RCCS+SPIDTEC2 2017. SMITH 9 Gödel’s Theorems on Conditions of Being Incomplete and Consistent Elucidated with Principles of Abstraction Levels, Complementarity, and Self-Reference (Teoremas de Gödel Sobre Condiciones de Ser Incompleto y Consistente Elucidados con Principios de Niveles de Abstracción, Complementariedad, y Auto-Referencia) Eric David Smith, University of Texas at El Paso, UTEP Abstract—The question “What is a system?” Can be asked and answered in different ways, but it always refers to a total—what we call a system. Although the languages of engineering, design, and modeling describe parts of a system, the practice of systems engineering actually results when there is a reference to the system as a whole via self-reference. Gödel’s theorems, on the conditions that determine if a system is incomplete or inconsistent, elucidate analogous relationships between sentences about systems, actual systems, and formal languages that describe systems. The conceptual structures of complementary levels of abstraction clarify the relationships between natural languages, systems, formal languages and pre-written methods for systems analysis. The objective is to advance the cognitive development of system descriptions. Resumen—La pregunta “Qué es un sistema?” puede ser preguntada y contestada de diferentes ma-neras, pero siempre se refiere a un total—llamado un sistema. Aunque los lenguajes de ingenierı́a, diseño y modelaje describen partes de un sistema, la práctica de ingenierı́a de sistemas de veras resulta cuando hay referencia al sistema en su totalidad vı́a la auto-referencia. Los teoremas de Gödel, sobre las condiciones que determinan si un sistema es incompleto o inconsistente, elucidan relaciones análogas entre: frases sobre sistemas, sistemas actuales, y lenguajes formales que describen sistemas. Las estructuras con-ceptuales de niveles complementarias de abstracción clarifica las relaciones entre: len-guajes naturales, sistemas, lenguajes formales y métodos preescritos para el análisis de sistemas. El objetivo es avanzar el desarrollo cognitivo de descripciones de sistemas. Index Terms—Proof, completeness, consistency, system hierarchy, self-reference, (Demostrabilidad, completez, consistencia, jerarquı́a de sistemas, auto-referencia). F 1. I NTRODUCCI ÓN La emergencia en los sistemas complejos produce pro- mas y aclara las discusiones de ingenierı́a y arquitectura de piedades que no están presentes en las partes que forman el sistemas [12]. Los diagramas de complementariedad mues- sistema [14] . La emergencia es descrita en este artı́culo por tran los atributos cualitativos como distintos, pero coexistes medio de conceptos. con elementos lógicos, como se muestra en la Figura 1. Complementaridad es un principio, dualista que es La complementariedad en la naturaleza da lugar a juego una piedra de toque de complejidad y que se encuen- infinito entre aspectos irreconciliablemente diferentes de tra integrado en la descripción de las matemáticas de la la realidad. Los diagramas de complementación reducen mecánica cuán-tica. Complementariedad describe la rela- los aspectos de los sistemas naturales a una descripción ción entre atributos cualitativos emergentes [13] y elemen- perceptible y distinta por sus dobles caras. tos lógicos de un sistema, en términos de contraste e in- Niveles de abstracción [2] son una construcción princi- conmensurabilidad. Sin embargo, el principio de comple- pal de las descripciones de los sistemas que presentan capas mentariedad se usa naturalmen-te en el lenguaje de los siste- abarcadoras. La Figura 2 muestra niveles de abstracción abarcadores. • RIMES: Instituto de Investigación de Manufactura y de Sistemas Tenga en cuenta que la abstracción que abarca se muestra Departamento de Ingenierı́a Industrial, Manufactura, y de Sistemas en los niveles superiores, pero para ser justos, los numerosos Universidad de Texas en El Paso detalles observables en los niveles inferiores, alternativa- E-mail: ESmith2@UTEP.edu mente, pueden englobar los niveles más abstractos que a la RCCS+SPIDTEC2 2017. SMITH 10 entre niveles adyacentes: A, Lógico/concreto de bajo nivel a elementos que componen la lógica de nivel superior. B, Lógico/concreto en nivel superior a elementos lógicos en nivel inferior Relaciones cualitativas entre niveles adyacentes: C, Integración de atributos cualitativos, combinados en nivel inmediatamente