Кулябов Д.С.1,2, Геворкян М.Н.1, Демидова А.В.1, Королькова А.В.1, Севастьянов Л.А.1, Котюков М.М.1

-

Введение

We give several examples of stochastic differential equations, used to test the program and evaluate the error of the calculations. We provide the link to the repository with the source code of discussed programs.

Stochastic differential equations; stochastic numerical methods; automatic code generation; Python;

Julia; the template engine.

В статье авторов [ 1 ] описывалась реяалисзтаоцхиастических численных методов типа-КуРтутныге на языке Python [ 2 ] с использованием библиNотuеmкPy и SciPy [ 3 ]. Выбор языка был продиктован удобством программирования и возможностью работать с многомерными массивами как с тензорами (фун tensor_dot и einsum из библиотNеuкmиPy). Однако производительность созданных функций была на низком уровне, и не стол-ьзкао низкого быстродействия язPыyкthаon, сколько -зиаз большого числа вложенных циклов (до семи циклов). В данной статье мы расстмеартнраитвиавенмых альподход к реализации стохастических численных методов, основанный на генерации кода функций.

Данная статья состоит из трех разделов. В первом разделе дается обзор основных источ излагаются сведения из теории стохастических дифференцхиалуьрнаывнений (СДУ) и численных методов для их решения. Во втором разделе приведены стохастические численные схемы для ск СДУ с сильной сходимостью и для систем СДУ с сильной и слабой сходимостью. Наряду с об приводятся несколько таблиц эффкоициентов, которые позволяют реализовать уже конкретный численный метод. Наконец в третьем разделе мотивируется применение генерации кода стохастических численных методов и описываются некоторые детали реализованного нами генерат (на языкPеython с использованием шаблонизатоJрinаja2). Обзор основных источников

Кратко охарактеризуем основные доступные статьи, посвященные стохастическим методам. Особ внимание уделим многостадийным методам. Первым стохастические броуновские процессы д математического моделирования использовал французский математи-кБ. ЛА.. ЖБ.ашелье (-11897406) в 1900 году в работе [ 4 ].

В качестве краткого введения в область стохастических численных методов можно использ обзорную статью А. В. Лукшина и С. Н. ,Свмкиортноорвоай [т5е]зисно изложены подходы к численному решению стохастических уравнений по состоянию на 1990 год. В более новой статье [6] А. Д.В. Филатовой также приведены некоторые численные методы (в том числе и о-дКиунттыметод Рун и методы Г.МиНл.штейна [-79]), а также даны результаты численного эксперимента.

Используемые в данной статье численные схемы в основном были получены А. Росслером, к работе [ 10 ] последовательно изложил теорию стахостических мето-дКоувттыР.унАгевтор рассмиатврает аппроксимацию систем СДУ Ито и Стратоновичав в слабом смысле для скалярного и много процесса Винера. После краткого обзора литературы автор переходит к изложению теории поме деревьев, которая используется для вывода условий порячдакеа дветесрлмуинированных методов Рунге-Кутты [ 11 ] и которая была распространена на случай СДУ. Дальнейшие результаты Ро изложены в статьях [ 12,13 ]. В препринте [ 13 ] продолжена классификация стохастических- методов Кутты со слабой сходимостью онвае оусснловий порядка. Приведено несколько конкретных реализаций и даны результаты численных экспериментов. В другом препринте [ 14 ] приведены таблицы м четвертой стадийности и сильного порядка схо ди=мо2с.т0и.

П.М. Бурраж и К. Бурраж в сери[1и5-1с9т]атеийзучили методы сильного по ря=дк1а.5, а также распространили теорию помеченных деревьев на стохастический случайR.. SВoheсilтiаитьMе. Namjoo [ 20 ] получены три метода с сильной сходи=мо1с.0тьию проведено численное сравнение с методом из книги [ 21 ]. Дальнейшее развитие методы со слабой сходимостью получили в статьях [ 22 ] и [23 [ 24 ] получены два трехстадийных метода слабой сход=им2о.0ст,и а также проведены численные эксперименты.

В виду крайней сложности дальнейшего повышореяндикяа пточности стохастических численных схем, современные работы в основном концентрируются на получении численных схем для ч случаев СДУ. Можно выделить р,апбоствыященные симплектическим стохастическим численным методам Рунг–еКутта [ 2–729 ] и ннеяывм схемам, в частности стохастическим аналогам метода Розенброка [ 30 ].

