Математические модели физических процессов основаны на априорном предположении о механизме функционирования этих процессов [1]. Однако такие предположения не всегда в достаточной степени обоснованы. Ошибки спецификации модели возникают как на структурном, так и на параметрическом уровнях. Эффективным инструментом проверки предполагаемых Труды XIX Международной конференции «Аналитика и управление данными в областях с интенсивным использованием данных» (DAMDID/ RCDL’2017), Москва, Россия, 10–13 октября 2017 года механизмов процессов могут служить методы анализа временных рядов, образующихся при наблюдении за параметрами функционирования этих процессов [2, 3]. Предлагаемый метод основан на сравнительном анализе конечно-разностных представлений исследуемой модели процесса и авторегрессионнного описания временных рядов наблюдений.
Будем рассматривать широкий класс пространственно-распределенных динамических систем, для которых характерны диффузионные процессы, процессы адвекции или их сочетание. Соответствующее дифференциальное уравнение в частных производных с начальными и граничными условиями имеет следующий общий вид: + = 2 2 , (1) (0, )= ( ), ( , min)= 1( ), ( , max)= 1( ), где скорость адвекции, коэффициент диффузии, пространственная координата.
Источником информации о поведении системы являются данные натурных измерений переменной с погрешностью в виде «белого шума» – = + в последовательные моменты времени = 0,1, …в узлах одномерной пространственной регулярной сетки = 0,1, … , , т. е. многомерный временной ряд. Рассмотрение одномерной сетки ничем не ограничивает дальнейшие исследования, зато позволяет избежать громоздких построений, характерных для плоских и объемных пространств.
Пусть в рассматриваемой системе могут протекать
процессы диффузии и адвекции. Утверждать, что
поведение
произвольного узла i с начальными и граничными
условиями:
+1 = 1 −1 + 2 + 3 +1
(4)
(
−1; 0; 0+1),
−1 = −1 = ( 0−1; 1−1; … ; −1),
+1 = +1 = ( 0+1; 1+1; … ; +1).
Заметим,
что
в
соответствии
со
свойством
консервативности [4] сумма коэффициентов правой
части
выражений
(
3 3 Построение
модели временного
ряда разностной схемой и ее многомерного сравнение с Моделирование многомерного временного ряда будем осуществлять в классе линейных стохастических моделей авторегрессии [3]. Допустим, что в каждом узле регулярной сетки протекает марковский процесс без последействия, и временные ряды в смежных узлах имеют высокие значения коэффициентов линейной корреляции, что обуславливает рассмотрение многомерных рядов. Такие допущения позволяют специфицировать стохастическую модель в i -м узле в виде ̃ +1 = ( +1 −1 , ,
+1) = 1 −1 + 2 + 3 +1;
= 2, … − 2; = 0,1, …,
(
Вычисления по выражениям (
условной сходимостью устойчивостью,
следовательно, к решению соответствующего дифференциального уравнения.
Выражение
позволяет вычислять модельные значения случайной
переменной х в тех же узлах, но автономно для
каждого узла в каждый момент времени, как это
определяется
формулой
(
Различие
вычислительных алгоритмах (
(
результат параметров авторегрессии и параметров и из полученных уравнений найти параметры 1 и 2.
Трем вариантом сочетания процессов будут соответствовать алгебраических три варианта
систем
уравнений
относительно
параметров 1 и 2 разностныхсхем(
ожидание условного температурой атмосферного воздуха над заданным ожидания случайной величины участком земной поверхности.
В полученных уравнениях в правой части всюду стоят оценки, т. е. значения случайных величин. Следовательно, решение каждого из уравнений следует проводить как проверку соответствующей статистической нормального задачей метеорологии является определение структуры и параметров атмосферных процессов.
Покажем, что решение этой Для экспериментальной апробации параметров атмосферы за 2012 год [10]. Эти данные представляют собой ежедневные значения температуры в узлах плоской регулярной сетки с шагом 2,5°.
