In this paper we study statistical data collected from wind turbines located on the territory of the Republic of Poland. Sensors, mounted at three points of the wind power plant, took the readings of speed and wind direction. The readings were taken for 9 months with an interval of 10 minutes. The general direction of research aimed at the construction of the stochastic model that predicts the change in wind speed depending on time. The aim of this work is to find the optimal distribution for the approximation of available statistical data on wind speed. We examine four distributions with heavy tails, namely, the log-normal, gamma, Weibull and beta distribution. Each distribution is parameterized by three parameters (the beta distribution has four). For data processing, we used Python with NumPy, SciPy and Matplotlib. From the SciPy library we used statistics module that contains the function to search the parameters of the distribution provided by method of maximum likelihood. After finding the parameters of the distributions were drawn the graphs of the density distributions, which were verified with the histogram of the frequency distribution. The obtained results allow to assert that all distributions with good accuracy can be used for the purposes of approximation. However, the study quantile-quantile graphs revealed that the Weibull distribution better approximate extreme values. The obtained results are consistent with the data presented in the literature, where Weibull distribution is often used to approximate the distribution of the wind speed. Our future work will focus on the problem of constructing a stochastic differential equation.
The work is partially supported by RFBR grants No’s 15-07-08795 and 16-07-00556. Also the publication was financially supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (the Agreement No 02.A03.21.0008).
Copyright © 2017 for the individual papers by the papers’ authors. Copying permitted for private and academic purposes. This volume is published and copyrighted by its editors.
In: K. E. Samouilov, L. A. Sevastianov, D. S. Kulyabov (eds.): Selected Papers of the VII Conference “Information and Telecommunication Technologies and Mathematical Modeling of High-Tech Systems”, Moscow, Russia, 24-Apr-2017, published at http://ceur-ws.org Стохастическое моделирование ветроэнергетических установок z Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей
Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198
x Лаборатория информационных технологий Объединённый институт ядерных исследований ул. Жолио-Кюри, д. 6, г. Дубна, Московская область, Россия, 141980 В данной работе исследуются статистические данные, собранные с ветроэнергетических установок, находящихся на территории Республики Польши. Датчики, установленные в трех точках ветроэнергетической установки, снимали показания скорости и направления ветра. Показания снимались в течение 9 месяцев с интервалом 10 минут.
Общее направление исследований направленно на построение стохастической модели, предсказывающей изменение скорости ветра в зависимости от времени. Целью данной работы является поиск наиболее оптимального распределения для аппроксимации имеющихся статистических данных по скорости ветра. Мы исследуем четыре распределения с тяжелыми хвостами, а именно: логнормальное, гамма, Вейбулла и бета распределения. Каждое распределение параметризировано тремя параметрами (бета распределение четырьмя).
Для работы с данными использовался язык Python с библиотеками NumPy, SciPy и Matplotlib. Из библиотеки SciPy мы использовали модуль статистики, который содержит функцию для поиска параметров распределения по предоставленной статистической выборке методом максимального правдоподобия.
После нахождения параметров распределений были построены графики функций плотности распределений, которые были сверены с гистограммой частоты распределения. Полученные результаты позволяют утверждать, что все распределения с хорошей точностью можно использовать для целей аппроксимации. Однако исследование квантиль–квантиль графиков выявило, что распределение Вейбулла лучше аппроксимирует экстремальные значения.
Полученные результаты согласуются с данными, изложенными в литературе, где распределение Вейбулла чаще всего используется именно для аппроксимации распределения скорости ветра. Дальнейшая наша работа будет сосредоточена на задаче построения стохастического дифференциального уравнения.
Работа частично поддержана грантами РФФИ № 15-07-08795, 16-07-00556. Также публикация подготовлена при финансовой поддержке Минобрнауки России (соглашение № 02.A03.21.0008).
Ключевые слова: скорость ветра, распределение Вейбулла, гамма распределение, бета распределение, логнормальное распределение.
1. Введение
Данная работа посвящена проблеме стохастического моделирования изменения
скорости ветра, используемого для генерации электроэнергии на
ветроэнергетических установках, находящихся на территории Республики Польша. В качестве
первого этапа выбирается вид теоретического распределения случайной
величины w, которая должна аппроксимировать скорость ветра. В данной работе мы
исследовали несколько распределений на предмет аппроксимации располагаемых
нами данных, а именно: логнормальное, Вейбулла, а также бета и гамма
распределения [
2. Описание структуры доступных для анализа данных Статистические данные представляют собой таблицу величин в формате csv, составленную из следующих колонок: 1. T время фиксации скорости и направления ветра датчиками, установленными на ветроэнергетической турбине (в формате чч:мм); 2. X1 мощность турбины [кВт] (отрицательные значения означают, что электроэнергия не производится, а потребляется); 3. X2 скорость ветра [м/с] (измеряется анемометром на вершине гондолы воздушной турбины); 4. X3 направление ветра [градусы] (измеряется анемометром на вершине гондолы воздушной турбины; измеряется по часовой стрелке, величина принимает значения от 0 до N ); 5. X4 скорость ветра на уровне 10 метров от поверхности земли [м/с]; 6. X5 направление ветра на уровне 10 метров от поверхности земли [градусы]; 7. X6 скорость ветра на уровне 50 метров [м/с] от поверхности земли; 8. X7 направление ветра на уровне 50 метров от поверхности земли [градусы]. Показатели скорости и направления ветра снимались с датчиков каждые 10 минут на протяжении 9 месяцев. В общей сложности таблица содержит 39606 записей.