В качестве монографии, посвященной целиком стохастическим численным методам, следу упомянуть книгу [ 21 ], которая содержит подробную сводку разнообразных численных схем, а список СДУ, которые имеют аналитические решения. Случайный процесс ( ), ≥ 0 называется скалярным • • • { (0)= 0} = 1 иначе говроя, (0)= 0 почти

наверное; ( ) — процесс с независимыми приращениями, то есть независимыми случайными

величинами Обозначение ∆ ~

(0, Δ ) говорит о том, Δчт о— нормально с математическим ожидани е[м∆ ] = = 0 и

дисперсией [Δ ] = 2 = Δ ∆ = ( +1)- ( )∼ (0, +1- ), гд0е ≤ +1 < < , = 0, 1, ⋯ , − 1.

распределенная случайная величина рассмотреть

процесс ( )в случайные аддитивные где пΔо ~ (0, Δ ), ∀ = 0, … , ( )=: ∫ ( , ( )) ( ) ≝ lim ∑ ( +1 + (1 − ) , ( +1)+ (1 − ) ( ))( ( +1)− ( )), где ∈ [ 0,1 ] . ( ) называется стохастическим интегралом. Строгое обоснование существования данного интеграла для широкого класса функций

см. [25, В физике и прдинколйа математике нашли применение глава два интеграл Стратоновича (назван вестчь советского физика Р. Л. Стратоновича) 0.5 = (0.5)= lim ∑ ( →∞

2 +1 + , ( +1)+ ( ))( ( +1)− ( )). случайного

процесса следует сгенерироваптоьслеуджовеательностей и з нормально распределенных учслайных

величин. Стохастические интегралы и СДУ для скалярного процесса Винера −1 =0

→∞ −1 =0 −1 ( )= ( 0)+ ∫ ( , ( ))d + ∫ ( , ( ))d . называевмеыдйущим (driver) процессом Функция: [ 0, ] × ℝ → ℝ называется вектором сноса, а матричнозначная функц и:я[ 0, ] × — матрицей диффузии.

Кроме

т,ого( , ( ))= ( 1( , ( )), … , ( , ( ))) , а То же уравнение можно переписать в индексном ( , ( ))= [ 11( , ) ⋯ 1 ( , )

⋮ 1 ( , ) ⋱ ⋯

] ⋮ ( , ) виде: =1 ( )= ( , ( ))d + ∑

( , ( ))d , +1 схем +1 1 максимальный const. ∀ = 1, … , . же случаях ≠привыразить (ℎ )через приращенияΔ и Δ в представляется возможным, поэтому остается лишь использовать численную аппроксимацию.

конечном виде не (ℎ )=

((Δ )2 − Δ ), 1 2 В книге [ 21 ] приведены следующие формулы

для аппроксимации двукратного ин:теграла Ито Δ Δ − ℎ + (ℎ ), ∀ℎ ∈ (0, 0] выполняется

условие Последовательность сеточных аппроксимирующих функ ц1и, й… сходится вслабом смысле с порядком к решени ю(t) СДУ в момент вре меенсили существует

конста н та> 0 и 0 > 0 такая что | [ ( ( ))] − [ ( )]| ≤ ℎ . где Δ , , — независимые нормально распределенные

многомерные случайные величины: Δ = (Δ 1, Δ 2, … , Δ ) ~ ( × , ℎ, × ), = ( 1, 2, … , ) ~ ( × , × ), = ( 1, 2, … , ) ~ ( × , × ), Слабая и сильная сходимости аппроксимирующей функции ∀ℎ ∈ (0, 0] выполняется

условие Необходимо определить критерий точности

аппроксимации критериев принято выделять два: слабый и сильный [25, ∈ 2( +1)(ℝ, ℝ )— непрерывный дифференцируемый функционал с полиномиальным ростом. матрица обращается в ноль, то условие сильной сходимости равносильно условию сходимо детерминированного случая. ( ( + √2/ℎ Δ ) − ( + √2/ℎ Δ ) ), (ℎ )= ( ( + √2/ℎ Δ )− ( + √2/ℎ Δ )),

вид аппроксимирующих фо р му×л. , Пу×сть— единичная Δ ~ (0, ℎ), ~ (0, ℎ), ~ (0, ℎ), , = 1, … , ; = 1, … , ∞; = 1, … , . Из формул видно, что в конечное

выражение про це ссМаетод имеет Как видно из формул на каждом шаге вычисления следующего значения аппроксимир порядок( , )= (1.0,0.5).

