-The question “What is a system?” Can be asked and answered in different ways, but it always refers to a total-what we call a system. Although the languages of engineering, design, and modeling describe parts of a system, the practice of systems engineering actually results when there is a reference to the system as a whole via self-reference. Go¨ del's theorems, on the conditions that determine if a system is incomplete or inconsistent, elucidate analogous relationships between sentences about systems, actual systems, and formal languages that describe systems. The conceptual structures of complementary levels of abstraction clarify the relationships between natural languages, systems, formal languages and pre-written methods for systems analysis. The objective is to advance the cognitive development of system descriptions. Resumen-La pregunta “Que´ es un sistema?” puede ser preguntada y contestada de diferentes ma-neras, pero siempre se refiere a un total-llamado un sistema. Aunque los lenguajes de ingenier´ıa, disen˜ o y modelaje describen partes de un sistema, la pra´ ctica de ingenier´ıa de sistemas de veras resulta cuando hay referencia al sistema en su totalidad v´ıa la auto-referencia. Los teoremas de Go¨ del, sobre las condiciones que determinan si un sistema es incompleto o inconsistente, elucidan relaciones ana´ logas entre: frases sobre sistemas, sistemas actuales, y lenguajes formales que describen sistemas. Las estructuras con-ceptuales de niveles complementarias de abstraccio´ n clarifica las relaciones entre: len-guajes naturales, sistemas, lenguajes formales y me´ todos preescritos para el ana´ lisis de sistemas. El objetivo es avanzar el desarrollo cognitivo de descripciones de sistemas.
F
La emergencia en los sistemas complejos produce
propiedades que no esta´n presentes en las partes que forman el
sistema [
Complementaridad es un principio, dualista que es
una piedra de toque de complejidad y que se
encuentra integrado en la descripcio´ n de las matema´ticas de la
meca´nica cua´n-tica. Complementariedad describe la
relacio´ n entre atributos cualitativos emergentes [
La complementariedad en la naturaleza da lugar a juego infinito entre aspectos irreconciliablemente diferentes de la realidad. Los diagramas de complementaci o´n reducen los aspectos de los sistemas naturales a una descripcio´ n perceptible y distinta por sus dobles caras.
Niveles de abstracci o´n [2] son una construcci o´n principal de las descripciones de los sistemas que presentan capas abarcadoras. La Figura 2 muestra niveles de abstraccio´ n abarcadores.
Tenga en cuenta que la abstraccio´ n que abarca se muestra en los niveles superiores, pero para ser justos, los numerosos detalles observables en los niveles inferiores, alternativamente, pueden englobar los niveles ma´s abstractos que a la entre niveles adyacentes: Figura 1. Lados complementarios de un sistema.
Figura 2. Niveles de abstraccio´ n abarcadores.
Figura 3. Niveles de los aspectos complementarios en diferentes niveles de abstraccio´ n.
Figura 4. Efectos de los niveles complementarios. vez son ma´s vac´ıos. Por otra parte, si los niveles superiores tienen ma´s y mayor detalle, no son abstractos. Los debates en este trabajo se ven facilitados por la representacio´ n de complementariedad a diferentes niveles de abstraccio´ n, como se muestra en la Figura 3.
En cualquier nivel particular, el lado de atributos de un dual complementario se caracteriza por las cualidades aparentes a ese nivel, mientras que el lado lo´ gico es el conjunto de elementos concretos y sus interfaces. Las influencias y los efectos que los elementos cualitativos y lo´ gicos de un nivel ejercen en otros elementos cualitativos o lo´ gicos identificados en otros niveles se esquematiza en la Figura 4.
Los efectos indicados en la Figura 4 pueden ser descritos de la siguientes maneras: Relaciones concretas/Lo´ gicas
A, Lo´ gico/concreto de bajo nivel a elementos que componen la lo´ gica de nivel superior.
B, Lo´ gico/concreto en nivel superior a elementos lo´ gicos en nivel inferior Relaciones cualitativas entre niveles adyacentes: C, Integracio´ n de atributos cualitativos, combinados en nivel inmediatamente superior.
D, los Atributos cualitativos globales proporcionan el contexto (a´mbito de aplicacio´ n) para la descomposicio´ n de atributos. Complementariedades en el mismo nivel: E, los Elementos lo´ gicos crean atributos hol´ısticos en el mismo nivel. (Ejemplo: La fiabilidad calculada). M, los Atributos cualitativos imbuyen sentido en elementos lo´ gicos al mismo nivel (Ejemplo: La fiabilidad como cualidad obligatoria de calidad).
