Санкт-Петербургский государственный университетС,ангк.т-Петербург, Россия

Abstract

Исследованиям в области синтеза робастных законов управления уделяется существенное внимание в современной теории управления. Это определяется особой практической значимостью рассматриваемых здесь вопросов и необходимостью создания новых эффективных методов и алгоритмов робастного управления, базирующихся на современных возможностях цифровой вычислительной техники. Основной целью синтеза робастных законов управления является обеспечение некоторых желаемых робастных свойств замкнутой системы, таких как устойчивость и качество процессов управления, при всевозможных вариациях модели объекта в заданных допустимых пределах. В работе рассматриваются вопросы построения робастных законов управления для системы магнитной левитации. Эта система имеет неточную математическую модель в связи с существенно нелинейной динамикой и сложностью математического описания магнитного поля. Предлагаются два оптимизационных подхода к синтезу законов управления. Первый из них базируется на использовании прогнозирующих моделей, а второй является модификацией линейно-квадратичного оптимального синтеза с добавлением дополнительного частотного ограничения. Приводятся соответствующие вычислительные алгоритмы, обеспечивающие реализацию законов управления в режиме реального времени. Выполняется сравнение этих алгоритмов на тестовых примерах управления системой магнитной левитации.

-

Sotnikova M.V., Gilyazova Yu.A., Selitskaya E.A. ROBUST OPTIMAL CONTROL ALGORITHMS FOR MAGNETIC LEVITATION PLANT Robust control design is one of the main branches of research activity in modern control theory. This is determined by special practical importance of the issues discussed here and the necessity to create new effective methods and algorithms for robust control design based on modern capabilities of digital computers.

The main goal of robust control design is to provide some desired robust properties of the closed loop system, such as stability and quality of control processes, while the mathematical model can vary within given admissible limits.

In the paper the problem of robust control design for magnetic levitation plant is considered. This system has an inaccurate mathematical model, because it has essentially nonlinear dynamics and very difficult approximate description of the magnetic field. Введение

Two different optimization approaches for control design are proposed. The first of them is based on the use of predictive models and the second one is the modification of a linear-quadratic synthesis, where additional constraints in the frequency domain are introduced. The corresponding computational algorithms for real-time implementation of a control laws are given. These algorithms are compared by illustrative examples of magnetic levitation system control.

Control algorithms; robust control; optimization; magnetic levitation; predictive model; real-time implementation. Здесь x1  x  xb – расстояние от элекотмрагнита до шарика, причем начало системы коOоxрyдинат расположено на поверхности электромагнита, Oаx ноаспьравлена вертикально вниxз3; I – сила тока катушки электромагнитаu,  V – напряжение, подаваемое на катушRк–у,сопротивление катушкиL, – ее индуктивнотсь, M – масса шарикаg, – гравитационная постояннаяK,m – магнитная постоянная. Управляющим воздействием является напряжеuн,иеа контролируемой перемен–нсомйещение шарика xb . Дополним систему ( 1 ) уравнениями измерений: x1  x2, x2  2g xb0 x1  2Ig x3, x3   L x3  L u ,

R 1 0 ( 3 ) Качество процессов управления будем определять заданным на движениях замкнутой сист)емы (3 следующим квадратичным функционалом, а также уравнения дилзмяерений: y1  y1  y10, y2  y2  y20 . Будем считать, что уравнения ( 3 ) представляют собой номинальную линейную модель объекта управления.

Для примера подставим в уравнения ( 3 ) физические параметры конкретногоQuaуnсsтeрrойства MAGLEV [6]: L =0.4125 H, R =11 ОмK,m =6.5308Е-005 Нм2 / A2 , M =0.068 кг. Рассмотрим положение равновесия системы для смещения шxаbр0ика0.006 м и найдём соответствующие собственные числа матрицы разомкнутой системы (31): 57.18 , 2  57.18 , 3  26.67 . Одно из них является положительным, что свидетельствует о неустойчивости нулевого положевнеисяия.равно На основе системы ( 3 ) запишем уравненияв tfм-фодоерлмие от вхоuдак выходуy   y1 y2 T : где Pn ( p) – передаточная матрица номинальной модеpл–и,оператор диффернецирования. Ограничим область неопределенности номинальных моделей ( 3 ) и ( 4 ), варьируя значение кaо2э1ффициента непрерывной модели ( 3 ) в пред2е0л%ахот номинального значенaи20я1  2g xb0 , то есть будем считать, что a21 [0.8a201,1.2a201] . Данное предположение основано на том, что епнриии ипзомлеонжения равновесия шарика, а также с учетом неточностей описания магнитного поля, линейные мод отличаются главным образом значением коэффицaи2е1н.та