Величин а обозначает случайного п р(о ц)еислсаи обобщенный функционал следует повышать порядок слабой

сходимости. методом для решения как скалярныихй, уртаавкнени систем СДУ, является метод Эйлер–аМаруямы, названный так в честь Гиширо Маруямы (Gisiro

Maruyama), кото распространил классический метод Эйлера для ОДУ на случай СДУ [ 27 ]. Метод легко обобщается многомерного винеровского процесса: Стохастические методы Рунге–Кутты Перейдем к

рассмотрению численных схем, записав

для с конкретным Простейшим набором численным коэффициентов.

стоихчаесстских каждой и

винеровского процесса справедлива следующая численная Рунге–Кутты сильной одсхимости = 1.5 [ 13 ]: 0 = + ∑ =1 0 (

препринте Росслера [ 10 ] для данной схемы приведены две таблицы Бутчера для метода стадийности = 4.

Численную схем,уреализуемую первой таблиц,оебйозначим каSкRK1W1, а вторую SRкKак2W2. Метод SRK1W1 имеет

сильный (3.0,1.5). Еще один метод с сильным

порядо(к , ) = (2.0,1.5), а вид: методSRK2W1 сильный

порядок( , ) = п о ря=дк1о.0мприведен в книге [ 21 ] и его таблица Бутчера име Для системы СДУ Ито с многомерным винеровским процессом можно построить стохастиче численную интегралов схему Метод SRK1Wm имеет сильный порядо(к , ) = (1.0,1.0), а методSRK2Wm сильный порядок методы Ру–нКгеутты слабой сходимости= 2.0 Численные методы со слабой хорошо аппроксимируют характеристики распределения = + ∑ 0 ( + 1ℎ , )+ ∑ ∑( 3 ̂ + 4√ℎ ) (

+ 2ℎ , ̂ ) =1 1 ( ̂ ̂ − √ℎ ̃ ), < , 2 Анализ трудностей реализации стохастических численных методов Рунге-Кутты

Как видно уже из формул, стохастические мето-дКыуттыРунгзеначительно сложнее своих классических аналогов. Кроме громоздкости формул, вмыодженлоить еще следующие факторы, усложняющие реализацию стохастических методов в программном виде, а также их применени численного решения СДУ.

• При выборе конкретного метода надо уч,иктаыквоайть тип сходимости необходимо обеспечить для данной конкреотйн задачи, а также какое из стохастических уравнений необходимо реш — в форме Ито или в форме Стратоновича. Это увеличивает количество алгоритмов, к нужно запрограммировать. • Для методов с сильной сходимостью большей единицы на каждом мшоаге решнеаотбьходи ресурсоемкую задачу по аппроксимации двукратных стохастических интегралов. • В численной схеме присутствуют не только матрицы и векторы, но и тензоры (четыре массивы), с которыми необходимо совершать операцию свертки по нескольким индекса Реализация свертки через суммирование с помощью обычных циклов приводит к существен падению производительности. • Для использования слабых методов необходимо применять метод Монте Карло, пров несколько серий по множеству испытаний в каждой. тТоадк Мкаокнт-еКмарело сходится приблизительно ка1к/√ , где — число испытаний, то для достижения точности х-о3,тя бы 10 необходимо провести минимум6 ис1п0ытаний.

Наиболее существенное падение производительности происходит при реализации универсального алгоритма, то есть такой программы, которая может произвести расчет, используя произвол таблицу коэффициентов. В этом случае приходится использовать большое количество вложенных ц для того чтобы организовать суммирование. Наличие в схемахСДдУля двсоийснтеымх сумм и сложной комбинации индексов в множителях, находящихся под знаком этих сумм, еще более усложняет число вложенных циклов вырастает до шести.

Кроме этих специфических особенностей стохастических численных методов, стоиттакужпоемянуть несколько причин падения производительности, присущих также и классическим схемам, которы стохастическом случае также играют роль. Очевидным способом хранения коэффициентов мето является использование массивов. Однако у явных методов, ыкоторраыссематмриваем, матрица является нижн-едиагональной и хранение ее в виде двумерного массива приводит к тому, что б половина выделенной для массива памяти тратится на хранение нулей.

Если изучить исходные коды популярных подпрограмм, реализаусюсищчиехскикел явные вложенные методы Рунг—е Кутты [ 28 ], то можно обнаружит, что в этих программах для хранения коэффиц метода используется набор именованных констант, а не массивов. Это вызвано также и тем, что со скалярными величинами в бослтьвшеинязыков программирования проводятся быстрее, чем операции с массивами.

При сохранении требования универсальности создаваемого кода и вместе с тем желание уве скорости вычислений и уменьшить расход памяти, привели нас к решению испотлиьчзеосвкаутюь автома генерацию кода по одному шаблону для каждого отдельного метода.