G, la Lo´ gica de nivel inferior contribuye al nivel superior total.
H, los Atributos cualitativos de nivel inferior contribuyen al nivel superior I, la Lo´ gica de nivel superior que abarca toda la escala inferior: J, los Atributos cualitativos de nivel superior que abarcan nivel inferior completo.
K, el Nivel completo que influye la lo´ gica del nivel superior.
L, el Nivel completo que influye las cualidades del nivel superior.
M, el Nivel plenario que abarca la lo´ gica de nivel inferior.
N, el Nivel plenario que abarca los atributos cualitativos de nivel inferior. El uso extensivo de este marco teore´tico no se ha demostrado todav´ıa.
La lo´ gica matema´tica, en su propio mundo ideal, podr´ıa
limitar el n u´mero de atributos a so´ lo dos: Verdadero y Falso,
que ser´ıan atributos absolutos derivados de la lo´ gica, o
influenciando la lo´ gica. Tal punto de vista conduce a el tal
Credo de los Matema´ticos [
sistencia del sistema lo´ gico.
X es cierto, as´ı que hay una prueba de X.—-lo Completo del sistema lo´ gico.
La primera declaracio´ n se dirige a la fe de la Consistencia del sistema l o´gico porque un sistema lo´ gico no consistente podr´ıa contener tanto la prueba y la contraprueba de X. Un mando relacionado es: X es falso, entonces no hay prueba de X. La segunda declaracio´ n se dirige a lo Completo de un sistema lo´ gico, es decir, el sistema l o´gico contiene una prueba para todos los X cierto (y ninguna prueba de X falso). La segunda declaraci o´n se puede volver a expresar como: X es falso porque no hay ninguna prueba de X.
Este alineamiento perfecto y estricto de relaciones bidireccionales crean diadas firmemente enlazando la verdad y la lo´ gica, como ilustrado en la Figura 5.
Histo´ ricamente, el esfuerzo por descubrir esta alineacio´ n
perfecta entre la verdad y la presencia de la prueba, igual
Figura 5. Correspondencia idealizada en la matema´ tica.
como entre la falsedad y la falta de prueba, fue
conmemorado en el movimiento para axiomatizar toda la matema´tica,
a partir de la axiomatizacio´ n de la aritme´tica. El punto
culminante de este movimiento fue la aparicio´ n de Principia
Mathematica, publicado 1910-1913 como la obra magna
de Bertrand Russell y Alfred North Whitehead. Principia
Mathematica trato´ de aplicar esta alineacio´ n perfecta entre
la verdad y la lo´ gica, con producir axiomas sementales que
derivaran todos los teoremas verdaderos, y ning u´n teorema
falso [
Kurt Go¨ del (1906-1978), lo´ gico, matema´tico y filo´ sofo austriaco, en u´ltima instancia probo´ que esa estrecha unio´ n no era posible. El teorema de Go¨ del utiliza un marco conceptual del lenguaje matema´tico, con lados complementarios a diferentes niveles de abstracci o´n, como se ilustra.
“La importacio´ n absolutamente impactante del teorema de Go¨ del ... es que los cimientos poderosos de las matema´ticas son, en u´ ltima instancia, construidos sobre arena, ya que el nexo entre la prueba y la verdad es demostrablemente inestable. El problema que Go¨ del descubri o´ es que en la matema´tica, y de hecho en casi todos los sistemas formales de razonamiento, las declaraciones pueden ser verdad pero indemostrables no s o´lo no experimentadas, sino imposibles de demostrar, ni siquiera en principio” [5]. Una unio´ n aparentemente fuerte entre los atributos cualitativos y pruebas lo´ gicas en la matema´tica se hace ma´s compleja en funcio´ n de la presencia de muchas ma´s cualidades, adema´s de verdadero y falso—por ejemplo, la fuerza, firmeza, pertinencia, y formacio´ n buena. La matema´tica l o´gica no puede avanzar sin percepciones complejas de una gran cantidad de atributos cualitativos, como conmemorado por Leibniz: “Sans les mathe´matiques on ne pe´ne`tre point au fond de la philosophie.
Sans la philosophie on ne pe´ne`tre point au fond des mathe´matiques.
