The paper deals with the generalized model describing a class of three-dimensional continuous chaotic systems that includes sample Lorenz, Chen and Lu systems. For this model a productive method of constructing a Takagi-Sugeno fuzzy model that allows approximating the dynamics of the initial system is presented. The peculiarity of fuzzy modeling is the presentation of nonlinear system as a convex combination of linear subsystems, weighted by membership functions. By describing global dynamics of the nonlinear system via local linear presentations we get a possibility of using the methods of linear system theory for the study of stability conditions and stabilizing control synthesis. In that context it is shown that transition to fuzzy description allows getting a solution of stabilization problem (chaos suppression) based on superstability conditions. The advantage of the found superstabilizing fuzzy regulator is the ability to provide such practically important feature of the transient process as monotonous decrease of the solution norm. If the system is subject to bounded perturbations, the estimation of the invariant set of the superstabilized system is possible. The results of numerical simulations of various chaotic systems that prove the efficiency of the presented method are shown.
Copyright © 2017 for the individual papers by the papers’ authors. Copying permitted for private and academic purposes. This volume is published and copyrighted by its editors.
In: K. E. Samouilov, L. A. Sevastianov, D. S. Kulyabov (eds.): Selected Papers of the VII Conference “Information and Telecommunication Technologies and Mathematical Modeling of High-Tech Systems”, Moscow, Russia, 24-Apr-2017, published at http://ceur-ws.org Стабилизация класса 3D хаотических систем, представленного нечеткой моделью Такаги–Сугено Ю. В. Талагаев Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, Балашовский институт В работе рассматривается обобщенная модель, описывающая класс трехмерных непрерывных хаотических систем, включающий эталонные системы Лоренца, Чена и Лю. Для данной модели представлен продуктивный способ конструирования нечеткой модели Такаги-Сугено, позволяющий аппроксимировать динамику исходной системы. Особенностью нечеткого моделирования является представление нелинейной системы в виде выпуклой комбинации линейных подсистем, взвешенных функциями принадлежности. Описание глобальной динамики нелинейной системы через локальные линейные представления открывает возможности использовать для исследования условий устойчивости и синтеза стабилизирующего управления методы теории линейных систем. В связи с этим показывается, что переход к нечеткому описанию позволяет получить решение задачи стабилизации (подавления хаоса) на основе условий сверхустойчивости. Достоинством найденного сверхстабилизирующего нечеткого регулятора является возможность обеспечить такую практически важную характеристику переходного процесса, как монотонное убывание нормы решения. В случае, если система подвержена действию ограниченного возмущения, становится возможна оценка инвариантного множества сверхстабилизированной системы. Представлены результаты численных экспериментов с различными хаотическими системами, подтверждающие эффективность представленного подхода.
Ключевые слова: хаотическая система, нечеткое моделирование, модель ТакагиСугено, стабилизация, сверхустойчивость.
1. Введение Нечеткие модели Такаги-Сугено (Takagi-Sugeno (Т-S)) предоставляют эффективный способ аппроксимации динамики сложных систем, благодаря чему уже несколько десятков лет результативно применяются для их моделирования и управления [1]. Использование нечеткой Т-S модели позволяет представить исследуемую нелинейную систему в виде взвешенной суммы простых линейных подсистем, что делает применимыми методы теории линейных систем управления. Разработаны различные подходы к решению задач анализа и управления нечеткими Т-S моделями [2–4], однако, затруднения, вызываемые консервативностью применяемых условий устойчивости, оставляют актуальной разработку альтернативных подходов к анализу и синтезу нечетких систем.
Нечеткое моделирование является подходящим средством для описания и стабилизации хаотических систем. Условие ограниченности траекторий, необходимое для построения нечеткой модели, для хаотических систем выполнено естественным образом. К настоящему времени хаотические динамические системы имеют широкий спектр приложений (передача и защита информации, синхронизация и др.) и достаточно хорошо изучены с позиции конструирования и практической реализации. Развитие методов управления хаотическими системами актуальная область исследований и одним из способов пополнения ее новыми результатами является использование возможностей, которые предоставляет переход к нечеткому описанию. В данной работе представлен общий способ описания класса хаотических систем в форме нечеткой Т-S модели и стабилизации на основе условий свехустойчивости. Сверхустойчивость является практически важным свойством линейных систем управления, которое часто недоступно просто устойчивым системам. Формулируясь как ограничения на элементы матрицы системы, условия сверхустойчивости являются жесткими, но открывают эффективные способы решения ряда сложных задач управления (робастный синтез, подавление возмущений и др.). Сверхустойчивость сохраняется при наличии нелинейных возмущений. Поэтому применение условий сверхустойчивости к анализу и управлению хаотическими системами было начато в работах [5–7] напрямую без привлечения аппарата нечеткого моделирования. Несмотря на продуктивность, широта применения такого подхода ограничена трудно проверяемыми условиями, которым должна подчиняться нелинейная часть (возмущение) уравнений системы. Переход к представлению хаотической системы в форме нечеткой модели Такаги-Сугено снимает эти ограничения, поскольку нелинейная динамика описывается совокупностью локальных линейных представлений. Данная работа продолжает исследования в области анализа и синтеза сверхустойчивых нечетких систем Такаги–Сугено [8–10]. Особенности реализации подхода к синтезу сверхстабилизирующего нечеткого регулятора показываются и сравниваются на примере обобщенной нечеткой модели, представляющей эталонные хаотические системы.