Цель управления состоит в том, чтобы стабилизировать положение шарика в заданьной точке, обеспечить выполнение равенства: y  Pn ( p)u , tlim x1(t)  0 .

 J (u )   (xTQx  ru 2 )dt .

0 Здесь x  (x1 x2 x3)T – вектор состояния системы Q( 3 ),– положительно полуопределенная весовая матрица, r а 0 – заданное вещественное число.

Ставится задача синтеза закона упра в,леонбиеяспечивающего достижение цели управления ( 5 ) для объекта, представленного уравнениями ( 3 ), с минимизацией заданного функционала качества ( учётом неточности задания математической модели объекта. При этом неточность модели определ отмеченной ывше возможностью вариации коэффициеaн2т1а модели ( 3 ) в заданных допустимых пределах. Аналогично формулируется задача синтеза для дискретной модели объекта и квадрати функционала.

Далее в статье рассматриваются два различных подхода к решенинюой пзоасдтаачвил.енПервый из них основан на использовании прогнозирующих моделей, а второй является модифика-цией лин квадратичного синтеза с введением дополнительного частотного ограничения. Синтез робастных законов управления с использованием прогнозирующих моделей

В основе предлагаемого подхода лежит идеология управления с MпoрdоeгlнPоrзeоdмictiv(e Control, MPC), представленная, например, в работах [7], [8].

Для пояснения основной идеи подхода введем линейную прогнозирующую представляя ее следующей системой разностных уравнений модель общего xˆi 1  Axˆi Buˆi, i  k  j, j  0,1,2,..., xˆk  ~xk, yˆi  Cxˆi. Здесь xˆ  En , uˆ  Em и yˆ  El – векторы

состояния, управления и измерения соответсAтв,еBннио, C – постоянные матрицы соответствующих размерностей. Прогнозирующая модель чн(о7) обы формируется на основе имеющейся линейной математической модели объекта управления и позв приближенно спрогнозировать его динамику на определенный конечный интервал времени впе называемый горизонтом прогноза. Заметим, что начальные услопвриоягноздилряующей модели совпадают с текущим состоян~xиеkмобъекта, достигнутом kн-аом такте его функционирования.

Будем считать, что целью управления является стабилизация нулевого положения равнове замкнутой системы. Для характеристики качества опвроцсетсасбилизации введем квадратичный функционал, рассматриваемый на горизонте проPгн:оза

P Jk  Jk ({xˆ},{uˆ})  xˆ[k  j]T Rk j xˆ[k  j] uˆ[k  j 1]TQk juˆ[k  j 1] .

j1 ( 7 ) ( 8 ) (9) где u  (uˆ[k],uˆ[k 1],...,uˆ[k  P 1])T  E mP – вспомогательный последовательность векторов управления матрицами A, B,C прогнозирующей модели вектор, обозначающий программную на нготреизопрогноза; матриHцаи векторf определяются

и весовыми матриRцаkмjи и Qk j функционала ( 8 );   E mP – допустимое множество, образованное системой ограничений на контролируемые и управляющие переменные.

Известная классическая мсхае реализации управления с прогнозом состоит из следующих действий: 1) Осуществляется измерение вект~yо[рk]а и восстанавливается текущее состоя~xн[иk]е объекта с помощью асимптотического наблюдателя.

2) Решается задача квадратичного программирования (9) ндолзяируюпрщоегй модели ( 7 ) с начальным условиемxˆ[k]  ~x[k] .

