=Paper=
{{Paper
|id=Vol-1965/paper2
|storemode=property
|title=
Компьютерное
моделирование
критического
поведения
полуограниченной
антиферромагнитной
модели Изинга
(Computer Simulation of Semi-Infinite Antiferromagnetics Ising Models Critical Behavior)
|pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-1965/paper2.pdf
|volume=Vol-1965
|authors=Elizaveta Trushnikova,Sergey Belim
}}
==
Компьютерное
моделирование
критического
поведения
полуограниченной
антиферромагнитной
модели Изинга
(Computer Simulation of Semi-Infinite Antiferromagnetics Ising Models Critical Behavior)
==
https://ceur-ws.org/Vol-1965/paper2.pdf
Компьютерное моделирование критического поведения
полуограниченной антиферромагнитной модели Изинга
Е.В. Трушникова С.В. Белим
TrushnikovaEV@omsu.ru belimsv@omsu.ru
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия
Аннотация
Проведено компьютерное моделирование критического поведения
трехмерной антиферромагнитной модели Изинга с плоской сво-
бодной границей. Исследовано поведение системы при различных
значениях параметров. Построена фазовая диаграмма. Определено
значение параметров для тетракритической точки. Вычислена за-
висимость температуры фазового перехода от параметров системы.
Введение
Явление поверхностного магнетизма состоит в отличии температуры упорядочивания спинов на поверх-
ности от температуры упорядочивания остальных спинов системы. Причиной данного явления является
разность между значениями обменного интеграла для спинов на поверхности и в глубине образца. Поверх-
ностное упорядочивание для антиферромагнитных систем наблюдалось в ряде экспериментальных работ
[1, 2, 3]. Теоретически, в рамках теории среднего поля, поверхностный магнетизм был описан в статье [4],
в которой было показано, что температура фазового перехода на поверхности может отличаться от соот-
ветствующей температуры Нееля. В этой и других теоретических работах [5, 6, 7] была получена фазовая
диаграмма системы, содержащая три фазы: неупорядоченная фаза (SD/BD), поверхностно-упорядоченная
объемно- неупорядоченная фаза (SO/BD) и поверхностно-упорядоченная объемно-упорядоченная фаза
(SO/BO) рисунок 1.
При этом на фазовой диаграмме системы наблюдается три линии переходов, пересекающихся в трикри-
тической точке. Переход из SD/BD в SO/BD носит название поверхностного (surface) фазового перехода,
из SO/BD в SO/BO – экстраординарного (extraordinary) фазового перехода, из SD/BD в SO/BO – обычно-
го (ordinary) или объемного фазового перехода. Пересечение этих трех линий фазовых переходов образует
мультикритическую точку, фазовый переход в которой получил название специального (special) фазово-
го перехода. Названия для переходов были впервые введены в работе [8]. В рамках теоретико-полевого
подхода критическое поведение полуограниченной модели Изинга было рассмотрено в работах [9, 10].
Целью данной статьи является исследование фазовых переходов в полуограниченной антиферромаг-
нитной модели Изинга методом компьютерного моделирования при различных значениях поверхностной
энергии и построение соответствующей фазовой диаграммы.
c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
Copyright ○
In: Sergey V. Belim, Nadezda F. Bogachenko (eds.): Proceedings of the Workshop on Data, Modeling and Security 2017 (DMS-2017),
Omsk, Russia, October 2017, published at http://ceur-ws.org
Рис. 1: Фазовая диаграмма с трикритической точкой
1 Описание системы
Гамильтониан полуограниченной антиферромагнитной модели Изинга может быть записан в следующем
виде: ∑︁ ∑︁
𝐻 = −𝐽𝐵 𝑆𝑖 𝑆𝑗 − 𝐽𝑆 𝑆𝑖 𝑆𝑗 ,
𝐵 𝑆
где 𝑆𝑖 – значения спина в 𝑖-ом узле (+1/2 или -1/2). Суммирование осуществляется только по ближайшим
соседям. Вторая сумма включает в себя только поверхностные спины, первая сумма – все остальные. По-
верхностный (𝐽𝑆 ) и объемный (𝐽𝐵 ) обменные интегралы в большинстве реальных систем имеют различные
значения. Причем 𝐽𝑆 может иметь значения как больше, так и меньше 𝐽𝐵 .
В данной работе проводилось компьютерное моделирование трехмерных систем с кубической решеткой,
имеющих линейные размеры 𝐿 × 𝐿 × 2𝐿 методом Монте-Карло с помощью алгоритма Метрополиса. Плос-
кость свободной границы задавалась уравнением 𝑧 = 0, система располагалась в полупространстве 𝑧 ≥ 0.