2. Переход к нечеткому описанию Рассмотрим класс 3D (размерность фазового пространства n = 3) хаотических систем, который задается в виде
x_ = Ax + g(x) + Bu + Dw(t);
где x(t)не2линейнRаяn ч–асстоьст(оgя(н0и)е=си0с),теuм(tы) 2( R=m fx 2 Rn : jjx(t)jj2 6 ; > 0g),
g(x) вход (управление), w(t) 2 Rm1
внешнее возмущение, удовлетворяющее для всех t > 0 ограничению jjw(t)jj1 =
maxi jwi(t)j 6 1, A 2 Rn n, B 2 Rn m, D 2 Rn m1 – постоянные матрицы. Если
нелинейная часть g(x) в (
a11
0
a12
a22
0
Согласно [11], при выполнении условий a12a21 > 0, a12a21 < 0 и a12a21 = 0
система (
2) системе Чена (a12 = a11 = a, a21 = c a, a22 = c, a33 = b), имеющей хаотический аттрактор при a = 35, b = 3, c = 28;
3) системе Лю (a12 = a11 = a, a21 = 0, a22 = c, a33 = b), у которой хаотическое поведение наблюдается при a = 36, b = 3, c = 20.
0
a11
Генерируемые (
Рассмотрим общий способ аппроксимации хаотической системы (
Пl: ЕСЛИ x1(t) есть Ml, ТО x_ (t) = Alx(t) + Blu(t) + Dlw(t), l = 1; 2, где матрицы A1, A2 линейных подсистем заданы как a12 a22
L
1
2
и дает целостное представление динамики (
Далее предполагается, что невозмущенная (u(t) 0, w(t) 0) система (
Пl: ЕСЛИ x1(t) есть Ml, ТО u(t) = Klx(t), l = 1; 2,
где l 2 Rm n матрицы входов подсистем в (
2
u(t) = X hl(x1(t))Klx(t):
Пусть B1 = B2 = B. Подставляя (
0
1
X jalc ij jA ; i; j = 1; :::; n:
j6=i
Если B = I, то удовлетворяющий условию сверхустойчивости Ac l нечеткий
регулятор (
K1 = K2 = diag(k1; k2; k3);
где k1 = ja12j + a11 + 1; k2 = ja21j + jLj + a22 + 2; k3 = jLj + a33 + 3,
а величины 1; 2; 3 > 0 выбираются так, чтобы обеспечить для (
Полученный нечеткий регулятор найден в общем виде и может быть
использован для стабилизации динамики любой из хаотических систем, задаваемых формой
(
1) монотонное убывание 1-нормы решения jjx(t)jj1 6 jjx0jj1e (Ac l) t при w(t) 0, что исключает возможность возникновение так называемого эффекта ¾всплеска¿ (резкий рост нормы решения на начальном этапе переходного процесса);
2) для всех jjx0jj1 6 и допустимых w(t) выполнено где
jjx(t)jj1 6 ; = min(jjDljj1= (Ac l));
l что дает оценку инвариантного множества Q сверхустойчивой T-S нечеткой системы:
Q = fx(t) 2 Rn : jjx(t)jj1 6 g: Отметим, что представленные результаты получены для случая, когда B1 = B2. Особенности стабилизации в общем случае (матрицы B не идентичны) и пример стабилизации гиперхаотической системы (n = 4) рассмотрены в [10]. Представлен общий способ построения нечеткой Т-S модели, которая аппроксимирует динамику класса хаотических систем. Показано, что переход к нечеткому описанию дает возможность задействовать условия сверхустойчивости для построения нечеткого регулятора, позволяющего стабилизировать неустойчивую динамику выбранной хаотической системы. Осуществленное в ходе компьютерного моделирования сравнение результатов сверхстабилизации хаотической динамики систем Лоренца, Чена и Лю показало, что переходной процесс каждой стабилизированной системы обладает свойствами, присущими сверхустойчивым системам (1-норма решения монотонно убывает и ограничена при наличии ограниченных возмущений).
Литература