Sans les deux on ne pe´ne`tre au fond de
rien.”—Leibniz
(Sin las matema´ticas no se puede penetrar
profundamente en la filosof´ıa. Sin filosof´ıa no se puede
penetrar profundamente en las matema´ticas. Sin
ambos, no se puede penetrar profundamente en
nada.)
1686 Discours de Me´taphysique [
Los sistemas expresivos son complementarios y emplean lados sema´nticos y sinta´cticos. Espec´ıficamente, un sistema debe tener la calidad sema´ntica de expresio´ n, y debe ser lo´ gicamente expresiva en te´rminos sinta´cticos como se ilustra en la Figura 6.
Un paralelo se puede observar con la validacio´ n de un sistema—en que el sistema integral satisface todas las neFigura 6. Lados sema´ nticos y sinta´ cticos de un sistema expresivo. Figura 7. Auto-Referencia: Te´ rminos tipogra´ ficos se refiere al ”Sistema 2” desde dentro del Sistema 2. En verdad se refiere a te´ rminos globales (cualitativos y lo´ gicos) que so´ lo tienen sentido dentro del total ma´ s alto del Sistema 1. cesidades de los clientes—y la verificacio´ n de los requisitos espec´ıficos, y originados de lo´ gica.
La Auto-Referencia so´ lo puede ocurrir cuando un sistema de nivel superior comprende un sistema de nivel inferior. La auto-referencia es posible cuando te´rminos sinta´cticos en un sistema expresivo de menor nivel se refieren tipogra´ficamente y sinta´cticamente a te´rminos sema´nticos que so´ lo existen en un sistema expresivo de ma´s alto nivel ma´s abstracto que abarca el nivel bajo. Las referencias a calidades integrales desde dentro del sistema de nivel inferior, so´ lo pueden realmente ocurrir con referencias a cualidades emergentes e integrales que plenamente existen s o´lo en un nivel superior, como se ilustra en la Figura 7.
Algunos ejemplos de auto-referencia dentro de una empresa de ingenier´ıa de sistemas son: 1, Una base de datos de requisitos para un programa en la industria que contiene la exigencia que: “Este programa estara´ situado dentro de la base de datos.”, y, 2, Un bloque de contexto del “Systems Modeling Language (SysML)” en un diagrama que hace referencia al proceso de disen˜ o completo.
La auto-referencia se produce a menudo, sin esfuerzo, y casi sin dar aviso, en la mente humana, y puede ser fa´cilmente escrita en los sistemas de documentacio´ n de ingenier´ıa. La consciencia de la ocurrencia de la autoreferencia es vital para la producci o´n de materiales de disen˜ o debidamente organizados en sistemas de ingenier´ıa. Por ejemplo, la auto-referencia desapercibida en una descomposicio´ n siste´mica puede insertar ra´pidamente y de manera err o´nea, en niveles ma´s bajos de la descomposicio´ n, elementos del disen˜ o que simplemente no existen en niveles inferiores de la descomposicio´ n—por ejemplo, atributos de alto nivel. Estos errores resultan a menudo porque la mente humana—a u´n cuando supuestamente se centra so´ lo en los niveles ma´s bajos de descomposicio´ n—tiene fa´cil acceso a todo el sistema, y ra´pidamente genera te´rminos que hacen referencia al total del sistema.
Las expresiones auto-referenciales implican la integracio´ n de un sistema completo. La ingenier´ıa de sistemas se jacta de la pra´ctica de la integraci o´n de los sistemas y, en consecuencia, la auto-referencia a la totalidad de un sistema es t´ıpica en muchas pla´ticas de ingenier´ıa de sistemas. A modo de ejemplo: en los documentos de ingenier´ıa se hace referencia a los procesos de ingenier´ıa de sistemas que dan forma a sistemas enteros. Por lo tanto, esta cuestio´ n se puede pedir: ¿Co´ mo se pueden mejorar los esfuerzos de integracio´ n por el reconocimiento del concepto y pra´ctica de la auto-referencia en los lenguajes naturales, te´cnicas y teorias de sistemas?
La complejidad existe dondequiera que una autopeticio´ n se presenta. Tenga en cuenta que el concepto de auto-referencia so´ lo pod´ıa accederse en esta seccio´ n introductoria despue´s del desarrollo de dos conceptos que son complejos—1, la complementariedad, y 2, los niveles de abstraccio´ n que implican la emergencia.