Использовались периодические граничные условия. Для спинов, расположенных в плоскости 𝑧 = 2𝐿 сосед-
ними считались спины в плоскости 𝑧 = 𝐿. Для определения температуры фазового перехода и критических
индексов использовалась теория конечно размерного скейлинга.
Для описания антиферромагнитного упорядочивания введем два параметра порядка – 𝑚 и 𝑚𝑠 . Пара-
метр порядка 𝑚 вычисляется как шахматная намагниченность всей системы и равен разности магнитных
моментов двух подрешеток. Поверхностный параметр порядка 𝑚𝑠 вычислялся как шахматная намагни-
ченность спинов, расположенных на свободной поверхности.
Для наблюдения за поведением теплоемкости и восприимчивости в объеме системы и на ее поверхности
использовались флуктуационные соотношения:
𝐶 = 𝑁 𝐾 2 ⟨𝐸 2 ⟩ − ⟨𝐸⟩2 , 𝜒 = 𝑁 𝐾 ⟨𝑚2 ⟩ − ⟨𝑚⟩2 , 𝐶𝑠 = 𝑆𝐾 2 ⟨𝐸𝑠2 ⟩ − ⟨𝐸𝑠 ⟩2 , 𝜒𝑠 = 𝑆𝐾 ⟨𝑚2𝑠 ⟩ − ⟨𝑚𝑠 ⟩2 .
(︀ )︀ (︀ )︀ (︀ )︀ (︀ )︀
𝐾 = |𝐽𝐵 |/𝑘𝐵 𝑇 , 𝑁 = 2𝐿3 – число узлов в системе, 𝑆 = 𝐿2 – число узлов на поверхности, 𝐸 – внутренняя
энергия, 𝐸𝑠 – поверхностная энергия. Угловые скобки означают термодинамическое усреднение.
Критическая температура перехода определялась с помощью объемных и поверхностных куммулянтов
Биндера четвертого порядка:
⟨𝑚4 ⟩ ⟨𝑚4𝑠 ⟩
𝑈 =1− , 𝑈𝑠 = 1 − .
3⟨𝑚2 ⟩2 3⟨𝑚2𝑠 ⟩2
Температура фазового перехода может быть определена по положению точки пересечения куммулянтов
для систем с различными размерами 𝐿. По точке пересечения объемных куммулянтов 𝑈 определялась
температура объемного фазового перехода 𝑇𝑁 , по точке пересечения поверхностных куммулянтов 𝑈𝑠 –
температура поверхностного фазового перехода 𝑇𝑠 .
2 Результаты компьютерного моделирования
Компьютерный эксперимент проводился для систем с линейными размерами от 𝐿 = 12 до 𝐿 = 32 с
шагом 𝐿 = 4. Количество шагов Монте-Карло на спин было равно 100 000. Значение отношения обменных
интегралов 𝑅 = 𝐽𝑆 /𝐽𝐵 пробегало значения от 𝑅 = 1.0 до 𝑅 = 2.0 с шагом ∆𝑅 = 0.1, на отрезке от 𝑅 = 1.30
до 𝑅 = 1.45 моделирование осуществлялось с шагом ∆𝑅 = 0.01. Для каждого значения 𝑅 определялись
критическая температура как фазового перехода на поверхности системы, так и в объеме системы. Фазовая
диаграмма системы приведена на рисунке 2.
Рис. 2: Фазовая диаграмма системы. Сплошной линией показана зависимость температуры объемного
фазового перехода 𝑇𝑛 от отношения обменных интегралов 𝑅, пунктирной линией изображена зависимость
температуры поверхностного фазового перехода 𝑇𝑠 от 𝑅
Как видно из фазовой диаграммы, в системе наблюдается присутствие поверхностно-неупорядоченной
объемно-упорядоченной фазы (SD/BO). Возможность существования данного состояния была экспери-
ментально обнаружена для 𝐹 𝑒3 𝐵𝑂6 [11, 12] и 𝐹 𝑒𝐵𝑂3 [13]. Условием наличия данной фазы является более
низкая поверхностная магнитная энергия по сравнению с объемной энергией.
Также следует отметить, что в отличии от предсказаний теории, и аналогичных результатов для фер-
ромагнитных систем, для антиферромагнетиков на фазовой диаграмме присутствует тетракритическая
точка, наблюдаемая при 𝑅 = 1.38.
