DEVELOPMENT OF ANALYSIS OF MULTILAYER METHODS FOR SOLVING WAVE
EQUATION WITH SPECIAL INITIAL CONDITIONS computational experiments. Our proposed methods without significant modification can be applied to other boundary value problems for partial differential equations.
Computational methods; wave equation; initial-boundary value problem; finite difference method; multilayer approximate solution. Введение
В статье [1] авторами были впервые предсмтеатволдеыны построения приближённых решений дифференциальных уравнений в виде функций, основанные на классическ-риахзноксотннеычнхо схемах. С тех пор продолжается работа над исследованием подобных многослойных решений и их сво разных типов уравнени2й-4].[ Проводится анализ зависимости точности построенного решения от выбранных базовых схем и выбранного числа слоев.
В настоящей статье рассматривается решение одномерного волнового уравнения, как представит линейного гиперболического дифференциальногуоравнения в частных производных. Уравнение решается на всей пространственной оси с начальным условием на производную в виде гау возможностью распространения на произвольную функцию. Постановка задачи и описание методов Рассмотрим одномерное волнооев уравнение 2 y 2 y t 2 x2 со специальными начальными условиями y(0, x) 0,
(0, x) f (x) . где t R – время, x R – пространственная переменная.
Метод из статей [1, 2, 5] состоит в применении выбстрнаонйной схермаызно на интервале с переменным правым концом. Уравнение (1) рассматривалось как уравнение относительноt переменно в операторном виде где A( y) 2 y реализации методов, являющихся модификацией формул численного урраевшненийя и уравнений первого порядка, задача (1) рассматривалась также в виде системы где вспомогательная функциz(яt, x) удовлетворяет всем необходимым условиям.
Известно [6], что линейными комбинациями сдвигов и растяжений стандартных нейросетевых базисов (сигмоиды, гауссианы и другие) можно приблизить произвольные широкого класса. Поэтому, в данной работе мы рассмотрел-икраенваучюальнзаодачуляд уравнения (1) с условием вида функ функции y t
(0, x) exp( x 2 ) , x R .
Функция (4) является простейшей ради-баалзьинсоной В общем случае начальное условие может быть представлено как y y(0, x) f (x), (0, x) (x) , функцией где начальные условиfя(x), (x) линейными комбинациями сдвигов и растяжений могут
быть y t 2 y t 2 A( y) , y
z, t z
A( y), t t (1) (1a) (2) (3) (4) (РБФ). (4а)
t t Тогда для начального условия вида (4а) общий иявидзадраечшиен(1) будет выглядеть как n n U (t, x) iu(t, ai (x bi )) iv(t, i2 (x i )) .
i1 i1 Для решения задач-(4()2) нами было рассмотрено несколько базовых методов [7, 8]. Рассматривал как методы, применяемые для решения дифференциальных уравнений первог–оразплоирчяндыкае вариации метода Эйлера, тмаектоди Штёрмера для решения задач второго порядка специального вид Всюду далечеисло N означает количество слоев итоговой многослойной аппроксиyма(цt,иxи) , от N y которого, в том
числе, зависит и величhи(нtа) шt/агNа . 1.
Метод Эйлера, который для формулиров-(к4и) (и3м)еет вид: zk1 (t, x) zk (t, x) h(t)
x 2 yk1 (t, x) yk (t, x) h(t) zk (t, x), 2 yk (t, x) , где k 0,..., N 1 . Отметим, что к условию (4) добyа0вл(tя,еxт)ся 0 .
1. Уточненный метод Эйлера для зада-(ч4и): (3) zk1 (t, x) zk1 (t, x) 2h(t)
x 2 yk1 (t, x) yk1 (t, x) 2h(t) zk (t, x), 2 yk (t, x) где k 1,..., N 1 .
Здесь, кроме условия (4) имеют место соотyн0о(шt,еxн)ия 0 , y1 (t, x) h(t) exp( x 2 ) , z0 (t, x) z1 (t, x) exp(x2 ) .
Исправленный метод Эйлера для зада-(ч4и): (3) , Штёрмера для задачи в формулировке (2), (4): yk1 (t, x) 2 yk (t, x) yk1 (t, x) h 2 (t) 2 yk (t, x) , где k 0,..., N 1 . Начлаьные условия совпадают с условиями для классического метода Эйлера. где k 1,..., N 1 . Начальные условиyя0(t, x) 0 , y1 (t, x) h(t) exp( x 2 ) . Модификации, основанные на методе Штёрмера
Вычисления производных по пространственной пенроеймен в итерационных схемах-(8) (5) представляются излишне громоздкими и занимают существенное время всего вычислительного проц Нам представилось естественным заменить вторую производную ее разностной аппроксимацией. качестве отправного был испольнзовмаетод Штермера для задачи в формулировке (2), (4).
Возможности для различных модификаций формулы (8) дает как hв(tы)бвор мшетаогдае Штёрмера, так и 1.
шаг аппроксимации производной. В данной Шаг аппроксимациипроизводной H не зависит работе нами были от шhа(гtа) самого рассмотрены следующие ва метода Штёрмера. У
2. Шаг аппроксимации производнHой h(t) 3. Шаг аппроксимации пирзоводной H h(t) .
