-

On a Method of Investigation Nonlinear Self-consistent Eigen-value Problem with the Growing Potential of Even power

Ilkizar V. Amirkhanov

Niladri R. Sarker

0 0 Laboratory of information technologies Joint Institute for Nuclear Research , Dubna

2017

7 13

In this paper we propose a method for investigating the properties of solutions of a nonlinear self-consistent boundary value problem with a growing potential of even degree. A comparative analysis of the solutions of the linear boundary value problem for a quadratic growing potential with a nonlinear self-consistent boundary value problem for this potential is carried out. Formulas are obtained that allow us to calculate the shift of the eigenvalues. If the distances between the levels of a linear problem are equidistant, then in a self-consistent problem this property is also satisfied. In addition, when investigating problems with potentials above the quadratic one, new growing potentials appear to a lesser degree in the self-consistent problem than the original potential.

and phrases autolocalization self-consistent problem eigenvalues polaron growing potentials nonlinear boundary value problem

In: K. E. Samouilov, L. A. Sevastianov, D. S. Kulyabov (eds.): Selected Papers of the VII Conference “Information and Telecommunication Technologies and Mathematical Modeling of High-Tech Systems”, Moscow, Russia, 24-Apr-2017, published at http://ceur-ws.org Лаборатория информационных технологий Объединенный Институт Ядерных Исследований, Дубна В работе предложен метод исследования свойств решений нелинейной самосогласованной краевой задачи с растущим потенциалом четной степени. Проведен сравнительный анализ решений линейной краевой задачи для квадратичного растущего потенциала с нелинейной самосогласованной краевой задачей для этого потенциала. Получены формулы, позволяющие вычислить сдвиг собственных значений. Если растояния между уровнями линейной задачи эквидистанты, то в самосогласованной задаче это свойство тоже выполняется. Кроме этого, при исследовании задач с потенциалами выше квадратичного, в самосогласованной задаче появляются новые растущие потенциалы меньшей степени, чем исходный потенциал. Успех в решении многочастичных задач во многих случаях связан с выбором адекватной модели. В качестве простейшего примера можно привести концепцию полярона, являющейся с одной стороны простейшей моделью квантовой теории поля, а с другой имеющей многочисленные приложения в физике конденсированных систем. Отметим, что проблема полярона была первоначально сформулирована как проблема автолокализованного электрона в ионном кристалле. В настоящее время имеется большое число физических примеров, теория поляронов [1], биполяронов [2,3], модель бинуклона сильной связью [4], обобщенная модель полярона [5] и т.д.

Эффект автолокализации в жидкостях приводит к образованию в них сольватированных электронов, играющих важную роль во многих химических процессах [6, 7]. Под действием облучения вода (или иная среда) переходит в особое состояние, характеризуемое специальными физическими и химическими свойствами [8].

Подобные задачи возникают в рамках квантово-механической задачи двух тел, и ее изучение есть актуальная проблема современной физики элементарных частиц. Например, в нерелятивистской потенциальной модели описание спектра тяжелых кваркониев [11] сводится к решению уравнения Шредингера.

С другой стороны, релятивистское обобщение этой модели в рамках КХД, необходимое для единообразного описания спектров легких и тяжелых кваркониев, приводит к релятивистским вариантам уравнения Шредингера. В качестве эффективного потенциала межкваркового взаимодействия обычно используется сочетание растущего и кулоновского потенциалов. О некоторых проблемах численного исследования задач на собственные значения в импульсном представлении с кулоновским и линейным потенциалами проведено в работах [12, 13].

Для исследования подобных задач, можно привлечь методы самосогласованного описания многочастичных систем.

Изучение стационарных автолокализованных состояний в среде, как правило, сводится к исследованию свойств решений нелинейной краевой задачи в рамках уравнения Шредингера, которое в безразмерных переменных имеет вид 2.

Постановка задачи h

E c j j где самосогласованные потенциалы определяются из системы N уравнений Пуассона Систему (5)–(6) представляет собой систему 2N интегро-дифференциальных уравнений, так же как и система (1)–(2), или система (1) и ( 3 ). 3.

