Севостьянов Р.А., Шаяхметова Л.В.

Abstract

В статье описывается задача стабилизации обратного маятника на вращающейся платформе в верхнем положении равновесия по линейной модели при небольших отклонениях. При работе с реальными устройствами неизбежно возникает проблема наличия запаздывания в канале управления, которое при определенных значениях приводит к потере устойчивости замкнутой системы. Предлагается решение задачи на основе метода непрерывного размещения корней характеристического полинома замкнутой линейной системы. Основной сложностью задачи стабилизации систем с запаздыванием является бесконечное число собственных чисел. Описываемый метод заключается в переходе от рассмотрения бесконечномерной системы в целом к перемещению только конечного числа крайних правых собственных чисел в левую открытую полуплоскость за счет внесения небольших изменений в вектор коэффициентов обратной связи. Изменения рассчитываются на основе нахождения чувствительностей собственных чисел по отношению к вариациям вектора коэффициентов обратной связи (по сути, вычисляются частные производные). Основное преимущество метода заключается в простоте реализации синтезированной обратной связи на бортовых контроллерах объекта управления. Приводятся результаты компьютерного моделирования, демонстрируется эффективность работы описанного метода при конкретном значении запаздывания. Теория управления; обратная связь; линейные системы; запаздывание.

-

STABILIZATION OF THE INVERTED PENDULUM CONSIDERING DELAY

Обратные маятники являются важным клнаесслоимнейных динамических систем в современной теории управления. С одной стороны, движение таких маятников является приближенной мод ходьбы человека. С другой стороны, динамика обратного маятника похожа на динамику раке взлете и посадке. На пыохдобмноделях можно проводить предварительные исследования, ставить эксперименты и отрабатывать различные законы управления.

Говоря об экспериментах с реальными устро,йнстелваьмзяи не упомянуть проблему запаздывания управляющего сигнала. Все реальные сисвтемтыой или иной мере подвержены задержкам. Источники задержек могут быть различным-ип.ервВыох, физические сигналы не могут передаваться мгно-венно. Во вторых, у каждого датчика существует период снятия п-откраезтаьниихй,. сВистема управления может осуществлять сложные вычисления, которые могут занимать существенное время. Наконец, управле может передаваться через компьютерную сеть. Все это может оказывать влияние на объект упр приводя к ухудшению качества управления, вплоть до потери иу.стойчивост

Существуют различные методы решения проблемы задержек. Большинство из них подразумев разработку динамических регуляторов. Например, управление с предск1аз]анииелми [назначение конечного спектра 2]. [ Динамические регуляторы могут быть достатожчноы свло реализации, а прогнозы состояния на длительный промежуток времени могут быть довольно неточными.

В данной работе для стабилизации с учетом запаздывания используется метод синтеза регул постоянными коэффициентами, предложенный в работе то[3д]. яМвлеяется обобщением метода модального синтеза [4] на случай линейных систем с запаздыванием по управлению. Непрерывное размещение корней

Рассмотрим линейную систему где x(t)  Rn – вектор

состоянияu,(t)  R – управление,   0 – запаздывание. Предположим, что при   0 система ( 1 ) стабилизирована при помощи обратной связи вида

Собственные числа матрицыA  BK лежат в левой характеристический полином системы – (21) приобретает вид открытой

полуплоскости.  П0ри x(t)  Ax(t)  Bu(t  ), A Rnn, B  Rn1 , u(t)  Kx(t), K  R1n .

H ( )  det(I  A  BKe ) и имеет бесконечно много корней. При оэттоормые неикз них могут оказаться в правой открытой полуплоскости, и система – (21) потеряет устойчивость.

