В статье осуществлено компьютерное моделирование фазового перехода в антиферромагнитных системах с учетом взаимодействия соседей, следующих за ближайшими. Рассмотрен случай степенного убывания дальнодействующих сил. Получена фазовая диаграмма системы. Вычислены параметры фазовых переходов. Описание критического поведения антиферромагнитных систем опирается на модель Изинга с отрицательным обменным интегралом и учитывает только взаимодействие ближайших спинов. Режим критического поведения определяется набором критических индексов, характеризующих поведение термодинамических функций. Однако в ряде экспериментов [1, 2, 4, 5] наблюдалось критическое отличное от модели Изинга ( = 1.241, = 0.325). Данные отклонения объясняются необходимостью учета взаимодействия не только между ближайшими спинами, но и спинами, следующими за ближайшими. Традиционная модель Изинга основывается на предположении, что обменное взаимодействие убывает с расстоянием по экспоненциальному закону. В силу быстрого убывания величины взаимодействия обменными силами, создаваемыми соседями, следующими за ближайшими можно пренебречь, как малой величиной. Однако экспериментальное измерение скорости убывания взаимодействия между спинами с расстоянием в некоторых материалах показало, что данное предположение может не выполняться. Так в работе [2] для антиферромагнетика EuO величина обменного интеграла для соседей, следующих за ближайшими равна 2 = (0.5 ± 0.2)1 (1 - обменный интеграл для ближайших соседей), и, как следствие, критические индексы ( = 1.29 ± 0.01, = 0.368 ± 0.005) отличаются от характерных для трехмерной модели Изинга. Для описания дальнодействующих сил в Гамильтониане системы необходимо учесть взаимодействие, убывающее с расстоянием по степенному закону где - размерность системы, - параметр дальнодействия [6]. Критическое поведение трехмерной антиферромагнитной модели Изинга с учетом спинов следующих за ближайшими на кубической решетке было исследовано с помощью репличного алгоритма методом МонтеКарло и гистограммного анализа данных в статье [7]. В работе построена фазовая диаграмма зависимости критической температуры от величины взаимодействия вторых ближайших соседей в трехмерных системах. В статье показано, что для всех значений интенсивности взаимодействия вторых ближайших соседей
() ∼ − − , реализуется фазовый переход второго рода. Определено значение отношения констант близкодействия и дальнодействия, при котором температура Нееля имеет минимальное значение.
Исследование критического поведения различных систем с учетом взаимодействия между спинами,
убывающего с расстоянием по степенному закону в рамках теоретико-полевого подхода было
проведено в статьях [
Описание системы Гамильтониан антиферромагнитной модели Изинга с эффектами дальнодействия может быть записан в следующем виде:
= − ∑︁ + + ∑︁ . Здесь – значение спина в -ом узле (+1/2 или -1/2), – значение обменного интеграла, – интенсивность дальнодействия, показывающая относительный вклад эффектов дальнодействия по сравнению с близкодействием, – параметр дальнодействия, показывающий скорость убывания дальнодействующих сил с расстоянием, – размерность системы, в дальнейшем все расчеты проводились при = 3. В первом слагаемом суммирование осуществляется только по ближайшим соседям, во втором слагаемом, кроме ближайший соседей, учитываются также спины, расположенные внутри сферы радиусом 2, где – постоянная решетки.
Из вида Гамильтониана можно сделать вывод о том, что при > + уже на уровне ближайших соседей ферромагнитное упорядочивание будет доминировать над антиферромагнитным. Реальное значение параметра , при котором происходит смена антиферромагнитного упорядочивания ферромагнитным будет ниже, вследствие влияния соседей, следующих за ближайшими. Таким образом на фазовой диаграмме вещества будет присутствовать три фазы – неупорядоченная, антиферромагнитная и ферромагнитная. Данные фазы будут разделены двумя линиями фазовых переходов, пересекающихся в некоторой точке. Из этой же точки будет выходит линия, на которой будет наблюдаться фрустрированное состояние вещества. На линии фрустраций, вследствие конкуренции между ферромагнитным и антиферромагнитным упорядочиванием будет отсутствовать устойчивое состояние системы. Условием фрустрированного состояния является равенство антиферромагнитного слагаемого близкодействия и ферромагнитного слагаемого дальнодействия. В связи с этим необходимо вводить два параметра порядка, отвечающих за различные виды упорядочивания. Обозначим через 1 магнитный момент системы, вычисляемый как сумма значений спинов в единице объема. Для антиферромагнитного параметра порядка введем обозначение 2 и будем вычислять его как шахматную намагниченность.
Критическое поведение системы моделировалось на основе алгоритма Метрополиса. Изучались системы
с простой кубической решеткой с размерами × × и периодическими граничными условиями. Для
определения температуры фазового перехода использовались кумулянты Биндера четвертого порядка [
Для системы исследовалась намагниченность системы 1 = ⟨1⟩/ и шахматная намагниченность 2 = ⟨2⟩/ . = 3 – количество спинов.
Также в рамках компьютерного эксперимента исследовалась восприимчивость каждого из параметров порядка:
1 = (⟨12⟩ − ⟨ 1⟩2), 2 = (⟨22⟩ − ⟨ 2⟩2). где = ||/( ), – постоянная Больцмана.