3) Из найденной в результате Здесь Rk j и Qk j – положительно определенные симметрические матрицы для любого дискретного момента j 1,...,P .

Нетрудно показать, что задача минимизацкиционафлуан ( 8 ) сводится к задаче квадратичного программирования [8] следующего вида

Jk (u)  uTHu  2f Tu  g  min , uEmP Заметим, что при отсутстовгираиничений задача (9) имеет аналитическое решение [8]: Здесь матрица K не зависит от номера такта прогнозирующей модели ( 7 ) и весовых матриц и однозначно вычисляется для заданных ма функциоОнданлаако,( 8 )в. соответствии со стратегией управления с прогнозом, из последовательнuˆо*с[тkи],uˆ*[k 1],...,uˆ*[k  P 1] используется только первый элемент на следующем kтак1т.е Этот элемент определяется как u  u*  Kxˆ[k] . uˆ*[k]  Kxˆ[k] , (10) (11) (12) где K – первые m строк матрицыK . Поскольку матриKцане зависит от номерата, таеке достаточно вычислить один раз вне контура управления, что в данном случае значительно упрощает его ре Важно отметить, что качество процессов управления замMкPнCу-троейгулятором системы существенно зависит от точности прогноза, а сьлнедоо,ваотел адекватности представления прогнозирующей моделью реальной динамики системы. В некоторой степени неточность мод компенсируется пересчетом оптимального программного управления на горизонте прогноза для кажд такта, то есть адаптацией к фкаокмтуичессостоянию объекта и текущим условиям функционирования. Тем не менее, качество процессов управления может быть улучшено, если в процессе опти учитывать неопределенность математической модели объекта.

Будем считать, что часть коэффициентов матремицатической модели ( 7 ) задана неточно и принадлежит некоторому диапазону. Модифицируем приведенную выше схему управления с прогноз Для этого введем следующий функционал

Jk (u)  θmaxEs uTH(θ)u  2f (θ)T u  g , где θ Es – вектор, в который объединены все коэффициенты AмиатBрицмодели неточно, а – допустимое множество вариации указанных коэффициентов. При ( 7 ), заданные этом множество определяется как декартово произведение диапазонов допустимых вариаций для каждого коэффициентов в отдельности. Отметим, что значение функционала (12) для фиксированн программного управленияu равно наибольшему значению квадратичной функции при всевозможных вариациях параметровθ в пределах допустимого множества, то есть соответствуеитхудншаей возможной ситуации.

Теперь, вместо оптимизационную прогноза:

задачи квадратичного программирования задачу о поиске робастного оптимального (9) будем программного рассматривать следующу управления на горизо uminEmP Jk (u)  uminEmP θmaxEs uTH(θ)u  2f (θ)T u  g(θ) . (13) В соответствии с идеологией решаться достаточно быстро в вычислительных ресурсов вместо решения. Предлагаемый алгоритм такте функционирования системы: 1) в качестве начального

прогнозирующего режиме реального точного ее решения состоит из следующих управления задача оптимизации (13) дол времени. В связи с этим с целью сформируем алгоритмиблпиожиеснкнаогопр

действий, которые выполняются на ка приближuе0ниняа текущем тактkе принимается оптимальное программное управление, найденное рнедаыдпущем такте;

2) вместо допустимого множестварассматривается данному множеству, и вычисляется значение конечная сетка, узлы

которой принадлежат функцJиkо(нuа0л)апо формуле (12).

При этом вместо решения задачи максимизации осуществляется перебор коонечниослга вариантов, среди выбирается тот, для которого квадратичная функция принимает наибольшее значение; 3) наi -ой итерации вычисляется следующее приближuеiн1инеа основе предыдущей тоuчiкив которых соответствии с выбранным методом нелинейного проргорваамнмияи; отметим, что для правило, требуется вычислить значение целевой функции еще в нескольких точках; 4) вычисляется значение минимизируемого функциоJнkа(uлiа1) в точкеui1 , номер итерации этого, как увеличивается на единицу и осуществляется переход к; пункту 3 5) вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет выполнен один из критериев численного метода оптимизации.

