КРИТЕРИИ ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОГО РЕЖИМА МОДУЛЯ АКТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТРАФИКОМ*

Abstract

В сетях передачи данных может возникать такое негативное явление как глобальная синхронизация. Оно проявляется в виде автоколебаний, захватывающих целый сегмент сети. Как результат наблюдается деградация параметров сети, таких как пропускная способность, латентность и т.д. Причиной этого явления является взаимодействие управляющих элементов в сети (например, модулей активного управления трафиком) и протоколов типа TCP. Для предотвращения данного явления предлагается управлять параметрами управляющих элементов сети (поскольку перспективы радикальной модификации протокола TCP представляются нам несколько иллюзорными). Конкретно мы изучаем модули активного управления трафиком типа RED. Для вычленения основных параметров, от которых может зависеть возникновение автоколебаний, мы предполагали провести линеаризацию модели с последующим её исследованием. Однако стандартная линеаризация приводит к исчезновению автоколебательного режима. Мы предлагаем использовать метод гармонической линеаризации, сохраняющий автоколебательный режим. В работе кратко рассматривается метод гармонический линеаризации. Также мы выделяем основные критерии, которые можно использовать для определения наличия автоколебаний и определения их параметров. Применение метода гармонической линеаризации демонстрируется на примере исследования модуля активного управления трафиком RED. Активное управление трафиком; теория управления; автоколебательный режим.

-

Введение характеристик. системах проводились

с Specifically, we are studying the active traffic control modules of the RED type. To isolate the main parameters on which the occurrence of self-oscillations may depend, we assumed to linearize the model with its subsequent investigation. However, the standard linearization leads to the disappearance of the self-oscillatory regime. We suggest to use the method of harmonic linearization, which preserves the self-oscillatory regime. So the method of harmonic linearization is briefly considered in our paper. We also highlight the main criteria that can be used to determine the presence of self-oscillations and to determine their parameters. The application of the harmonic linearization method is demonstrated with the help of the RED active traffic control module.

Traffic active management; control theory; self-oscillating mode. устойчивый сказывается режим. ( ̂ )= {0, 0 < ̂ ≤ , < ̂ ≤ , 1, ̂ > . Здесь ( ̂ )– функция сброса паке т̂а-, экспоненциально-взвешенное скользящее среден среднего ,

( ). Здесь используются

следующие обозначения:

— средний — среднее

размер значение окна

TCP; размера

очереди; ̂ — экспоненциально-взвешенное — интенсивность обслуживания

очереди; — полное время двойного обо рот=а; +

— количество сессий

TCP; — функция сброса пакетов. Метод гармонической линеаризации

задержек в оборудовани и—); время нахожднеия пакета в очереди; Из ( 3 ) можно записать: Тогда перепишем ( 5 ) с учётом ( 6 ): 1 2

∫ 1 = 0 1 = ∫0 1 2 ≔ ( )= ( )= 0 + ∑ 2 ∞ — время двойного оборота свободной сети (без учёта ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) Критерий Найквиста–Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой систем автоматического

управления Сделаем подстановку

по → ампли-тфуадзоовой характеристике (Nyquist plot) разомкнутой системы. и → → в передаточных функциях.

Незааютщухие синусоидальные характеристики колебания с постоянной

амплитудой определяются прохождением а-фмапзлоивтоуйдно разомкнутой системы через

(т−о1ч, ку0). Характеристическая функция системы будет

иметь вид: Таким образо,м параметры автоколебаний

можно определить из уравнения ( 12 ). Критерий Гурвица Данный критерий ( )∶= 0 + 1 −1 + ⋯ + . Уравнение ( ) = 0 будет характеристическим уравнением системы. Представим его в виде полином .

1 ( )+ ′( )= − ( )

. ( { ( )} = 0, { (

Из коэффициентов характеристического уравнения пострроиедмелиотпель Гурвица Δ по следующему алгоритму: • • • /* /* /* условии 0 > 0.

При Если hurwitzMatrix = zeros ( , ) цикл = 1 до выполнять цикл = 1 до − 1 выполнять если 0 ≤ 0 или ∃ {

The work is partially supported by RFBR grants No’s 15-07-08795 and 16-07-00556. Also the publication was prepared with the support of the “RUDN

Universit-y100P”r.ogram

5 Литература Заключение

Авторами параметров активного позволяющий рассмотрено Благодарности

1476. – P. 580–592. 1602.05333. Floyd S., Jacobson V. Random Early Detection Gateways for Congestion Avoidance // IEEE/ACM Transactions on Networking. –– 1993. –– Vol. 1, no. 4. –– P. 397–413.