Кроме выигрыша в производительности, автоматическая генерации кода, позволяет добавлять изменять все функции за раз путем редактирования одного лишь шаблона, а не каждой функции. Это позволяет как уменьшить количество ошибок, так и генерировать различные ва функций для разных целей. Краткое описание автоматической генерации кода

В качестве документация языка для созданных написания генератора кода в нашем коллективе используPетyсthяon. языИксходный программ, доступны код по и ссыл https://bitbucket.org/mngev/sde_num_generation. Данный репозиторий содержит моsдtoуcлhьastic, в котором реализован винеровский случайный процесс и численные методы -Ктуиттпыа Рдулняге скалярных и многомерных стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито. Большая кода для этого модуля генерируется набором скриптов из geдnиeрrеaкtтoоr.рииВручную написан класс, реализующий многомерный винеровский процес и методы-МаЭрйуляемрыа.

Для работы генератора кода мы использовали библиотеку для обработки шаблонов Jinja2 [ 29 ]. шаблонизатор te(mplate engine) разрабатывался изначально для генерации HTML страниц, однако обладает очень гибким синтаксисом и может использаокватуьнсияверксальное средство для генерации текстовых файлов любого вида, в том числе и исходных кодов на любых языках программирова Jinja2 мы также использовали библиотеку NumPy для работы с массивами и ускорения вычислен Кроме перечисленных выдшвеух внешних библиотек, был использован стандартныйfraмctоioдnу,ль который позволяет задать коэффициенты метода в виде рациональных дробей, а потом преобразовывать их в вещественный вид с нужным порядком точности, а tyтpаinкgжедлямодуль аннотации типов аргументов функций.

Шаблоны для генерации представляют собой файлы с исходным кодPоyмthonнсао явзысткаевками специальных команд шаблонизатора Jinja2. Информация о коэффициентах методов хранится отдельн структурированном виде в формJSаOтеN. Это позволяет легко добавлять новые методы и изменять старые путем редактирования JSOиN файлов. В настоящее время генерируются методы с коэффициентами, представленными в работах [ 12,13 ] и [ 21 ].

В качестве языка для уже сгенерированных функций испсоалмьзуpеyтthсяon с активным применением библиотекNиumPy, которая позволяет получить приемлемую производительность. Однако генерируемый код легко можно переформатировать так, чтобы он соответствовал синтаксису л другого языка программирования. Мы пландиорруаебмотать программу, для генерации кода на языке Julia (julialang.org). Данный язык был представлен в 2012 году и изначально ориентирован на вычисления. В настоящее время он интенсивно развивается и набирает популярность. На сегодн день актаульной является версия 0Ju.6li.1a.позволяет получить производительность, сравнимCу+ю+ си Fortran, но при этом является динамическим языком с возможностью интерактивной командной (REPL) наподобеи IPython и может интегрироваться в интерактивнеудюу Jupсрyter. Текущая версия библиотеки превосходит описанную авторами в статье [ 1 ]. Применение автогенерации позв избавится от большого количества вложенных циклов, выделения лишней памяти для хранения н коэффициентов, а также значительно упроосткиолд. Тестирование созданных программ

Для тестирования созданных программ мы использовали стохастические численные методы известными аналитическими решениями. Большой список скалярных СДУ с аналитическими решени представлен в книге [ 21 ], а длмяернмонгоого случая мы использовали уравнение-ШБоуллезкаа в форме Ито, представленное в книге [ 36 ]. Для проверки корректности работы генератора, был создан ша генерации формул в формLaаTтeеX, которые затем проверялись на корректность визуально.

В качсетве одномерного уравнения для тестирования методов с сильной сходимостью выбр уравнение логарифмического блуждания (применяется в финансовой математике для моделирован рынков). Оно имеет следующий вид:

( )= ( ) + ( ) ( ), (0)= 0, где W(t) — скалярный процесс Винера, x0 а—начальное значение. Его аналитическое решение выражается через процесс Винера в конечном виде:

( )= 0 exp(( − 0.5 2)+ ( )). Рис. 1 Абсолютная локальная погрешность скалярных стохастических методов с сильной сходимостью При вычислениях будем использовать коэффициентыσ =µ 1= x0и2=, 1. Результаты тестирования погрешности представлены на рисунке 1. АббревиEатMуробйозначен метод Эйл-еМраруямы, коэффициенты тредхругих методов представлены выше в пункте «Стохастические ме–тКоудтыты»Р. унге Шаг дискретизацииh равен 0.001. Результаты согласуются с теоретической оценкой сильной погрешности.