superior. D, los Atributos cualitativos globales proporcionan el contexto (ámbito de aplicación) para la descom- posición de atributos. Complementariedades en el Figura 1. Lados complementarios de un sistema. mismo nivel: E, los Elementos lógicos crean atributos holı́sticos en el mismo nivel. (Ejemplo: La fiabilidad calculada). M, los Atributos cualitativos imbuyen sentido en elementos lógicos al mismo nivel (Ejemplo: La fia- bilidad como cualidad obligatoria de calidad). Relaciones adicionales disponibles: Figura 2. Niveles de abstracción abarcadores. G, la Lógica de nivel inferior contribuye al nivel superior total. H, los Atributos cualitativos de nivel inferior contri- buyen al nivel superior I, la Lógica de nivel superior que abarca toda la escala inferior: J, los Atributos cualitativos de nivel superior que abarcan nivel inferior completo. K, el Nivel completo que influye la lógica del nivel superior. Figura 3. Niveles de los aspectos complementarios en diferentes niveles L, el Nivel completo que influye las cualidades del de abstracción. nivel superior. M, el Nivel plenario que abarca la lógica de nivel inferior. N, el Nivel plenario que abarca los atributos cualita- tivos de nivel inferior. El uso extensivo de este marco teorético no se ha demostrado todavı́a. La lógica matemática, en su propio mundo ideal, podrı́a limitar el número de atributos a sólo dos: Verdadero y Falso, que serı́an atributos absolutos derivados de la lógica, o influenciando la lógica. Tal punto de vista conduce a el tal Credo de los Matemáticos [9]: 1. X es cierto porque hay una prueba de X .—la Con- sistencia del sistema lógico. Figura 4. Efectos de los niveles complementarios. 2. X es cierto, ası́ que hay una prueba de X .—-lo Completo del sistema lógico. vez son más vacı́os. Por otra parte, si los niveles superiores La primera declaración se dirige a la fe de la Consistencia tienen más y mayor detalle, no son abstractos. Los debates del sistema lógico porque un sistema lógico no consistente en este trabajo se ven facilitados por la representación podrı́a contener tanto la prueba y la contraprueba de X . Un de complementariedad a diferentes niveles de abstracción, mando relacionado es: X es falso, entonces no hay prueba como se muestra en la Figura 3. de X . La segunda declaración se dirige a lo Completo de En cualquier nivel particular, el lado de atributos de un un sistema lógico, es decir, el sistema lógico contiene una dual complementario se caracteriza por las cualidades apa- prueba para todos los X cierto (y ninguna prueba de X rentes a ese nivel, mientras que el lado lógico es el conjunto falso). La segunda declaración se puede volver a expresar de elementos concretos y sus interfaces. Las influencias como: X es falso porque no hay ninguna prueba de X . y los efectos que los elementos cualitativos y lógicos de Este alineamiento perfecto y estricto de relaciones bidi- un nivel ejercen en otros elementos cualitativos o lógicos reccionales crean diadas firmemente enlazando la verdad y identificados en otros niveles se esquematiza en la Figura 4. la lógica, como ilustrado en la Figura 5. Los efectos indicados en la Figura 4 pueden ser descri- Históricamente, el esfuerzo por descubrir esta alineación tos de la siguientes maneras: Relaciones concretas/Lógicas perfecta entre la verdad y la presencia de la prueba, igual RCCS+SPIDTEC2 2017. SMITH 11 Figura 6. Lados semánticos y sintácticos de un sistema expresivo. Figura 5. Correspondencia idealizada en la matemática. como entre la falsedad y la falta de prueba, fue conmemora- do en el movimiento para axiomatizar toda la matemática, a partir de la axiomatización de la aritmética. El punto culminante de este movimiento fue la aparición de Principia Mathematica, publicado 1910-1913 como la obra magna de Bertrand Russell y Alfred North Whitehead. Principia Mathematica trató de aplicar esta alineación perfecta entre Figura 7. Auto-Referencia: Términos tipográficos se refiere al ”Sistema 2” desde dentro del Sistema 2. En verdad se refiere a términos globales la verdad y la lógica, con producir axiomas sementales que (cualitativos y lógicos) que sólo tienen sentido dentro del total más alto derivaran todos los teoremas verdaderos, y ningún teorema del Sistema 1. falso [9]. Kurt Gödel (1906-1978), lógico, matemático y filósofo austriaco, en última instancia probó que esa estrecha unión cesidades de