=Paper= {{Paper |id=Vol-1995/paper-10-960 |storemode=property |title= О моделировании пространственных структур статистической зависимости экстремальных осадков (Precipitation Maximum Spatial Dependence Structures Modelling) |pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-1995/paper-10-960.pdf |volume=Vol-1995 |authors=Eugeny Yu. Shchetinin,Veronica M. Martynova }} == О моделировании пространственных структур статистической зависимости экстремальных осадков (Precipitation Maximum Spatial Dependence Structures Modelling) == https://ceur-ws.org/Vol-1995/paper-10-960.pdf

Precipitation Maximum Spatial Dependence Structures
Modelling

Eugeny Yu. Shchetinin, Veronica M. Martynova

Applied Mathematics Department
Moscow State Technology University “STANKIN”
Email: riviera-moltol@mail.ru

The theory of extremes provides a wide range of fundamental capabilities for its application
in hydrology, statistical analysis of extreme precipitation, as well as planning measures to
reduce the damage of their consequences.
The aim of this work is to develop mathematical models of the structures of spatial depen-
dence between the maximum precipitation for various weather stations. This natural solution
is the application of models for multivariate extremes. However, consider the flow measure-
ments have the properties of random fields, as a rule, are non-stationary. In this regard, it
needs to develop spatial and temporal models of statistical dependence structures, including
characterizing the context of an extreme type. In this aspect, the spectral representation of
de Haan-Pickands is no alternative for multivariate distributions of extreme. The complex-
ity in modeling and assessment of such structures leads to the necessity of development of
methods of its representation in the spatial structure of pairwise distributions of extreme. Ef-
fective method of solving this problem is to develop adequate copula models in combination
with vine structures branching into pairwise copulas.
In addition to modeling structures of branching, which is a separate complicated task, it is
necessary to evaluate and analyze the pairwise dependence. To solve this problem, we used
the model of copulas of extreme type. Proposed pairwise dependence estimation method of
madogram, taking into account the extreme nature of dependency structures. Also proposed
a modified non-parametric method of madogram with high stability of statistical estimates.
As a practical application, this paper investigates the flow of data on precipitation in the
European part of Russia over the last 20 years. The analysis of rainfall maxima showed that
the type of dependence structure of extreme precipitation can be characterized by three main
factors: the distance between the two stations, the season (summer or winter) and duration
of precipitation (daily, monthly, etc.). Increase the duration of precipitation increases, the
spatial dependence of extreme precipitation. Complete independence between them is ap-
proximately 50 km (100 km) for summer (winter) with a duration not exceeding one hour,
and for a long time after only a few hundred kilometers. In addition, this dependence is
always greater in winter than in summer, regardless of the length of precipitation.
Key words and phrases: extreme value, precipitation, spatial dependence, copula, vine
structure, madogram.

Copyright © 2017 for the individual papers by the papers’ authors. Copying permitted for private and
academic purposes. This volume is published and copyrighted by its editors.
In: K. E. Samouilov, L. A. Sevastianov, D. S. Kulyabov (eds.): Selected Papers of the VII Conference
“Information and Telecommunication Technologies and Mathematical Modeling of High-Tech Systems”,
Moscow, Russia, 24-Apr-2017, published at http://ceur-ws.org
Щетинин Е. Ю., Мартынова В. М. 73

О моделировании пространственных структур
статистической зависимости экстремальных осадков

Е. Ю. Щетинин, В. М. Мартынова

Кафедра прикладной математики
ФБГОУ ВО МГТУ СТАНКИН
Email: riviera-moltol@mail.ru

Теория экстремальных величин предоставляет широкий спектр фундаментальных
возможностей по ее применению в области гидрологии, анализа статистики экстремаль-
ных осадков, а также планированию мер по снижению ущерба их последствий.
Целью настоящей работы является разработка математических моделей структур про-
странственной зависимости между максимумами осадков для различных метеостанций.
Для этого естественным решением является применение моделей многомерных экстре-
мальных величин. Однако рассматриваемые потоки измерений обладают свойствами
случайных полей, как правило, являющихся нестационарными. В связи с этим потре-
бовалось разработать пространственно-временные модели структур статистической за-
висимости, в том числе характеризующих связи экстремального типа. В этом аспекте
спектральное представление де Хаана–Пикендса является безальтернативным для мно-
гомерных распределений экстремумов. Сложность в моделировании и оценивании подоб-
ных структур приводит к необходимости разработки методов их представления в виде
пространственных структур попарных распределений экстремумов. Эффективным ме-
тодом решения этой задачи является разработка адекватных моделей копул в сочетании
со структурами ветвления на попарные копулы.
Помимо моделирования структур ветвления, что является самостоятельной сложной
задачей, необходимо оценивать и анализировать попарные зависимости. Для решения
этой задачи в работе использовались модели копул экстремального типа. В работе пред-
ложено попарные зависимости оценивать с помощью метода мадограмм, учитывающий
экстремальный характер структур зависимости. Предложен также модифицированный
непараметрический метод λ-мадограмм, обладающий высокой устойчивостью статисти-
ческих оценок.
В качестве практического применения в статье исследован поток данных по осадкам
в европейской части России за последние 20 лет. Анализ максимумов осадков показал,
что тип структуры зависимости экстремальных осадков может быть охарактеризован
тремя основными факторами: расстояние между двумя станциями, сезон (лето или зи-
ма), а также продолжительностью осадков (ежечасно, ежедневно, ежемесячно и т. д.).
Увеличение продолжительности осадков усиливает пространственную зависимость экс-
тремальных осадков. Полная независимость между ними достигается примерно через
50 км (100 км) для летнего (зимнего) при длительности, не превышающей один час, а в
течение длительного времени только после нескольких сотен километров. Кроме того,
эта зависимость всегда более значима зимой, чем летом, вне зависимости от продолжи-
тельности осадков.

