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|title=Automatische Erzeugung und Bewertung von Aufgaben zu Algorithmen und Datenstrukturen(Generating and Grading Exercises on Algorithms and Data Structures Automatically)
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==Automatische Erzeugung und Bewertung von Aufgaben zu Algorithmen und Datenstrukturen(Generating and Grading Exercises on Algorithms and Data Structures Automatically)==
https://ceur-ws.org/Vol-2015/ABP2017_paper_02.pdf
3. Workshop „Automatische Bewertung von Programmieraufgaben“,
(ABP 2017), Potsdam 2017 1
Automatische Erzeugung und Bewertung von Aufgaben zu
Algorithmen und Datenstrukturen
Johannes Waldmann1
Abstract: Students’ understanding of data structures and algorithms can be enhanced and tested
without sidetracking them by idiosyncrasies of concrete general-purpose programming languages. In
the Leipzig autotool system for E-Learning and E-Assessment, I use restricted modelling languages
with uniform and trivial syntax, and problem-specific semantics. The system automatically creates
instances of exercises, and grades solutions semantically.
Abstract: Ich zeige, wie das Verständnis von Algorithmen gefördert und überprüft werden kann, ohne
dass Studenten durch Eigenheiten konkreter Programmiersprachen abgelenkt werden. Ich verwende
stattdessen stark eingeschränkte Modellierungssprachen mit unformer und trivialer Syntax sowie
aufgabenspezifischer Semantik. Aufgaben-Erzeugung sowie -Bewertung werden im E-Learning/E-
Assessment-System autotool technisch realisiert, das seit ca. 2000 an der Universität Leipzig, der
HTWK Leipzig, sowie gelegentlich an weiteren Hochschulen eingesetzt wird.
1 Motivation
Ein klassischer Bestandteil der Lehre von Algorithmen und Datenstrukturen [CLR09] ist
das Thema „balancierte Suchbäume“, mit dem Beispiel AVL-Bäume. Der Inhalt sind Sätze
über Algorithmen: Balance erzwingt logarithmische Höhe, Rotation erhält die Suchbaum-
Eigenschaft und repariert die Balance lokal; sowie die zugrundeliegenden Beweismethoden
(Induktion über die Höhe) sowie Programmierkonzepte (Rekursion, Iteration). Das Ver-
ständnis dieser Ideen kann dadurch unterstützt werden, dass Studenten die Algorithmen
ausführen (auf dem Papier, an der Tafel) und implementieren (als Programmtext).
Ich beschreibe hier eine weitere Möglichkeit von unterstützenden Aufgaben sowie deren
Automatisierung innerhalb des Systems autotool[RW02, Wa17]. Studenten sollen eine
Folge s von Einfüge- und Lösch-Operationen finden, die aus einem vorgegebenen AVL-
Baum t1 einen vorgegebenen Baum t2 erzeugt. Für die Folge s sind die Länge sowie einige
Elemente vorgegeben und die restlichen zu finden. Die Vorgabe ist ein Folge mit Lücken s? .
Die Aufgabenstellung besteht dann aus (t1, s?, t2 ).
Studenten tragen einen Lösungsversuch (eine Folge s) in einem Web-Formular ein. Nach
Absenden führt das autotool-System die Operationsfolge s aus und gibt die Folge der
dabei erzeugten Bäume aus. Schließlich wird das Endresultat mit der Vorgabe verglichen.
Eine Lösung ist jede Folge s, die zu s? passt und t1 in t2 überführt. Korrektheit ist also
1 HTWK Leipzig, Fakultät IMN, Postfach 301166, 04251 Leipzig, https://www.imn.htwk-leipzig.de/~waldmann/
2 Johannes Waldmann
nicht definiert als Übereinstimmung mit einer Musterlösung, sondern als das Erfüllen
der Spezifikation. Das hat auch den Vorteil, dass die Ablehnung einer falschen Lösung
nachvollziehbar begründet werden kann, aber in der Begründung keine richtige Lösung
verraten wird. Deswegen ist es unschädlich, und im Gegenteil sogar erwünscht, dass
Studenten mehrere Lösungsversuche ausführen.