Для первоначального выбора распределений, которые могут подойти для аппроксимации скорости ветра, мы построили гистограммы распределения скоростей ветров 1. Визуальная оценка этих гистограмм позволила предположить, что адекватным выбором будут распределения с так называемыми ¾тяжелыми хвостами¿. 0.20 0.15 а т сто0.10 а Ч 0.05 0.00 0 Скорость ветра на вершине гондолы 5 10 15 Скорость ветра [м/с] 20 25 Рис. 1. Гистограмма распределения скоростей ветра, построенная по всем имеющимся данным Каждое из рассматриваемых в работе распределений параметризовано тремя параметрами: коэффициент формы (shape), l коэффициент сдвига (location) и s коэффициент масштаба (scale). В случае бета-распределения добавляется еще второй коэффициент масштаба, обозначаемый буквой . Для всех распределений параметры полагаются положительными действительными числами: ; ; s; l 2 R, ; ; s > 0, l > 0.
Напомним основные определения.
Случайная величина x распределена по логнормальному закону, если функция плотности вероятности задается следующей формулой: fLN (x; ; l; s) = 8 > <
1
(x l) p2
>:0; x < l:
exp
1 ln(x l) ln s 2!
2
; x > l:
Случайная величина X распределена по Вейбуллу [
s >:0; x < l: x l s 1 exp x l s ; x > l: Случайная величина X подчинена гамма-распределению, если функция плотности вероятности задается следующей формулой: f (x; ; l; s) = 8 > (x l) > < > >:0; x < l: 1 exp s ( ) (x l) s ; x > l: где ( ) гамма-функция.
Случайная величина X подчинена бета-распределению, если функция плотности вероятности задается следующей формулой: fB(x; ; ; l; s) = >8 ( + ) <
s ( ) ( )
>:0; x < l:
x l
s
1
1
x l
s
1
; x > l;
Если в формулах плотности вероятности логнормального и
гаммараспределений положить l = 0, а у бета-распределения в добавок s = 1, то
получим вид данных распределений, наиболее часто используемый в
литературе [
Для нахождения параметров рассматриваемых распределений в scipy.stats предусмотрена функция fit(data), которая вычисляет методом максимального правдоподобия параметры соответствующего распределения. Мы использовали данную функцию для вычисления параметров рассматриваемых нами распределений. После чего с помощью функций pdf и cdf были вычислены значения функции плотности вероятности и функции распределения.
Приведем пример кода для распределения Вейбулла. Сначала с помощью вышеупомянутой функции fit найдем параметры распределения Вейбулла: c, loc, scale = scipy.stats.weibull_min.fit(ws1)
Вычислим теоретические значения распределения Вейбулла для имеющегося у нас диапазона значений случайной величины: xs = np.linspace(np.min(ws1), np.max(ws1), 1000) Weibull_PDF = scipy.stats.weibull_min.pdf(xs, c, loc, scale) Weibull_CDF = scipy.stats.weibull_min.cdf(xs, c, loc, scale)
Теперь сравним доступные статистические данные с теоретическим распределением Вейбулла, построив гистограмму эмпирической плотности вероятности и теоретическую плотность вероятности, а также гистограмму эмпирической функции распределения и теоретическую функцию распределения: fig21 = plt.figure(2, figsize=(10, 5)) fig22 = plt.figure(3, figsize=(10, 5)) ax21 = fig21.add_subplot(1,1,1) ax22 = fig22.add_subplot(1,1,1) for ax in [ax21, ax22]: ax.set_xlabel(r"Скорость ветра") ax.set_ylabel(r"Вероятность") ax21.plot(xs, Weibull_PDF, label="Теоретическая плотность распределения", lw=3, color=’k’); ax21.hist(ws1, bins=100, normed=1, label="Данные", color=’#eaebee’); ax21.legend(loc=1, framealpha=0.8) ax22.plot(xs, Weibull_CDF, lw=2.0, color=’k’,
label="Теоретическая функция распределения"); ax22.hist(ws1, bins=100, normed=1, cumulative=True,
histtype=’stepfilled’, color=’#eaebee’, label="Данные"); ax22.set_ybound(upper=1.05) ax22.set_xbound(upper=20.0) ax22.legend(loc=4, framealpha=0.8)
Результаты исследования представлены в графическом виде. На рис. 2 и 3 приведены результаты для распределения Вейбулла. 0.18 0.16 0.14 0.12 Данные изображения были получены для теоретических распределений, параметры которых определялись на основе всего массива данных. Из рассмотрения квантиль-квантиль графиков (рис. 3) можно сделать вывод, что распределение Вейбулла подходит для аппроксимации имеющихся у нас данных.
5. Заключение
Результаты проделанной статистической обработки данных соответствуют
результатам, изложенным в литературе [
Литература