Распределение намагниченности в слоях, близких к поверхности, существенно отличается левее и правее
тетракритической точки. На рисунке 3 приведена зависимость намагниченности от номера слоя при тем-
пературе Нееля 𝑇𝑛 = 4.51 при 𝑅 = 1.00 для системы с линейным размером 𝐿 = 32. Как видно из рисунка
намагниченность возрастает вглубь образца.
Рис. 3: Зависимость намагниченности от расстояния до свободной поверхности 𝑑 при 𝑅 = 1.00
На рисунке 4 приведена зависимость намагниченности от номера слоя при температуре Нееля 𝑇𝑛 = 4.51
при 𝑅 = 1.50 для системы с линейным размером 𝐿 = 32. В этом случае намагниченность убывает вглубь
образца.
Рис. 4: Зависимость намагниченности от расстояния до свободной поверхности 𝑑 при 𝑅 = 1.50
На рисунке 5 приведена зависимость намагниченности от номера слоя при температуре Нееля 𝑇𝑛 = 4.51
в тетракритической точке при 𝑅 = 1.38 для системы с линейным размером 𝐿 = 32.
Рис. 5: Зависимость намагниченности от расстояния до свободной поверхности 𝑑 при 𝑅 = 1.38
Из сравнения трех последних рисунков видно, что при переходе через тетракритическую точку изменя-
ется характер распределения намагниченности в при удалении от поверхности системы.
Список литературы
[1] M. Campagna. Surface Magnetism: Recent Progress and Opportunities. J. Vac. Sci. Technol. A., 3(3):1491–
1495, 1985.
[2] A.S. Kamzin, L.A. Grigor’ev. Mossbauer study of surface magnetic properties of the antiferromagnet Fe3B06
near the Neel temperature. JETP Lett., 57(9):552–556, 1993.
[3] A.S. Kamzin, L.A. Grigor’ev. Simultaneous triple-radiation Mossbauer spectroscopy investigation of surface
and bulk magnetic properties of 𝐹 𝑒3 𝐵𝑜6 near Neel temperature. JETP, 78:200–207, 1994.
[4] D.L. Mills. Surface Effects in Magnetic Crystals near the Ordering Temperature. Phys. Rev., 3(11):3887–3894,
1971.
[5] K. Binder. Magnetic surface phenomena. Phase transition and critical phenomena, Ed. by Domb C. And
Lebowitz J.L., NY Academ. Press, 3:325–331, 1983.
[6] M.I. Kaganov. Surface Magnetism. JETP, 35(3):631–633, 1972.
[7] H.W. Diehl. The Theory of Boundary Critical Phenomena. J. Mod. Phys. B., 11:3503–3523, 1997.
[8] T.C. Lubensky, H. Rubin. Critical phenomena in semi-infinite systems. II. Mean-field theory. Phys. Rev. B.,
12:3885–3901, 1975.
[9] S.V. Belim. Critical behavior of disordered systems with a free surface. J. Exp. Theor. Phys., 103:611–623,
2006.
[10] S.V. Belim. Multicritical behavior of systems with a free surface. J. Exp. Theor. Phys., 106: 773–780, 2008.
[11] A.S. Kamzin, L.A. Grigor’ev. Mossbauer Study Of The Surface And Bulk Properties Of 𝐹 𝑒3 𝐵𝑂6 In The
Critical-Temperature Region. FIZIKA TVERDOGO TELA, 32(11):3278–3281, 1990.
[12] A.S. Kamzin, L.A. Grigor’ev. Mossbauer Study Of Spin-Flip Phase–Transition On The 𝐹 𝑒3 𝐵𝑂6 Surface.
JETP Lett., 57(9):557–561, 1993.
[13] A.S. Kamzin, L.A. Grigor’ev, S.A. Kamzin. Mossbauer Study Of The Surface And Bulk Reorientational
Phase-Transition In Ga-doped 𝐹 𝑒3 𝐵𝑂6 Macrocrystal. FIZIKA TVERDOGO TELA, 36(5):1399–1415, 1994.
Computer Simulation of Semi-Infinite Antiferromagnetics Ising Models Critical
Behavior
Elizaveta V. Trushnikova, Sergey V. Belim
Computer simulation of the three-dimensional antiferromagnetic Isinga model critical behavior with plane free
boundary is carried out. The system behavior in case of different parameter values is investigated. The phase
diagram is constructed. The parameter value for tetracritical point is defined. The dependence of phase transition
temperature on system parameters is calculated.