. Результаты вычислений
Аппроксимация решения задачи (1) при условии (4) была вычислена по-(8ф)ордмлуялам (5) различного числNа слоев. Для разных значений временной переменной, отt бл0издкоогtо 3 (мы рассматриваем уравнение в безразмерном бвыидлеа), вычислена максимальная ошибка аппроксимации – максимальный модуль ошибки в 1000 равноотстоящих точках относительно аналитического реше y *(t, x) задачи (1: ) emax (t) maxy * (t, x) y(t, x) ; x i 15 /1000, i 1,...,1000.
Таблица 1. Максимальная ошибка в точке t 0.1
N=5 Метод Эйлера emax=0.00172258 Уточненный Эйлер emax=0.00001294 Исправленный Эйлер emax=0.00001304 Штермер emax=0.00001313 Модифицированный emax=0.00001319 Штермер
N=5 Метод Эйлера emax=0.0969773 Уточненный Эйлер emax=0.0071519 Исправленный Эйлер emax=0.0053022 Штермер emax=0.0028264 Модифицированный emax=0.0049492 Штермер
N=5 Метод Эйлера emax=1.32383 Уточненный Эйлер emax=8.39208 Исправленный Эйлер emax=0.87565 Штермер emax=3.11714 Модифицрованный emax=0.03359 Штермер
N=50 emax=0.00001954 emax=5.25045e-7 emax=1.29398e-7 emax=1.31259e-7 emax=1.31919e-7 N=50 emax=0.0075341 emax=0.0001111 emax=0.0000581 emax=0.0000278 emax=0.00004904 N=50 emax=0.0480651 emax=0.0019675 emax=0.00180301 emax=0.0004877 emax=0.0002578 Как видно тиазблиц, при малых временах и достаточном количестве слоев можно использоват классический метод Эйлера. Наилучший результат среди представленных методов дают мето модифицированный методы Штермера, показывая сходные с уточненным и исправленниым метод Эйлера ошибки на малых временах. На больших временах хорошие результаты показ модифицированный метод Штермера.
Проиллюстрируем некоторые результаты графиками. Рассмотрим с=лу2ча0й.
0.6 0.4 0.00030 0.00025 0.00020 0.00015 0.00010 0.00005 4 2 а)
2 4 2 2 4 4 2 2 4 а) б) Рис.4 Графики разности точного решения и приближённого решения, построенного по методу Штёрмера а) при = 1, б) при = 3 Метод Штермера является самым эффективным методоманнодйля заддачи. При невысокой трудоемкости, сравнимой с уточненным методом Эйлера, он дает и схожие, и при высоких врем точные, результаты по сравнению с исправленным методом Эйлера.
Ошибка для n 20, t 1
Ошибка для n 20, t 3 Данная статья показывает, что методы, представленные в работах [1, 2] могут быть приме только к обыкновенным дифференциальным уравнени-я4м], он[2 и к уравнениям в частных производных (также [5]). Особенностью и преимуществом данного метода по сравнению с классич методами численного решения, является нахождение приближенного решения в виде единой функ не таблицы чисел или ку-нсеопчрнеорывной аппроксимации. Следствием такого подхода является удобство дальнейшего анализа задачи в зависимости от параметров, уточнения мод экспериментальными данными и т.д. Lazovskaya T., Tarkhov D. Multilayer neural network models based on grid methods, IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 158 (2016) http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-899X/158/1/01206 Vasilyev Alexander, Tarkhov Dmitry, Shemyakina Tatyana APPROXIMATE ANALYTICAL SOLUTIONS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS// Selected Papers of the XI International Scientific-Practical Conference Modern Information Technologies and ITEducation (SITITO 2016) Moscow, Russia, November 25-26, 2016 р.393-400 http://ceur-ws.org/Vol-1761/paper50.pdf Vasilyev Alexander, Tarkhov Dmitry, Bolgov Ivan, Kaverzneva Tatyana, Kolesova Svetlana, Lazovskaya Tatyana, Lukinskiy Evgeniy, Petrov Alexey, Filkin Vladimir MULTILAYER NEURAL NETWORK MODELs BASED ON EXPERIMENTAL DATA FOR PROCESSES OF SAMPLE DEFORMATION AND DESTRUCTION// Selected Papers of the First International Scientific Conference Convergent Cognitive Information Technologies (Convergent 2016) Moscow, Russia, November 25-26, 2016 р.6-14 http://ceur-ws.org/Vol1763/paper01.pdf Tarkhov Dmitry, Shershneva Ekaterina APPROXIMATE ANALYTICAL SOLUTIONS OF MATHIEU’S EQUATIONS BASED ON CLAS NUMERICAL METHODS// Selected Papers of the XI International Scientific-Practical Conference Modern Information Technologies and IT-Education (SITITO 2016) Moscow, Russia, November 25-26, 2016 р.356-362 http://ceur-ws.org/Vol-1761/paper46.pdf Lazovskaya Tatiana, Tarkhov Dmitry, Vasilyev Alexander Multi-Layer Solution of Heat Equation// Advances in Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive Research, Studies in Computational Intelligence 736, Springer International Publishing, 2018 p.1722.
Haykin S. Neural Networks: A Comprehensive Foundation, Prentice Hall., 1999, 823 p. Вержбицкий В.М. Основы численных ме–тоМд.о: в. Высшая школа, 2–080428. с.
Hairer E., Norsett S. P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, Springer-Verlag, Berlin, 1987. xiv + 480 pp.