los clientes—y la verificación de los requisitos no era posible. El teorema de Gödel utiliza un marco concep- especı́ficos, y originados de lógica. tual del lenguaje matemático, con lados complementarios a La Auto-Referencia sólo puede ocurrir cuando un siste- diferentes niveles de abstracción, como se ilustra. ma de nivel superior comprende un sistema de nivel infe- “La importación absolutamente impactante del teorema rior. La auto-referencia es posible cuando términos sintácti- de Gödel ... es que los cimientos poderosos de las matemáti- cos en un sistema expresivo de menor nivel se refieren cas son, en última instancia, construidos sobre arena, ya que tipográficamente y sintácticamente a términos semánticos el nexo entre la prueba y la verdad es demostrablemente que sólo existen en un sistema expresivo de más alto nivel inestable. El problema que Gödel descubrió es que en la más abstracto que abarca el nivel bajo. Las referencias a ca- matemática, y de hecho en casi todos los sistemas formales lidades integrales desde dentro del sistema de nivel inferior, de razonamiento, las declaraciones pueden ser verdad pero sólo pueden realmente ocurrir con referencias a cualidades indemostrables no sólo no experimentadas, sino imposibles emergentes e integrales que plenamente existen sólo en un de demostrar, ni siquiera en principio” [5]. Una unión apa- nivel superior, como se ilustra en la Figura 7. rentemente fuerte entre los atributos cualitativos y pruebas Algunos ejemplos de auto-referencia dentro de una em- lógicas en la matemática se hace más compleja en función presa de ingenierı́a de sistemas son: 1, Una base de datos de de la presencia de muchas más cualidades, además de requisitos para un programa en la industria que contiene la verdadero y falso—por ejemplo, la fuerza, firmeza, perti- exigencia que: “Este programa estará situado dentro de la nencia, y formación buena. La matemática lógica no puede base de datos.”, y, 2, Un bloque de contexto del “Systems avanzar sin percepciones complejas de una gran cantidad Modeling Language (SysML)” en un diagrama que hace de atributos cualitativos, como conmemorado por Leibniz: referencia al proceso de diseño completo. La auto-referencia se produce a menudo, sin esfuer- “Sans les mathématiques on ne pénètre point au zo, y casi sin dar aviso, en la mente humana, y puede fond de la philosophie. ser fácilmente escrita en los sistemas de documentación Sans la philosophie on ne pénètre point au fond de ingenierı́a. La consciencia de la ocurrencia de la auto- des mathématiques. referencia es vital para la producción de materiales de Sans les deux on ne pénètre au fond de diseño debidamente organizados en sistemas de ingenierı́a. rien.”—Leibniz Por ejemplo, la auto-referencia desapercibida en una des- (Sin las matemáticas no se puede penetrar profun- composición sistémica puede insertar rápidamente y de damente en la filosofı́a. Sin filosofı́a no se puede manera errónea, en niveles más bajos de la descomposición, penetrar profundamente en las matemáticas. Sin elementos del diseño que simplemente no existen en niveles ambos, no se puede penetrar profundamente en inferiores de la descomposición—por ejemplo, atributos de nada.) alto nivel. Estos errores resultan a menudo porque la mente 1686 Discours de Métaphysique [10] humana—aún cuando supuestamente se centra sólo en los Los sistemas expresivos son complementarios y emplean niveles más bajos de descomposición—tiene fácil acceso a lados semánticos y sintácticos. Especı́ficamente, un sistema todo el sistema, y rápidamente genera términos que hacen debe tener la calidad semántica de expresión, y debe ser referencia al total del sistema. lógicamente expresiva en términos sintácticos como se ilus- Las expresiones auto-referenciales implican la integra- tra en la Figura 6. ción de un sistema completo. La ingenierı́a de sistemas se Un paralelo se puede observar con la validación de un jacta de la práctica de la integración de los sistemas y, en sistema—en que el sistema integral satisface todas las ne- consecuencia, la auto-referencia a la totalidad de un sistema RCCS+SPIDTEC2 2017. SMITH 12 es tı́pica en muchas pláticas de ingenierı́a de sistemas. A modo de ejemplo: en los documentos de ingenierı́a se hace referencia a los procesos de ingenierı́a de sistemas que dan forma a sistemas enteros. Por lo tanto, esta cuestión se puede pedir: ¿Cómo se pueden