемма 4 посвящена случаю с участком нулевого управления. В Лемме 5 оговаривается ситуация, при которой количество переключений может быть снижено.
Л е м м а 2. Пусть движение z( ) на промежутке [t0; tf ] порождается кусочно-постоянным управлением u( ) с двумя моментами переключения t1, t2, причем u(t) 6= 0 на каждом участке постоянства. Значения u(t) на трех последовательных участках обозначим u1; u2; u3 соответственно. Предположим, что точки геометрического положения на плоскости x; y в моменты переключения не совпадают. Тогда если (t1 t0) + (tf t2) > (t1 t2) u2=u1, то z(tf ) 2 int G(tf ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через (x1; y1), (x2; y2) точки геометрического положения в моменты переключения t1; t2 (по условию леммы (x1; y1) 6= (x2; y2)). Длительность трех участков с постоянным управлением составляет t1 = t1 t0, t2 = t2 t1, t3 = tf t2. Приращение угла на соответствующих участках равно '1 = t1 u1, '2 = t2 u2 и '3 = t3 u3. Из условия u(t) 6= 0 делаем вывод, что управления u1; u2; u3 могут последовательно принимать только два варианта значений: fumin; umax; uming или fumax; umin; umaxg. Следовательно, u1 = u3.
Предположим от противного, что z(tf ) 2 @G(tf ). Тогда управление u( ) удовлетворяет принципу максимума. Поскольку точки (x1; y1), (x2; y2) не совпадают, то, опираясь на утверждение в) из Леммы 1, движение z( ) на промежутке [t0; tf ] не имеет циклов.
Рассмотрим вспомогательное движение ze( ) = (x( ); ye( ); 'e( )) на промежутке [t0; tf ], порождаемое e кусочно-постоянным управлением ue( ) с четырьмя моментами переключения et1, et2, et3, et4 и с соответствующими значениями ue1 = u1, u2 = u2, u3 = u1, u4 = u2, u5 = u1 на участках постоянства управления.
e e e e Моменты переключения управления ue( ) запишем следующим образом: et1 = t1 + t1 ( '2=( '1 + '3)); et2 = et1
t3 ( '2=( '1 + '3));
et3 = et2 + t2;
et4 = t2 + et2 et1:
Из оговоренного в формулировке леммы неравенства следует, что t0 < et1 < et2 < et3 < et4 < tf . Стало
быть, управление u( ) является допустимым. Непосредственно интегрируя систему (1) с управлением ue( ),
e
можно убедиться в том, что вспомогательное и исходное движения приходят в одну и ту же фазовую
точку, т.е. z(tf ) = ze(tf ). Фактически следует проделать выкладки, аналогичные тем, что были сделаны
в работе [
Из принятого предположения z(tf ) = ze(tf ) 2 @G(tf ) следует, что для вспомогательного управления u( ) должны быть выполнены утверждения Леммы 1. Однако, записав соотношение б) для моментов пеe реключения et1, et2, et3, нетрудно убедиться, что оно нарушается, поскольку (x1; y1) 6= (x2; y2). Пришли к противоречию. (В силу Леммы 1 положения системы (1) в моменты переключения должны лежать на одной прямой. На рис. 3 видно, что это условие также нарушается.) Лемма доказана. П р и м е ч а н и е. Условие Леммы 2 может быть записано в эквивалентном виде ( '1 + '3)= '2 < 1. Л е м м а 3. Пусть движение z( ) на промежутке [t0; tf ] порождается кусочно-постоянным управлением u( ) с тремя моментами переключения, причем u(t) 6= 0 на каждом участке постоянства. Тогда z(tf ) 2 int G(tf ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Моменты переключения обозначим t1, t2, t3. Для данных моментов времени рассмотрим точки геометрического положения системы (1): (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3). Управление u( ) на первом и втором участках постоянства обозначим u1 и u2. На третьем и четвертом участках управление также принимает значения u1 и u2 соответственно. По аналогии с доказательством Леммы 2 введем углы поворота на последовательно рассматриваемых участках постоянства управления: '1 = t1 u1, '2 = t2 u2, '3 = t3 u1 и '4 = t4 u2. Предположим от противного, что z(tf ) 2 @G(tf ).
1) Будем считать вначале, что среди точек (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3) нет совпадающих. Тогда, в силу Леммы 2, справедливы соотношения ( '1 + '3)= '2> 1; ( '2 + '4)= '3> 1: Поскольку значения '1, '3 имеют одинаковый знак и не равны нулю, то из первого соотношения получаем '3= '2 > 1. Аналогично, из второго соотношения получаем неравенство '2= '3 > 1, противоречащее первому.
2) Пусть среди точек (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3) есть совпадающие. Тогда в силу Леммы 1 на движении z( ) есть хотя бы один цикл и точки (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3) совпадают. Рассмотрим вспомогательное движение ze( ) с измененными относительно исходного движения моментами переключения: et1 = t1 et, et2 = t2 et, et3 = t3, где et = minf t1=2; =ju1jg. Нетрудно убедиться, что z(tf ) = ze(tf ). В то же время, используя выражение для et, для вспомогательного движения получаем (xe1; ye1) = (xe2; ye2) 6= (xe3; ye3). Пришли к противоречию.
Лемма доказана.