Рассмотрим применение изложенного подхода к управлению системой было отмечено ранее, неточность матемаотийчесмкодели ( 3 ) определяется a21  a2m1in , a2m1ax  на N равных частей, так чaт2о1  a2m1ax  a2m1in . В результате получим конечную сетку с

N фиксированным шагомa21 . Вычислимзначение функционалаJ k (u) для заданного программного управления u . Для эотогв каждом узле построенной сетки найдем значение квадратичной функци выберем максимальное из них по парaа2м1.етрДуалее, используя один из известных численных методов безусловной оптимизации, определим такой вuек* т,орпри котором дгоасеттися минимум фкуцнионала J k (u) .

В качестве итоге, запишем алгоритм формирования робастного оптимального управления на о MPC-подхода. Алгоритм состоит из следующих действий.

1. Задать начальный векuт0о.р 2. Вычислить значение функционJаkл(аu0 ) , используя конечный переборостнраоенпной сетке. 3. Наi -ой итерации вычислить следующее приближuеiн1иена соответствии с выбранным методом безусловной оптимизации.

4. Вычислить значение минимизируемого функциоJнkа(лuаi1) в увеличить на едиицну и перейти к пункту 3.

5. Продолжать вычисления до тех пор, пока численного метода оптимизации. Синтез робастных законов управления на основе частотного подхода основе

предыдущей тоuчiкив точкеui1 , номер

итерации не будет выполнен один из критериев Рассмотрим вопрос построения робастного заукпорнаавления на основе частотного подхода и линейно-квадратичной оптимизации.

Для начала запишем линейную математическую модель магнитной левитации в матричной фор Здесь An , Bn и Cn – матрицы номинальной модели ( 3 ). Так как состояния, сформируем асимптотический наблюдатель следующего вида измеряется неполный вект где z  E3 – вектор состояиня наблюдателя, Gа – матрица коэффициентов, которая выбирается из условия гурвицевости характеристического полинома наблюдателя. В ,чэатсотномсотжиет быть сделано с использованием модального синтеза.

Далее, выполним синтез лин-екйвнаодратичного регуляотра L(QR-регулятора) для модели (15) и функционала ( 6 ). В результате получим базовый стабилизирующий закон uупрKаxвл.енОитяметим, что его практическая реализация осуществляется с использованием выхода асимптотическо наблюдателя, то есть в соответсртвавиеинстсвом

Применим преобразование Лапласа к системе (16) при значение z . В результате получим нулевых начальных условиях и в x  Anx  Bnu , y  Cnx. z  Anz  Bnu  G(y  Cnz) , u  Kz . (17) ( 4 ), представляющему математическую модель

магнитной левитацииtf-фворме, и запишем его в следующем виде: Тогда, подставив (18) и (19) в уравнение (17) и, разрешив егuо, оптонлоусчиитмельно y1  Pn1(s)u, y2  Pn2(s)u .

u  K(s)y1, (18) (19) (20) (21) где K (s) 

KF21(s) 1 KF1(s)  KF22 (s)Pn2 (s) что динамический регулятор (16), (17) может быть представлен в эквивалентной форме (20).

Рассмотрим вопрос робастной устойчивости, то есть построения предельно допустимых гра изменения модеил объекта, которые не приводят к потере устойчивости замкнутой регулятором системы. Для этого воспользуемся частотным подходом, подробно изложенным в работе [1]. Согла достаточным условием сохранения устойчивости является выполнение слендеурюавщеенгсотва: . Ткаим образом, в результате проведенных преобразований показано, 0 ( j)  P1( j)  Pn1( j) 

Pn1( j)

1 T ( j) ,   , , где P1(s) – передаточная функция возмущенного объеPкnт1а(s,) – номинальная передаточная функция, 0 (s) – относительное возмущение модели, а передаточная фTу(нsк)циKя(s)(1 Pn (s)K(s))1 Pn (s). При этом отношение1 T( j) в правой тчиас рассматриваемого неравенства задает частотную границу робастной устойчивости, которая определяет характеристики (АЧХ)A()  P1( j) возмущённой допустимый "коридор" модели объекта. Если вариации а-чмапслтиотундонйо фунAк(ци)янаходится в пределах указанного частотгно "коридора", то гарантируется сохранение устойчивости замкнутой системы с возмущенной моделью объекта для ре(г2у0л)я.тора