Auto-referencia da lugar a la posibilidad de infinitas
auto-referencias en una serie de bucles. Auto-referencia es,
sin duda, un principio de auto-conciencia. En lugar de una
definicio´ n y discusio´ n de auto-conciencia, la descripcio´ n de
una ma´quina universal de Turing, la cual puede observarse
y modelarse a s´ı misma, se puede examinar: “Inspirado por
la cartograf´ıa de G o¨del de PM [Principia Mathematica] ,
Alan Turing se dio cuenta de que el umbral cr´ıtico para este
tipo de universalidad computacional viene exactamente en
ese punto donde una ma´quina es lo suficientemente flexible
para leer e interpretar correctamente una serie de datos que
describen su propia estructura. En esta coyuntura crucial,
una ma´quina puede, en principio, de manera expl´ıcita ver
co´ mo hace cualquier tarea en particular, paso a paso. Turing
se dio cuenta de que una ma´quina que tiene este nivel cr´ıtico
de flexibilidad puede imitar a cualquier otra ma´quina, por
muy complejo que e´ste es. ¡La universalidad es lo ma´s lejos
que se puede ir!” [
Fractales, ilustraciones vivas de complejidad matema´tica, son generados por la auto-referencia. Por ejemplo, el Conjunto de Mandelbrot es generado por la aplicacio´ n iterativa de un bucle de realimentacio´ n matema´tica: Zn+1 = Zn + C: (1)
Un nu´ mero complejo, c, se encuentra en el conjunto de Mandelbrot si, cuando a partir de Z0 = 0, y la aplicacio´ n de la iteraci o´n en varias ocasiones, nunca el valor absoluto de Zn supera un cierto nu´ mero que depende de c. Cuando se ensen˜ a gra´ficamente en un plano complejo, se ve que el conjunto de Mandelbrot elaborara bordos que no simplifican en cualquier ampliacio´ n. Esto califica esta frontera como un fractal—una piedra de toque de complejidad. 2.
DOS
DESARROLLO: TEOREMAS DE G O¨DEL
EXPLICAEsta seccio´ n desarrolla los teoremas de G o¨del en
te´rminos de complementariedad. “Para G o¨del, la distinci o´n entre
intuiciones y demostracio´ n rigurosa siempre fue
v´ıvidamente clara. Era la inevitabilidad de esa distinci o´n misma que
ha sido tan fuertemente sugerida por su famosa prueba” [
Esta seccio´ n tambie´n emplea los conceptos de niveles de
abstraccio´ n y de auto-referencia. “El art´ıculo de G o¨del es
dif´ıcil. Cuarenta y seis definiciones preliminares, junto con
varias importantes propuestas preliminares, se tienen que
dominar antes de que los resultados principales se alcancen.
Vamos a tomar un camino mucho ma´s fa´cil, sin embargo,
para permitir que el lector vea la vislumbra de la ascensio´ n
y coronaci o´n de la estructura.” [
Principia Mathematica, lo´ gicamente describe una
derivacio´ n tan sinta´ctica de la matema´tica, progresando
axioma´ticamente y desarrollando derivaciones simbo´ licas y
puramente meca´nicas, que se convierte en un lugar sin vida,
formalizando divorciadamente de la intuicio´ n de los nu´
meros reales. Principia Mathematica llego´ a ser un palacio
“laber´ıntico, sin sentido, meca´nico, batido de s´ımbolos, es
decir, carentes de sentido” [
Russell y Whitehead ve´ıan a Principia Mathematica como una descripcio´ n de u´ltima instancia, completa y coherente en todas formas. Go¨ del probo´ que Principia Mathematica era incompleta, y siempre ser´ıa incompleta, sin importar cua´ntos ma´s axiomas y reglas de lo´ gica se agregaran.