Метод непрерывного размещения корней основан на непрерывной зависимости собственн значений системы (–1)( 2 ) от коэффициентKов и на перемещении ечкноонго числа крайних правых собственных значений в левую открытую полуплоскость путем внесения небольших изменени матрицу K . Алгоритм перемещения корней состоит из следующих этапов: 1) Фиксируем m  1 . 2) Высчитываем m крайних правых собственных значений системы. 3) Высчитываем частные производныеi ,i  1, m, j  1, n , гдеk j – коэффициенты вектораK . В k j работе [3] предлагается искать производные путем решения линейной системы

dvi     iI  A  BKei (I  BKei )vi kvij   BviT e je i  dnT  , 0 0    i    k j  где vi – собственный вектор, соответствующий

собственномучензинюа  i , n(vi)  aT vi  0, a Cn – нормализующее условиеe, j – j-й единичный

вектор. Однако, как показывает практика, матрица в ле части системы ( 4 ) получается довольно часто оказывается неточным. В связи близкой к сингулярной, поэтому с этимй встатдьаенноиспользуется

численное решение с другой подход, более ei  ji сложный в плане вычислений, но более тоiчный: k j dH

. 5) Перемещаем m крайних правых собственных значений полуплоскости путем внесения небольших измененеикйторвK :в

K  ((Sm))dm , где () – псевдообращение Мура– Пенроуза, () – вещественная часть комплексного числаdm, – желаемое изменение собственных значений.

6) Проверяем неконтролируемые крайние правые собственные числа, при необходимости увеличиваем m . Алгоритм заканчивареатботу, если достигнута устойчивость, либо если число степеней свободы закона управления не позволяет умеsнuьpш(и(ть)) . Иначе возвращаемся к пункту 2. Стабилизация обратного маятника

Нелинейная модель обратного маятника на вращающемся основании (риасв. ле1н)н,аяпревдстработе [5], имеет вид в направлении левой открытой  J0  m1L20  m1l12 sin 2   m1L0l1 cos    m1L0l1 cos J1  m1l12   C0  m1L20  Kt Kb  12 m1l12 sin 2 m1L0l1 sin   2 m1l12 sin 2    1   Ra     1     2 m1l12 sin 2 C1  ( 5 )  0   Kt Ku     m1gl1 sin     Ra u,

 0  свободного зве нl1а, 0.1572 м – длина где m1  0.0319 кг – масса момент

инерции L0  0.137 м – длина свободного

звеCн1а, 0.000158 кг·м2/с – коэффициент вращающегося звенJа0,  0.008591 кг·м2 – момент ниерции трения свободного

звена, вращающегося звена, C0  0.006408 кг·м2/с – коэффициент трения свободного звеgна,9.8 м/с2 – ускорение свободного падения. Kb  0.0707 , Kt  0.0706 , Ku  0.0636 , Ra  0.9 – различные вращающего основание. параметры

электромотора, свободного звенJа1, 0.000217 кг·м2 – Рис. 1. Обратный маятник на вращающемся основании Линеаризация моделив отклонениях от верхнего положения свободного звена с учетом запаздыва в канале управления дает систему x(t)  Ax(t)  Bu(t  ), 1.3708 3.8513  0.0124 0.5721 A   0 0 1 , B   0  ,  0.9368 51.5163  0.1656  0.391  где x  (, ,) – состояние маятника.

При   0 система (6) является полностью управляемой, стноойчинвеоуй: sup(( ))  7.066 . Синтезируем регулятор с постоянными коэффициенKтам[и3.2879 211.4081 29.2452] и замкнем систему (6). В этом сsлuуpч(ае( ))  1.4852 . При отклонении свободного звена на 1 градус от верхн положения синтезированный регулятор, примененный к компьютерной модели нелинейной, системы реализованной в систеMмAеTLAB-Simulink, действительно стабилизирует систему, возвращая маятник в верхнее положение равновесия (рис. 2). Построим зависимость собственных чисел замкнутой систе величины запаздывания (рис. 3). Видно, что  0.п1р1и5 одно изсобственных значений (в действительности, комплексно сопряженная пара собственных чисел) переходит в праву положительную полуплоскость, и система теряет устойчивость.