Важно отметить, что ширину частотного "коридора" можно варьировать с помощью измен коэффициентов весовой матрицQы и числа r в функционале ( 6 ), а также полюсов асимптотического наблюдателя (16), которые выбираются с учётом того, что вариации АЧХ возмущённой модели должны лежать в пределах границ робастной устойчивости.

В итоге, сформируем следующий алгоритм синтезнаогоробзаасктона управления, который основан на использовании частотного подхода и является модификацией-квалдирнаетйинчоного синтеза. Алгоритм состоит из следующих действий.

1) Вычислить матрицKу LQR-регулятора для номинальной математической модели (15) и функционала ( 6 ).

2) Задать вектpоржелаемых корней характеристического полинома асимптотического наблюдателя (16) и вычислить соответствующую маGтрикцоуэффициентов при невязках.

3) Вычислить передаточную функцKи(юs) динамического регулятора передаточную функциюT (s)  K(s)(1 Pn (s)K(s))1 Pn (s). (20) и сотовтувюетщсую 4) Построить частотную

границу робастной устойчивости, обеспечиваемую реKгу(sл)я.тором параметра a21 в 5) Если полученный частотный "коридор" включает АЧХ возмущенных моделей объекта при ва диапазоне[a2m1in , a2m1ax ] , то полученный ретгоурля вида (20) принимается в качестве реализации MPC-регулятора наблюдателя.

Далее, выберем регулятора: весовая характеристического

полинома параметров обеспечивает робастную коэффициента a21 в пределах20% от границы модели робастной устойчивости обозначены и возмущенных моделей объекта, a21  1.2a201 .

В качестве начальных условий для проведения мондиеялирпорвиамем вектxо0р  (0.002, 0, 0.286)T . На рис. 2 время переходного процесса для LQR-регулятора меньше, чем дMлPяC-регулятора. Однако энергетические затраты в первом случае выше, чем во втором, и при введении дополни ограничений на величину управляющего сигнал качество процесLсQовR-редгулляятора может ухудшиться. Отметим также, что в отлMичPиCе-регоутлятора в рамках частотного подхода обеспечение желаемых границ робастной устойчивости приводит к тому, что полюса динамического регулятор смещаются влево от мнимой оси так, чтобы обеспечить достаточзнаопасболуьсштооййчивости. В частности, смещаются полюса асимптотического наблюдателя, что делает его более чувствительны влиянию шума измерений.

наблюдателpя (5, 180,  200)T . Важно

отметить, что такой выбор устойчивость замкнутой номинального значения. Это регулятором продеморносвтарнио системы при вариац

на рис. 1, где пунктирной линией, а также приведены соответствующих значениям коэфaф21ици0е.8нaт20а1 и АЧХ номинал левитации. Зададим следующие параметры алгоритма управления с прогнозом: период дискретиза Ts  0.002 c, горизонт прогнозPа 100 , весовая миатцра Q  I33 , весовой множитель 1 . При будем также использовать дискретный вариант асимптотического параметры робастного алгоритма управления, матрицаQ  diag([10,10,200]) , весовой множитель Рис. 1. Границы робастной устойчивости и АЧХ номинальной и возмущенных моделей Рис. 2. Переходные процессы по смещению шарика x1  xb при номинальном значении a21 рис. 3 графики процессов по смещенx1июxb шпраириказначении значении коэффициентаa21  1.2a201 .