314–329. –– arXiv:1011.1669v3. 2. Jacobson V. Congestion Avoidance and Control // ACM SIGCOMM Computer Communication Review. –– 1988. –– Vol. 18, no. 4. –– P.

Kushwaha V., Gupta R. Congestion Control for High-Speed Wired Network: A Systematic Literature Review // Journal of Network and Computer Applications. –– 2014. –– Vol. 45. –– P. 62–78.

Adams R. Active Queue Management: A Survey // IEEE Communications Surveys & Tutorials. –– 2013. –– Vol. 15, no. 3. –– P. 1425– Королькова 16-th International Conference on High Performance Switching and Routing, IEEE HPSR 2015. –– Budapest, Hungary, 2015. –– 10. Misra V., Gong W.-B., Towsley D. Fluid-Based Analysis of a Network of AQM Routers Supporting TCP Flows with an Application to 11. Hollot C. V. V., Misra V., Towsley D., Wei-Bo Gong. On Designing Improved Controllers for AQM Routers Supporting TCP Flows // 12. Hollot C. V. V., Misra V., Towsley D. A Control Theoretic Analysis of RED // Proceedings IEEE INFOCOM 2001. Conference on 13. Korolkova A. V., Kulyabov D. S., Sevastianov L. A. Combinatorial and Operator Approaches to RED Modeling //Mathematical 14. Velieva T. R., Korolkova A. V., Kulyabov D. S. Designing Installations for Verification of the Model of Active Queue Manageme nt Discipline RED in the GNS3 // 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). –– IEEE Computer Society, 2015. –– P. 570–577. –– 1504.02324. 15. Korolkova A. V., Velieva T. R., Abaev P. A., Sevastianov L. A., Kulyabov D. S. Hybrid Simulation Of Active Traffic Management //

Proceedings 30th European Conference on Modelling and Simulation. –– 2016. –– jun. –– P. 685–691. 16. Brockett R. Stochastic Analysis for Fluid Queueing Systems // Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision and Control (Cat.

References Об авторах: Велиева Татьяна Рефатовна, аспирант, ассистент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей, Российский университет дружбы наvрeоlдieоvвa, [e-mail] Зарядов Иван Сергеевич, кандидат физик-оматематических наук, доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей, Рскоиссйий университет дружбы нароФдоедв;еральный исследовательский центр И«нформатика и управлениРеА»Н, [e-mail] Королькова Анна Владиславовна, кандидат физ и-мкаотематических наук, доцент, доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей, Российский университет дружбы народо [e-mail] Кулябов Дмитрий Сергеевич, кандидат физик-оматематических наук, доцент, доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей, кРиойссийунсиверситет дружбы народов; сотрудник Лаборатории информационных технол,огОибйъединенный институтядерных исследований, [e-mail] Note on the authors: Velieva Tatiana R., graduate student, assistant of Department of Applied Probability and Informatics, Peoples’

Friendship University of Russia, [e-mail] Zaryadov Ivan S., candidate of physics and mathematics, associate professor of Department of Applied Probability and Informatics, PeoplFersi’endship University of Russia; Federal Research Center Computer Science and Control of the Russian Academy of Sciences, [e-mail] Korolkova Anna V., candidate of physics and mathematics, associate professor of Department of Applied

Probability and Informatics, Peoples’ Friendship University koofrolRkouvsasi_aa,[e-mail] Kulyabov Dmitry S., candidate of physics and mathematics, associate professor of Department of Applied Probability and Informatics, Peoples’ Friendship University ; EomfplRouyesseiaof the Laboratory of Information Technologies; Joint Institute for Nuclear Research, [e-mail]

References

1. S. Floyd , V. Jacobson , Random Early Detection Gateways for Congestion Avoidance , IEEE/ACM Transactions on Networking 1 ( 4 ) ( 1993 ) 397 - 413 . doi: 10 .1109/90.251892.

2. V. Jacobson , Congestion Avoidance and Control , ACM SIGCOMM Computer Communication Review 18 ( 4 ) (1 988 ) 314 - 329 . arXiv:arXiv: 1011 .1669v3, doi:10.1145/52325.52356.

3. V. Kushwaha , R. Gupta , Congestion Control for High-Speed Wired Network: A Systematic Literature Review , Journal of Network and Computer Applications 45 ( 2014 ) 62 - 78 . doi: 10 .1016/j.jnca. 2014 . 07 .005.

