=Paper=
{{Paper
|id=Vol-2098/paper2
|storemode=property
|title=About Some Two-Level Models
of Optimization of Tax Schemes
|pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-2098/paper2.pdf
|volume=Vol-2098
|authors=Sergey M. Antsyz,Tatiana V. Vysotskaya
}}
==About Some Two-Level Models
of Optimization of Tax Schemes==
https://ceur-ws.org/Vol-2098/paper2.pdf
About Some Two-level Models
of Optimization of Tax Schemes
Sergey M. Antsyz1,2 and Tatiana V. Vysotskaya
1
Sobolev Institute of Mathematics,
4 Acad. Koptyug avenue, 630090, Novosibirsk, Russia
2
Novosibirsk State University,
1 Pirogova Str., 630090, Novosibirsk, Russia
antzys.nsc.ru
Abstract. A new approach to modeling complex economic systems is
proposed. Using this approach, the following model hierarchical system
"the state - investors"is constructed. The country xes the amount of
tax collection and determines the minimum tax rates required to obtain
this amount at provided that investors maximize their income. In the
proposed model the progressive tax model is better than the at tax
scale.
Keywords: Hierarchical systems · Taxation Schemes · Bilevel
mathematical programming · Aachieving the desired result
Copyright c by the paper's authors. Copying permitted for private and academic purposes.
In: S. Belim et al. (eds.): OPTA-SCL 2018, Omsk, Russia, published at http://ceur-ws.org
Î íåêîòîðûõ äâóõóðîâíåâûõ ìîäåëÿõ
îïòèìèçàöèè íàëîãîâûõ ñõåì ?
Ñåðãåé Ì. Àíöûç1,2 , Òàòüÿíà Â. Âûñîöêàÿ
1
Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè èì. Ñ.Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ,
Ïðîñïåêò àê. Êîïòþãà 4, 630090, Íîâîñèáèðñê, Ðîññèÿ
2
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò,
Ïèðîãîâà 1, 630090, Íîâîñèáèðñê, Ðîññèÿ
antzys@math.nsc.ru
Àííîòàöèÿ Ïðåäëîæåí íîâûé ïîäõîä ê ìîäåëèðîâàíèþ ñëîæíûõ
ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ñ èñïîëüçîâàíèåì äàííîãî ïîäõîäà ïîñòðîåíà
ñëåäóþùàÿ ìîäåëü èåðàðõè÷åñêîé ñèñòåìû "ãîñóäàðñòâî - èíâåñòî-
ðû". Ãîñóäàðñòâî ôèêñèðóåò îáúåì íàëîãîâûõ ñáîðîâ è îïðåäåëÿåò
ìèíèìàëüíûå ðàçìåðû íàëîãîâûõ ñòàâîê, íåîáõîäèìûå äëÿ ïîëó÷å-
íèÿ ýòîãî îáúåìà ïðè óñëîâèè, ÷òî èíâåñòîðû ìàêñèìèçèðóþò ñâîè
äîõîäû. Â ïðåäëîæåííîé ìîäåëè ïðîãðåññèâíûé íàëîã îêàçûâàåòñÿ
ëó÷øå ïðîïîðöèîíàëüíîãî.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: èåðàðõè÷åñêèå ñèñòåìû, ñõåìû íàëîãîîáëîæå-
íèÿ, äâóõóðîâíåâîå ïðîãðàììèðîâàíèå, äîñòèæåíèå çàäàííîãî ðå-
çóëüòàòà
1 Ââåäåíèå
 [1] ðàññìàòðèâàëàñü çàäà÷à ìàêñèìèçàöèè íàëîãîâûõ ñáîðîâ, è áûëî ïî-
êàçàíî, ÷òî ðåçóëüòàòû, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ ïðè ïðîãðåññèâíîì íàëîãå íà
ïðèáûëü, ëó÷øå, ÷åì ðåçóëüòàòû, ïîëó÷àþùèåñÿ ïðè ïëîñêîé øêàëå íàëîãî-
îáëîæåíèÿ. Ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ãîñóäàðñòâî óñòàíàâëèâàåò ïàðàìåòðû íà-
ëîãîâûõ ñòàâîê, à èíâåñòîðû ïðè çàäàííîé ñõåìå íàëîãîâ îïðåäåëÿþò âåêòî-
ðû ïðîäóêòîâ è ðåñóðñîâ òàêèå, ÷òî äîñòèãàåò ìàêñèìóìà èõ ïðèáûëü. Â [2]
áûë ïðåäëîæåí ñïåöèàëüíûé àëãîðèòì êîìïîçèöèè ëîêàëüíûõ ïëàíîâ ïîä-
ñèñòåì ñëîæíûõ ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì. Àëãîðèòì áàçèðîâàëñÿ
íà ïîäõîäå: äîñòè÷ü çàäàííîãî ðåçóëüòàòà ñ íàèìåíüøèìè çàòðàòàìè ðåñóð-
ñîâ. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ýòîò ïîäõîä èñïîëüçóåòñÿ äëÿ èññëåäîâàíèÿ ìîäå-
ëåé âîçìåùåíèÿ óùåðáà, íàíîñèìîãî äåÿòåëüíîñòüþ èíâåñòîðîâ îêðóæàþ-
ùåé ñðåäå.
?
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÃÍÔ (ïðîåêò 16-02-00049) è ÐÔÔÈ (ïðîåê-
òû 16-06-00046, 16-06-00101 è 16-01-00108).
Äâóõóðîâíåâûå ìîäåëè îïòèìèçàöèè íàëîãîîáëîæåíèÿ 19
2 Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ
Ðàññìîòðèì ìîäåëü ðåãèîíà, â êîòîðîì ñîäåðæèòñÿ óïðàâëÿþùèé Öåíòð è
ïðåäïðèÿòèÿ (èíâåñòîðû). Â ðåçóëüòàòå äåÿòåëüíîñòè ïðåäïðèÿòèé îêðóæà-
þùåé ñðåäå íàíîñèòñÿ óùåðá. Öåíòð óïðàâëåíèÿ ðåãèîíîì îïðåäåëÿåò äëÿ
âñåõ ïðåäïðèÿòèé ñóììó "ýêîëîãè÷åñêîãî" íàëîãà, íàïðàâëåííîãî íà âîññòà-
íîâëåíèå îêðóæàþùåé ñðåäû è íà ìîäåðíèçàöèþ ïðîèçâîäñòâà. Ïðè ñâîåì
ôóíêöèîíèðîâàíèè ïðåäïðèÿòèÿ èñïîëüçóþò ðàçëè÷íûå ðåñóðñû. Ðåñóðñà-
ìè ÿâëÿþòñÿ êàê ïðèðîäíûå ìàòåðèàëû: ñûðüå, õèìè÷åñêèå âåùåñòâà è ò.ï.,
òàê è òàêèå ðåñóðñû, êàê ïðîèçâîäñòâåííûå ïëîùàäè, ïåðñîíàë è ò.ä. Ðå-
çóëüòàò äåÿòåëüíîñòè ïðåäïðèÿòèÿ âûðàæàåòñÿ â ïîëó÷åííîé ïðèáûëè.
