The data obtained for Lake Shira at measurement of the three-dimensional velocity vector along the entire column of liquid were processed using the main component method. The decomposition into modal components allows us to isolate representative modes and give them a physical interpretation.
Ключевые слова: распределение скорости течения по глубине, метод главных компонент, разложение на моды.
Введение. Наличие внутренних волн является неизменным и наименее изученным эффектом, присущим стратифицированным озерам. Для исследования этих эффектов применяются различные методы, включая теоретический анализ аналитических решений и численные расчеты уравнений движения различного уровня.
Целью данного исследования является изучение трехмерной структуры внутренних волн в озере Шира на основе результатов длительных измерений скорости в 2014-2015 годах.
Особенностью течения является то, что оно формируется под действием нескольких различных факторов, среди которых сложившаяся к началу измерений летняя стратификация и переменный ветер. Выделение составляющих течения представляет собой сложную задачу. Для решения этой задачи был использован метод главных компонент.
Этот метод широко применяется при разделении сигналов на составляющие в различных
областях: медицине, электроник, где требуется уменьшение размерности полученных
данных [1], и т.д. Начало применения его для анализа измерений в геогидродинамике положено
работой [
При анализе использовался метод главных компонент в комплексном варианте. Выбор этого варианта был основан на предварительном анализе как действительного, так и комплексного варианта.
Были рассчитаны эмпирические моды и модальные коэффициенты четырех длительных измерений горизонтальной скорости, проведен анализ энергетических свойств и сравнение с динамическими модами, полученными в результате решения системы уравнений для определения характера течения по вертикали в рамках трехслойной стратификации. Аналогичное сравнение было проведено для анализа течения в прибрежной зоне озера Орегон в работе [4].
Описание приборов и эксперимента. В настоящее время для измерения поля скоростей в поперечном сечении потока и расхода воды в реках, озерных и морских водах широко используются акустические допплеровские профилографы течения (Acoustic Doppler Current Profiler, далее – ADCP). ADCP используются при проведении гидрометрических съемок, ведении мониторинга поверхностных вод и в научных исследованиях. Они дают возможность применить новую технологию гидрометрических наблюдений.
Для данной работы натурные измерения проводились с помощью приборов ADCP фирмы R.D. Instruments (в дальнейшем RDI) 600 и 1200 кГц (рис. 1).
Эти модели ADСP имеют четыре ультразвуковых датчика-преобразователя для измерения скорости течения. Датчики размещены на головке прибора под углом 20° к его вертикальной оси, ширина луча 3°, мощность при передаче 35 Вт. Прибор может устанавливаться либо на судне (датчики-преобразователи направлены вниз), либо в стационарном положении на дне потока (датчики направлены вверх). ADCP способны определять трехмерную скорость вдоль столб жидкости разбивается на слои, по каждому из которых измеряется средняя скорость. В зависимости от выбранного размера слоя определяется глубина, на которой прибор начинает измерения и расстояние от дна или поверхности, на котором результаты измерений еще приемлемы. В приборы встроен компас, что дает возможность измерять компоненты течения в земных координатах. Точность компаса ±0,5°. Скорость измеряется в мм/с. Рис. 1. Профилограф ADCP, расположение двух профилографов (ADCP-600 и ADCP-1200) в июне и в июле-августе 2015 г. в озере Шира.
Были проведены четыре длительных измерения: 1. ADCP600, 17/06/2014 – 30/07/2014, 2. ADCP1200, 01/07/2014 – 30/07/2014, 3. ADCP600, 01/07/2015 – 07/08/2015, 4. ADCP1200, 01/07/2015 – 07/08/2015.
Метод главных компонент (эмпирических ортогональных функций). Для выделения общей составляющей горизонтального течения по данным длительных измерений был применен метод главных компонент в комплексном варианте.
В самом кратком изложении комплексный вариант метода главных компонент позволяет где ( = 1, … , )и ( = 1, … , )– переменные по времени и пространству соответственно.
При применении метода главных компонент комплексный вектор горизонтальной скорости записывается в виде ( , ) = ∑ =1 ( ) ( ).
Собственные векторы корреляционной матрицы могут быть названы «комплексными эмпирическими ортогональными модами». Тогда комплексные амплитуды ( ) выража ( ) = ∑ =1
∑ =1 ∗(
∗ ( ) ( , ), ) ( ) =
– символ Кронекера, – собственные значения корреляционной матрицы. Амплитуды двух различных мод не коррелируют друг с другом и собственные значения ( )являются средним значением энергии по времени в разных модах. учета 90% энергии, этот факт подтверждает и рис. 2, где изображена накопленная доля общей энергии.
Мода 1 Мода 2 Мода 3 Мода 4 Мода 5
Мода 6 Измерения 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 ,54 ,10 ,11 , 19 ,19 ,57 ,49 ,12 ,9 4 ,03 ,04 ,03 , 03 ,02 ,02 ,02 , 02 ,01 ,01 ,01 , 01 ,01 ,00 ,01 ,00 , 00 ,00 , 00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 г
г р
р й
й о
о к
к 2 4 8 Во всех измерениях вектор горизонтальной скорости в первой моде по крайней мере один раз меняет направление на противоположное при продвижении по глубине. же угол. При этом сохраняется поворот вектора скорости по часовой стрелке при увеличении глубины, как это бывает в модели Экмана для течения в северном полушарии.
Mode1 90 00..45 60 0.3 0.2 0.1
300 0.2 0.1
300 Рис. 4. Типичный пример спирали Экмана при условиях прилипания (а) и проскальзывания (б) на дне и постоянном коэффициенте вертикального турбулентного обмена. На обоих рисунках пунктирной линией обозначено решение в соответствии с моделью Экмана с условием прилипания на дне. При прочих равных параметрах сплошная линия на рисунке (а) соответствует глубине 20 м, на рисунке (б) – глубине 8 м.
Первая мода дает распределение скорости по глубине аналогично распределению по глубине горизонтальных скоростей дрейфового течения в соответствии с моделью Экмана стационарного движения однородной жидкости при различных условиях на дне (рис. 4).
Тип годографа на рис. 3(б) с этой точки зрения полностью может быть объяснен тем, что измерения проводились на наименьшей для всех измерений глубине 8 м.
Для анализа следующих компонент нарисуем их распределение по глубине. На рис. 5 изображено распределение по глубине первых трех мод для измерения 1. Видно, что с увеличением номера моды увеличивается число перемен знака восточной и северной компонент при продвижении по глубине.
Этот эффект типичен для динамических мод, представляющих собой решение системы уравнений, определяющей внутренние волны в озере, имеющем трехслойную стратификацию.
Анализ первого модального коэффициента (рис. 6) показывает, что первая мода осуществляет в целом вращение против часовой стрелки, хотя имеются и вращения более мелкого масштаба как против часовой стрелки, так и по часовой. -2 -4 -6 -8 -10 -0.005 -0.01 -0.015 -0.02 mode 2 -10 -2 -4 -6 -8 -10 -2 -4 -6 -8 -10 -2 -4 -6 -8 -10
Модальный коэффициент, м/с
Заключение. Применение метода главных компонент позволяет представить течение как сумму конечного числа произведений моды с соответствующем номером на модальный коэффициент. Главная мода представляет собой течение с распределением горизонтальной скорости по глубине, аналогичным спирали Экмана, что соответствует течению однородной жидкости с различными условиями на дне (прилипания, проскальзывания), различными коэффициентами вертикального турбулентного обмена. Следующие моды в силу их структуры могут быть ассоциированы с внутренними волнами.