mejorar los esfuerzos de integración por el reconocimiento del concepto y práctica Figura 8. Matemática complementaria frente la sintáctica de Principia de la auto-referencia en los lenguajes naturales, técnicas y Mathematica. teorias de sistemas? La complejidad existe dondequiera que una auto- distinguir nociones semánticas de las nociones sintácticas, petición se presenta. Tenga en cuenta que el concepto de como por supuesto debe” [6]. auto-referencia sólo podı́a accederse en esta sección intro- Esta sección también emplea los conceptos de niveles de ductoria después del desarrollo de dos conceptos que son abstracción y de auto-referencia. “El artı́culo de Gödel es complejos—1, la complementariedad, y 2, los niveles de difı́cil. Cuarenta y seis definiciones preliminares, junto con abstracción que implican la emergencia. varias importantes propuestas preliminares, se tienen que Auto-referencia da lugar a la posibilidad de infinitas dominar antes de que los resultados principales se alcancen. auto-referencias en una serie de bucles. Auto-referencia es, Vamos a tomar un camino mucho más fácil, sin embargo, sin duda, un principio de auto-conciencia. En lugar de una para permitir que el lector vea la vislumbra de la ascensión definición y discusión de auto-conciencia, la descripción de y coronación de la estructura.” [11]. El siguiente es sólo un una máquina universal de Turing, la cual puede observarse resumen gráfico de la prueba rigurosa. y modelarse a sı́ misma, se puede examinar: “Inspirado por la cartografı́a de Gödel de PM [Principia Mathematica] , Principia Mathematica, lógicamente describe una deriva- Alan Turing se dio cuenta de que el umbral crı́tico para este ción tan sintáctica de la matemática, progresando axiomáti- tipo de universalidad computacional viene exactamente en camente y desarrollando derivaciones simbólicas y pura- ese punto donde una máquina es lo suficientemente flexible mente mecánicas, que se convierte en un lugar sin vida, para leer e interpretar correctamente una serie de datos que formalizando divorciadamente de la intuición de los núme- describen su propia estructura. En esta coyuntura crucial, ros reales. Principia Mathematica llegó a ser un palacio una máquina puede, en principio, de manera explı́cita ver “laberı́ntico, sin sentido, mecánico, batido de sı́mbolos, es cómo hace cualquier tarea en particular, paso a paso. Turing decir, carentes de sentido” [9]. La Figura 8 muestra que se dio cuenta de que una máquina que tiene este nivel crı́tico Principia Mathematica es realmente sólo la parte sintáctica de flexibilidad puede imitar a cualquier otra máquina, por de las matemáticas. muy complejo que éste es. ¡La universalidad es lo más lejos Russell y Whitehead veı́an a Principia Mathematica co- que se puede ir!” [9]. mo una descripción de última instancia, completa y coheren- Fractales, ilustraciones vivas de complejidad matemáti- te en todas formas. Gödel probó que Principia Mathematica ca, son generados por la auto-referencia. Por ejemplo, el era incompleta, y siempre serı́a incompleta, sin importar Conjunto de Mandelbrot es generado por la aplicación cuántos más axiomas y reglas de lógica se agregaran. iterativa de un bucle de realimentación matemática: Meta-Matemática: Evidentemente complementaria Con el fin de encarnar la afirmación paradójica necesaria Zn+1 = Zn + C. (1) para sus pruebas, Gödel subió un nivel de abstracción al reino de la Meta-Matemática, donde declaraciones com- Un número complejo, c, se encuentra en el conjunto de plementarias con partes sintácticas y semánticas, son más Mandelbrot si, cuando a partir de Z0 = 0, y la aplicación fáciles de invocar y expresar. Es evidente que la Meta- de la iteración en varias ocasiones, nunca el valor absoluto Matemática se acerca a la expresividad libre del lengua- de Zn supera un cierto número que depende de c. Cuando je natural, y describe la totalidad del universo desde la se enseña gráficamente en un plano complejo, se ve que el perspectiva humana. Si Gödel podrı́a construir una asig- conjunto de Mandelbrot elaborara bordos que no simplifi- nación coherente y reversible entre la Meta-Matemática y can en cualquier ampliación. Esto califica esta frontera como la Matemática, demostrarı́a que la Matemática no sólo es un fractal—una piedra de toque de complejidad. lógica, sino también inefablemente semántica. Su cartografı́a demostrarı́a que las matemáticas son complementarias, aun- que esto no siempre es evidente. Para sus pruebas, era 2. D ESARROLLO : TEOREMAS DE G ÖDEL EXPLICA - suficiente trabajar con la aritmética—que se basa en los DOS números naturales y el cálculo simple.