Ключевые слова: экстремальные величины, структуры зависимости экстремаль-
ного типа, копулы, вариограмма, осадки.

1. Введение
Статистический анализ максимумов основан на теории экстремальных значе-
ний (EVT) [1,2,3,6], утверждающей, что обобщенное распределение экстремальных
величин является предельным распределением независимых последовательностей
максимумов. Метеостанции предоставляют, как правило, последовательности изме-
рений, связанных в общем случае нестационарными временными и пространствен-
ными зависимостями, что может приводить при использовании классической EVT
74 ITTMM—2017

к недооценке последствий наступления различных терминальных событий, а так-
же повлиять на расчеты надежности и устойчивости гидрологических сооружений.
В данной работе мы ограничиваемся исследованиями структур пространственной
зависимости как функции различных параметров, таких как размер блока макси-
мумов, длительность осадков и сезон. Для гауссовских случайных векторов (X, Y )
хорошо известно, что ковариационная матрица полностью описывает их структу-
ру зависимости. Для негауссовских распределений существует несколько подходов,
чтобы выразить совместное распределение P (X 6 x, Y 6 y) через их частные рас-
пределения. Один из них основан на следующем равенстве

P (X 6 x, Y 6 y) = [P (X 6 x, Y 6 y)]θ(x,y) ,
где θ (x, y) — неотрицательная функция. Если θ = 1, то (X, Y ) независимы. В
настоящей работе предложен устойчивый непараметрический метод оценивания
функции θ (x, y), основанный на концепции λ-мадограммы, описанной в [5].

2. Математические основы моделей пространственных структур
статистической зависимости
Определим вектор Mi (t) = max (Zi,1 (t) , Zi,2 (t) , ..., Zi,m (t)) как максимум
осадков, где m означает количество периодов длительности t осадков, зарегистри-
рованных за период времени, где n соответствует количеству метеостанций. Слу-
чайная величина Zi,j (t) описывает количество осадков с длительностью t, вы-
павших на i-й станции. Например, если Mi (t) представляет месячный максимум
осадков часовой длительности, то T = 1 месяц, t = 1 час и m = 24 × 30. Для част-
ных распределений максимумов Fi (x) = P (Mi (t) < x) и их совместных попарных
распределений между двумя станциями i и k Fik (x, y) = P (Mi (t) < x, Mk (t) < y)
фундаментальный результат многомерной теории экстремальных величин состоит
в том [7], что функция Fik (x, y)лежит в области притяжения функции распреде-
ления экстремальных величин Gik (x, y) [2,7]

−1 −1
Gik (x, y) = exp −Vik , ,
ln Gi (x) ln Gk (y)
Z1
ω 1−ω
Vik (x, y) = 2 max , dHik (ω), Hik (ω)
x y
0

определена на [0, 1], функции Gi (x), Gk (y) являются частными GEV-
R1
распределениями, и ωdHik (ω) = 0.5. Функция Vik (·) называется функцией пар-
0
ной экстремальной зависимости.
Заметим, что θ (x, x) = Vik (1, 1) /2. Величина Vik (1, 1) называется экстремаль-
ным коэффициентом, равным 2 в случае независимости и 1 в случае полной зависи-
мости. Для оценивания Vik (1, 1) мы используем метод мадограмм [4], показавший,
что экстремальный коэффициент может быть оценен непосредственно из выраже-
ния
1
νik = E (|Fi (Mi (t)) − Fk (Mk (t))|) .
2
Щетинин Е. Ю., Мартынова В. М. 75

Для независимых максимумов νik = 1/6, если νik < 1/6, то существует зависи-
мость. Можно показать, что если вектор (Mi (t) , Mk (t)) удовлетворяет (2), то

0.5 + νik
Vik (1, 1) = .
0.5 − νik
Ограниченность подхода (2) состоит в том, что он дает оценку только Vik (1, 1),
но не дает характеризации всей функции зависимости Vik (x, y). Для решения этой
задачи в работе [4] введен дополнительный параметр λ

1 λ
νik = E Fi (Mi (t)) − Fk1−λ (Mk (t)) , λ ∈ [0, 1] .
2
Из (2) следует, что

Vik (λ, 1 − λ)
νik (λ) = − c (λ) ,
1 + Vik (λ, 1 − λ)
где
3
c (λ) = .
2 (1 + λ) (2 − λ)
Так как
x 1
λ= , Vik (x, y) = Vik (λ, 1 − λ) ,
x+y x+y
то λ-мадограмма полностью характеризует функцию зависимости Vik (x, y) x, y ∈
R2 .
Также λ-мадограмма удовлетворяет условию νik (0) = νik (1) = 0.25. В итоге,
это позволило нам предложить следующую оценку (2) для νik

