ANALYSIS OF VERTICAL DISTRIBUTION OF SPEED IN LAKE SHIRA
ON THE BASIS OF DATA PROCESSING OF LONG-TERM
MEASUREMENTS IN SUMMER PERIOD
Lidiya A. Kompaniets1, Olga S. Volodko2, Lyudmila V. Gavrilova3
1
Institute of Computational Modelling SB RAS, Federal Research Center Krasnoyarsk
Science Center of the Siberian Branch of Russian Academy of Sciences,
Krasnoyarsk, Russia
2
Atlantic Branch of Shirshov Institute of Oceanology, Russian Academy of Sciences,
Kaliningrad, Russia
3
Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russia
Abstract
The data obtained for Lake Shira at measurement of the three-dimensional velocity vector along the
entire column of liquid were processed using the main component method. The decomposition into modal
components allows us to isolate representative modes and give them a physical interpretation.
Keywords: distribution of the velocity of flow along the depth, the method of principal components,
decomposition on the modes
АНАЛИЗ ВЕРТИКАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ В ОЗЕРЕ ШИРА НА
ОСНОВЕ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ ДЛИТЕЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ В ЛЕТНИЙ
ПЕРИОД
Компаниец Л.А.(1), Володько О.С.(2), Гаврилова Л.В.(3)
1
Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск
2
Атлантическое отделение Института Океанологии РАН, Калининград
3
Сибирский федеральный университет, Красноярск
Полученные для озера Шира данные измерения трехмерного вектора скорости вдоль всего
столба жидкости обрабатывались с использованием метода главных компонент. Разложение на мо-
дальные компоненты позволяет выделить репрезентативные моды и дать им физическую интерпрета-
цию.
Ключевые слова: распределение скорости течения по глубине, метод главных компонент, разло-
жение на моды.
Введение. Наличие внутренних волн является неизменным и наименее изученным эф-
фектом, присущим стратифицированным озерам. Для исследования этих эффектов применя-
ются различные методы, включая теоретический анализ аналитических решений и численные
расчеты уравнений движения различного уровня.
Целью данного исследования является изучение трехмерной структуры внутренних волн
в озере Шира на основе результатов длительных измерений скорости в 2014-2015 годах.
Особенностью течения является то, что оно формируется под действием нескольких раз-
личных факторов, среди которых сложившаяся к началу измерений летняя стратификация и
переменный ветер. Выделение составляющих течения представляет собой сложную задачу.
Для решения этой задачи был использован метод главных компонент.
Этот метод широко применяется при разделении сигналов на составляющие в различных
областях: медицине, электроник, где требуется уменьшение размерности полученных дан-
ных [1], и т.д. Начало применения его для анализа измерений в геогидродинамике положено
работой [2]. В гидрофизических исследованиях этот метод применялся при исследовании ско-
ростей течений, температуры, ветрового напряжения [3-4].
При анализе использовался метод главных компонент в комплексном варианте. Выбор
этого варианта был основан на предварительном анализе как действительного, так и комплекс-
ного варианта.
Были рассчитаны эмпирические моды и модальные коэффициенты четырех длительных
измерений горизонтальной скорости, проведен анализ энергетических свойств и сравнение с
динамическими модами, полученными в результате решения системы уравнений для опреде-
ления характера течения по вертикали в рамках трехслойной стратификации. Аналогичное
сравнение было проведено для анализа течения в прибрежной зоне озера Орегон в работе [4].
Описание приборов и эксперимента. В настоящее время для измерения поля скоростей
в поперечном сечении потока и расхода воды в реках, озерных и морских водах широко ис-
пользуются акустические допплеровские профилографы течения (Acoustic Doppler Current
Profiler, далее – ADCP). ADCP используются при проведении гидрометрических съемок, ве-
дении мониторинга поверхностных вод и в научных исследованиях. Они дают возможность
применить новую технологию гидрометрических наблюдений.
Для данной работы натурные измерения проводились с помощью приборов ADCP
фирмы R.D. Instruments (в дальнейшем RDI) 600 и 1200 кГц (рис. 1).
Эти модели ADСP имеют четыре ультразвуковых датчика-преобразователя для измере-
ния скорости течения. Датчики размещены на головке прибора под углом 20° к его вертикаль-
ной оси, ширина луча 3°, мощность при передаче 35 Вт. Прибор может устанавливаться либо
на судне (датчики-преобразователи направлены вниз), либо в стационарном положении на дне
потока (датчики направлены вверх). ADCP способны определять трехмерную скорость вдоль
202
всего столба жидкости на глубину до 14 м (ADCP-1200) или до 60 м (ADCP-600). При этом
столб жидкости разбивается на слои, по каждому из которых измеряется средняя скорость. В
зависимости от выбранного размера слоя определяется глубина, на которой прибор начинает
измерения и расстояние от дна или поверхности, на котором результаты измерений еще при-
емлемы. В приборы встроен компас, что дает возможность измерять компоненты течения в
земных координатах. Точность компаса ±0,5°. Скорость измеряется в мм/с.