“PM” es la colección Esta sección desarrolla los teoremas de Gödel en térmi- sencilla de representaciones sintácticas de la aritmética que nos de complementariedad. “Para Gödel, la distinción entre Gödel emplea en sus pruebas. La relación jerárquica de los intuiciones y demostración rigurosa siempre fue vı́vidamen- niveles complementarios completos de la Meta-Matemática, te clara. Era la inevitabilidad de esa distinción misma que Matemática, y Aritmética se muestra en la Figura 9. ha sido tan fuertemente sugerida por su famosa prueba” [8]. Principia Mathematica encarnó el intento de describir “El texto de su tesis (1929) demuestra la claridad concisa la matemática solamente sintácticamente. Para demostrar el que se convertirı́a en un sello distintivo de los escritos de carácter incompleto de la Principia Mathematica en relación Gödel. Tras sus observaciones preliminares, Gödel describe a la matemática, Gödel trabajó con la relación análoga los detalles del formalismo empleado y hace precisa la ter- entre PM y la aritmética, demostrando que las declaraciones minologı́a que se utiliza. Dedica una atención especial para complementarias (y ası́ integrales) se pueden expresar en la RCCS+SPIDTEC2 2017. SMITH 13 Figura 11. Los niveles complementarios muestran los supuestos y el razonamiento de las pruebas de Gödel. Figura 9. Aritmética, Matemática y la más abstracta Meta-Matemática prueba se puede establecer “desde arriba” como un atributo como sistemas completos y complementarios—con lados sintácticos y incuestionable. Ası́ “indemostrable” incluye los dos lados semánticos—en diferentes niveles de abstracción. de la complementariedad. La frase de Gödel incorpora una afirmación paradójica, y ofrece la oportunidad de demostrar las verdades importantes acerca de la complementariedad. Razonamiento a partir de la Declaración de Gödel sigue dos supuestos: 1. Si la palabra “indemostrable” tiene el atributo “co- rrecto,” entonces la declaración de Gödel en su conjunto tiene el atributo de verdadero, y la for- malización PM es incompleta debido a la misma afirmación verdadera, pero imposible de demostrar. En palabras de Kurt Gödel: “Ası́ que la proposición Figura 10. Asignación de Gödel entre Meta-Matemática y Aritmética, que es indecidible en el sistema de PM resulta ser con la ayuda de la sintaxis de PM. decidido por consideraciones de meta-matemática” [7]. 2. Si la palabra “indemostrable” es incorrecta, entonces Aritmética, pero no en PM—que es un sistema incompleto, la declaración del Gödel en su conjunto tiene el como Principia Mathematica. atributo de falso, y por eso PM es incoherente, Gödel empleó su declaración complementaria en la porque PM expresó una declaración inconsistente. Meta-Matemática, cuya sintaxis es la siguiente: “Esta de- Los enigmas de estos argumentos se resumen en la claración es indemostrable”, que incluye partes sintácticas Figura 11. y la calidad absoluta semántica de “indemostrable”. Tenga en cuenta que “no-demostrable” se puede ver tanto como Por lo tanto, la conclusión de Gödel es que PM es un atributo incuestionable y absoluto originando de arriba siempre incompleto o inconsistente. “La prueba original era hacia abajo con la calidad puramente semántica de “in- bastante complicada, al igual que un programa largo en demostrable”, o como una conclusión lógica deducida del lenguaje de máquina” [4]. De hecho, la Declaración de Gödel razonamiento lógico y exhaustivamente sintáctico. Gödel se envuelve dentro de la misma Declaración de Gödel, tenı́a la tarea de probar que la frase “Esta declaración es porque la declaración en su sintaxis puede ser sustituida indemostrable” podrı́a ser asignado a la aritmética, pero por la declaración del conjunto de Gödel—¡la creación de no a PM. Curiosamente, la asignación emplea la ayuda de una regresión potencialmente infinita! Tenga en cuenta que sı́mbolos puramente sintácticos de PM para construir un la encapsulación y la auto-referencia a la totalidad del pliego mapa de Gödel. En última instancia, los teoremas de Gödel de Gödel indica que PM es capaz de referirse a su propia demuestran que la Aritmética es un sistema complementa- estructura. Las