Ââåäåì èíäåêñû:
k èíäåêñ ýëåìåíòà ìîäåëè, k ∈ K (ìíîæåñòâî íîìåðîâ ïðåäïðèÿòèé);
J1 = {1, . . . , j1 } ìíîæåñòâî èíäåêñîâ ïðîäóêòîâ, âûïóñêàåìûõ ïðåäïðèÿ-
òèÿìè; J2 = {1, . . . , j2 } èíäåêñû ðåñóðñîâ ðàçëè÷íîãî âèäà, èñïîëüçóåìûõ
â ïðîöåññå ïðîèçâîäñòâà.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðîöåññ â òå÷åíèå ïðîìåæóòêà âðåìåíè, êîòîðûé
ðàçîáüåì íà T òàêòîâ. Âñå ïàðàìåòðû è ïåðåìåííûå ñ÷èòàåì ïîñòîÿííûìè â
òå÷åíèå îäíîãî òàêòà è èçìåíÿþùèìèñÿ â ìîìåíò íà÷àëà ñëåäóþùåãî òàêòà,
t = 1, T íîìåð òåêóùåãî òàêòà.
Äàëåå ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: Xkt = {xktj , j ∈ J1 } âåêòîð îáúå-
ìà ïðîäóêòîâ, âûïóñêàåìûõ k -ûì ïðåäïðèÿòèåì â ïåðèîä âðåìåíè t; Ykt =
{yktj , j ∈ J2 } âåêòîð îáúåìà ðåñóðñîâ, ïðèîáðåòàåìûõ k -ûì ïðåäïðèÿòèåì
â ïåðèîä âðåìåíè t; Yk0 = {yk0j , j ∈ J2 } âåêòîð çàïàñîâ ðåñóðñîâ ó k -ãî
ïðåäïðèÿòèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè; Akt = {aktij , i ∈ J2 , j ∈ J1 }
ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ èñïîëüçîâàíèÿ ðåñóðñîâ k -ûì ïðåäïðèÿòèåì äëÿ
ïðîèçâîäñòâà åäèíèöû ïðîäóêòà â ïåðèîä âðåìåíè t; Ckt = (Ckt 1 2
, Ckt ) =
{Cktj , j ∈ J1 ; Cktj , j ∈ J2 } âåêòîð öåí íà ïðîäóêòû è ðåñóðñû ñîîòâåò-
1 2
ñòâåííî äëÿ k -ãî ïðåäïðèÿòèÿ â ïåðèîä t.
Çàìåòèì, ÷òî êîìïîíåíòû ðàçëè÷íûõ âåêòîðîâ Ckt , ñîîòâåòñòâóþùèå îä-
íîìó è òîìó æå ïðîäóêòó èëè ðåñóðñó, ðàâíû. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî äîñòîâåð-
íî èçâåñòíû òîëüêî âåêòîðû Ck0 . Â [3] áûëà ïðåäëîæåíà ìåòîäèêà ïðîãíîçà
öåí, äàëüíåéøåå ðàçâèòèå êîòîðîé ïðèâåäåíî â [4]. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñòðî-
èòü îïèñàííûå íèæå ìîäåëè, ìîæíî ëèáî èñïîëüçîâàòü ýòó ìåòîäèêó, ëèáî
ïîëàãàòü Ck1 = Ck2 = . . . = CkT = Ck0 .
Äëÿ k -ãî ïðåäïðèÿòèÿ ââåäåì ôóíêöèîíàë ïðèáûëè, êîòîðûé îòðàæàåò
êîëè÷åñòâî äåíåã, îñòàâøååñÿ ó ïðåäïðèÿòèÿ ïîñëå ðåàëèçàöèè åãî ïðîäóê-
öèè, óñëóã è ò.ï. çà âû÷åòîì ðàñõîäîâ íà ïðèîáðåòåíèå ðåñóðñîâ (âàëîâàÿ
ïðèáûëü): XT
(1)
1 2
φk = Ckt Xkt − Ckt Ykt .
t=1
Èç ýòèõ äåíåã ïðîèçâîäèòñÿ âûïëàòà íàëîãîâ dkt çà óùåðá îêðóæàþùåé
ñðåäå, íàíåñåííûé äåÿòåëüíîñòüþ ïðåäïðèÿòèÿ. Âåëè÷èíû dkt (îíè îäíî-
âðåìåííî ÿâëÿþòñÿ êâîòàìè) óñòàíàâëèâàåò Öåíòð.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòåïåíè çàãðÿçíåíèÿ îêðóæàþùåé ñðåäû, à òàêæå óùåð-
áà îò èñïîëüçîâàíèÿ ðåñóðñîâ ââåäåì "êîýôôèöèåíòû çàãðÿçíåíèÿ":
20 Ñ.Ì. Àíöûç, Ò.Â. Âûñîöêàÿ
p1kt = {p1ktj , j ∈ J1 } âåêòîð êîýôôèöèåíòîâ âðåäíîñòè ïðîäóêòîâ, âûïóñêà-
åìûõ k -ûì ïðåäïðèÿòèåì â ïåðèîä âðåìåíè t; p2kt = {p2ktj , j ∈ J2 } âåêòîð
êîýôôèöèåíòîâ âðåäíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ðåñóðñîâ k -ûì ïðåäïðèÿòèåì â
ïåðèîä âðåìåíè t.
Âåêòîðû p1kt è p2kt ñ÷èòàþòñÿ èçâåñòíûìè, à èõ ðàçìåðíîñòè òàêîâû, ÷òî
ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ p1kt Xkt è p2kt Ykt èìåþò ðàçìåðíîñòè òåõ åäèíèö, â
êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ íàëîã.
 êà÷åñòâå ýêîíîìè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà èñïîëüçóþòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíûé
èëè ïðîãðåññèâíûé íàëîãè íà ïðèáûëü ïðåäïðèÿòèé. Öåëüþ ðàáîòû ÿâëÿåò-
ñÿ ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç âîçìîæíîñòè ðåãóëèðîâàíèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñè-
ñòåìû ñ ïîìîùüþ òîé èëè èíîé ñõåìû íàëîãîîáëîæåíèÿ, îïðåäåëåíèå îáëà-
ñòè ðåçóëüòàòèâíîñòè ýòîé ñõåìû, â òîì ÷èñëå ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ñîõðàíå-
íèÿ ïðîïîðöèé ïðîèçâîäñòâà.
3 Èññëåäîâàíèå ìîäåëè ñ ïëîñêîé øêàëîé
íàëîãîîáëîæåíèÿ
Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà Öåíòð äåéñòâóåò äâóõýòàïíî: ñíà÷àëà îí ïëà-
íèðóåò âûäåëÿåìûå êâîòû íà íàíåñåíèÿ óùåðáà, à çàòåì ñîáèðàåò íàëîãè â
çàâèñèìîñòè îò ðåàëüíî ïîëó÷åííîé ïðåäïðèÿòèÿìè ïðèáûëè.
Ïóñòü ðåàëüíî ñîáèðàåìûé íàëîã ôóíêöèÿ îò ïðèáûëè Ψ (Mkt ), ãäå
1 2
Mkt = Ckt Xkt − Ckt Ykt .
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî Mkt > 0.
 äàííîì ðàçäåëå ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà íàëîã ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé
ôóíêöèåé îò ïðèáûëè, ò.å.
Ψ (Mkt ) = χMkt , ãäå 0 < χ ≤ 1.
Ñîîòâåòñòâåííî, çàäà÷à Öåíòðà - îïðåäåëèòü îïòèìàëüíûå ñòàâêó íàëîãà χ
è âåëè÷èíû êâîò dkt .