Методы исследования и анализ полученных результатов В данной работе проводится исследование нелинейной краевой задачи (1)–(2) выбирая потенциал в виде

V (j~r ~r1j) = j~r ~r1jn ; n = 2; 4; 6; ; т.е. n принимает четные степени. Так как, когда n принимает нечетные степени (n = 1; 3; 5; : : :) решения краевой задачи исследуются другими методами, то результаты будут приведены в другой нашей работе.

Сферически симметричное решение (1) ищем в виде (~r) = '(rr) Y00, с граничными условиями ' (0) = ' (1) = 0, где Y00 = p14 . Тогда (2) примет следующий вид dr1 '2 (r1)

d'1 Z

! n d 1 sin 1 ~r r1 : = 4 Подставляя выражения (9) в уравнение ( 8 ) с потенциалом = r2 для линейной задачи получаем собственные значения Em (m = 0; 1; 2; 3) и ai (1; 2; 3; 4; 5; 6), а именно Численными методами проверено, что решения (9) ортогональны при разных значениях c. ( 10 ) (11) и т.д.

К сожалению, линейные задачи с потенциалами = r4, = r6, и т.д. не имеют аналитических решений. Поэтому самосогласованные задачи с потенциалами ( 10 ) и (11) так же не имеют аналитических решений. Поэтому задачу нужно решать численными методами. Однако, не решая численно можно сделать выводы, что в этом случае уровни сдвигаются на A3 и A4. Сдвиг собственных значений зависит от самого решения. Кроме этого, вместо потенциалов = r4, = r6 исходной задачи, в самосогласованной задаче появляются новые растущие потенциалы меньшей степени (см. ( 10 ) и (11)).

Не зависимо от явного вида потенциала V (j~r ~r1j) в линейной задаче, если (0) < 1, то в самосогласованной задаче уровни сдвигаются на (0) (см. A2; A3 и A4).

Аналогичный сдвиг собственных значений получен для стационарной задачи полярона [10] сдвиг на A2m = R dr1 '2m(r1) , точное решение кулоновской задачи 1 0 r1 E0 = 0; 500, E1 = 0; 250, E2 = 0; 125, численные результаты для полярона E0 = 0; 16277, E1 = 0; 03080, E2 = 0; 01250.

4. Выводы Из полученных результатов можно сделать следующие выводы: а) если расстояния между уровнями линейной задачи эквидистантны, то в самосогласованной зададе это свойство тоже выполняется;

б) кроме этого, вместо потенциалов = r4, = r6 и т.д. исходной задачи, в самосогласованной задаче появляются новые растущие потенциалы меньшей степени (см. ( 10 ) и (11));

в) для произвольного потенциала V (j~r ~r1j) в линейной задаче, если (0) < 1, то в самосогласованной задаче уровни сдвигаются на (0) (см. A2, A3 и A4).

Литература

3. И. В. Амирханов, И. В. Пузынин, Т. А. Стриж, В. Д. Лахно, Решение уравнений ЛЛП в теории биполярона . Известия АН , серия физическая ( 1995 ), Т. 59 , no. 8 , С. 106 - 110 .

8. В. Д. Лахно, А. В. Волохова, Е. В. Земляная, И. В. Амирханов, И. В. Пузынин, Т. П. Пузынина, Поляронная модель формирования состояний гидратирован- ного электрона. Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные ис- следования ( 2015 ), no. 1 , С . 1- 6 .

10. И. В. Амирханов и др. Численное исследование динамики поляронных состоя- ний. Вестник тверского университета . Серия: Прикладная математика ( 2009 ), no. 17, С . 5 - 14 .

12. И. В. Амирханов, Е. В. Земляная, И. В. Пузынин, Т. П. Пузынина, Т. А. Стриж, О некоторых проблемах численного исследования задачи на собственные зна- чения в импульсном представлении . Математическое моделирование ( 1997 ), Т. 9 , no. 10 , С. 111 - 119 .

13. И. В. Амирханов, Е. В. Земляная, И. В. Пузынин, Т. П. Пузынина, Т. А. Стриж, Численное исследование релятивистских уравнений на связанные состояния с кулоновским и линейным потенциалами . Математическое моделирование ( 2000 ), Т. 12 , no. 12 , С. 79 - 96 .