Рис. 1. Профилограф ADCP, расположение двух профилографов (ADCP-600 и ADCP-1200) в июне и в
июле-августе 2015 г. в озере Шира.
Были проведены четыре длительных измерения:
1. ADCP600, 17/06/2014 – 30/07/2014,
2. ADCP1200, 01/07/2014 – 30/07/2014,
3. ADCP600, 01/07/2015 – 07/08/2015,
4. ADCP1200, 01/07/2015 – 07/08/2015.
Метод главных компонент (эмпирических ортогональных функций). Для выделения
общей составляющей горизонтального течения по данным длительных измерений был приме-
нен метод главных компонент в комплексном варианте.
В самом кратком изложении комплексный вариант метода главных компонент позволяет
оптимально описать поле скоростей течений 𝑤(𝑧, 𝑡) = (𝑢, 𝑣), где 𝑢 – восточная, 𝑣 – северная
компоненты скорости, 𝑍 – соответствующая система координат. В комплексном варианте поле
течений записывается в виде
𝑤(𝑧𝑖 , 𝑡𝑘 ) = 𝑢(𝑧𝑖 , 𝑡𝑘 ) + 𝑖𝑣(𝑧𝑖 , 𝑡𝑘 ),
где 𝑡𝑘 (𝑘 = 1, … , 𝐾) и 𝑧𝑖 (𝑖 = 1, … , 𝑁) – переменные по времени и пространству соответственно.
При применении метода главных компонент комплексный вектор горизонтальной ско-
рости записывается в виде
𝑁
𝑤(𝑧𝑖 , 𝑡𝑘 ) = ∑𝑛=1 𝐸𝑛 (𝑡𝑘 )𝜑𝑛 (𝑧𝑖 ).
Собственные векторы корреляционной матрицы 𝜑𝑛 могут быть названы «комплексными
эмпирическими ортогональными модами». Тогда комплексные амплитуды 𝐸𝑛 (𝑡𝑘 ) выража-
ются следующим образом:
𝑁
𝐸𝑛 (𝑡𝑘 ) = ∑𝑖=1 𝜑𝑛∗ (𝑧𝑖 )𝑤(𝑧𝑖 , 𝑡𝑘 ),
∑𝐾 ∗
𝑘=1 𝐸𝑛 (𝑡𝑘 )𝐸𝑚 (𝑡𝑘 ) = 𝜆𝑛 𝛿𝑛𝑚 ,
где 𝛿𝑛𝑚 – символ Кронекера, 𝜆𝑛 – собственные значения корреляционной матрицы.
Амплитуды двух различных мод не коррелируют друг с другом и собственные значения
𝐸𝑛 (𝑡𝑘 ) являются средним значением энергии по времени в разных модах.
В таблице выписаны характеристики первых шести мод для всех четырех измерений. Из
таблицы видно, что во всех четырех измерениях достаточно первых пяти мод для достижения
учета 90% энергии, этот факт подтверждает и рис. 2, где изображена накопленная доля общей
энергии.
203
Характеристики первых шести мод.
Мода 1 Мода 2 Мода 3 Мода 4 Мода 5 Мода 6
Измерения
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
Собствен-
5,4610–3
1,0410–2
1,0310–2
3,7510–3
4,5210–3
7,8710–3
6,9510–3
2,0310–3
2,4510–3
4,9410–3
3,1210–3
1,6110–3
1,9210–3
3,6410–3
2,6110–3
8,5310–4
8,7410–4
1,9110–3
1,9610–3
5,7010–4
4,9410–4
1,2810–3
9,4610–4
1,110–2
ные значе-
ния 𝜆𝑖
𝑁
𝜆 𝑖 ⁄∑ 𝜆 𝑖
0,362
0,488
0,332
0,383
0,248
0,212
0,237
0,258
0,134
0,115
0,149
0,116
0,107
0,090
0,110
0,097
0,057
0,041
0,058
0,073
0,038
0,023
0,039
0,035
𝑖=1
Накопленная доля от общей энергии
Накопленная доля от общей энергии
1 1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.4 0.5
0.4
0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14
Мода Мода
а б
Накопленная доля от общей энергии
Накопленная доля от общей энергии
1 1.1
0.9 1
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4 0.4
0 5 10 15 20 25 0 2 4 6 8 10 12 14
Мода Мода
в г
Рис. 2. Накопленная доля энергии для измерений
а – измерение 1; б – измерение 2; в – измерение 3; г – измерение 4.
Для определения физического смысла полученного разложения нарисуем годографы
главных компонент (рис. 3).
Моды нормированы таким образом, что на ближайшей к поверхности точке северная
скорость нулевая.