Ôóíêöèîíàë âåðõíåãî óðîâíÿ Z â ýòîì ñëó÷àå áóäåò èìåòü âèä:
1
pkt Xkt + p2kt Ykt
Z = min . (2)
k∈K,t=1,T χMkt
Ñóììà D, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ñîáðàòü Öåíòðó, íå ðàçäåëåíà ïî ïåðèî-
äàì, à ÿâëÿåòñÿ îáùåé çà âåñü ðàññìàòðèâàåìûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè.
Ââåäåì åùå îäíî îáîçíà÷åíèå. Ïóñòü bk0 = Ck0 2
Yk0 íà÷àëüíûé êàïèòàë
ïðåäïðèÿòèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, èìååì çàäà÷ó (ÇÏØÍ) ñëåäóþùåãî âèäà.
Îïðåäåëèòü âåëè÷èíû dkt è χ òàêèå, ÷òî åñëè Xkt , Ykt ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì
çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
X t
Akt Xkt − Ykτ ≤ Yk0 , t = 1, T , (3)
τ =1
Xkt ≥ 0, Ykt ≥ 0, t = 1, T , (4)
p1kt Xkt + p2kt Ykt ≤ dkt , t = 1, T , (5)
Äâóõóðîâíåâûå ìîäåëè îïòèìèçàöèè íàëîãîîáëîæåíèÿ 21
t−1
X
2 1 2
(6)
Ckt Ykt ≤ bk0 + (1 − χ) Ckτ Xkτ − Ckτ Ykτ , t = 1, T ,
τ =1
φk → max! (7)
è âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
T
XX
χ Mkt ≥ D, (8)
k∈K t=1
XX T
dkt ≤ D, (9)
k∈K t=1
0 < χ ≤ 1, (10)
òî
Z → max!, (11)
ãäå Z îïðåäåëåí â (2).
 [5] ðàññìàòðèâàëàñü äâóõóðîâíåâàÿ çàäà÷à (Ç1), â êîòîðîé íà óðîâíå
ïðåäïðèÿòèé íå ó÷èòûâàëèñü îãðàíè÷åíèÿ (6), ôóíêöèîíàë âåðõíåãî óðîâíÿ
ñîâïàäàë ñ (11) è îãðàíè÷åíèå (9) ïîëàãàëîñü ðàâåíñòâîì. Áûë ïðåäëîæåí
àëãîðèòì F1 ïîëèíîìèàëüíîé ñëîæíîñòè îïðåäåëåíèÿ êâîò dkt äëÿ ýòîé çà-
äà÷è. Ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà çàäà÷à ïðåäïðèÿòèÿ (3)-(5), (7)
èìååò íå åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, Öåíòð ìîæåò òðåáîâàòü îò ïðåäïðèÿòèÿ âû-
áðàòü òîò ïëàí, ïðè êîòîðîì óùåðá ñðåäå áóäåò ìèíèìàëüíûì. Ìîäåëèðóÿ
ïîâåäåíèå Öåíòðà, ïîñòðîèì äâóõýòàïíûé ïðîöåññ ñ ó÷åòîì ýòîãî ïðåäïîëî-
æåíèÿ. Íà ïåðâîì ýòàïå ðåøàåì çàäà÷ó (Ç1), ïðèìåíÿÿ ê íåé àëãîðèòì F1, è
òàêèì îáðàçîì îïðåäåëÿåì êâîòû dkt . Çàòåì ïðè ôèêñèðîâàííûõ dkt îïðå-
äåëÿåì îïòèìàëüíóþ ñòàâêó íàëîãîîáëîæåíèÿ χ äëÿ ëèíåéíîãî íàëîãà,
ðåøàÿ çàäà÷ó (ÇÏØÍ).
Èññëåäóåì ôóíêöèîíàë (2) è ôóíêöèîíàëû φk èç çàäà÷ (3) - (7) è äîêà-
æåì íåñêîëüêî óòâåðæäåíèé îá èõ ñâîéñòâàõ.
Ëåììà 1. φk (χ) åñòü íåâîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ ïàðàìåòðà χ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü χ1 < χ2 . Çàìåòèì, ÷òî âåêòîðû Xkt (χ2 ), Ykt (χ2 ) ÿâ-
ëÿþòñÿ äîïóñòèìûì ðåøåíèåì â çàäà÷å ïðåäïðèÿòèÿ ïðè χ = χ1 . Òàê êàê
âåëè÷èíû φk (χ1 ) ÿâëÿþòñÿ îïòèìàëüíûìè çíà÷åíèåìè â çàäà÷àõ ïðåäïðèÿ-
òèé ïðè χ = χ1 , òî T
X
1 2
φk (χ1 ) ≥ (Ckt Xkt (χ2 ) − Ckt Ykt (χ2 )) = φk (χ2 ).
t=1
Òàêèì îáðàçîì, φk (χ1 ) ≥ φk (χ2 ).
Òåîðåìà 1. Z ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé ôóíêöèåé ïî χ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü χ1 < χ2 .Òîãäà
1
pkt Xkt + p2kt Ykt
1
pkt Xkt + p2kt Ykt
1
Z(χ1 ) = min = min >
k∈K,t=1,T χ1 Mkt χ1 k∈K,t=1,T Mkt
1
pkt Xkt + p2kt Ykt
1
pkt Xkt + p2kt Ykt
1
> min = min = Z(χ2 ).
χ2 k∈K,t=1,T Mkt k∈K,t=1,T χ2 Mkt
Òåîðåìà äîêàçàíà.
22 Ñ.Ì. Àíöûç, Ò.Â. Âûñîöêàÿ
Èññëåäóåì ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Öåíòðà (8)-(11).
Îáîçíà÷èì Φ(χ) = φk (χ). Ýòà ôóíêöèÿ íåâîçðàñòàþùàÿ (êàê ñóììà
P
k∈K
íåâîçðàñòàþùèõ ôóíêöèé).
Äëÿ ëþáîãî [χ1, χ2 ] ⊂ (0, 1] è Φ(χ 1 ) 6= 0, Φ(χ 2 ) 6= 0 ñïðàâåäëèâû ñëåäóþ-
ùèå óòâåðæäåíèÿ.
Ïðåäëîæåíèå 1. Åñëè 0 < D ≤ χ1 Φ(χ2 ), òî ðåøåíèå çàäà÷è (8)-(11) ñó-
ùåñòâóåò íà âñåì îòðåçêå [χ1 , χ2 ] .
χΦ(χ) ≥ χΦ(χ2 ) ≥ χ1 Φ(χ2 ) ≥ D. Îãðàíè÷åíèå (8) âûïîëíåíî.
Ïðåäëîæåíèå 2. Åñëè D ≥ χ2 Φ(χ1 ) è χ2 Φ(χ2 ) < D, òî ðåøåíèå çàäà÷è (8)-
(11) íå ñóùåñòâóåò íà âñåì îòðåçêå [χ1 , χ2 ]. Åñëè D ≥ χ2 Φ(χ1 ) è χ2 Φ(χ2 ) =
D, òî ðåøåíèå çàäà÷è (8)-(11) åñòü χ = χ2 .
Ïðè χ1 ≤ χ < χ2 âûïîëíÿåòñÿ χΦ(χ) < χ2 Φ(χ) ≤ χ2 Φ(χ1 ) ≤ D ⇒ χΦ(χ) <
D. Åñëè ïðè χ = χ2 χ2 Φ(χ2 ) < D, òî ðåøåíèÿ íåò è ïðè χ = χ2 . Åñëè
χ2 Φ(χ2 ) = D, òî ðåøåíèå åñòü òîëüêî ïðè χ = χ2 .