Уравнение Блек-аШоулза в форме Ито имеет следующие вектор сдвигадииффумзаитир:ицы 1 1 0 ( 1, 2)= ( 12 12), ( 1, 2)= [ ],

2 2 2√1 − 2 Значения параметров выберем следующ1 и=еa2 =a 0.1, b1 = b2 = 0.2, ρ = 0.8. Начальные зн1(а0ч)ения: x = x1(0) = 1. Аначлеисткиое решение имеет следующий вид: 1( )= 01 (( 1 − 0.5 12) + 1 1( ))

В данной работе рассмотрены стохастические численные схемы с порядком сходимости выш Показано, что такие дмыето существенно сложнее эквивалентных численных методов для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Выделены их особенности, делающие эффективную программную реализацию таких методов не тривиальной задачей. В заключительной части с обсуждается подход, основанный на автоматической генерации программного кода, который позволя получить эффективную реализацию рассматриваемых методов, давая возможность использовать любу таблицу коэффициентов. Дано краткое описание программы, созданной автсоырламкаи ниа с репозиторий с исходными кодами. Благодарности

Публикация подготовлена при поддержке программы Р-1У0Д0Н» «и5 при РФФИ в рамках научных проектов РФ Ф-0И7- 0№87951,516-07-00556.

финансовой поддержке

References Об авторах: Кулябов Дмитрий Сергеевич, кандидат физик-оматематических наук, доцент, доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей, скРиойссийуниверситет дружбы народов; сотрудник Лаборатории информационных технол,огОибйъединенный институт ядерных исследований, [e-mail] Геворкян Мигран Нельсонович, кандидат физик-оматематических наук, доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей, Российский университет днрауржобдыов, [e-mail] Демидова Анастасия Вячеславовна, кандидат физ и-мкаотематических наук, старший преподаватель кафедры прикладной информатики и теории вероятностей, Российскийтетунидвреуржсибы народов, [e-mail] Королькова Анна Владиславовна, кандидат физ и-мкаотематических наук, доцент, доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей, Российский уентиведррсуижтбы народов, Note on the authors: Kulyabov Dmitry S., candidate of physics and mathematics, associate professor of Department of Applied Probability and Informatics, Peoples’ Friendship University of ;REumsspilaoyee of the Laboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research, [e-mail] Gevorkyan Migran N., candidate of physics and mathematics, associate professor of Department of Applied

Probability and Informatics, Peoples’ Friendship University goefvorRkuysasnia_m,[e-mail] Demidova Anastasiya V., candidate of physics and mathematics, assistant professor of Department of Applied

Probability and Informatics, Peoples’ Friendship University , [e-mail] Korolkova Anna V., candidate of physics and mathematics, associate professor of Department of Applied

Probability and Informatics, Peoples’ Friendship University koofrolRkouvssai_aa,[e-mail] Sevastianov Leonid A., doctor of physics and mathematics, full professor of Department of Applied Probability and Informatics, Peoples’ Friendship University osfevRasutsiasniao, [e-mail] Kotukov Mikhail M., postgraduate student, professor of Department of Applied Probability and Informatics, Peoples’ Friendship UniversoitfyRussia, [e-mail]

References

1. Gevorkyan M. N. , Velieva T. R. , Korolkova A. V. , Kulyabov D.S. , Sevastyanov L.A. Stochastic Runge-Kutta Software Package for Stochastic Differential Equations // Dependability Engineering and Complex Systems . -- Springer International Publishing, 2016 . - - Vol. 470 .--P. 169 - 179 .-- 1606 . 06604

2. Python Reference Manual: Rep. ; Executor: Guido Rossum . - Amsterdam, The Netherlands, The Netherlands: 1995 .

3. Jones Eric , Oliphant Travis, Peterson Pearu et al. SciPy: Open source scientific tools for Python . - 2001 - . - [ Online; accessed 19.01 . 2017 ]. Access mode: http://www.scipy.org/

4. Bachelier L. Théorie de la spéculation // Annales Scientifiques de l' École N-or1m9a0l0e . -SVuoplé . r3i, enuore.1 .7.-P. 21 - 86 .

7. Milstein G.N.Approximate Integration of Stochastic Differential Equations //TheoryProbab.Appl. - 1974 .-no. 19 .-P. 557 - 562 .

8. Milstein G. N. A Method of Second-Order Accuracy Integration of Stochastic Differential Equations // Theory Probab. Appl .- 1979 .- no. 23 . - P. 396 - 401 .

9. Milstein G. N. Weak Approximation of Solutions of Systems of Stochastic Differential Equations // Theory Probab. Appl .- 1986 .- no. 30 .- P. 750 - 766 .

