MATHEMATICAL MODELLING OF TRICOPTER
В современном мире остро возрастает потребность в автономной технике, в частнос беспилотных летательных аппаратах (БПЛА). Исключительно популярными являются устройства класса мультироторных БПЛА благодаря интенсивному развитию сферы их применимости для решения гражданских, так и военных задач. Расширение круга задач, решаемых с пуостмроощйьсютв, таких разнообразие их возможных конструкций обуславливает непрестанный интерес в проведени исследований в области разработки подобных аппаратов и решению вопросов автоматиза управления ими. Для решения многих задач из всего класса мулПьтЛиАротоокранзывхаетБся наиболее выгодным в использовании трикоптер, что обуславливается компактностью самого устройств повышенной маневренностью (особенно по углам тангажа и рысканья), а также большей п ремонтопригодностью. При этом доступные источниокдие,ржа щсие описание элементов математической модели трикоптера и соответствующих законов управления, которые мож использовать при разработке собственного устройства, довольно немногочисленны в сравнении доступными источниками по аналогичным вопросаюм,щикмася устройств типа квадрокоптер. Цель исследования
Целью исследования в данной работе является построение действующей математической мод трикоптера, разработка схемы управления им с помощью установленных на устройстве элеме управления. Такапяотребность обуславливается необходимостью использования математической модели для исследования особенностей поведения трикоптера в зависимости от возможных измен его конструкции для разработки реального устройства и формирования достаточно гибки эффективных законов автоматического управления им. В связи с этим, в работе приводится д подробное описание процесса построения математической модели рассматриваемого физического объекта в пространстве. Описание летательного аппарата На рис. 1 принваедеобщая схема трикоптера.
Рис. 1 Схема трикоптера На схеме представлены две системы координат, используемые для трикоптера: связанная 1,e(2e,e3) и фиксированная1,es(e2,ses3), начало координат центром масс трикоптера. Исследуемыойн дсростоит из трех лучей, двух относительно осиe2. Углы между ними равнo.ыНа 12к0аждом луче установлено Двигатель F1 вращает пропеллер по часовой стрелке, а дFв2иигаFт3ел–ипротив двигатель, в отличие от передних, подвижный и может менять свой описания модели движ которой совмещено с передних и одного задн
по одному двигателю.
часовой. Хвостовой угол наклона e2овтносительно широкоугольные Стратегии управления
Для выполнения управляемого движения трикоптера (рис. 2а, исходное положение) в простра достаточно задать четыре основных модели поведения:
1. Первая модель поведения отвечает за вертикальное движение трикоптера. Соответственно осуществления спуска или подъема необходимо уменьшать или увеличивать обороты двух пере двигателей на одинаковую величину и хвостового на определенное значение, чтобы не по вращательное движение трикоптера вокруг своей оси (соответствbу)е;т рис. 2
2. Вторая зада–чоасуществить движение коптера по углу крена. В частности, для движения по вправо необходимо увеличить обороты левого двигателя и уменьшить обороты правого, для крен — наоборот, увеличить обороты правого двигателя и умебноьршотиыть леового (соответствует рcи);с. 2 3. Третья задача состоит в повороте объекта управления пео., тпаонгажсуут,и, т. осуществлении наклона коптера вперед или назад. Выполнение указанной задачи, в частности, при наклоне может быть осуществленпосредством увеличения оборотов хвостового двигателя и уменьшения оборотов передних. Для наклона н—азандаоборот, необходимо увеличить обороты передних и уменьшить обороты заднего двигателя (соответствуетd); рис. 2
4. Еще одной задачей движения ковплтяертсая яразворот вокруг собственной оси. Для выполнения этой задачи достаточно изменить угол поворота хвостового двигателя, не изменяя при этом боковых двигателей (левый, правый) (соответствуетe). рис. 2
Указанные задачи являются простыми, ноточдноысмтаи для полноценного управления летательным аппаратом. Существуют конечно и комбинированные движения, но рассмотрение подобных движе выходит за рамки настоящего исследования, поскольку их описание представляется довольно слож Рис. 2. c) схема подключения двигателей при изменении угла крена; d) схема подключения двигателей при изменении угла тангажа; Построение математической модели
Формирование математической модели будем проводить на основе известных законов принимая в качестве допущений следующие положения относительно конструкции трикоптера: 1. рама трикоптера и его ваибснотлыютно жесткие; 2. каждый двигатель расположен на конц;е луча 3. тяга, создаваемая передними винтами, перпендикулярна плxо-сyк;ости физ Рис. 3 Характеристики трикоптера На рис. 3 приведена дополнительная иллюстрация, характеризующая конструкцию lт–рикоптера, длина луч,асоединяющего двигатлеь и центр аппарата.