Der abschließende Test auf Korrektheit ist gar nicht der wesentliche Nutzen dieser Aufgabe.
Vielmehr geht es um die ausführliche Beschreibung der Wirkung der einzelnen Operationen
in der Ausgabe. Dabei können die Studenten sehen, wie die korrekte Implementierung
einzelner Operationen wirkt. Die Studenten können dabei auch selbständig und frei experi-
mentieren und z.B. beobachten, was passiert, wenn im nächsten Schritt die Wurzel gelöscht
wird u.ä., indem sie eine geeignete Folge s eingeben und absenden. Diese löst dann zwar
die vorgegebene Aufgabe nicht, aber die Anzahl der Fehlversuche spielt bei der Bewertung
keine Rolle.
Für Aufgaben des beschriebenen Typs können automatisch Instanzen erzeugt werden: das
System würfelt einen Baum t1 sowie eine Operationsfolge s0 und bestimmt daraus eine Folge
s? durch Ersetzen von Elementen an zufällig gewählten Positionen durch Markierungen ?.
Der Aufgabensteller konfigurierte den Würfel durch Vorgabe der Größe der Größe von t1 ,
der Länge von s? sowie der Anzahl der Fragezeichen in s? .
Durch den Würfel erhält jeder Student eine andere Aufgaben-Instanz, damit sind Plagiate
von Lösungen unmöglich.
Alle hier beschriebenen Aufgaben können unter dieser Adresse ausprobiert werden: https:
//autotool.imn.htwk-leipzig.de/cgi-bin/Trial.cgi?lecture=240.
Ich danke Herrn Mario Wenzel sowie den anonymen Gutachtern für Diskussionen und
Hinweise zu der Vorabversion dieses Berichtes.
2 Aufgaben zu Suchbäumen
Suchbäume S(K) mit Schlüsseln einer Menge K realisieren den abstrakten Datentyp Menge
mit folgender Schnittstelle. Die Semantik JtK eines Baumes ist die Menge seiner Schlüssel.
• empty : S(K) mit JemptyK = ∅,
• null : S(K) → B mit Jnull(t)K = (∅ = JtK)
• contains : K × S(K) → B mit Jcontains(x, t)K = (x ∈ JtK)
• insert : K × S(K) → S(K) mit Jinsert(x, t)K = {x} ∪ JtK
• delete : K × S(K) → S(K) mit Jdelete(x, t)K = JtK \ {x}
Für die Aufgaben verwenden wir Zahlen als Schlüssel. Jeder implementierende Typ S(K)
besitzt eine Funktion zur grafischen Darstellung. Wir verwenden dot [Ga17].
Automatische Erzeugung und Bewertung von Aufgaben zu Algorithmen und Datenstrukturen 3
Derzeit existieren diese Implementierungen: nicht balancierte binäre Bäume, AVL-Bäume,
Rot-Schwarz-Bäume, B-Bäume.
Ein Beispiel für eine Aufgabenstellung für AVL-Bäume ist:
Auf den Baum
sollen diese Operationen angewendet werden
(wobei Sie Any geeignet ersetzen sollen):
[ Any , Any , Any , Delete 86 , Any, Any , Insert 13 , Insert 21 ]
so dass dieser Baum entsteht:
Eine korrekte Lösung ist
[ Insert 53, Insert 80, Delete 97, Delete 86
, Delete 96, Insert 0, Insert 13, Insert 21 ]
4 Johannes Waldmann
Für die Erzeugung zufälliger Aufgabeninstanzen werden, wie in der Einleitung beschrieben,
t1 und s0 ausgewürfelt und daraus t2 bestimmt. Damit interessante, d.h., nicht trivial lösbare,
Instanzen entstehen, werden jeweils mehrere Kandidaten-Instanzen bestimmt und dann
diejenige verwendet, die den Hamming- oder Editier-Abstand von t1 zu t2 maximiert. Die
Wurzeln von t1 und t2 sollen sich unterscheiden und die Wurzeln der nächsten Teilbäume
möglichst auch, usw., damit die Aufgabe nicht durch Betrachtung unabhängiger Teilbäume
einfach lösbar ist. Unterschiedliche Wurzeln erreicht man bei nicht balancierten Bäumen
durch delete-Operationen, bei anderen auch als Folge von Balance-Reparaturen.