Ïðåäëîæåíèå 3. Åñëè χ1 Φ(χ2 ) < D ≤ χ2 Φ(χ2 ) è D > χ1 Φ(χ1 ), òî ïðè
D D
Φ(χ2 ) ≤ χ ≤ χ2 ðåøåíèå çàäà÷è (8)-(11) ñóùåñòâóåò, à ïðè χ1 ≤ χ < Φ(χ1 )
ðåøåíèå çàäà÷è (8)-(11) íå ñóùåñòâóåò.
Âåëè÷èíà χΦ(χ2 ) ïðè χ = χ1 ìåíüøå D, à ïðè χ = χ2 áîëüøå, ëèáî ðàâíî
D. Ïîýòîìó íà [χ1 , χ2 ] ñóùåñòâóåò χ0 = Φ(χ D
2)
òàêîå ÷òî ïðè χ1 ≤ χ < χ0
χΦ(χ2 ) < D, à ïðè χ0 ≤ χ ≤ χ2 χΦ(χ2 ) ≥ D. Ðàññìîòðèì χ0 ≤ χ ≤ χ2 . Íà
ýòîì îòðåçêå χΦ(χ) ≥ χΦ(χ2 ) ≥ D, ò.å. ðåøåíèå çàäà÷è (8)-(11) ñóùåñòâóåò.
Åñëè D > χ1 Φ(χ1 ), òî χ1 < Φ(χ D
1)
≤ χ2 . Ïðè χ1 ≤ χ < Φ(χD
1)
D
χΦ(χ) < Φ(χ 1)
Φ(χ) ≤ D
Φ(χ1 ) Φ(χ 1 ) = D. Ò.å. ðåøåíèÿ íà ýòîì ïðîìåæóòêå íå
ñóùåñòâóåò.
Ïðåäëîæåíèå 4. Åñëè χ2 Φ(χ2 ) < D < χ2 Φ(χ1 ) è D > χ1 Φ(χ1 ), òî ïðè
D
χ1 ≤ χ < Φ(χ ðåøåíèÿ çàäà÷è (8)-(11) íå ñóùåñòâóåò. Åñëè, êðîìå
1)
D
òîãî, χ2 Φ Φ(χ ≤ D, òî ðåøåíèÿ çàäà÷è (8)-(11) íå ñóùåñòâóåò íà âñåì
1)
îòðåçêå [χ1 , χ2 ] .
Èç óñëîâèÿ D > χ1 Φ(χ1 ) ñëåäóåò, ÷òî χ1 < Φ(χ D
1)
, òàê êàê Φ(χ 1 ) > 0. Èç
óñëîâèÿ D < χ2 Φ(χ1 ) ñëåäóåò, ÷òî χ2 > Φ(χ1 ) . Ïîýòîìó òî÷êà Φ(χ
D D
1)
∈
[χ1 , χ2 ]. Àíàëîãè÷íî ïðåäëîæåíèþ 3 äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî χΦ(χ) < D ïðè χ1 ≤
χ < Φ(χ D
1)
.
Åñëè, êðîìå òîãî,âûïîëíåíî χ2 Φ( Φ(χ1 ) ) ≤ D, òî
D
D D
χΦ(χ) ≤ χF < χ2 D ≤ D ïðè χ ∈ , χ2 .
Φ(χ1 ) Φ(χ1 )
Ïðè χ = χ2 χΦ(χ) < D ïî óñëîâèþ. Ò.î. ðåøåíèÿ çàäà÷è (8)-(11) íå ñóùå-
ñòâóåò íà âñåì îòðåçêå [χ1 , χ2 ].
Ïðåäëîæåíèå 5. Åñëè χ1 Φ(χ2 ) < D < χ2 Φ(χ1 ) è D ≤ χ1 Φ(χ1 ), òî χ = χ1
- ðåøåíèå çàäà÷è(8)-(11).
Ïðè χ = χ1 âûïîëíÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå (8), ò.ê. ïî óñëîâèþ D ≤ χ1 Φ(χ1 ). Åñëè
èññëåäóåìûé ôóíêöèîíàë íå âîçðàñòàåò, òî åãî ìàêñèìóì áóäåò äîñòèãàòüñÿ
â êðàéíå ëåâîé òî÷êå îòðåçêà, ò.å. â χ = χ1 .
Äâóõóðîâíåâûå ìîäåëè îïòèìèçàöèè íàëîãîîáëîæåíèÿ 23
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè Φ(χ1 ) = 0 è Φ(χ2 ) = 0, òî Φ(χ) ≡ 0 íà [χ1 , χ2 ] . Ñëå-
äîâàòåëüíî, ðåøåíèÿ íà [χ1 , χ2 ] íå ñóùåñòâóåò. Åñëè Φ(χ1 ) 6= 0, Φ(χ 2 ) = 0,
òî â óñëîâèÿ ïðåäëîæåíèÿ 1 è ïðåäëîæåíèÿ 3 ïîïàñòü íåëüçÿ, ò.ê. â ýòîì
ñëó÷àå 0 < D ≤ 0 . Ñëó÷àé Φ(χ1 ) = 0 è Φ(χ2 ) 6= 0 íåâîçìîæåí â ñèëó òîãî,
÷òî Φ(χ) ÿâëÿåòñÿ íåâîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé. Òàêèì îáðàçîì, åäèíñòâåííî
âîçìîæíûì ñëó÷àåì ïîïàäàíèÿ â óñëîâèÿ ïðåäëîæåíèÿ 1 è ïðåäëîæåíèÿ 3
ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííîå íåðàâåíñòâî íóëþ âåëè÷èí Φ(χ1 ) è Φ(χ2 ).
Îïèðàÿñü íà ðåçóëüòàò òåîðåìû 1, îò çàäà÷è (8)-(11) ìîæíî ïåðåéòè ê
ýêâèâàëåíòíîé çàäà÷å
χ → min!
ïðè òåõ æå îãðàíè÷åíèÿõ
χΦ(χ) ≥ D,
0 < χ ≤ 1,
à òàêæå óñëîâèè, ÷òî Xkt (χ), Ykt (χ) íàõîäÿòñÿ èç ðåøåíèÿ çàäà÷è (3)-(7) ïðè
ôèêñèðîâàííîì χ. Òàêèì îáðàçîì ðåàëèçóåòñÿ ïðåäëîæåííûé âî ââåäåíèè
íîâûé ïîäõîä.
3.1 Ýâðèñòè÷åñêèå àëãîðèòìû íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîé ñòàâêè
ïðîïîðöèîíàëüíîãî íàëîãà
Èçâåñòíî, ÷òî äàæå äâóõóðîâíåâîé çàäà÷à ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ÿâ-
ëÿåòñÿ NP - òðóäíîé (ñì. [6]). Ïîýòîìó ïðåäëàãàåòñÿ ýâðèñòè÷åñêèé àëãî-
ðèòì íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîé ñòàâêè ïðîïîðöèîíàëüíîãî íàëîãà.
Èñïîëüçóÿ ïðåäëîæåíèÿ 1-5, ìîæíî ïîñòðîèòü ýâðèñòè÷åñêèé àëãîðèòì
A1 äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Öåíòðà.