Рис. 3. Переходные процессы по смещению шарика x1  xb для значения a21  1.2a201 Из рисунка ви д,ночто здесь качество процессоMвPC-дрлеягулятора несколько лучше, чемLQRдл-я регулятора. В целом оба приведенных алгоритма позволяют обеспечить желаемое качество проц управления системой магнитной левитации с учетом неточностей ее математелииче.скПорйи мэотдом MPC-регулятор показывает лучшие результаты при наличии шума в измерениях и дополнител ограничениях на управляющие и контролируемые переменные. Заключение

В работе предложены два различных оптимизационных подхода к синтезу робвастных зак управления. Выполнен их сравнительный анализ на примерах имитационного моделирования системы магнитной левитации. Важно отметить, что разработанные алгоритмы могут б использованы для управления подвижными объектами различных классов. В, почдахсотдн,ости основанный на прогнозирующих моделях, может быть применен в задачах с ограничениям управляющие и контролируемые переменные, а также для нелинейных моделей объектов управлен Благодарности Работа поддержана ГрантРоФмФИ References Об авторах: Сотникова Маргарита Викторовна, доктор физик-оматематических наук, доцент кафедры компьютерных технологий и си,стСеамнкт-Петербургский государственный университет, [e-mail] Гилязова Юлия Андреевна, бакалавр, кафедра компьютерных технологий и сисСтаенмк,тПетербургский государственный университuеgт1,[e-mail] Селицкая Екатерина Александровна, ассистент кафедры механики управляемого д в,иСжаненкит-я Петербургский государственный университет, [e-mail]

References

2. Boyd S. , Ghaoui E. , Feron E. , Balakrishnan V . Linear matrix inequalities in systems and control theory . - Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics , 1994 . - 193 p.

3. Doyle J. C. Analysis of feedback systems with structured uncertainties // IEE Proc. Pt. D: Control theory and applications . - 1982 . - Vol. 129 , no. 6. - P. 242 - 250 .

4. Kwakernaak H. H2-optimization - Theory and applications to robust control design // Annual Reviews in Control. - 2002 . - Vol. 26 , Issue 1. - P. 45 - 56 .

6. MAGLEV: Magnetic Levitation Plant. User Manual . - Quanser Inc . - Ontario, Canada, 2006 . - 18 p.

7. Camacho E. F. , C. Bordons. Model Predictive Control . - 2nd ed. - London: Springer-Verlag, 2004 . - 405 p.

8. Веремей Е.И. , Сотникова М .В. Управсленпиреогнозирующими моделями . Учебное по-соВбоирео. неж: ООО "Издательство "Научная книга" , 20 - 162 .14 c.

1. Veremey E.I. Lineynye sistemy s obratnoi svyaz'yu: uchebnoe posobie . - SPb.: Izdatel'stvo «Lan'», 2 - 041438 . s.

2. Boyd S. , Ghaoui E. , Feron E. , Balakrishnan V . Linear matrix inequalities in systems and control theory . - Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics , 1994 . - 193 p.

3. Doyle J. C. Analysis of feedback systems with structured uncertainties // IEE Proc. Pt. D: Control theory and applications . - 1982 . - Vol. 129 , no. 6. - P. 242 - 250 .

4. Kwakernaak H. H2-optimization - Theory and applications to robust control design // Annual Reviews in Control. - 2002 . - Vol. 26 , Issue 1. - P. 45 - 56 .

5. Sotnikova M.V. Synthez robustnyh algoritmov upravleniya s prognoziruyuschimy modelyamy // Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii . - Vol. 50 , № - 2041 .2. - S. 99 - 102 .

6. MAGLEV: Magnetic Levitation Plant. User Manual . - Quanser Inc . - Ontario, Canada, 2006 . - 18 p.

7. Camacho E. F. , C. Bordons. Model Predictive Control . - 2nd ed. - London: Springer-Verlag, 2004 . - 405 p.

8. Veremey E.I. , Sotnikova M.V. Upravlenie s prognoziruyuschimy modelyamy . Uchebnoe posobie. - Voronezh: Izdatel'stvo "Nauchnaya kniga" , 2016 . - 214 s.

Sotnikova Margarita V. , Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Computer Applications and Systems , Saint-Petersburg State University, [e-mail] Gilyazova Julia A., bachelor, Department of Computer Applications and Systems, Saint-Petersburg State University, [e-mail]