3 Aufgaben zu heap-geordneten Bäumen
Heaps H(K) mit Schlüsseln (Prioritäten) einer total geordneten Menge K realisieren den
abstrakten Datentyp Prioritätswarteschlange unter anderem den folgenden Operationen. Die
Semantik JhK eines Heaps h ist die (Multi)menge der Schlüssel. Die insert-Operation liefert
einen Verweis p ∈ Ref(K), der bei decrease verwendet wird. In der grafischen Darstellung
werden für jeden Knoten der Schlüssel sowie der Name des Verweises auf diesen Knoten
gezeichnet.
Derzeit wird die Schnittstelle implementiert durch fast vollständig balancierte binäre Heaps.
Dabei sind alle Blätter in Tiefe h oder, rechts davon, in Tiefe h − 1. Solche Heaps können
implizit durch Arrays repräsentiert werden, was in dieser Aufgabe jedoch keine Rolle spielt.
Grundsätzlich treffen Bemerkungen zu Suchbäumen aus Abschnitt 2 zu. Es zeigte sich,
dass Aufgaben zu Heaps schwieriger waren, erkennbar an einer höheren Anzahl von
Fehlversuchen. Das kann daran liegen, dass die decrease-Operation eine direkte Zuordnung
zwischen den Schlüsseln in der Eingabe t1 und denen in der Ausgabe t2 erschwert.
4 Aufgaben zu Hashtabellen
Eine Hashtabelle T(K) repräsentiert den abstrakten Datentyp Menge, die Implementierung
verwendet direkten Zugriff mittels Hashfunktionen. Gegenüber den vorher beschriebenen
Aufgaben zu Bäumen enthalten Aufgaben zu Hashing nicht nur eine Beschreibung der
vorgegebenen Start- und Endzustände, hier: Belegung der Hashtabelle, sondern zusätzlich
eine Spezifikation des verwendeten Hash-Verfahrens sowie seiner Parameter, insbesondere
seiner Hashfunktion(en). Form und Koeffizienten von Hashfunktionen können teilweise
versteckt werden. Damit wird die Angabe der Hashfunktion zu einem Teil der Aufgabe.
Derzeit gibt es Aufgaben zu diesen Hashverfahren:
• Hashing mit Verkettung: jede Zelle der Hashtabelle enthält eine Liste von Elementen.
• offenes Hashing mit linearem Sondieren: jede Zelle enthält kein oder ein Element,
die Sondierungsreihenfolge für x mit hash(x) = p ist p, p + 1, p + 2, . . . (modulo
Tabellengröße).
Automatische Erzeugung und Bewertung von Aufgaben zu Algorithmen und Datenstrukturen 5
• doppeltes Hashing: jede Zelle enthält kein oder ein Element, die Sondierungsreihen-
folge für x mit hash1 (x) = p und hash2 (x) = q ist p, p + q, p + 2q, . . . .