Рис. 2. Динамика движения свободного звена при отклонении на 1 градус от верхнего положения,   0 ,

K  [3.2879 211.4081 29.2452] Рис. 3. Зависимость собственных значений системы от величины запаздывания, K  [3.2879 211.4081 29.2452] Примем   0.12 . Крайние правые собственные значения для этого случая представлены на р sup(( ))  0.3811 , система неустойчива. Введем запаздывание в компьютерную модель нелинейн системы. Динамика свободного звена при отклонении на 1 продемонстрирована на рис. 5. Действительно, устойчивость отсутствует. градус от верхнего пол Рис. 5. Динамика движения свободного звена,   0.12 , K  [3.2879 211.4081 29.2452] Применим алгоритм непрерывного размещения корней (рис. 6). На первых итерациях двигаем крайнюю комплексно сопряженную пару. К третьей итерации третий корень подходит к границе открытой полуплоскости, с этого момента учитываемлгоергиотмев, аувеличивая числmо. Уже на четвертой итерации система обретает устойчивость, однако можно двигать собственные числа дальше, добиваясь большей степени устойчивости. После пятнадцатой итерации изменения собствен чисел практически не замеатлнгыо,ритм сходится. В итоге алгоритм приsвuоpд(ит( )к) -0.2138, при этом K  [3.5817 207.696 33.4825] . Изменения коэффициентов векторKа в процессе работы алгоритма представлены на рис. 7.

Таким образом, при помощи алгоритма всего за относительно небольшое число итераций был регулятор, тсабилизирующий обратный маятник при запаздывании в 120 мс. Применим получен регулятор к компьютерной нелинейной модели с запаздыванием. Динамика движения свободного при отклонении на 1 градус от верхнего положения в этом случае поНкаесзманоатряна нарис. 8. заметные колебания (работа алгоритма привела к относительно большим мнимым частям кра правых корней), маятник стабилизируется, система устойчива. Рис. 6. Изменения собственных значений в процессе работы алгоритма Рис. 7. Изменения коэффициентов вектора K в процессе работы алгоритма

В статье продемонстрирована эффективность метода непрерывного размещения собственных значений. Несмотря на относительную сложность предваритреласьчнеытхов для работы алгоритма перемещения, получаемый регулятор является законом управления по состоянию с постоянн коэффициентами и очень прост в реализации на реальных устройствах. В качестве недостатков можно привести чувствительность к еинзимюен величины запаздывания и параметров системы.

References

ифаксуилсьттемета государственный кафедры теории Сан-Пкеттербургский Note on the authors: Sevostyanov Ruslan А., postgraduate of the computer applications and systems department, faculty of the applied mathematics and control processes, Saint-Petersburg State University, [e-mail] Shayakhmetova Lilia V., postgraduate of the control theory department, faculty of the applied mathematics and control processes, Saint-Petersburg State University, [e-mail]

References

1. Krstic M. Delay Compensation for Nonlinear, Adaptive, and PDE Systems . Boston: Birkhauser, 2009 . 466 p.

2. Manitius A. , Olbrot A . Finite spectrum assignment problem for systems with delays // IEEE Transactions on Automatic Control . 1979 . 24 ( 4 ). P. 541 - 553 .

3. Michiels W. , Engelborghs K. , Vansevenant P. , Roose D. Continuous pole placement for delay equations // Automatica. 2002 . 38 ( 5 ). P. 747 - 761 .

5. Chye T.K. , Sang T.C. Rotary Inverted Pendulum . Technical Report . School of Electrical and Electronic Engineering Nanyang Technological University, 1999 . 155 p.

1. Krstic M. Delay Compensation for Nonlinear, Adaptive, and PDE Systems . Boston: Birkhauser, 2009 . 466 p.

2. Manitius A. , Olbrot A . Finite spectrum assignment problem for systems with delays // IEEE Transactions on Automatic Control . 1979 . 24 ( 4 ). P. 541 - 553 .

3. Michiels W. , Engelborghs K. , Vansevenant P. , Roose D. Continuous pole placement for delay equations // Automatica. 2002 . 38 ( 5 ). P. 747 - 761 .

4. Veremey E.I. Lineyniye systemy s obratnoy svyazyu . SPb: Lan , 2013 . 447 S.

5. Chye T.K. , Sang T.C. Rotary Inverted Pendulum . Technical Report . School of Electrical and Electronic Engineering Nanyang Technological University, 1999 . 155 p.