Рассматривались
результаты
наблюдений температуры
при геопотенциале 300
ГПа в узле сетки с координатами 35° северной
широты; 7,5° восточной долготы. По указанным
данным
была
построена
одномерная
модель
множественной авторегрессии
̃7+,51 = 1,03 5 − 1,14 7,5 + 1,11 10 10,
(
температуры,
разностной схемой (
Стандартные ошибки оценок равны 1 = 0,14; 2 = 0,25; полученные оценки 3 = 0,13. в систему (7),
что Подставим соответствует принятию гипотезы о совместном влиянии на температурную динамику процессов диффузии и адвекции. Допустим, что ошибки оценок равномерно распределены между коэффициентами . Тогда последние два уравнения системы (7) позволяют вычислить оценки 2 = 1,07 со стандартной
ошибкой стандартной ошибкой 2 = 0,07 и 1 = −0,04 со 1 = 0,125.
Последнее равенство означает, что 1 можно считать равным нулю.
Поскольку коэффициент 1 отвечает за адвекцию совместном (см.
раздел 2),
нулевая гипотеза о влиянии процессов диффузии адвекции отклоняется.
Подставим полученные оценки в систему (8), что соответствует принятию нулевой гипотезы о влиянии диффузии. В этом случае нулевая гипотеза может быть
принята, равенстве 1 равенства равенстве нулю составляет 0,08 если подтвердятся
гипотезы и 2 и тождественности второго системы (8). Рассмотрим
гипотезу о разности 1
и 2. Эта разность при стандартной ошибке 1 и 2− 1 = 0.13 + 0.14 = 0.27, что дает основание принять гипотезу о равенстве и улучшить оценку путем вычисления среднего значения 2 = (1.03 + 1.11)/2 = 1.07.
Чтобы убедиться в адекватности результатов
структурной и параметрической идентификации,
было найдено численное решение уравнения
диффузии по неявной разностной схеме, поскольку в
данном случае условие устойчивости явной схемы не
выполняется. Уровни наблюдаемого временного
ряда температур, результаты моделирования с
использованием авторегрессии (
Экспериментальным подтверждением
правильности предложенной методики должно быть
хорошее совпадение наблюдаемых значений
температуры, значений, полученных по
авторегрессионной модели (
Для идентификации динамических моделей с распределенными переменными обычно используются либо непараметрические методы идентификации, например, на основе результатов активного эксперимента [11], который не всегда возможен, либо параметрические методы с аппроксимацией производных [12]. В последнем случае возникает опасность неадекватного приближения производных в условиях помех [13]. Различные статистические методы были разработаны для оценки параметров моделей, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Так, например, в [14–16] предложены иерархические байесовские подходы к этой проблеме. Эти методы требуют неоднократного численного решения соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений, что в ряде случаев требует значительного временного ресурса. Для оценки постоянных параметров модели в [17] предложен обобщенный сглаживающий подход, основанный на идеях метода максимального правдоподобия. В работе [18] рассматривается каскадный метод оценки изменяющихся по времени параметров. Этот метод оценивает параметры путем оптимизации определенного критерия, однако достижение глобального минимума проблематично с вычислительной точки зрения.
Другим подходом к оцениванию параметров обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [19]) является двухэтапный метод, в котором на первом этапе, с использованием сглаживающих методов, по зашумленным данным оцениваются функция и ее производные, а затем на втором этапе строятся МНК-оценки параметров уравнения. Двухэтапный метод легко реализуется, однако он может быть статистически неэффективным, так как производные не могут быть точно оценены по зашумленным данным, особенно производные старших порядков.
Предложенная методика верификации основана на сопоставительном анализе параметров авторегрессионной модели и разностного уравнения. Полученные результаты показывают возможность использования такого подхода при моделировании зашумленных динамических объектов с распределенными переменными и обосновывают проведение дальнейших исследований в этом направлении. Литература