Meta-Matema´tica: Evidentemente complementaria Con el fin de encarnar la afirmacio´ n parado´ jica necesaria para sus pruebas, Go¨ del subio´ un nivel de abstracci o´n al reino de la Meta-Matema´tica, donde declaraciones complementarias con partes sinta´cticas y sema´nticas, son ma´s fa´ciles de invocar y expresar. Es evidente que la MetaMatema´tica se acerca a la expresividad libre del lenguaje natural, y describe la totalidad del universo desde la perspectiva humana. Si Go¨ del podr´ıa construir una asignacio´ n coherente y reversible entre la Meta-Matema´tica y la Matema´tica, demostrar´ıa que la Matema´tica no so´ lo es lo´ gica, sino tambie´n inefablemente sema´ntica. Su cartograf´ıa demostrar´ıa que las matema´ticas son complementarias, aunque esto no siempre es evidente. Para sus pruebas, era suficiente trabajar con la aritme´tica—que se basa en los n u´meros naturales y el ca´lculo simple.“PM” es la coleccio´ n sencilla de representaciones sinta´cticas de la aritme´tica que Go¨ del emplea en sus pruebas. La relacio´ n jera´rquica de los niveles complementarios completos de la Meta-Matema´tica, Matema´tica, y Aritme´tica se muestra en la Figura 9.
Principia Mathematica encarno´ el intento de describir la matema´tica solamente sinta´cticamente. Para demostrar el cara´cter incompleto de la Principia Mathematica en relacio´ n a la matema´tica, Go¨ del trabaj o´ con la relaci o´n ana´loga entre PM y la aritme´tica, demostrando que las declaraciones complementarias (y as´ı integrales) se pueden expresar en la Figura 9. Aritme´ tica, Matema´ tica y la ma´ s abstracta Meta-Matema´ tica como sistemas completos y complementarios—con lados sinta´ cticos y sema´ nticos—en diferentes niveles de abstraccio´ n.
Figura 10. Asignacio´ n de Go¨ del entre Meta-Matema´ tica y Aritme´ tica, con la ayuda de la sintaxis de PM.
Aritme´tica, pero no en PM—que es un sistema incompleto, como Principia Mathematica.
Go¨ del emple o´ su declaracio´ n complementaria en la Meta-Matema´tica, cuya sintaxis es la siguiente: “Esta declaracio´ n es indemostrable”, que incluye partes sinta´cticas y la calidad absoluta sema´ntica de “indemostrable”. Tenga en cuenta que “no-demostrable” se puede ver tanto como un atributo incuestionable y absoluto originando de arriba hacia abajo con la calidad puramente sema´ntica de “indemostrable”, o como una conclusio´ n lo´ gica deducida del razonamiento lo´ gico y exhaustivamente sinta´ctico. G o¨del ten´ıa la tarea de probar que la frase “Esta declaracio´ n es indemostrable” podr´ıa ser asignado a la aritme´tica, pero no a PM. Curiosamente, la asignacio´ n emplea la ayuda de s´ımbolos puramente sinta´cticos de PM para construir un mapa de Go¨ del. En u´ltima instancia, los teoremas de Go¨ del demuestran que la Aritme´tica es un sistema complementario como la Meta-Matema´tica, pero que PM es puramente sinta´ctico. El mapa de Go¨ del se muestra gra´ficamente en la Figura 10.
Declaraci o´n Auto-Referencial G o¨del: “Esta declaracio´ n es indemostrable dentro de PM.”
Para llegar al corazo´ n de la complementariedad de la sintaxis y el significado sema´ntico, Go¨ del demostro´ que un sistema PM lo suficientemente desarrollado podr´ıa hacer la afirmaci o´n: “Esta afirmacio´ n es indemostrable.” Tenga en cuenta que “indemostrable” es un atributo que puede surgir de dos maneras diferentes: 1, la imposibilidad de la prueba se puede determinar con exhaustivos intentos lo´ gicos para demostrar una declaracio´ n, o, 2, la imposibilidad de la Figura 11. Los niveles complementarios muestran los supuestos y el razonamiento de las pruebas de Go¨ del. prueba se puede establecer “desde arriba” como un atributo incuestionable. As´ı “indemostrable” incluye los dos lados de la complementariedad. La frase de Go¨ del incorpora una afirmaci o´n parado´ jica, y ofrece la oportunidad de demostrar las verdades importantes acerca de la complementariedad.
Razonamiento a partir de la Declaraci o´n de Go¨ del sigue dos supuestos: 1. 2.
rrecto,” entonces la declaraci o´n de Go¨ del en su
conjunto tiene el atributo de verdadero, y la
formalizacio´ n PM es incompleta debido a la misma
afirmacio´ n verdadera, pero imposible de demostrar.