Тяга, создаваемая каждым двигат,езлаедмается скорость ваiла-того двигателя, i=1,2,3 , причем третий двигатель может менять свой угол наклона отнeо2с,иb>те0льно оси – коэффициент тяг.и Ориентация БПЛА в пространстве опяретесдяел углами: креφна, тангажа θ и рысканьяψ .
какFi=Ω i2⋅b где Ω i – угловая Движение трикоптера в связанной системе координат
Запишем ускорения поворотоϕ¨в,θ¨ ,ψ¨ вокруг осейe1, e2, e3, которые соответствуют стратегии управления, рассмотренной ран:ее ϕ¨ = √ 3 2 l ( F2−F1) √ 3 l( F2−F1)
=
I 1
где γ – угол отклонения заднего двигателя относительно горIиi з,iо=н1т,а2,,3 – моменты инерциидля
соответствующих осе,йρ – коэффициент масштабирования, соответствующий модели.
(
Связь между системами получается перемножением Поворот относительно
отсчета осуществляется матриц рпоотвао относительно оeс1и:
с помощью осeе1й,e2,e3.
матрицы M п,овкоортоотраая Поворот относительно оeс2и: Поворот относительно оeс3и: Итоговая матрица перехода
M 1=(0 cos(ϕ ) sin(ϕ )) 1 0 0 0 −sin(ϕ ) cos(ϕ ) .
M 2=( 0 1 0 ) cos(θ ) 0 −sin (θ ) sin (θ ) 0 cos(θ ) .
M 3=(−sin(ψ ) cos(ψ ) 0) cos(ψ ) sin (ψ ) 0
0 0 1 .
M =M 1⋅M 2⋅M 3 = mζ¨ =(F 1+ F2+ F 3 cos(γ ))M E z−[ 0 ]
0 g ( z) E z=[0]
0 где 1 , g (z) – воздействие земли, предполагается неизвестным, z – положение центра масс трикоптера в инерциальной системе отсчета.
Введем управляющие переменныuе:0 – результирующая тяга,u1 – управление креном,u2 – управление тангажомu,3 – управление рысканием. Указанные переменные также будут использоваться в качестве входных взаимодействий: (F 1+ F 2+F 3 cos(γ ))
m (F 2−F 1) u1= I 1 ( F 1+ F 2−F 3)
I 2 ( F 1−F 2−F 3sin (γ )) Полученная система не является полноприводной, то есть меньше, чем управляемых переменных, возможность влиять на отсутствует. Управление координатами объекта в данной модели системы управления. Результаты количество управляющих перемен коxоирдyиннаетпыосредственно будет обеспечено в процессе с Результатом данной работы является разработанная математическая модель физического объект которую можно использовать для изаналдинамики объекта рассматриваемого типа, оптимизации параметров объекта при его конструировании, а также, впоследствии, для синтеза системы управ Заключение Об авторах: Тихонов Николай Олегович, студент, кафедра Компьютерных технологий и сиаснткемт-, Петербургский государственный университaеkтa,lji@ya.ru Лепихин Тимур Андреевич, кандидат физи-мкаотематических наук, главный
Петербургский государственный университtе.lтe,pihin@spbu.ru Жабко Наталия Алексеевна, кандидат физик-оматематических нау,кдоцент, кафедра компьютерных технологий и систем, С-аПнекттербургский государственный университnе.тz,habko@spbu.ru специалист, -Санкт С