conclusiones de Gödel, sin embargo, pueden rio como la Meta-Matemática, pero que PM es puramente ser entendidas sólo teniendo en cuenta la Declaración de sintáctico. El mapa de Gödel se muestra gráficamente en la Gödel una vez, como se describió anteriormente. Figura 10. El Teorema de la Incompletitud de Gödel en última Declaración Auto-Referencial Gödel: “Esta declaración instancia se basa en el hecho de que la Declaración de Gödel es indemostrable dentro de PM.” es comprensible dentro de la Meta-Matemática, ya a través Para llegar al corazón de la complementariedad de la de que el mapa de Gödel la hace existir en la aritmética, pero sintaxis y el significado semántico, Gödel demostró que un no es demostrable dentro de PM. La conclusión de Gödel sistema PM lo suficientemente desarrollado podrı́a hacer la sobre la Coherencia, demuestra que la coherencia de PM no afirmación: “Esta afirmación es indemostrable.” Tenga en es demostrable dentro de PM, es decir, PM no puede probar cuenta que “indemostrable” es un atributo que puede surgir su consistencia propia. Los Teoremas de Gödel prueban que de dos maneras diferentes: 1, la imposibilidad de la prueba todos los sistemas axiomáticos para desarrollar la matemáti- se puede determinar con exhaustivos intentos lógicos para ca, con exclusión de los más sencillos, son incompletos o demostrar una declaración, o, 2, la imposibilidad de la inconsistentes. RCCS+SPIDTEC2 2017. SMITH 14 Figura 12. Los niveles complementarios en una jerarquı́a de sistemas. Figura 13. Aplicación de mapa de Gödel a niveles de ingenierı́a. Los teoremas de Gödel, en última instancia, comentan sobre los sistemas que son lo suficientemente poderosos para describirse a sı́ mismos mediante la auto-referencia. 1. Este (complementario) sistema-de-sistemas no pue- “Nadie antes de Gödel se habı́a dado cuenta de que los de ser descrito en la sintaxis del lenguaje natural. dominios que las matemáticas pueden modelar es el domi- 2. La sintaxis del lenguaje natural es incompleta para nio de las matemáticas en sı́.” [9]. Las matemáticas son ası́ formar una descripción de los sistemas de sistemas, capaces de examinarse por sı́ mismas, como una máquina o puede llegar a conclusiones inconsistentes acerca universal de Turing puede, y, a través de traducciones de los sistemas de sistemas. tipográficas, es capaz de simular cualquier cosa. Otros ejemplos son: Salirse de la restricción de la parte lógica de la comple- mentariedad sigue siendo un reto de la informática. Uno de 1. Este sistema (complementario) no puede ser descri- los objetivos últimos en ciencias de la computación es llegar to con la sintaxis SysML. a meta-programación mediante a la creación de un meta- 2. SysML es incompleto como una descripción de los lenguaje, capaz de auto-referencia, auto-reflexión subjetiva sistemas reales, o pueden llegar a conclusiones in- y auto-modificación. consistentes acerca de los sistemas reales. Algunas conclusiones relacionadas incluyen: 2.1. Aplicación a la Ingenierı́a de Sistemas y Modelos de SysML Este proyecto es imposible de manejar porque se expresa en los métodos de gestión formal. Las relaciones entre la meta-matemática, la matemática y Los métodos de gestión formales son incompletos o la aritmética elucidan relaciones análogas entre los sistemas inconsistentes en la descripción de los proyectos. de sistemas, los sistemas y los componentes de sistemas. Un Este sistema no es descriptible en términos de requi- ejemplo se encuentra entre: el lenguaje natural, lenguajes de sitos bien formados. sistemas como el Idioma de Modelaje de Sistemas (SysML), Los requisitos formalizados son incompletos o in- y el sintaxis esquemático, respectivamente. Esto se muestra consistentes como una descripción de un sistema. en la Figura 12. Esta arquitectura de sistema no es capaz de describir El lenguaje natural es capaz de expresar conceptos un sistema real (como la Arquitectura Marco del abstractos con significado semántico a través de sı́mbolos Departamento de Defensa (DoDAF). sintácticos. Idiomas de ingenierı́a de sistemas, tales como DoDAF es incompleto o incoherente como una des- SysML, también describen los sistemas en abstracto, y tie- cripción de la arquitectura de sistema. nen lados tanto de la sintáctica y semántica, con estrictas Los procesos reales no se pueden expresar como los limitaciones colocadas en los significados semánticos. Tenga