En palabras de Kurt Go¨ del: “As´ı que la proposicio´ n
que es indecidible en el sistema de PM resulta ser
decidido por consideraciones de meta-matema´tica”
[
Si la palabra “indemostrable” es incorrecta, entonces la declaracio´ n del Go¨ del en su conjunto tiene el atributo de falso, y por eso PM es incoherente, porque PM expreso´ una declaracio´ n inconsistente. Los enigmas de estos argumentos se resumen en la Figura 11.
Por lo tanto, la conclusi o´n de Go¨ del es que PM es siempre incompleto o inconsistente. “La prueba original era bastante complicada, al igual que un programa largo en lenguaje de ma´quina” [4]. De hecho, la Declaraci o´n de Go¨ del se envuelve dentro de la misma Declaracio´ n de Go¨ del, porque la declaracio´ n en su sintaxis puede ser sustituida por la declaraci o´n del conjunto de Go¨ del—¡la creaci o´n de una regresio´ n potencialmente infinita! Tenga en cuenta que la encapsulacio´ n y la auto-referencia a la totalidad del pliego de Go¨ del indica que PM es capaz de referirse a su propia estructura. Las conclusiones de G o¨del, sin embargo, pueden ser entendidas s o´lo teniendo en cuenta la Declaracio´ n de Go¨ del una vez, como se describi o´ anteriormente.
El Teorema de la Incompletitud de Go¨ del en u´ltima instancia se basa en el hecho de que la Declaracio´ n de Go¨ del es comprensible dentro de la Meta-Matema´tica, ya a trave´s de que el mapa de G o¨del la hace existir en la aritme´tica, pero no es demostrable dentro de PM. La conclusi o´n de Go¨ del sobre la Coherencia, demuestra que la coherencia de PM no es demostrable dentro de PM, es decir, PM no puede probar su consistencia propia. Los Teoremas de Go¨ del prueban que todos los sistemas axioma´ticos para desarrollar la matema´tica, con exclusio´ n de los ma´s sencillos, son incompletos o inconsistentes. Figura 12. Los niveles complementarios en una jerarqu´ıa de sistemas.
Los teoremas de Go¨ del, en u´ltima instancia, comentan
sobre los sistemas que son lo suficientemente poderosos
para describirse a s´ı mismos mediante la auto-referencia.
“Nadie antes de Go¨ del se hab´ıa dado cuenta de que los
dominios que las matema´ticas pueden modelar es el
dominio de las matema´ticas en s´ı.” [
Salirse de la restriccio´ n de la parte l o´gica de la complementariedad sigue siendo un reto de la informa´tica. Uno de los objetivos u´ ltimos en ciencias de la computaci o´n es llegar a meta-programacio´ n mediante a la creaci o´n de un metalenguaje, capaz de auto-referencia, auto-reflexi o´n subjetiva y auto-modificaci o´n. 2.1. Aplicaci o´n a la Ingenier´ıa de Sistemas y Modelos de SysML
Las relaciones entre la meta-matema´tica, la matema´tica y la aritme´tica elucidan relaciones ana´logas entre los sistemas de sistemas, los sistemas y los componentes de sistemas. Un ejemplo se encuentra entre: el lenguaje natural, lenguajes de sistemas como el Idioma de Modelaje de Sistemas (SysML), y el sintaxis esquema´tico, respectivamente. Esto se muestra en la Figura 12.
El lenguaje natural es capaz de expresar conceptos abstractos con significado sema´ntico a trave´s de s´ımbolos sinta´cticos. Idiomas de ingenier´ıa de sistemas, tales como SysML, tambie´n describen los sistemas en abstracto, y tienen lados tanto de la sinta´ctica y sema´ntica, con estrictas limitaciones colocadas en los significados sema´nticos. Tenga en cuenta una analog´ıa con la prueba de Go¨ del: Sistemas de sistemas se pueden asignar a los sistemas con la ayuda de la notacio´ n tipogra´fica disponible en SysML. El rigor de las reglas sinta´cticas SysML imitan las normas de la teor´ıa de tipos de Russell, que no permite la auto-referencia, con referencia so´ lo a los objetos de abajo; en el lado sema´ntico, las relaciones entre los atributos en diferentes niveles de abstraccio´ n forman una jera´rquica de descomposicio´ n de cualidades.
Los lenguajes sinta´cticos de sistemas formalizados y axiomatizados se ven acosados por la debilidad de que no pueden describir la complementariedad inherente en la totalidad de los sistemas. Por ejemplo, para me´todos de axiomatizacio´ n y deduccio´ n, las analog´ıas siguientes a la declaracio´ n del Go¨ del son aplicables: Figura 13. Aplicacio´ n de mapa de Go¨ del a niveles de ingenier´ıa.