Çàìå÷àíèå 2.  äàëüíåéøåì áóäåì óïîòðåáëÿòü âûðàæåíèå "âû÷èñëÿåì
Φ(A)". Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ∀k ∈PK ðåøàþòñÿ çàäà÷è (3)-(7) ïðè χ = A è äàëåå
íàõîäèòñÿ âåëè÷èíà Φ(A) = φk (A).
k∈K
Çàìå÷àíèå 3. Òàê êàê â îãðàíè÷åíèè (10) ïåðâîå íåðàâåíñòâî ñòðîãîå, òî
ìû ìîæåì çàìåíèòü åãî íà ζ ≤ χ < 1,
ãäå ζ > 0 - ìàëàÿ âåëè÷èíà.  äåéñòâèòåëüíîñòè íóëåâàÿ íàëîãîâàÿ ñòàâêà
íåâîçìîæíà, ïîýòîìó ìîæíî "çàìåíèòü" 0 íà ìàëóþ âåëè÷èíó ζ , ê ïðèìåðó
ζ = 0.01 % = 10−4 .
 çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû D âîçìîæíû òðè ñèòóàöèè:
1) 0 < D ≤ Φ(1),
2) Φ(1) < D < Φ(ζ),
3) D ≥ Φ(ζ).
 ïåðâîì ñëó÷àå, êîãäà 0 < D ≤ Φ(1), ïîïàäàåì â óñëîâèÿ ïðåäëîæåíèÿ
3 ïðè χ1 = ζ, χ2 = 1.
Àëãîðèòì À1 â ýòîì ñëó÷àå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(0) (0) (0) (0)
0-ÿ èòåðàöèÿ. Çàäàåì ε, z1 = ζ, z2 = 1. Âû÷èñëÿåì Φ(z1 ), Φ(z2 ).
Ïîëàãàåì k = 1.
24 Ñ.Ì. Àíöûç, Ò.Â. Âûñîöêàÿ
(k−1) (k−1) (k−1) (k−1) (k−1) (k−1)
k-ÿ èòåðàöèÿ. Èìååì z1 Φ(z2 ) < D ≤ z2 Φ(z2 ) è D > z1 Φ(z1 ).
(k) (k) (k) (k)
Ïîëàãàåì z1 = D
(k−1) , z2 = (k−1) ,
D
∆k = z2 − z1 .
Φ(z ) 1 Φ(z ) 2
(k)
åñëè ∆k < ε, òî
χ∗ := Z2 ,
èíà÷å k:=k+1 è ïîâòîðÿòü.
Âî âòîðîì ñëó÷àå, êîãäà Φ(1) < D < Φ(ζ), ïîïàäàåì â óñëîâèÿ ïðåäëî-
æåíèÿ 4 ïðè χ1 = ζ, χ2 = 1.
Àëãîðèòì À1 â ýòîì ñëó÷àå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(0) (0) (0) (0)
0-ÿ èòåðàöèÿ. Çàäàåì ε, z1 = ζ, z2 = 1. Âû÷èñëÿåì Φ(z1 ), Φ(z2 ).
Ïîëàãàåì k = 1.
(k−1) (k−1) (k−1) (k−1) (k−1) (k−1)
k-ÿ èòåðàöèÿ. Èìååì z2 Φ(z2 ) < D < z2 Φ(z1 ) è D > z1 Φ(z1 ).
(k) (k) (k−1)
Ïîëàãàåì z1 = (k−1) ,χ = −1, z2
D ∗
= z2 .
Φ(z1 )
(k) (k)
åñëè z2 Φ(z2 ) ≤ D, òî χ∗ = −1 è êîíåö.
(k) (k) (k)
åñëè z1 Φ(z1 ) ≥ D, òî χ∗ = z1 ,
èíà÷å åñëè ∆k < ε, òî χ = −1 è êîíåö.
∗
èíà÷å k:=k+1 è ïîâòîðÿòü.
êîíåö åñëè
êîíåö åñëè
êîíåö.
Åñëè ðåøåíèÿ çàäà÷è (8)-(11) íå ñóùåñòâóåò, òî íà âûõîäå ïîëó÷àåì χ∗ = −1,
â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì ðåàëüíîå çíà÷åíèå χ∗ .
 òðåòüåì ñëó÷àå, êîãäà D ≥ Φ(ζ), ïîïàäàåì â óñëîâèÿ ïðåäëîæåíèÿ 2 è
ïîëó÷àåì, ÷òî ðåøåíèÿ íå ñóùåñòâóåò.
3.2 Ïîèñê îáëàñòè äîñòèæèìîñòè îáúåìà íàëîãîâûõ ñáîðîâ
Êàê âèäíî èç ñõåìû àëãîðèòìà À1, ïðè Φ(1) < D < Φ(ζ) äîïóñòèìûå ðå-
øåíèÿ ìîãóò ñóùåñòâîâàòü, à ìîãóò è íå ñóùåñòâîâàòü. Åñëè äîïóñòèìûõ
ðåøåíèé íå ñóùåñòâóåò, òî ïðåäëîæèì ïðîñòîé àëãîðèòì À2 äëÿ íàõîæäå-
íèÿ èíòåðâàëà, ãàðàíòèðóþùåãî ñóùåñòâîâàíèå äîïóñòèìîãî ðåøåíèÿ ïðè
ïîïàäàíèè D â ýòîò èíòåðâàë. Ýòîò àëãîðèòì îñíîâàí íà ìåòîäå äèõîòîìèè
è ïðåäëîæåíèè 4.
Àëãîðèòì À2
Çàäàåì òî÷íîñòü δ , L := Φ(1), R := Φ(ζ).
eñëè Φ( ) ≤ D , òî R := D ,
D
R
èíà÷å ïðèìåíÿåì àëãîðèòì À1
åñëè ñóùåñòâóåò äîïóñòèìîå ðåøåíèå, òî L := D
èíà÷å R := D
êîíåö åñëè
êîíåö åñëè
L+R
D :=
2
Äâóõóðîâíåâûå ìîäåëè îïòèìèçàöèè íàëîãîîáëîæåíèÿ 25
åñëè R − L<δ , òî Êîíåö
èíà÷å ïîâòîðÿòü
êîíåö.
 ðåçóëüòàòå ýòîãî àëãîðèòìà ïîëó÷àåì èíòåðâàë (L, R) ⊂ (Φ(1), Φ(ζ))
òàêîé, ÷òî äëÿ D ∈ (L, R) äîïóñòèìîå ðåøåíèå âñåãäà ñóùåñòâóåò.
Î÷åâèäíî, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (8)-(11) çà-
âèñèò îò âûáîðà D. Æåëàíèå Öåíòðà ñîáðàòü êàê ìîæíî áîëüøå íàëîãîâ,
ò.å. çàäàíèå ñëèøêîì áîëüøîãî D, âåäåò ê îòñóòñòâèþ äîïóñòèìûõ ðåøåíèé.
Êðîìå òîãî, äàæå åñëè äîïóñòèìûå ðåøåíèÿ â (8)-(11) ñóùåñòâóþò, áîëüøå-
ìó D ñîîòâåòñòâóåò ìåíüøåå îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà óïðàâëå-
íèÿ (2). Ïîýòîìó ïðè âûáîðå âåëè÷èíû ñðåäñòâ D ñëåäóåò ó÷èòûâàòü ýòè
óñëîâèÿ.