Die Hashfunktion kann vorgegeben werden als lineare Funktion mit unbekannten Koef-
fizienten h(x) = ? + ? · x. Bei Hashing mit Verkettung sind die Koeffizienten leicht zu
rekonstruieren, da man Paare (x, h(x)) direkt aus der Tabelle ablesen kann. Bei offenem
Hashing ist das schwieriger, da nicht klar ist, nach wieviel Sondierungs-Schritten ein
Element eingefügt wurde. Das ist gut so, denn dann wird genau das beim Bearbeiten der
Aufgabe geübt. Eine Beispiel-Aufgabenstellung für doppeltes Hashing ist
Replace each hole (_) in the configuration
Config { size = 10 , hash1 = \ x -> _ + _ * x , hash2 = \ x -> _ }
and in the sequence of operations
[ Insert _ , Insert _ , Insert _
, Insert 40 , Insert _ , Insert _ , Insert 22 ]
with a numerical expression
such that the sequence of operations transforms
Table (listToFM [ (2,12),(9,41)])
to Table (listToFM
[ (0,11),(1,25),(2,12),(3,89),(4,22),(6,40),(7,97),(8,64),(9,41) ])
Eine Lösung ist
Solution { config = Config { size = 10 , hash1 = \ x -> 6 + 3 * x
, hash2 = \ x -> 1 }
, ops = [ Insert 25 , Insert 11 , Insert 89 , Insert 40
, Insert 97 , Insert 64 , Insert 22 ] }
Ein Ausschnitt aus der Antwort des System ist
Table (listToFM [ ( 1, 25) , ( 2, 12) , ( 9, 41) ])
execute Insert 11
insert(x,S) x = 11
hash1(x) = 9 (mod 10) hash2(x) = 1 (mod 10)
probe at address 9 contains 41
probe at address 0 is empty, insert x here
result: Table (listToFM [ ( 0, 11) , ( 1, 25) , ( 2, 12) , ( 9, 41) ])
Die Aufgaben zum doppelten Hashing erwiesen sich beim Einsatz im Sommersemester
2017 tatsächlich als schwierig, mit einer hohen Anzahl von Fehlversuchen.
6 Johannes Waldmann
5 Algorithmen auf Graphen
Die Breitensuche wird durch folgenden Aufgabentyp getestet: eine Aufgaben-Instanz
besteht aus einem Muster G M für die Adjazenz-Listen-Darstellung eines Graphen, einem
Startknoten s und einem Muster TM für einen Baum. Eine Lösung ist eine Adjazenz-
Listen-Darstellung G eines Graphen. Die Lösung ist korrekt, wenn G zu G M paßt und der
Breitensuchbaum BFS(G), der von autotool berechnet wird, zu TM paßt.
Eine Beispiel-Aufgabenstellung ist
Replace the holes (_) in the adjacency list of the graph G
Adjacency_List [ ( _ , [ _, 4, 7] ), ( _, [ 5, _]), ( 4, [ _, _])
, ( _, [ _, _, 4, 5]), ( _, [ 4, _, 1, 3]), ( 3, _), ( 6, [ _, 1, _]) ]
so that the breadth first search tree of G, starting at 3,
matches the pattern
Branch 3 [ Branch _ [ Branch 6 _
, Branch 5 [ Branch 2 [ ] , Branch _ [ ] ] ] ]
Die Konfiguration des Aufgabengenerators ist
Config
{ graph_generator = Graph_Generator
{ directed = True, vertices = 7, out_degree_range = ( 1, 4) }
, handle_graph = Show 0.7, handle_bfs_tree = Show 0.7, candidates = 100 }
Es werden 100 Graphen G erzeugt und für jeden T = BFS(G) bestimmt. In G und T werden
zufällig ausgewählte Teilstrukturen versteckt, d.h., durch _ ersetzt, so dass der Anteil der
sichtbaren Funktionssymbole möglichst nahe bei 70 Prozent liegt.
Eine ähnliche Aufgabe behandelt Tiefensuch-Wälder.
6 Technische Details
Das System autotool besteht aus einem zustandslosen Semantik-Service zur Generierung
von Aufgabeninstanzen und zur Bewertung von Lösungsversuchen, implementiert als
XML-RPC-Service mit haxr, einer Persistenz-Schicht zur Speicherung von Aufgaben, Ein-
schreibungen, Punkten u.ä., implementiert als mysql (mariabdb) mit persistent [Sn17] einer
Web-Oberfläche [Si16], implementiert mit yesod [Sn12]. Damit können Studenten Aufgaben
bearbeiten und Bewertungen betrachten sowie Dozenten die Aufgaben konfigurieren und
testen sowie Aufgaben und Punkte verwalten.