Л е м м а 4. Пусть движение z( ) на промежутке [t0; tf ] порождается кусочно-постоянным управлением u( ) со значениями u1, u2, u3 и двумя моментами переключения t1, t2. При этом (u1; u2; u3) = (umin; umax; 0) или (u1; u2; u3) = (umax; umin; 0). Тогда z(tf ) 2 int G(tf ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим от противного, что z(tf ) 2 @G(tf ). В силу Леммы 1 движение z( ) на промежутке [t1; t2] представляет собой один или несколько подряд идущих циклов ((x1; y1) = (x2; y2)). Возьмем вспомогательное движение ze( ) с тремя моментами переключения, указанными в лемме 3, и управлениями ue1 = u1, ue2 = u2, ue3 = u1, u4 = u3. Здесь также получаем ze(tf ) = z(tf ). В то же время приращение e угла на третьем участке вспомогательного движения строго меньше 2 , что противоречит Лемме 1 при наличии участка с нулевым движением. Таким образом, z(tf ) 2 int G(tf ).
Лемма доказана.
П р и м е ч а н и е. Лемма 4 справедлива и для случаев, когда (u1; u2; u3) = (0; umin; umax) и (u1; u2; u3) = (0; umax; umin). Л е м м а 5. Пусть движение z( ) на промежутке [t0; tf ] порождается кусочно-постоянным управлением u( ) со значениями u1, u2, u3 и двумя моментами переключения t1, t2. Если при этом выполнено условие максимума, то в конечную точку z(tf ) соответствующего движения можно перевестись при помощи кусочно-постоянного управления с одним переключением, снизив тем самым количество переключений на единицу.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу Леммы 1 движение z( ) на промежутке [t1; t2] представляет собой один или несколько подряд идущих циклов ((x1; y1) = (x2; y2)). Рассмотрим новое движение ze( ) с одним моментом переключения et1 = t2 (t1 t0) и управлением ue1 = u2 на первом участке и ue2 = 0 на втором. Имеем ze(tf ) = z(tf ). Новое движение приходит в момент tf в ту же точку, но имеет на одно переключение меньше.
Лемма доказана. Сформулируем основное утверждение.
Т е о р е м а. В каждую точку границы множества достижимости системы (1) можно перейти при помощи кусочно-постоянного управления с не более чем двумя переключениями. При этом в случае двух переключений можно ограничиться шестью вариантами последовательности управлений: 1) umin; 0; umin; 2) umin; 0; umax; 3) umax; 0; umin; 4) umax; 0; umax; 5) umin; umax; umin; 6) umax; umin; umax: (3) Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим от противного, что на границе множества достижимости G(tf ) есть точка z(tf ), перевод в которую возможен лишь при помощи управления с тремя или более переключениями. Если таких управляющих функций несколько, то возьмем управление с наименьшим числом переключений. Обозначим выбранное управление через u( ), а порождаемое им движение – через z( ). Рассмотрим движение z( ) на промежутке [t0; tf ] с четырьмя последними участками постоянства управления со значениями u1, u2, u3, u4. В силу Лемм 3 и 4 среди данных управлений два имеют нулевое значение и при этом они не лежат на краях одновременно. Получаем в результате два возможных варианта: либо u1 = 0, u2 6= 0, u3 = 0, u4 6= 0, либо u1 6= 0, u2 = 0, u3 6= 0, u4 = 0. В обоих случаях количество переключений может быть снижено на единицу (Лемма 5), что противоречит сделанному предположению о выборе управления u( ) с наименьшим числом переключений.
Таким образом, в любую точку на границе множества достижимости G(tf ) можно перейти при помощи кусочно-постоянного управления с не более чем двумя переключениями. Что касается возможных вариантов последовательности управлений, кроме указанных в формулировке теоремы вариантов управлений с двумя переключениями, логически возможны еще шесть вариантов: 7) 0; umin; umax; 8) 0; umax; umin; 9) umin; umax; 0; 10) umax; umin; 0; 11) 0; umin; 0; 12) 0; umax; 0: Управления вида 7 10 не могут приводить на границу множества достижимости в силу Леммы 4. Для вариантов 11 и 12 число переключений может быть снижено на единицу в силу Леммы 5.
Теорема доказана. 5
Численные построения Доказанное в работе утверждение позволяет построить границу @G(tf ) с помощью шести участков поверхности, каждый из которых является двупараметрическим семейством точек z(tf ) для указанных в теореме вариантов управлений с моментами переключения t1 и t2. При этом для вариантов 5) и 6) необходимо дополнительно учесть условия Леммы 2, т.е. рассматривать только те движения, для которых выполнено условие (t1 t0) + (tf t2) 6 (t1 t2) u2=u1.
В силу стационарности системы (1) берем начальный момент времени t0 = 0. Специфика системы (1) такова, что начальное состояние z0 влияет на множество достижимости лишь с точностью до поворота и переноса.
Пример численного построения границы множества G(tf ) для tf = 6 , umin = 0:25, umax = 1:0 показан на рис. 4. Здесь граница множества достижимости состоит из шести участков. Значения кусочнопостоянного управления, ведущего на каждый из них, указаны при помощи выносок.
Разработана программа подготовки множеств достижимости для печати на 3d-принтере [15]. Образец напечатанного множества для tf = 5 , umin = 0:25, umax = 1:0 показан на рис. 5. [1] L.E. Dubins. On curves of minimal length with a constraint on average curvature and with prescribed initial and terminal positions and tangents. American Journal of Mathematics, 79: 497 516, 1957. [3] R. Isaacs. Differential Games. John Wiley and Sons, New York, 1965. [15] I.S. Starodubtsev, A.A. Fedotov, V.L. Averbukh, V.S. Patsko. Reachable Sets for Dubins Car in Control Problems: Physical Visualization. 24th International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision. WSCG 2016, Posters Proceedings, 49–52, Plzen, Czech Republic, May 30 – June 3, 2016.
Reachable set for the Dubins car under asymmetric constraint on control
Alena S. Simonenko1, Andrey A. Fedotov2 1 – ITMO University (Saint Petersburg, Russia) 2 – Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics (Yekaterinburg, Russia) Keywords: Dubins car, reachable set, asymmetric constraints of turning radius.