L L
1 X λ λ X
F̃i Mi,l (t) − F̃k1−λ Mk,l (t) − 1 − F̃iλ Mi,l (t) −

ν̃ik (λ) =
L l=1 2L l=1
L
1 − λ X 1 − λ + λ2
− 1 − F̃k1−λ Mk,l (t) + .
2L l=1 2 (2 − λ) (1 + λ)

3. Исследование пространственных статистических структур
зависимости экстремальных осадков
Изложенный выше метод мадограмм использован нами для исследования про-
странственных статистических связей осадков, наблюдаемых в европейской части
России на протяжении 1999–2015 г.г. Нами был проведен полный статистический
анализ измерений, который показал нестационарную временную зависимость для
всех источников, тяжелохвостый характер частных распределений наблюдений, а
также наличие ненулевой пространственной корреляции между практически всеми
источниками наблюдений.
Исследования показали, что сильные пространственные корреляции присут-
ствуют между максимумами, начиная с однодневных и до месячных включительно.
Они также свидетельствуют о существенных отличиях между летним и зимним се-
зонами, как для коротких так и длинных длительностей осадков. Для обоих сезонов
76 ITTMM—2017

оказалось, что попарная независимость между максимумами, начиная с дневных
значений, достигается только после расстояний между источниками около 200 км.
На более коротких дистанциях зависимость несколько сильнее зимой, чем летом,
что вполне ожидаемо в силу характерных для зимы метеорологических явлений.
Эта особенность, очевидно, отражает основной характер динамических процес-
сов осадков: летом экстремальные осадки связаны в основном с грозами, масштаб и
длительность которых невелики; для зимы характерно то, что поле осадков обычно
занимает очень большое пространство и длительно во времени. Для более длитель-
ных дюраций мадограмма убывает по всем источникам наблюдений, но, при этом
зимой мадограмма образует форму плато, на которой она практически постоянна
для дюраций от 10 до 20 дней, а затем снова начинает убывать. Предположитель-
но, это связано с распространением особых временных структур бароклинических
волн в зимний период. Летом этого плато не видно, но убывание зависимости на
больших расстояниях гораздо менее значимо заметно, чем зимой. Это, вероятно,
отражает конвективный характер динамики осадков, что приводит к слабой зави-
симости для расстояний более 200 км даже для длительных осадков.
На рис. 1 представлены графики оценки λ-мадограммы по методу (2) как функ-
ции различных расстояний между метеостанциями: интервалы (0,10) км, (50,70)
км, (130–150) км и (210–230) км. Непрерывная линия соответствует независимости
максимумов, пунктирная линия соответствует полной зависимости.

4. Выводы

В настоящей работе были исследованы структуры пространственных зависимо-
стей максимумов временных рядов осадков с использованием метода λ-мадограмм
и предложена непараметрическая оценка коэффициента экстремальной зависимо-
сти как функции расстояния между источниками и длительностью осадков. Были
получены новые результаты о статистических свойствах осадков с различной дли-
тельностью и в разные климатические периоды.

Рис. 1. λ-мадограмма для различных интервалов летом (a) и зимой (b)
ежедневных максимумов
Щетинин Е. Ю., Мартынова В. М. 77

Литература
1. M. A. Ancona-Navarrete, J. A. Tawn, Diagnostics for pairwise extremal dependence
in spatial processes, Extremes, 5, pp. 271–285, 2002.
2. J. Beirlant, Y. Goegebeur, J. Segers, J. Teugels, Statistics of Extremes: Theory and
Applications, Wiley Series in Probability and Statistics, 2004.
3. D. Cooley, P. Naveau, P. Poncet, Variograms for spatial maxstable random fields,
Chapter of the book Statistics for dependent data, Lecture Notes In Statistics,
Springer, 2006.
4. D. Cooley, D. Nychka, P. Naveau, Bayesian Spatial Modelingof Extreme
Precipitation Return Levels, J. Am. Statist. Assoc., 2007.
5. P. Embrechts, C. Kluppelberg, T. Mikosch, Modelling Extremal Events for
Insurance and Finance, Vol. 33 of Applications of Mathematics, Springer-Verlag,
Berlin, 1997.
6. T. Hsing, C. Kluppelberg, G. Kuhn, Dependence estimation and visualisation in
multivariate extremes with applications to financial data, Extremes, 7, p.99–121,
2004.
7. В. А. Акимов, А. А. Быков, Е. Ю. Щетинин, Введение в статистику экстремаль-
ных значений и ее приложения, М.: ФГУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), 2009, с. 536.
8. M. Schlather, Models for stationary max-stable random fields, Extremes (2002), 5,
pp. 33–44.
9. M. Schlather, J. Tawn, A dependence measure for multivariate and spatial extreme
values: Properties and inference, Biometrika (2003), 90, pp. 139–156.