4. R. Adams , Active Queue Management: A Survey, IEEE Communications Surveys & Tutorials 15 ( 3 ) ( 2013 ) 1425 - 1476 . doi: 10 .1109/SURV. 2012 . 082212 .00018.

5. V. Korolkova , D. S. Kulyabov , A. I. Chernoivanov , On the Classification of RED Algorithms , Bulletin of Peoples' Friendship University of Russia. Series “Mathematics. Information Sciences. Physics” (3-)46 .( 2009 ) 34

6. Jenkins , Self-Oscillation, Physics Reports 525 ( 2 ) ( 2013 ) 167 - 222 . arXiv: 1109 .6640, doi:10.1016/j.physrep. 2012 . 10 .007.

7. F. Ren , C. Lin , B. Wei , A Nonlinear Control Theoretic Analysis to TCP-RED System , Computer Networks 49 ( 4 ) ( 2005 ), 580 - 592 . doi: 10 .1016/j.comnet. 2005 . 01 .016.

8. W. Lautenschlaeger , A. Francini , Global Synchronization Protection for Bandwidth Sharing TCP Flows in High-Speed Links , in: Proc. 16-th International Conference on High Performance Switching and Routing , IEEE HPSR 2015 , Budapest, Hungary, 2015 . arXiv: 1602 . 05333 .

9. V. Misra , W.-B. Gong , D. Towsley , Stochastic Differential Equation Modeling and Analysis of TCP-Windowsize Behavior , Proceedings of PERFORMANCE 99.

10. V. Misra , W.-B. Gong , D. Towsley , Fluid-Based Analysis of a Network of AQM Routers Supporting TCP Flows with an Application to RED , ACM SIGCOMM Computer Communication Review 30 ( 4 ) ( 2000 ) 151 - 160 . doi: 10 .1145/347057. 347421.

11. V. V. Hollot , V. Misra , D. Towsley , Wei-Bo Gong , On Designing Improved Controllers for AQM Routers Supporting TCP Flows , in: Proceedings IEEE INFOCOM 2001. Conference on Computer Communications. Twentieth Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communications Society (Cat. No.01CH37213) , Vol. 3 , IEEE, 2001 , pp. 1726 - 1734 . doi: 10 .1109/INFCOM. 2001 . 916670 .

12. V. V. Hollot , V. Misra , D. Towsley , A Control Theoretic Analysis of RED, in: Proceedings IEEE INFOCOM 2001. Conference on Computer Communications. Twentieth Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communications Society (Cat. No.01CH37213) , Vol. 3 , IEEE, 2001 , pp. 1510 - 1519 . doi: 10 .1109/INFCOM. 2001 . 916647 .

13. V. Korolkova , D. S. Kulyabov , L. A. Sevastianov , Combinatorial and Operator Approaches to RED Modeling, Mathematical Modelling and Geometry 3 ( 3 ) ( 2015 ) 1 - 18 .

14. T. R. Velieva , A. V. Korolkova , D. S. Kulyabov , Designing Installations for Verification of the Model of Active Queue Management Discipline RED in the GNS3 , in: 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT) , IEEE Computer Society , 2015 , pp. 570 - 577 . arXiv: 1504 .02324, doi:10.1109/ICUMT. 2014 . 7002164 .

15. V. Korolkova , T. R. Velieva , P. A. Abaev , L. A. Sevastianov , D. S. Kulyabov , Hybrid Simulation Of Active Traffic Management, Proceedings 30th European Conference on Modelling and Simulation ( 2016 ) 685 - 691doi : 10 .7148/2016-0685.

16. R. Brockett , Stochastic Analysis for Fluid Queueing Systems , in: Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision and Control (Cat. No.99CH36304) , Vol. 3 , IEEE, 1999 , pp. 3077 - 3082 . doi: 10 .1109/CDC. 1999 . 831407 .

17. H. Nyquist, Regeneration Theory, Bell System Technical Journal 11 ( 1 ) ( 1932 ) 126 - 147 . doi: 10 .1002/j.1538- 7305 . 1932 . tb02344.x.

18. J. Hsu , A. Meyer, Modern Control Principles and Applications, McGraw-Hill , 1968 .

19. J. Routh , A Treatise on the Stability of a Given State of Motion: Particularly Steady Motion , Macmillan, 1877 .

20. Hurwitz , Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt , Mathematische Annalen 46 ( 2 ) ( 1895 ) 273 - 284 . doi: 10 .1007/BF01446812.

21. R. Gantmacher , The theory of matrices, Chelsea Pub . Co., 1959 .