1. 2. 1. 2.
de ser descrito en la sintaxis del lenguaje natural. La sintaxis del lenguaje natural es incompleta para formar una descripcio´ n de los sistemas de sistemas, o puede llegar a conclusiones inconsistentes acerca de los sistemas de sistemas.
to con la sintaxis SysML.
SysML es incompleto como una descripcio´ n de los sistemas reales, o pueden llegar a conclusiones inconsistentes acerca de los sistemas reales.
Este proyecto es imposible de manejar porque se expresa en los me´todos de gestio´ n formal.
Los me´todos de gesti o´n formales son incompletos o inconsistentes en la descripcio´ n de los proyectos. Este sistema no es descriptible en te´rminos de requisitos bien formados.
Los requisitos formalizados son incompletos o inconsistentes como una descripcio´ n de un sistema. Esta arquitectura de sistema no es capaz de describir un sistema real (como la Arquitectura Marco del Departamento de Defensa (DoDAF).
DoDAF es incompleto o incoherente como una descripcio´ n de la arquitectura de sistema.
Los procesos reales no se pueden expresar como los flujos de proceso formales.
Los procesos formales son incompletos o inconsistentes.
Curiosamente, a pesar de que la Ingenier´ıa de Sistemas a menudo se ve como un conjunto integral y que sustituye a las disciplinas tradicionales de ingenier´ıa, la analog´ıa de numeracio´ n de Go¨ del indica que la Ingenier´ıa de Sistemas se puede asignar a la ingenier´ıa tradicional. Adema´s, al igual que el mapa de Go¨ del no podr´ıa lograrse sin la sintaxis rigurosa de PM, la asignacio´ n entre la Ingenier´ıa de Sistemas y la ingenier´ıa tradicional so´ lo se puede hacer rigurosa con la ayuda del lenguaje formalizado y tipogra´fico del ana´lisis de ingenier´ıa precisa. Vea la Figura 13.
Del mismo modo, la ciencia de sistemas so´ lo se puede asignar a Ingenier´ıa de Sistemas con la tipograf´ıa bien
La degradacio´ n de un sistema, o descripcio´ n de un sistema, se produce cuando se reduce s o´lo a su dimensio´ n sinta´ctica o sema´ntica. La conciencia de esa degradacio´ n es un indicador l´ıder importante de la comprensio´ n del sistema y, por consiguiente, de la capacidad del sistema. Un ejemplo es la descripcio´ n cualitativa de una onda cuadrada discreta, donde una perfecta descripci o´n con la serie de Fourier requiere una suma infinita de ondas componentes. As´ı como una descripcio´ n cualitativa en realidad nunca puede crear un objeto diferenciado, la lo´ gica no puede describir los atributos cualitativos. La emergencia y la complementariedad tambie´n se relacionan a trave´s de los teoremas de G o¨del. La existencia de un argumento lo´ gico que parece conducir a un atributo cualitativo emergente es dif´ıcil de alcanzar, y, por el contrario, la existencia de un atributo cualitativo no garantiza una explicaci o´n lo´ gica. Por otra parte, un anuncio auto-referencial que la consistencia de un sistema axioma´tico suprimira´ la emergencia indica, a primera vista, que el sistema es inconsistente.
Los teoremas de Go¨ del se expresan de diferentes maneras en las literaturas diferentes, lo que indica que las conclusiones de G o¨del son de cara´cter general y abstracto. En el ana´lisis final, aunque la sintaxis y el significado sema´ntico de las pruebas de Go¨ del ha sido aprobadas y consagradas por el tiempo por las comunidades de los lo´ gicos y matema´ticos, tal vez hay espacio para cuestionar la adaptacio´ n precisa de las anotaciones a los significados sinta´cticos. Tenga en cuenta que cualquier lectura de la prueba consiste en pre-existentes interpretaciones ortodoxas de los significados de cada s´ımbolo, y el uso posterior de tales interpretaciones en el impulso hacia la conclusio´ n final. Cada pedacito de la notacio´ n utilizada por Go¨ del esta´ sujeta a una interpretacio´ n humana que no puede ser estable bajo la re-interpretaci o´n. Una vez que se produce cualquier duda razonable, la forma precisa de la prueba esta´ abierta a modificaciones, y puede conducir a la situacio´ n que las piezas sinta´cticas previamente secas pueden impregnarse con significancia sema´ntica, y del mismo modo las piezas que eran exclusivamente sema´nticas pueden llegar a ser exclusivamente los productos de la lo´ gica.