10. Rößler Andreas . Run-Kguetta Methods for the Numerical Solution of Stochastic Differential Equations : Ph .D. thesis / Andreas Rößler ; Technischen Universität Darmsta-dt. Darmstadt , 2003 . - februar.

11. Hairer E. , Nørsett S.P. , Wanner G. Solving Ordinary Differentia-l 2Eeqduitaitoino . n-s BI .erlin : Springer, 2008 .-ISBN: 978 -3- 540 -56670-0 .

12. Debrabant K. , Rößler A . Continuous weak approximation for stochastic differential equations // Journal of Computati Applied Mathematics. - 2008 . - no. 214 . - P. 259 - 273 .

13. Debrabant K. , Rößler A . Classification of Stocha-sKticuttaRMunegtheods for the Weak Approximation of Stochastic Differential Equations / Technische Universität Darmstadt, Fachbereich M-ath2e0m13a . t-ik. Mar .- arXiv: 1303 . 4510v1 .

14. Rößler A. Strong and Weak Approximation Methods for Stochastic Differen-tiaSlomEeqRueactieonnts Developments / Department Mathematik . Schwerpunkt Mathematische Statistik und Stochastische Prozesse . -2010

15. Burrage K. , Burrage P. M. High strong order explicit Runge-Kutta methods for stochastic ordinary differential equations // Appl . Numer. Math. - 1996 . - no. 22 . - P. 81 - 101 .

16. Burrage K. , Burrage P. M. , Belward J. A. A bound on the maximum strong order of stochastic Runge-Kutta methods for stochastic ordinary differential equations . // BIT. - 1997 . - no. 37 . - P. 771 - 780 .

17. Burrage K. , Burrage P. M. General order conditions for stochastic Runge-Kutta methods for both commuting and non-commuting stochastic ordinary differential equation systems // Appl. Numer. Math.- 1998 .-no. 28 .- P. 161 - 177 .

18. Burrage P. M. Runge-Kutta Methods for Stochastic Differential Equations: Ph .D. thesis /P. M. Burrage ; University of Qeensland.- Australia, 1999 .

19. Burrage K. , Burrage P. M. Order conditions of stochastic Runge-Kutta methods by B-series // SIAM J. Numer. Anal . - 2000 .- no. 38 .- P. 1626 - 1646 .

20. Soheili A. R. , Namjoo M. Strong approximation of stochastic differential equations with Runge-Kutta methods // World Journal of Modelling and Simulation. - 2008 . - Vol. 4 , no. 2. - P. 83 - 93 .

21. Kloeden Peter E. , Platen Eckhard . Numerical Solution of Stochastic Differential Equations.- 2 edition .-Berlin Heidelberg New York : Springer, 1995 . - ISBN: 3 - 540 -54062-8

22. Komori Y. , Mitsuri T.Stable ROW-Type Weak Scheme for Stochastic Differential Equations// RIMS Kokyuroku. - 1995 .-no. 932 .- P. 29 - 45 .

23. Mackevičius V . Seco-onrdder weak approximations for stratonovich stochastic differential equations // Lithuanian Mathematical Journal. - 1994 . - Vol. 34 , no. 2. - P. 183 - 200 . - Access mode: http://dx.doi.org/10.1007/BF02333416

24. Tocino A. , Ardanuy R . Runge-Kutta methods for numerical solution of stochastic differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2002 . - No. 138 . - P. 219 - 241 .

25. Øksendal Bernt . Stochastic differential equations. An introduction with -ap6pleicdaition . s -.Berlin Heidelberg New York: Springer, 2003 . - ISBN: 3 - 540 -04758-1

26. Wiktorsson M. Joint characteristic function and simultaneous simulation of iterated Itô integrals for mouwltnipialne independent motions // The Annals of Applied Probability. -2001 . - Vol. 11 , no. 2.-P. 470 - 487 .

27. Maruyama G. Continuous Markov processes and stochastic equations // Rendiconti del Circolo Matematico . - 1955 .-no. 4 . -P. 48 - 90 .

28. Burrage Kevin , Burrage Pamela M. Low rank Runge-Kutta methods, symplecticity and stochastic Hamiltonian problems with additive noise // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2012 . - Vol. 236 , no. 16 . - P. 3920 - 3930 . - Access mode: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042712001240.

29. Ma Qiang, Ding Xiaohua . Stochastic symplectic partitioned Runge-Kutta methods for stochastic Hamiltonian systems with multiplicative noise // Applied Mathematics and Computation. - 2015 . - Vol. 252 , no. Supplement C. - P. 520 - 534 . - Access mode: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300314016993.