flujos de proceso formales. en cuenta una analogı́a con la prueba de Gödel: Sistemas Los procesos formales son incompletos o inconsis- de sistemas se pueden asignar a los sistemas con la ayuda tentes. de la notación tipográfica disponible en SysML. El rigor de las reglas sintácticas SysML imitan las normas de la teorı́a Curiosamente, a pesar de que la Ingenierı́a de Sistemas de tipos de Russell, que no permite la auto-referencia, con a menudo se ve como un conjunto integral y que sustituye referencia sólo a los objetos de abajo; en el lado semántico, a las disciplinas tradicionales de ingenierı́a, la analogı́a de las relaciones entre los atributos en diferentes niveles de numeración de Gödel indica que la Ingenierı́a de Sistemas se abstracción forman una jerárquica de descomposición de puede asignar a la ingenierı́a tradicional. Además, al igual cualidades. que el mapa de Gödel no podrı́a lograrse sin la sintaxis Los lenguajes sintácticos de sistemas formalizados y rigurosa de PM, la asignación entre la Ingenierı́a de Sistemas axiomatizados se ven acosados por la debilidad de que y la ingenierı́a tradicional sólo se puede hacer rigurosa con no pueden describir la complementariedad inherente en la la ayuda del lenguaje formalizado y tipográfico del análisis totalidad de los sistemas. Por ejemplo, para métodos de de ingenierı́a precisa. Vea la Figura 13. axiomatización y deducción, las analogı́as siguientes a la Del mismo modo, la ciencia de sistemas sólo se puede declaración del Gödel son aplicables: asignar a Ingenierı́a de Sistemas con la tipografı́a bien RCCS+SPIDTEC2 2017. SMITH 15 La degradación de un sistema, o descripción de un sistema, se produce cuando se reduce sólo a su dimensión sintáctica o semántica. La conciencia de esa degradación es un indicador lı́der importante de la comprensión del sistema y, por consiguiente, de la capacidad del sistema. Un ejemplo es la descripción cualitativa de una onda cuadrada discreta, donde una perfecta descripción con la serie de Fourier requiere una suma infinita de ondas componentes. Ası́ como Figura 14. Lı́mites y descomposiciones a la luz de referencia de proce- una descripción cualitativa en realidad nunca puede crear dente extrı́nseca o intrı́nseca. un objeto diferenciado, la lógica no puede describir los atri- butos cualitativos. La emergencia y la complementariedad formada de SysML, que permite la descripción precisa de también se relacionan a través de los teoremas de Gödel. sistemas. Como una advertencia, tenga en cuenta que las La existencia de un argumento lógico que parece conducir afirmaciones en cuanto a los sistemas de ingenierı́a no son a un atributo cualitativo emergente es difı́cil de alcanzar, demostrables, sin recurrir a reglas sintácticas rigurosas. y, por el contrario, la existencia de un atributo cualitativo Buede [3] habla de la complejidad en términos de los no garantiza una explicación lógica. Por otra parte, un lı́mites del sistema. Beade indica que, si la frontera del siste- anuncio auto-referencial que la consistencia de un sistema ma puede ser identificada, el sistema puede ser exactamente axiomático suprimirá la emergencia indica, a primera vista, descompuesto y entendido lógicamente. Esto es lo mismo que el sistema es inconsistente. que decir que un sistema puede ser descrito formalmente y Los teoremas de Gödel se expresan de diferentes ma- axiomáticamente por un observador externo, pero no por el neras en las literaturas diferentes, lo que indica que las propio sistema que emplea la auto-referencia. De hecho, una conclusiones de Gödel son de carácter general y abstracto. referencia al sistema por el sistema mismo hace incierta la En el análisis final, aunque la sintaxis y el significado frontera del sistema, permitiendo que la complejidad real semántico de las pruebas de Gödel ha sido aprobadas y entre en la descripción del sistema, a la ubicación de la consagradas por el tiempo por las comunidades de los frontera del sistema, y a las descomposiciones previamente lógicos y matemáticos, tal vez hay espacio para cuestionar incuestionables. Vea la Figura 14. la adaptación precisa de las anotaciones a los significados La auto-referencia necesariamente introduce la comple- sintácticos. Tenga en cuenta que cualquier lectura de la jidad de la complementariedad en las descripciones de sis- prueba consiste en pre-existentes interpretaciones ortodoxas temas. Las