Определение критических индексов основывается на теории конечноразмерного скейлинга [
1 ∼ 1/ 1, 2 ∼ 2/ 2. Из данного соотношения может быть найдено отношение критических индексов 1/ 1 и 2/ 2. Критические индексы 1 и 2 могут быть вычислены из соотношений: ∼ − 1/ . ( = 1, 2). Остальные критические индексы могут быть определены из скейлинговых соотношений = − , = 2 ( − + ), = − . ( = 1, 2). Компьютерный эксперимент проводился для систем размером от = 20 до = 60 с шагом = 10, количество шагов Монте-Карло на спин было равно 3 · 105. Как показали расчеты системы с линейным размером, определяемым четным числом приходят в состояние равновесия значительно быстрее, что обусловлено антиферромагнитным слагаемым в Гамильтониане. Для исследования системы и построения фазовой диаграммы производилось варьирование двух параметров – и . Значения параметра менялись от 1.5 до 2.0 с шагом 0.1. Значения параметр изменялись в интервале от 0.5 до 1.4 с шагом 0.1. Расчеты производились на графическом процессоре с предварительным распараллеливанием алгоритма Метрополиса, что позволило до 445 вычислительных потоков. Распараллеливался процесс сбора статистических данных. 2
Результаты компьютерного эксперимента Фазовая диаграмма системы для значений параметра = 1.6 представлена на рисунке 1. Как и ожидалось, присутствует три фазы. Линии фазовых переходов и фрустрированного состояния являются прямыми. Рис. 1: Фазовая диаграмма системы при = 1.6. N – неупорядоченная фаза, F – ферромагнитная фаза, A – антиферромагнитная фаза
Угол наклона прямых, разделяющих фазы, зависит от параметра как для ферромагнитного, так и антиферромагнитного перехода. На рисунках 2 и 3 представлены графики зависимости температуры Кюри и температуры Нееля от параметра при различных значениях .
На рисунке 4 представлено поведение магнитной восприимчивости для систем различного размера при = 1.6 = 1.1
На рисунке 5 представлено поведение антиферромагнитной восприимчивости для систем различного размера при = 1.6 = 0.7
Из представленных графиков можно сделать вывод о том, что общий вид фазовой диаграммы остается неизменным при любой скорости убывания дальнодействия с расстоянием. Изменение показателя степени приводит к параллельному смещению линий фазовых переходов. При любом значении параметра дальнодействия линии фазовых переходов пересекаются при = 0.9. При этом же значении наблюдается фрустрированное состояние вещества при температурах ниже температуры фазового перехода. Из графиков зависимости восприимчивости от температуры можно сделать вывод о том, что оба фазовых перехода относятся ко второму роду.
Рис. 2: Зависимость температуры Кюри от параметра при различных значениях Рис. 3: Зависимость температуры Нееля от параметра при различных значениях Список литературы [1] S. Mukherjee, P. Raychaudhuri, A.K. Nigman. Critical behavior in 0.50.53. Phys. Rev. B, 61:8651– 8653, 2000. [2] N. Menyuk, K. Dwight, T.B. Reed. Critical Magnetic Properties and Exchange Interactions in EuO.
Phys. Rev. B, 3:1689–1698, 1971. [3] J. Mira, J. Rivas, M. Vazquez, J.M. Garcia-Beneytez, J. Arcas, R.D. Sanchez, M.A. Senaris-Rodriguez.
Critical exponents of the ferromagnetic-paramagnetic phase transition of 1− 3 (0.20 < < 0.30).
Phys. Rev. B, 59:123–126, 1999. [4] R. Cabassi, F. Bolzoni, A. Gauzzi, F. Licci. Critical exponents and amplitudes of the ferromagnetic transition in 0.10.9 3. Phys. Rev. B, 74:184425–184430, 2006. [5] A. Perumal, V. Srinivas. Critical behavior of weak itinerant ferromagnet 90− 10 (0 < < 16) alloys. Phys. Rev. B, 67:094418–094423, 2003. [6] M.E. Fisher, S.-K. Ma, B.G. Nickel. Critical Exponents for Long-Range Interactions. 29:917–920, 1972.
Phys. Rev. Lett., Рис. 4: Зависимость магнитной восприимчивости от температуры для систем различного размера при = 1.6 = 1.1 Рис. 5: Зависимость антиферромагнитной восприимчивости от температуры для систем различного размера при = 1.6 = 0.7 [7] A.K. Murtazaev, M.K. Ramazanov, F.A. Kassan-Ogly, D.R. Kurbanova. Phase transitions in the antiferromagnetic Ising model on a body-centered cubic lattice with interactions between next-to-nearest neighbors. J. Exp. Theor. Phys., 120:110–114, 2015. [8] E. Luijten. Test of renormalization predictions for universal finite-size scaling functions. 60:7558–7561, 1999.
[9] E. Luijten, H.W.J. Blote. Classical critical behavior of spin models with long-range interactions. Phys. Rev. B, 56:8945–8958, 1997. [10] S.V. Belim Influence of long-range efects on the critical behavior of three-dimensional systems. 77:112–114, 2003.
[11] S.V. Belim. Efect of long-range interactions on the critical behavior of three-dimensional disordered systems.
JETP Lett., 77: 434–437, 2003. [12] S.V. Belim. Efect of elastic deformations on the critical behavior of disordered systems with long-range interactions. J. Exp. Theor. Phys., 98:316–321, 2004.
Computer Simulation of Phase Transition in Antiferromagnetic Systems with Long-Range Efect
In article computer simulation of phase transition in antiferromagnetic systems taking into account interaction of the next to neighbors is realized. The case of degree decrease of long-range forces is considered. The system phase diagram is constracted. The parameters of phase transitions is calculated.