4 Èññëåäîâàíèå ìîäåëè ñ ïðîãðåññèâíîé øêàëîé
íàëîãîîáëîæåíèÿ
Äàëåå èçó÷èì ñëó÷àé, êîãäà íàëîãîâàÿ ñòàâêà ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé
âîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé îò ïðèáûëè.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ôîðìóëà ñòàâêè ïðîãðåññèâíîãî íàëîãà èìååò âèä:
χ(x) = χi , ri−1 ≤ x < ri , i = 1, p.
Çäåñü r0 = ζ (ñì. Çàìå÷àíèå 3 â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå), rp = +∞.
Ñ÷èòàåì, ÷òî âñå ri , i = 1, p − 1 çàäàíû.
Òîãäà Ψ (x) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé âíèç, êóñî÷íî-ëèíåéíîé ôóíêöèåé ñ ó÷àñò-
êàìè ëèíåéíîñòè [ri−1 , ri ) , i = 1, p.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ôîðìóëà Ψ (x)èìååò âèä:
Ψ (x) = max{ψi (x), i = 1, p},
ãäå
ψ1 (x) = χ1 x + R1 , ζ ≤ x < r1 ,
ψ2 (x) = χ2 x + R2 , r1 ≤ x < r2 ,
ψi (x) = χi x + Ri (r1 , . . . , ri−1 , χ1 , . . . , χi ), ri−1 ≤ x < ri ,
ïðè ýòîì äëÿ i = 2, p
i−1
X
Ri (r1 , . . . , ri−1 , χ1 , . . . , χi ) = χj (rj − rj−1 ) + r1 χ1 − ri−1 χi .
j=2
Äëÿ Ri ñïðàâåäëèâû ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ:
R1 = 0,
Ri+1 = Ri − ri (χi+1 − χi ), i = 1, p − 1.
Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà p = 2.  ýòîì ñëó÷àå
Ψ (Mkt ) = max{χ1 Mkt + R1 , χ2 Mkt + R2 }.
26 Ñ.Ì. Àíöûç, Ò.Â. Âûñîöêàÿ
Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ çàäà÷à.
Îïðåäåëèòü ñòàâêè χ1 , χ2 è âåëè÷èíû dkt òàêèå, ÷òî, åñëè âåêòîðû Xkt , Ykt
ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
(3), (4), (5),
t−1
X t−1
X
2
Ckt Ykt ≤ bk0 + Mkτ − Ψ (Mkτ ), t = 1, T , (12)
τ =1 τ =1
(7),
è âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (9),
T
XX
Ψ (Mkt ) ≥ D, (13)
k∈K t=1
ζ < χ1 < χ2 ≤ 1, (14)
òî 1
pkt Xkt + p2kt Ykt
Z= min → max! (15)
k∈K,t=1,T Ψ (Mkt )
Îòìåòèì, ÷òî îãðàíè÷åíèå (13) âîçíèêàåò èç-çà ïîäõîäà, îáúÿâëåííîãî
âî ââåäåíèè.
Çàìå÷àíèå 4. Áóäåì îáîçíà÷àòü çàäà÷ó ïðåäïðèÿòèÿ ïðè p = 2, χ1 =
α, χ2 = β ÷åðåç Π(α, β).
Ëåììà 2. φk (χ1 , χ2 ) åñòü íåâîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ îäíîãî èç ïàðàìåòðîâ
ïðè ôèêñèðîâàíèè äðóãîãî.
Ïóñòü α < β . Ïîêàæåì, ÷òî φk (α, χ2 ) ≥ φk (β, χ2 ). Çàìåòèì, ÷òî âåêòîðû
Xkt (β, χ2 ), Ykt (β, χ2 ), Ψ (Mkt (β, χ2 )), t = 1, T ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìè ðåøå-
íèÿìè â çàäà÷å Π(α, χ2 ) â ñëó÷àå, åñëè Mkt ≥ 0.  íà÷àëå ïðåäûäóùåé ãëàâû
ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî Mkt > 0. Òàê êàê φk (α, χ2 ) ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì
ðåøåíèåì â çàäà÷å Π(α, χ2 ), òî φk (α, χ2 ) ≥ φk (β, χ2 ).
Íåðàâåíñòâî φk (χ1 , α) ≥ φk (χ1 , β) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Òåîðåìà 2. Åñëè α < β , òî Z(α, χ2 ) > Z(β, χ2 ), çà èñêëþ÷åíèåì îäíîãî
ñëó÷àÿ, êîãäà Z(α, χ2 ) = Z(β, χ2 ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè p = 2 ôóíêöèîíàë (15) èìååò âèä
p1kt Xkt + p2kt Ykt
Z = min .
k∈K,t=1,T max{χ1 Mkt + R1 , χ2 Mkt + R2 }
Ïóñòü äëÿ Z(α, χ2 ) ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ ïðè k = k0 , t = t0 , äëÿ Z(β, χ2 )
ïðè k = k1 , t = t1 .
Âîçìîæíû 4 âàðèàíòà âûðàæåíèé äëÿ ôóíêöèîíàëà Z .
Cëó÷àé 1.
p1 Xk0 t0 + p2k0 t0 Yk0 t0
Z = k0 t0 .
αMk0 t0 + R1
Äâóõóðîâíåâûå ìîäåëè îïòèìèçàöèè íàëîãîîáëîæåíèÿ 27
Òîãäà
p1k1 t1 Xk1 t1 + p2k1 t1 Yk1 t1 p1k0 t0 Xk0 t0 + p2k0 t0 Yk0 t0
Z(β, χ2 ) = ≤ =
max{βMk1 t1 + R1 , χ2 Mk1 t1 + R2 } max{βMk0 t0 + R1 , χ2 Mk0 t0 + R2 }
ñëó÷àé 1a.
p1k0 t0 Xk0 t0 + p2k0 t0 Yk0 t0 p1 Xk0 t0 + p2k0 t0 Yk0 t0
= < k0 t0 = Z(α, χ2 ).
βMk0 t0 + R1 αMk0 t0 + R1
Òàêèì îáðàçîì â ýòîì ñëó÷àå Z(β, χ2 ) < Z(α, χ2 ).
ñëó÷àé 1b.
p1 Xk0 t0 + p2k0 t0 Yk0 t0
= k0 t0 ,
χ 2 M k 0 t0 + R 2
íî òàêîãî áûòü íå ìîæåò, ò.ê. åñëè βMk0 t0 +R1 < χ2 Mk0 t0 +R2 < αMk0 t0 +R1 ,
òî β < α, ÷òî ïðîòèâîðå÷èå óñëîâèþ òåîðåìû.
Ñëó÷àé 2.
p1 Xk0 t0 + p2k0 t0 Yk0 t0
Z = k0 t0 .
χ2 Mk0 t0 + R2
Òîãäà
p1k0 t0 Xk0 t0 + p2k0 t0 Yk0 t0
Z(β, χ2 ) ≤ =
max{βMk0 t0 + R1 , χ2 Mk0 t0 + R2 }
ñëó÷àé 2a.
p1k0 t0 Xk0 t0 + p2k0 t0 Yk0 t0
= = Z(α, χ2 ).
