Проведено компьютерное моделирование критического поведения трехмерной антиферромагнитной модели Изинга с плоской свободной границей. Исследовано поведение системы при различных значениях параметров. Построена фазовая диаграмма. Определено значение параметров для тетракритической точки. Вычислена зависимость температуры фазового перехода от параметров системы.
Рис. 1: Фазовая диаграмма с трикритической точкой 1
Описание системы Гамильтониан полуограниченной антиферромагнитной модели Изинга может быть записан в следующем виде: = − ∑︁ − ∑︁ ,
где – значения спина в -ом узле (+1/2 или -1/2). Суммирование осуществляется только по ближайшим соседям. Вторая сумма включает в себя только поверхностные спины, первая сумма – все остальные. Поверхностный () и объемный () обменные интегралы в большинстве реальных систем имеют различные значения. Причем может иметь значения как больше, так и меньше .
В данной работе проводилось компьютерное моделирование трехмерных систем с кубической решеткой, имеющих линейные размеры × × 2 методом Монте-Карло с помощью алгоритма Метрополиса. Плоскость свободной границы задавалась уравнением = 0, система располагалась в полупространстве ≥ 0. Использовались периодические граничные условия. Для спинов, расположенных в плоскости = 2 соседними считались спины в плоскости = . Для определения температуры фазового перехода и критических индексов использовалась теория конечно размерного скейлинга.
Для описания антиферромагнитного упорядочивания введем два параметра порядка – и . Параметр порядка вычисляется как шахматная намагниченность всей системы и равен разности магнитных моментов двух подрешеток. Поверхностный параметр порядка вычислялся как шахматная намагниченность спинов, расположенных на свободной поверхности.
Для наблюдения за поведением теплоемкости и восприимчивости в объеме системы и на ее поверхности использовались флуктуационные соотношения:
= 2 (︀ ⟨2⟩ − ⟨ ⟩2)︀ , = (︀ ⟨2⟩ − ⟨ ⟩2)︀ , = 2 (︀ ⟨2 ⟩ − ⟨ ⟩2)︀ , = (︀ ⟨2⟩ − ⟨ ⟩2)︀ . = ||/ , = 23 – число узлов в системе, = 2 – число узлов на поверхности, – внутренняя энергия, – поверхностная энергия. Угловые скобки означают термодинамическое усреднение.
Критическая температура перехода определялась с помощью объемных и поверхностных куммулянтов Биндера четвертого порядка:
= 1 − 3⟨⟨42⟩⟩2 , = 1 − 3⟨⟨42⟩⟩2 .
Температура фазового перехода может быть определена по положению точки пересечения куммулянтов для систем с различными размерами . По точке пересечения объемных куммулянтов определялась температура объемного фазового перехода , по точке пересечения поверхностных куммулянтов – температура поверхностного фазового перехода . 2
Результаты компьютерного моделирования Компьютерный эксперимент проводился для систем с линейными размерами от = 12 до = 32 с шагом = 4. Количество шагов Монте-Карло на спин было равно 100 000. Значение отношения обменных интегралов = / пробегало значения от = 1.0 до = 2.0 с шагом = 0.1, на отрезке от = 1.30 до = 1.45 моделирование осуществлялось с шагом = 0.01. Для каждого значения определялись критическая температура как фазового перехода на поверхности системы, так и в объеме системы. Фазовая диаграмма системы приведена на рисунке 2. Рис. 2: Фазовая диаграмма системы. Сплошной линией показана зависимость температуры объемного фазового перехода от отношения обменных интегралов , пунктирной линией изображена зависимость температуры поверхностного фазового перехода от
Как видно из фазовой диаграммы, в системе наблюдается присутствие поверхностно-неупорядоченной
объемно-упорядоченной фазы (SD/BO). Возможность существования данного состояния была
экспериментально обнаружена для 36 [
Также следует отметить, что в отличии от предсказаний теории, и аналогичных результатов для ферромагнитных систем, для антиферромагнетиков на фазовой диаграмме присутствует тетракритическая точка, наблюдаемая при = 1.38.
Распределение намагниченности в слоях, близких к поверхности, существенно отличается левее и правее тетракритической точки. На рисунке 3 приведена зависимость намагниченности от номера слоя при температуре Нееля = 4.51 при = 1.00 для системы с линейным размером = 32. Как видно из рисунка намагниченность возрастает вглубь образца.
Рис. 3: Зависимость намагниченности от расстояния до свободной поверхности при = 1.00
Рис. 4: Зависимость намагниченности от расстояния до свободной поверхности при = 1.50 [1] M. Campagna. Surface Magnetism: Recent Progress and Opportunities. J. Vac. Sci. Technol. A. , 3(3):1491– 1495, 1985. [2] A.S. Kamzin, L.A. Grigor’ev. Mossbauer study of surface magnetic properties of the antiferromagnet Fe3B06 near the Neel temperature. JETP Lett., 57(9):552–556, 1993. [3] A.S. Kamzin, L.A. Grigor’ev. Simultaneous triple-radiation Mossbauer spectroscopy investigation of surface and bulk magnetic properties of 36 near Neel temperature. JETP, 78:200–207, 1994. [4] D.L. Mills. Surface Efects in Magnetic Crystals near the Ordering Temperature.
1971.
Phys. Rev., 3(11):3887–3894, [5] K. Binder. Magnetic surface phenomena. Phase transition and critical phenomena , Ed. by Domb C. And
Lebowitz J.L., NY Academ. Press, 3:325–331, 1983.
Computer Simulation of Semi-Infinite Antiferromagnetics Ising Models Critical
Behavior