Во всех измерениях вектор горизонтальной скорости в первой моде по крайней мере
один раз меняет направление на противоположное при продвижении по глубине.
Как известно, моды определяются с точностью до комплексной константы, имеющей вид
exp(𝑖𝑎) [2, 3, 4]. Умножение на такую константу означает поворот всей спирали на один и тот
же угол. При этом сохраняется поворот вектора скорости по часовой стрелке при увеличении
глубины, как это бывает в модели Экмана для течения в северном полушарии.
204
Mode 1 Mode 1
90 90 0.4
0.5
120 60 120 60
0.4 0.3
0.3
150 0.2 30
150 30
0.2
0.1
0.1
180 0
180 0
210 330
210 330
240 300
240 300
270
б
270
а
Mode 1 Mode 1
90 0.8
90 0.4
120 60
120 60
0.6
0.3
150 0.4 30
150 0.2 30
0.2
0.1
180 0
180 0
210 330
210 330
240 300
240 300 270
г
270
в
Рис. 3. Годографы первых мод для измерений 2014-2015 г.:
а – измерение 1; б – измерение 2; в – измерение 3; г – измерение 4.
Рис. 4. Типичный пример спирали Экмана при условиях прилипания (а) и проскальзывания (б) на дне
и постоянном коэффициенте вертикального турбулентного обмена. На обоих рисунках пунктирной
линией обозначено решение в соответствии с моделью Экмана с условием прилипания на дне. При
прочих равных параметрах сплошная линия на рисунке (а) соответствует глубине 20 м,
на рисунке (б) – глубине 8 м.
Первая мода дает распределение скорости по глубине аналогично распределению по глу-
бине горизонтальных скоростей дрейфового течения в соответствии с моделью Экмана стаци-
онарного движения однородной жидкости при различных условиях на дне (рис. 4).
Тип годографа на рис. 3(б) с этой точки зрения полностью может быть объяснен тем, что
измерения проводились на наименьшей для всех измерений глубине 8 м.
Для анализа следующих компонент нарисуем их распределение по глубине.
На рис. 5 изображено распределение по глубине первых трех мод для измерения 1.
Видно, что с увеличением номера моды увеличивается число перемен знака восточной и се-
верной компонент при продвижении по глубине.
Этот эффект типичен для динамических мод, представляющих собой решение системы
уравнений, определяющей внутренние волны в озере, имеющем трехслойную стратификацию.
Анализ первого модального коэффициента (рис. 6) показывает, что первая мода осу-
ществляет в целом вращение против часовой стрелки, хотя имеются и вращения более мелкого
масштаба как против часовой стрелки, так и по часовой.
205
U component, mode 1 mode 2 mode 3 V component, mode 1 mode 2 mode 3
0 0 0 0 0 0
-2 -2 -2 -2 -2 -2
-4 -4 -4 -4 -4 -4
-H, m -6 -6 -6 -6 -6 -6
-8 -8 -8 -8 -8 -8
-10 -10 -10 -10 -10 -10
-12 -12 -12 -12 -12 -12
-0.5 0 0.5 -0.5 0 0.5 -0.4 -0.2 0 -0.2 0 0.2 -0.5 0 0.5 -0.5 0 0.5
Рис. 5. Восточная и северная компоненты первых трех мод для измерения 1.
Модальный коэффициент, м/с
0
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
-0.025
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02
Рис. 6. Годограф первого модального коэффициента для измерения 1,
звездочка соответствует первому измерению по времени.
Заключение. Применение метода главных компонент позволяет представить течение
как сумму конечного числа произведений моды с соответствующем номером на модальный
коэффициент. Главная мода представляет собой течение с распределением горизонтальной
скорости по глубине, аналогичным спирали Экмана, что соответствует течению однородной
жидкости с различными условиями на дне (прилипания, проскальзывания), различными коэф-
фициентами вертикального турбулентного обмена. Следующие моды в силу их структуры мо-
гут быть ассоциированы с внутренними волнами.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Gorban A.N., Kegl B., Wunsch D., Zinovyev A.Y. (Eds.), Principal Manifolds for Data Visualisation
and Dimension Reduction, Series: Lecture Notes in Computational Science and Engineering. Springer,
Berlin. Heidelberg. New York, 2007. XXIV. 340 pp.
[2] Lorenz E.N. Empirical orthogonal functions and statistical weather prediction. Tech. Rep. 1, Statistical
Forecasting Project, Department of Meteorology, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge,
MA, 1956. 49 pp.
[3] Kundu P.K., Allen J.S., Smith R.L. Modal decomposition of the velocity field near the Oregon Coast //
Journal of Physical Oceanography. 1975. Vol. 5. P. 683-704.
[4] Kundu P.K., Allen J.S. Some three-dimensional characteristic of low-frequency currents near the Ore-
gon Coast // Journal of Physical Oceanography. 1976. Vol. 6. P. 181-199.
206