30. Stochastic symplectic Runge-Kutta methods for the strong approximation of Hamiltonian systems with additive noise / Weien Zhou , Jingjing Zhang, Jialin Hong, SongheSong// Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2017 . - Vol. 325 , no. Supplement C. - P. 134 - 148 . - Access mode: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042717302285.

31. Amiri Sadegh , Hosseini S. Mohammad. Stochastic Runge-Kutta Rosenbrock type methods for SDE systems // Applied Numerical Mathematics. - 2017 . - Vol. 115 , no. Supplement C. - P. 1 - 15 . - Access mode: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0168927416302355.

32. Булинский А.В. , Ширяев А . Н. Теория случайных -п-р5оцеисзсд-о- . вМ. осква: ФИЗМАТЛИТ , 20 -0 -3I . SBN: 5-9221-0335-0

34. Fortran and Matlab Codes . - Access mode: https://www.unige.ch/~hairer/software.html.

35. Jinja2 official site .-Access mode: http://http://jinja.pocoo.org.

36. Platen Eckhard , Bruti-Liberati Nicola . Numerical Solution of Stochastic Differential Equations with Jumps in Finance . - 2 edition . - Heidelberg Dordrecht London New York : Springer, 2010 .-ISBN: 978 -3- 642 -12057-2 Gevorkyan, M. N. ; Velieva , T. R. ; Korolkova , A. V. ; Kulyabov , D. S. & Sevastyanov , L. A. ( 2016 ), Stocha stic Runge-Kutta Software Package for Stochastic Differential Equations'Dependability Engineering and Complex Systems', Springer International Publishing, , pp. 169 -- 179 .

Rossum , G. ( 1995 ), 'Python Reference Manual', CWI (Centre for Mathematics and Computer Science) , Amsterdam, The Netherlands, The Netherlands.

Jones , E. ; Oliphant , T. ; Peterson , P. & others ( 2001 ), ' SciPy: Open source scientific tools for Python' , [Online; accessed 19.01 . 2017 ].

Bachelier , L. ( 1900 ), 'Théorie de la spéculation', nAtnifniqalueess Sdceie l'École Normale Supérieure 3 ( 17 ), 1986 .

Lukshin A. , V. & Smirnov S. , N. ( 1990 ), ' Chislennye metody reshenija stohasticheskih differencial'nyh uravnenij' , Vychislitel 'nye algoritmy i metody 2 ( 11 ), 108 - 121 .

Ereshko A. , F. & Filatova D. , V. ( 2008 ), ' Analiz javnyh chislennyh metodov reshenija stohasticheskih differencial'nyh uravnenij' , Trudy ISA RAN. Dinamika neodnorodnyh sistem 32(2) , 164 - 173 .

7. Milstein , G. N. ( 1986 ), 'Weak Approximation of Solutions of Systems of Stochastic Differential Equations' , Theory Probab. Appl .( 30 ), 750 -- 766 .

8. Milstein , G. N. ( 1979 ), 'A Method of Second-Order Accuracy Integration of Stochastic Differential Equations' , Theory Probab. Appl .( 23 ), 396 -- 401 .

9. Milstein , G. N. ( 1974 ), 'Approximate Integration of Stochastic Differential Equations' , Theory Probab. Appl .( 19 ), 557 - 562 .

10. Rößsler , A. ( 2003 ), 'R-uKnugttea Methods for the Numerical Solution of Stochastic Differential Equations' , PhD thesis , Technischen Universität Darmstadt.

11. Hairer , E.; rNseøtt, S. P. & G. Wanner ( 2008 ), Solving Ordinary Differential Equations I , Springer, Berlin.

12. Debrabant , K. & Rößsler , A. ( 2013 ), ' Classification of Sto-cKhuatsttaicMeRthuondgse for the Weak Approximation of Stochastic Differential Equations' , Technische Universität Darmstadt, Fachbereich Mathematik, arXiv: 1303 . 4510v1 .

13. Debrabant , K. & Rößsler , A. ( 2008 ), ' Continuous weak approximation for stochastic differential equationtsi'o , naJlournal of Co and Applied Mathematics ( 214 ), 259 -- 273 .

14. Burrage , K. & Burrage , P. M. ( 2000 ), ' Order conditions of stochastic Runge-Kutta methods by B-series' , SIAM J. Numer. Anal.(38) , 1626 -- 1646 .

15. Rößsler , A. ( 2010 ), 'Strong and Weak Approximation Methods for Stochastic Diffe-reSnotmiael ReEcqeunattiDoenvselopments' , Department Mathematik. Schwerpunkt Mathematische Statistik und Stochastische Prozesse.