El pensamiento siste´mico es facilitado por la conciencia de ambos lados de la complementariedad: l o´gicos y cualitativos. Los seres humanos fa´cilmente dan turnos, a veces exclusivamente o extremadamente, desde pensamiento cualitativo a razonamiento lo´ gico, sin ser conscientes de la dicotom´ıa entre los medios de pensamiento. La separacio´ n entre los lados de la sema´ntica y la sinta´ctica de la complementariedad es borrosa, a menos de ser obligada por un observador inflexible.
Figura 14. L´ımites y descomposiciones a la luz de referencia de procedente extr´ınseca o intr´ınseca. formada de SysML, que permite la descripcio´ n precisa de sistemas. Como una advertencia, tenga en cuenta que las afirmaciones en cuanto a los sistemas de ingenier´ıa no son demostrables, sin recurrir a reglas sinta´cticas rigurosas.
Buede [3] habla de la complejidad en te´rminos de los l´ımites del sistema. Beade indica que, si la frontera del sistema puede ser identificada, el sistema puede ser exactamente descompuesto y entendido l o´gicamente. Esto es lo mismo que decir que un sistema puede ser descrito formalmente y axioma´ticamente por un observador externo, pero no por el propio sistema que emplea la auto-referencia. De hecho, una referencia al sistema por el sistema mismo hace incierta la frontera del sistema, permitiendo que la complejidad real entre en la descripcio´ n del sistema, a la ubicaci o´n de la frontera del sistema, y a las descomposiciones previamente incuestionables. Vea la Figura 14.
La auto-referencia necesariamente introduce la complejidad de la complementariedad en las descripciones de sistemas. Las teor´ıas jera´rquicas so´ lo pueden describir adecuadamente a los sistemas bajo condiciones ana´logas a las que mantiene la teor´ıa de tipos de Russell, y tales descripciones son incompletas o inconsistentes.
La eliminacio´ n de la auto-referencia es un primer paso para obligar a que un sistema complejo y complementario sea gobernado por una descripcio´ n axiomatizada; sin embargo, la descripcio´ n sera´ siempre incompleta o inconsistente. Si el sistema es inconsistente, habra´ en el sistema verdades que no se pueden probar. Si el sistema hace referencia a su propia consistencia, entonces se puede probar inconsistente. Un ejemplo se encuentra pertinente a los sistemas de votacio´ n y el Teorema de Imposibilidad [1], que demuestra que un sistema de votacio´ n consistente es incompleto en cuanto a la equidad (un atributo sema´ntico); adema´s, un sistema de votacio´ n que pretende ser coherente puede ser demostrado inconsistente.
Los teoremas de G o¨del indican que la naturaleza en la realidad es complementaria, y que la comprensi o´n de REFERENCIAS sistemas complejos se puede aumentar cuando los sistemas [1] Arrow, K. J. (1950). A Difficulty in the Concept of Social Welfare. se describen con complementariedad recurrente en cada Journal of Political Economy, 58(4), 328–346. nivel de abstracci o´n. Un marco integral y complementario [2] Bahill, A. T., Szidarovszky, F., Botta, R., & Smith, E. D. (2008). Valid de niveles, que consisten en tanto de lados cualitativos como models require defined levels. International Journal of General Systems, cuantitativos, es capaz de conceptualizar la auto-referencia. [3] 3B7u(e5d),e5,5D3.-5M71..(2000). The engineering design of systems: Models and Las asignaciones pueden traducir la descripcio´ n de un sis- methods. New York: John Wiley and Sons, Inc. tema complementario a un nivel adyacente de abstraccio´ n, [4] Chaitin, G. J. ( 2007). Thinking about Go¨del and Turing: Essays on siempre que el nivel adyacente sea complementario y sufi- [5] cDoamvpileesx,itPy., 1(2907007-).20F0o7re.wLoorndd.oInn: WThoinrlkdinSgciaebnotuifitcG.o¨del and Turing: cientemente expresivo. Un mapa riguroso se basara´ en una Essays on Complexity, 1970-2007 (pp. v-xi). Singapore: World Scienrigurosa sintaxis. tific.