χ2 Mk0 t0 + R2
Ñëåäîâàòåëüíî Z(β, χ2 ) ≤ Z(α, χ2 ), ïðè÷åì ðàâåíñòâî âîçìîæíî òîëüêî
òîãäà, êîãäà ìèíèìóì Z(β, χ2 ) íå åäèíñòâåíåíûé, ò.å. òîãäà, êîãäà
p1k1 t1 Xk1 t1 + p2k1 t1 Yk1 t1 p1k0 t0 Xk0 t0 + p2k0 t0 Yk0 t0
= .
max{βMk1 t1 + R1 , χ2 Mk1 t1 + R2 } max{βMk0 t0 + R1 , χ2 Mk0 t0 + R2 }
Ýòîò îñîáûé ñëó÷àé *) ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü åãî îòäåëüíî.
ñëó÷àé 2b.
p1k0 t0 Xk0 t0 + p2k0 t0 Yk0 t0 p1 Xk0 t0 + p2k0 t0 Yk0 t0
< k0 t0 = Z(α, χ2 ).
βMk0 t0 + R1 χ2 Mk0 t0 + R2
Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî âåðíî, òàê êàê β > α ⇒ βMk0 t0 + R1 > χ2 Mk0 t0 +
R2 > αMk0 t0 + R1 (äëÿ ñëó÷àÿ 2b).
Òàêèì îáðàçîì, èç âîçìîæíûõ ñëó÷àåâ 1a, 2a, 2b ñëåäóåò Z(β, χ2 ) <
Z(α, χ2 ), çà èñêëþ÷åíèåì îñîáîãî ñëó÷àÿ *), êîòîðûé èññëåäóåì ïðè ôîðìó-
ëèðîâêå Çàìå÷àíèÿ 5. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå îãðàíè÷åíèå â çàäà÷å Öåíòðà íà ïðîèçâîëüíîì
îòðåçêå [ζ, b] ⊆ [ζ, χ2 ]. Ôèêñèðóåì χ2 . Îáîçíà÷èì
X
G(χ1 , χ2 ) = φk (χ1 , χ2 ).
k∈K
28 Ñ.Ì. Àíöûç, Ò.Â. Âûñîöêàÿ
ßñíî, ÷òî
X X
χ1 φk (χ1 , χ2 ) ≤ G(χ1 , χ2 ) ≤ χ2 φk (χ1 , χ2 ).
k∈K k∈K
Êàê è ðàíåå îáîçíà÷èì
X
φk (χ1 , χ2 ) = Φ(χ1 , χ2 ).
k∈K
Òàêèì îáðàçîì
χ1 Φ(χ1 , χ2 ) ≤ G(χ1 , χ2 ) ≤ χ2 Φ(χ1 , χ2 ).
Ïî ëåììå 2 Φ(χ1 , χ2 ) ÿâëÿåòñÿ íåâîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé χ1 , òîãäà
Φ(χ1 , χ2 ) ≥ Φ(b, χ2 ) ïðè χ1 ≤ b.
Îòñþäà
χ1 Φ(χ1 , χ2 ) ≥ χ1 Φ(b, χ2 ).
Òîãäà äëÿ ôóíêöèè G(χ1 )èìååì îöåíêó íà èíòåðâàëå [ζ, b]:
χ1 Φ(b, χ2 ) ≤ G(χ1 , χ2 ) ≤ χ2 Φ(χ1 , χ2 ) (∗).
Ýòà îöåíêà ïîíàäîáèòñÿ íàì äëÿ ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìà ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ
äâóìÿ ñòàâêàìè íàëîãà.
4.1 Ýâðèñòè÷åñêèé àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ äâóìÿ
ñòàâêàìè íàëîãîîáëîæåíèÿ
Ðàçëè÷àþòñÿ òðè ñëó÷àÿ:
1)D > χ2 Φ(ζ, χ2 ),
2)0 < D ≤ χ2 Φ(χ2 , χ2 ),
3)χ2 Φ(χ2 , χ2 ) < D ≤ χ2 Φ(0, χ2 ).
 ïåðâîì ñëó÷àå äîïóñòèìûõ ðåøåíèé â çàäà÷å Öåíòðà íå ñóùåñòâóåò,
â òðåòüåì ñëó÷àå äîïóñòèìûå ðåøåíèÿ ìîãóò ñóùåñòâîâàòü, à ìîãóò è íå
ñóùåñòâîâàòü. Èíòåðåñåí âòîðîé ñëó÷àé, êîãäà äîïóñòèìîå ðåøåíèå ñóùå-
ñòâóåò âñåãäà. Êðîìå òîãî, â ïðåäëîæåííîì íèæå àëãîðèòìå À3 D ïîïàäàåò
êàê ðàç âî âòîðîé ïðîìåæóòîê.
Ïîñòðîèì àëãîðèòì Q, êîòîðûé áóäåò âûäàâàòü îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå
ñòàâêè íàëîãà χopt 1 äëÿ ñëó÷àÿ p=2 ñ òî÷êîé ðàçáèåíèÿ r îòðåçêà [0, ∞) ïðè
ôèêñèðîâàííîì χ2 :
Q(χ2 , r, [ζ, ∞)) = χopt
1 .
Àëãîðèòì áóäåò îñíîâàí íà òåîðåìå 2 è íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè.
Ïðåäëîæåíèå 6. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî [ζ, b] ⊆ [ζ, χ2 ] ïðè 0 < D ≤ bΦ(b, χ2 )
D
ñóùåñòâóåò a = òàêîå, ÷òî âñå χ1 , a ≤ χ1 ≤ b ïðèíàäëåæàò
Φ(b,χ2 )
äîïóñòèìûì ðåøåíèÿì çàäà÷è (13) - (15).
Äâóõóðîâíåâûå ìîäåëè îïòèìèçàöèè íàëîãîîáëîæåíèÿ 29
Âåëè÷èíà χ1 Φ(b, χ2 ) ïðè χ1 = ζ ìåíüøå D, à ïðè χ1 = b áîëüøå, ëèáî ðàâíî
D. Òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà òàêàÿ, ÷òî Φ(b, χ2 ) = D. Ðàññìîòðèì [a, b]. Äëÿ
χ1 ∈ [a, b] â ñèëó (∗) ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà:
G(χ1 , χ2 ) ≥ χ1 Φ(b, χ2 ) ≥ aΦ(b, χ2 ) = D,
ò.å. χ1 ∈ [a, b] äîïóñòèìûå ðåøåíèÿ çàäà÷è (13) - (15).
Îáîñíîâàíèå ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìà Q.
Íà k-é èòåðàöèè èìååì [ζ, ak−1 ] ⊆ [ζ, χ2 ] è 0 < D ≤ ak−1 Φ(ak−1 , χ2 ). Ïî
ïðåäëîæåíèþ 6 ñóùåñòâóåò òî÷êà ak = Φ(a D ,χ ) òàêàÿ, ÷òî χ1 ∈ [ak , ak−1 ] -
k−1 2
äîïóñòèìûå ðåøåíèÿ çàäà÷è (13) - (15).  êà÷åñòâå ïðîìåæóòî÷íîãî ðåøå-
íèÿ âûáèðàåì ak . Äàëåå ðàññìàòðèâàåì îòðåçîê [ζ, ak ]. Íà ýòîì îòðåçêå â
ñèëó íåâîçðàñòàíèÿ Φ(χ1 , χ2 ) ïî ïåðâîé ïåðåìåííîé èìååì
ak Φ(ak , χ2 ) ≥ ak Φ(ak−1 , χ2 ) = D,
ò.å. ak Φ(ak , χ2 ) ≥ D (∗∗), è îïÿòü ïîïàäàåì â óñëîâèÿ ïðåäëîæåíèÿ 6.