16. Burrage , K. & Burrage , P. M. ( 1998 ), ' General order conditions for stochastic Runge-Kutta methods for both commuting and noncommuting stochastic ordinary differential equation systems' , Appl. Numer. Math.(28) , 161 -- 177 .

17. Burrage , K. & Burrage , P. M. ( 1996 ), ' High strong order explicit Runge-Kutta methods for stochastic ordinary differential equations' , Appl. Numer. Math.(22) , 81 -- 101 .

18. Burrage , K. ; Burrage , P. M. & Belward , J. A. ( 1997 ), 'A bound on the maximum strong order of stochastic Runge-Kutta methods for stochastic ordinary differential equations .', BIT(37) , 771 - 780 .

19. Burrage , P. M. ( 1999 ), ' Runge-Kutta Methods for Stochastic Differential Equations' , PhD thesis , University of Qeensland.

20. Soheili , A. R. & Namjoo , M. ( 2008 ), ' Strong approximation of stochastic differential equations with Runge-Kutta methods' , World Journal of Modelling and Simulation 4 ( 2 ), 83 -- 93 .

21. Kloeden , P. E. & Platen , E. ( 1995 ), Numerical Solution of Stochastic Differential Equations , Springer, Berlin Heidelberg New York.

22. Komori , Y. & Mitsuri , T. ( 1995 ), 'Stable ROW-Type Weak Scheme for Stochastic Differential Equations' , RIMS Kokyuroku(932) , 29 -- 45 .

23. Mackevičius , V. ( 1994 ), ' Se-coorndder weak approximations for stratonovich stochastic differential equations' , Lithuanian Mathematical Journal 34 ( 2 ), 183 - 200 .

24. Tocino , A. & Ardanuy , R. ( 2002 ), ' Runge-Kutta methods for numerical solution of stochastic differential equations' , Journal of Computational and Applied Mathematics ( 138 ), 219 -- 241 .

25. Øksendal , B. ( 2003 ), Stochastic differential equations . An introduction with applications , Springer, Berlinrk.Heidelberg New

26. Wiktorsson , M. ( 2001 ), ' Joint characteristic function and simultaneous simulation ofgraitlserfaotremd ultIitpôle indteependent Brownian motions' , The Annals of Applied Probability 11 ( 2 ), 470 - 487 .

27. Maruyama G. Continuous Markov processes and stochastic equations // Rendiconti del Circolo Matematico . - 1955 .-no. 4 . -P. 48 - 90 .

28. Burrage Kevin , Burrage Pamela M. Low rank Runge-Kutta methods, symplecticity and stochastic Hamiltonian problems with additive noise // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2012 . - Vol. 236 , no. 16 . - P. 3920 - 3930 . - Access mode: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042712001240.

29. Ma Qiang, Ding Xiaohua . Stochastic symplectic partitioned Runge-Kutta methods for stochastic Hamiltonian systems with multiplicative noise // Applied Mathematics and Computation. - 2015 . - Vol. 252 , no. Supplement C. - P. 520 - 534 . - Access mode: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300314016993.

30. Stochastic symplectic Runge-Kutta methods for the strong approximation of Hamiltonian systems with additive noise / Weien Zhou , Jingjing Zhang, Jialin Hong, SongheSong// Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2017 . - Vol. 325 , no. Supplement C. - P. 134 - 148 . - Access mode: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042717302285.

31. Amiri Sadegh , Hosseini S. Mohammad. Stochastic Runge-Kutta Rosenbrock type methods for SDE systems // Applied Numerical Mathematics. - 2017 . - Vol. 115 , no. Supplement C. - P. 1 - 15 . - Access mode: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0168927416302355.

32. Bulinskij A.V. , Shirjaev A. N. Teorija sluchajnyh processov . --5 izd. -- Moskva: FIZMATLIT , 2003 .-- ISBN: 5-9221-0335-0

33. Kuznecov D. F. Stohasticheskie Differencial'nye Uravnenija: Teorija i Praktika Chislennogo Reshenija . -- 4 izd. -- Sankt-Peterburg: Izdatel'stvo Politehnicheskogo Universiteta , 2010 .

34. Maruyama , G. ( 1955 ), ' Continuous Markov processes and stochastic equations' , Rendiconti del Circolo Matematico (4) , 48 -- 90 .

35. Fortran and Matlab Codes http://jinja.pocoo.org

36. Platen Eckhard , Bruti-Liberati Nicola . Numerical Solution of Stochastic Differential Equations with Jumps in Finance. - 2 edition . - Heidelberg Dordrecht London New York: Springer, 2010 .-ISBN: 978 -3- 642 -12057-2