teorı́as jerárquicas sólo pueden describir adecua- de los significados de cada sı́mbolo, y el uso posterior damente a los sistemas bajo condiciones análogas a las que de tales interpretaciones en el impulso hacia la conclusión mantiene la teorı́a de tipos de Russell, y tales descripciones final. Cada pedacito de la notación utilizada por Gödel está son incompletas o inconsistentes. sujeta a una interpretación humana que no puede ser estable bajo la re-interpretación. Una vez que se produce cualquier duda razonable, la forma precisa de la prueba está abierta 3. C ONCLUSI ÓN a modificaciones, y puede conducir a la situación que las La eliminación de la auto-referencia es un primer paso piezas sintácticas previamente secas pueden impregnarse para obligar a que un sistema complejo y complementa- con significancia semántica, y del mismo modo las piezas rio sea gobernado por una descripción axiomatizada; sin que eran exclusivamente semánticas pueden llegar a ser embargo, la descripción será siempre incompleta o incon- exclusivamente los productos de la lógica. sistente. Si el sistema es inconsistente, habrá en el sistema El pensamiento sistémico es facilitado por la conciencia verdades que no se pueden probar. Si el sistema hace refe- de ambos lados de la complementariedad: lógicos y cua- rencia a su propia consistencia, entonces se puede probar litativos. Los seres humanos fácilmente dan turnos, a ve- inconsistente. Un ejemplo se encuentra pertinente a los ces exclusivamente o extremadamente, desde pensamiento sistemas de votación y el Teorema de Imposibilidad [1], cualitativo a razonamiento lógico, sin ser conscientes de la que demuestra que un sistema de votación consistente es dicotomı́a entre los medios de pensamiento. La separación incompleto en cuanto a la equidad (un atributo semántico); entre los lados de la semántica y la sintáctica de la com- además, un sistema de votación que pretende ser coherente plementariedad es borrosa, a menos de ser obligada por un puede ser demostrado inconsistente. observador inflexible. Los teoremas de Gödel indican que la naturaleza en la realidad es complementaria, y que la comprensión de R EFERENCIAS sistemas complejos se puede aumentar cuando los sistemas [1] Arrow, K. J. (1950). A Difficulty in the Concept of Social Welfare. se describen con complementariedad recurrente en cada Journal of Political Economy, 58(4), 328–346. nivel de abstracción. Un marco integral y complementario [2] Bahill, A. T., Szidarovszky, F., Botta, R., & Smith, E. D. (2008). Valid de niveles, que consisten en tanto de lados cualitativos como models require defined levels. International Journal of General Systems, 37(5), 553-571. cuantitativos, es capaz de conceptualizar la auto-referencia. [3] Buede, D. M. (2000). The engineering design of systems: Models and Las asignaciones pueden traducir la descripción de un sis- methods. New York: John Wiley and Sons, Inc. tema complementario a un nivel adyacente de abstracción, [4] Chaitin, G. J. ( 2007). Thinking about Gödel and Turing: Essays on siempre que el nivel adyacente sea complementario y sufi- complexity, 1970 - 2007. London: World Scientific. [5] Davies, P. (2007). Foreword. In Thinking about Gödel and Turing: cientemente expresivo. Un mapa riguroso se basará en una Essays on Complexity, 1970-2007 (pp. v-xi). Singapore: World Scien- rigurosa sintaxis. tific. RCCS+SPIDTEC2 2017. SMITH 16 [6] Dawson, J. W. J. (1997). Logical dilemmas: The life and work of Kurt Gödel. Wellesley, MA: A. K. Peters. [7] Gödel, K. (1962). On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems (B. Meltzer, Trans.). New York: Basic Books Inc. [8] Goldstein, R. (2005). Incompleteness: The proof and paradox of Kurt Gödel. New York: Atlas Books. [9] Hofstadter, D. (2007). I am a strange loop. New York: Basic Books. [10] Montgomery, G. R. (Ed.). (1962). Discourse on metaphysics. La Salle: Open Court Publishing Co. [11] Nagel, E., & Newman, J. R. (2001). Gödel’s proof. New York: New York University Press. [12] Smith, E. D. (2008). Complementarity in systems architecting. Paper presented at the Conference on systems engineering research (CSER), Los Angeles, CA. [13] Smith, E. D., & Bahill, A. T. (2010). Attribute substitution in systems engineering. Systems Engineering, 13(2). [14] Warfield, J. N. (2002). Understanding complexity: Thought and beha- vior. Palm Harbor, FL: AJAR Publishing Company.