Automatische Erzeugung und Bewertung von Aufgaben zu Algorithmen und Datenstrukturen 7
Die hier beschriebenen Aufgaben sind als Module im Semantik-Service realisiert. Die
gemeinsame Modulschnittstelle ist durch diese mehrparametrige Relation (Typklasse) für p
(Aufgabentyp), i (Typ der Instanz), b (Typ der Einsendung) beschrieben:
• describe: p × i → Text beschreibt Aufgabenstellung,
• initial: p × i → b berechnet einen syntaktisch korrekten, aber semantisch falschen
Lösungsvorschlag,
• eval: p × i × b → B × Text bewertet die Einsendung, liefert Resultat richtig/falsch und
Begründung
Das Würfeln von Aufgabeninstanzen nach einer Konfiguration c wird beschrieben durch
• generate: p × c × Seed → i
wobei Seed aus der Matrikelnummer (oder einem anderen Kennzeichen des Studenten)
bestimmt wird und der Initialisierung eine deterministischen Pseudozufallsgenerators dient.
Der Student gibt eine textuelle Repräsentation der Lösung (vom Typ b) ein. Das Texteingabe-
feld wird mit initial(p, i) initialisiert. Mit Absicht gibt es keine grafische Eingabemöglichkeit,
um Studenten an die wissenschaftliche Notation (durch Terme in einer geeigneten Signatur)
zu gewöhnen. Bei den allermeisten Aufgaben ist die konkrete Syntax für b die Daten-
Syntax von Haskell [Sim10], mit den Ausdrucksmitteln für primitive Daten: 123, False,
für Tupel: (124,False), für (typreine) Listen: [(123,False),(456,True)], Konstruktoren
algebraischer Datentypen, mit Argumenten: Just (123,False), Records mit benannten
Komponenten: Config{size=10}. Pretty-Printer und Parser werden automatisch gene-
riert. Gelegentlich wird eine aufgabenspezifische konkrete Syntax verwendet, z.B. für
arithmetische Ausdrücke in Hashfunktionen.
Die Eingabe-Parser [LM16] erzeugen nützliche Fehlermeldungen. Die fehlerhafte Stelle
wird markiert und mögliche Fortsetzungen werden ausgegeben. Jedes Eingabefeld (für den
Studenten: das für den Lösungsversuch, für den Dozenten: das für die Konfiguration der
Instanz oder des Instanzengenerators) ist typisiert und wird automatisch mit einem Verweis
auf die API-Dokumentation des jeweiligen Typs versehen.
Die hier gezeigten Aufgabe verwenden das Prinzip, dass Teile einer Datenstruktur (Bsp:
Koeffizienten der Hashfunktion, Elemente der Liste von Operationen) in der Aufgabenstel-
lung versteckt werden und zur Lösung zu ergänzen sind. Ein Typ p dient in diesem Sinne
als Vorlagentyp, wenn für ihn diese Eigenschaften deklariert werden:
• der zugehörige Basistyp: type (Base p)
• der Mustervergleich match : p × Base(p) → B × Text
• die Injektion inject: Base(p) → p
• das pseudozufällige Verstecken von Bestandteilen obfuscate : Base(p) × Seed → p.
8 Johannes Waldmann
7 Diskussion
Der autotool-Semantik-Service wird ebenfalls vom autolat-Plugin [FS10] für OpenO-
LAT [Fr17] unterstützt und an der Universität Leipzig angewendet. Ich möchte autotool
gern in weitere Systeme integrieren. Eine Verwendung der QTI-Schnittstelle [IM15] ist
naheliegend, scheint aber derzeit nicht möglich, da im Standard weder das externe Generie-
ren von Aufgaben noch das externe Bewerten von Einsendungen vorgesehen sind, sondern
höchsten Zeichenkettenvergleiche, die von QTI-Player selbst ausgeführt werden. Das ist für
eine semantische Bewertung mit sinnvoller Rückmeldung völlig unzureichend.
Die hier beschriebenen Aufgaben habe ich für die Vorlesung Algorithmen und Daten-
strukturen für Informatik-Bachelor-Studenten im 2. Semester, die ich vertretungsweise
übernommen habe, überarbeitet bzw. neu entwickelt. Dabei haben ca. 80 Studenten über das
Sommersemester 2017 hinweg jede Woche 1 bis 2 autotool-Aufgaben bearbeitet, mit ca. 10
Einsendungen pro Aufgabe. Für einzelne Aufgaben habe ich deutlich mehr Einsendungen
registriert. Das kann an der Schwierigkeit der Aufgabe liegen, aber auch daran, dass ich
explizit zum Durchprobieren verschiedener, auch “falscher” Einsendungen ermuntert hatte.
Ich habe damit die eigentlich vorgesehenen Java-Programmier-Übungen ersetzt. Die
autotool-Aufgaben schienen mir dem didaktischen Ziel des Verständnisses der Algo-
rithmen nützlicher. Der Aufwand zum Lösen und Korrigieren von Java-Programmen ist
für Student und Dozent deutlich höher, so dass Programmieraufgaben üblicherweise nur
dreimal während des Semesters gestellt wurden. Tatsächlich habe ich wohl die Arbeit
verschoben: vom (z.T. händischen) Korrigieren der Java-Aufgaben zum Programmieren der
autotool-Aufgaben — allerdings in Haskell, das sehr konzise Quelltexte ermöglicht und
sehr hohe statische Sicherheit garantiert und somit den Entwicklungsaufwand verringert.
Die Studenten haben in dieser Vorlesung keine Programme selbst geschrieben und (außer
Pseudocode im Skript und autotool-Quelltexten) kaum welche gesehen — das finde
ich nicht so tragisch, zumal es parallel eine Vorlesung zur anwendungsorientierten Java-
Programmierung gibt und vorher eine zu Grundlagen der Programmierung.
Durch die autotool-Aufgaben haben sich die Studenten auch ohne Programmieren mit
den Algorithmen beschäftigt, indem sie ihre Ausführung durch das autotool beobachtet
und durch geeignete Eingaben zielgerichtet gesteuert haben. Für die Übungen habe ich
damit Zeit gewonnen für die Diskussion von Aufgaben zu Eigenschaften von Algorithmen.
(Die Prüfungszulassung ergibt sich aus beiden Anteilen.) Eine wissenschaftliche fundierte
Einschätzung des tatsächlichen Nutzens (und Aufwandes) von autotool-Aufgaben scheint
mir hier nicht möglich, da zu viele weitere Parameter variieren: nicht nur Änderung der
Übungs-Aufgaben, sondern auch im Vortragsstil, im Skript, in Klausuraufgaben.
Berichten von Kollegen sowie eigene Erfahrung mit autotool in anderen Vorlesungen [Wa15,
Wa14] bestätigen, dass Studenten das System schnell verstehen und gern benutzen und
besonders die sofortigen, ausführlichen und objektiven Antworten begrüßen.
Automatische Erzeugung und Bewertung von Aufgaben zu Algorithmen und Datenstrukturen 9
Literaturverzeichnis
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[LM16] Leijen, Daan; Martini, Paolo: , parsec: Monadic Parser Combinators. https://hackage.
haskell.org/package/parsec, 2016.
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[Si16] Siegburg, Marcellus: REST-orientierte Refaktorisierung des E-Learning-Systems Autotool.
Masterarbeit, HTWK Leipzig, 2016. http://www-ps.informatik.uni-kiel.de/~msi/
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[Sn17] Snoyman, Michael: , persistent: Type-safe, multi-backend data serialization. https://
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leipzig.de/~waldmann/talk/14/wlp/auto/.
[Wa15] Waldmann, Johannes: Automatisierte Bewertung und Erzeugung von Übungsaufgaben
zu Prinzipien von Programmiersprachen. In: 18. Kolloquium Programmiersprachen und
Grundlagen der Programmierung KPS 2015, Pörtschach. 2015. http://www.imn.htwk-
leipzig.de/~waldmann/talk/15/kps/paper/.
[Wa17] Waldmann, Johannes: , Leipzig autotool. https://gitlab.imn.htwk-leipzig.de/autotool/
all0, 2017.