Êðèòåðèåì îñòàíîâêè áóäåò ak − a < ε, ãäå a = Φ(ζ,χ D
)
, ò.ê. ak → a(k → ∞).
2
Àëãîðèòì Q
0-ÿ èòåðàöèÿ. Çàäàåì òî÷íîñòü ε, a0 := χ2 , a = D
.
Φ(ζ,χ2 )
Âû÷èñëÿåì Φ(a0 , χ2 ).
k-ÿ èòåðàöèÿ. ak := D
Φ(ak−1 ,χ2 )
.
opt
Åñëè ak − a < γ , òî χ1 = ak
èíà÷å k:=k+1 è ïîâòîðÿòü.
Çàìåòèì, ÷òî χopt opt
1 Φ(χ1 , χ2 ) ≥ D (∗ ∗ ∗). Ýòî ñëåäóåò èç (∗∗). (∗ ∗ ∗)
âàæíî ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (13) - (15).
Çàìå÷àíèå 5. Âåðíåìñÿ ê îñîáîìó ñëó÷àþ *), ïðè ðåàëèçàöèè êîòîðîãî
ìèíèìóì â ôóíêöèîíàëå Z íå åäèíñòâåííûé.
Ãðóáî ãîâîðÿ, àëãîðèòì Q ìîæíî èçëîæèòü òàê:
Ïî âîçìîæíîñòè óìåíüøàåì çíà÷åíèå χ1 , òåì ñàìûì óâåëè÷èâàÿ çíà÷åíèå
ôóíêöèîíàëà Öåíòðà.  ñëó÷àå, êîãäà ìèíèìóì íå åäèíñòâåííûé, ìû åãî íå
óâåëè÷èâàåì. Ïðè ýòîìå (åñëè Z(α, χ2 ) = Z(β, χ2 ), â êà÷åñòâå χ1 âûáèðàåòñÿ
ìåíüøåå èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé (ò.å. α), è èòåðàöèè ïðîäîëæàþòñÿ.
Åñëè æå ∀α, β Z(α, χ2 ) = Z(β, χ2 ), òî ôóíêöèîíàë Z ÿâëÿåòñÿ êîíñòàí-
òîé, è íåò ñìûñëà åãî îïòèìèçèðîâàòü.
4.2 Ýâðèñòè÷åñêèé àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ çàäàííûì
÷èñëîì ñòàâîê íàëîãà
Òåïåðü ïîñòðîèì ýâðèñòè÷åñêèé àëãîðèòì À3 äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (13) -
(15), â ñëó÷àå êîãäà çíà÷åíèå p ïðîèçâîëüíîå.
Øàã 1. Ïîëàãàåì χ1 = χ2 = . . . = χp è ðåøàåì çàäà÷ó (13) - (15),
èñïîëüçóÿ àëãîðèòì À1 äëÿ ïðîïîðöèîíàëüíîãî íàëîãà. Íàõîäèì χ∗p .
30 Ñ.Ì. Àíöûç, Ò.Â. Âûñîöêàÿ
Øàã 2. Ïîëàãàåì χ1 = χ2 = . . . = χp−1 è χp = χp . Ïðèìåíÿåì àëãîðèòì
∗
Q:
Q(χ∗p , rp−1 , [ζ, rp ]) = χ∗p−1
Íàõîäèì χ∗p−1 .
Øàã i. Ïîëàãàåì χ1 = χ2 = . . . = χp−i+1 , χp−i+2 = χp−i+2 , . . . ,χp = χp .
∗ ∗
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî i îò 3 äî p − 1 ïðèìåíÿåì àëãîðèòì Q, ãäå â êà÷åñòâå
χ2 áåðåòñÿ χ∗p−i+2 , à
X
Φ(χp−i+1 , χ∗p−i+2 ) = φk (χp−i+1 , χ∗p−i+2 , . . . , χ∗p ),
k∈K
Q(χ∗p−i+2 , rp−i+1 , [0, rp−i+2 ]) = χ∗p−i+1
Íàõîäèì χ∗p−i+1 .
Øàã p.
Åñëè G(ζ, χ2 ) ≥ D , òî χ1 = ζ ,
∗ ∗
èíà÷å åñëè G(
D
Φ(0,χ∗
, χ∗2 ) ≥ D, òî χ∗1 = Φ(ζ,χ
D
∗)
2) 2
èíà÷å ïðèìåíÿåì àëãîðèòì Q:
Q(χ∗2 , r1 , [0, r2 ]) = χ∗1
êîíåö åñëè
êîíåö åñëè.
Çäåñü
T
XX X
G(χ1 , χ∗2 ) = Mkt (χ1 , χ∗2 , . . . , χ∗p ), Φ(χ1 , χ∗2 ) = φk (χ1 , χ∗2 , . . . , χ∗p ).
k∈K t=1 k∈K
 ðåçóëüòàòå ðàáîòû àëãîðèòìà ïîëó÷àåì íàáîð (χ∗1 , . . . , χ∗p ). Çàìåòèì,
÷òî âåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè χ∗1 , . . . , χ∗p âñåãäà ñóùåñòâóåò, åñëè ñóùåñòâóåò
îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ïðîïîðöèîíàëüíîãî íàëîãà χ∗p â àëãîðèòìå À1. Äåé-
ñòâèòåëüíî, íà øàãå 1 àëãîðèòìà À3 ïîëó÷àåì χ∗p òàêîå, ÷òî χ∗p Φ(χ∗p ) ≥ D,
ò.ê. χ∗p îïòèìàëüíîå, à, ñëåäîâàòåëüíî, è äîïóñòèìîå ðåøåíèå â çàäà÷å (13)
- (15).
Äàëåå íà øàãå 2 àëãîðèòìà À3 â àëãîðèòìå Q χ2 = χ∗p è D ∈
(0, χ∗p Φ χ∗p , χ∗p , ) , ò.ê. Φ(χ∗p , χ∗p ) = Φ(χ∗p ). Ïîýòîìó χ∗p−1 ñóùåñòâóåò, ò.ê. ïðè
D èç ýòîãî ïðîìåæóòêà äîïóñòèìîå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò âñåãäà. Äëÿ i îò 2
äî p − 1 χ∗p−i òàêæå ñóùåñòâóþò, ò.ê. íà êàæäîì øàãå i D ïðèíàäëåæèò
ïðîìåæóòêó àíàëîãè÷íîãî òèïà. Äåéñòâèòåëüíî, â ðåçóëüòàòå ðàáîòû àëãî-
ðèòìà Q χ∗p−i+1 Φ(χ∗p−i+1 , χ∗p−i+2 ,) ≥ D íà ëþáîì øàãå, ÷òî áûëî çàìå÷åíî
ðàíåå â (∗ ∗ ∗).
D ñèëó íåâîçðàñòàíèÿ Φ(χ1 , χ2 ) ïî âòîðîé ïåðåìåííîé ñïðàâåäëèâî íåðà-
âåíñòâî χ∗p−i+1 Φ(χ∗p−i+1 , χ∗p−i+1 ,) ≥ χ∗p−i+1 Φ(χ∗p−i+1 , χ∗p−i+2 ,) ≥ D, ò.å. D ∈
(0, χ∗p−i+1 Φ χ∗p−i+1 , χ∗p−i+1 ) .
Çàìå÷àíèå 6. Åñëè áû â àëãîðèòì Q áûëî âêëþ÷åíî óñëîâèå "G(ζ, χ2 ) ≥
D ⇒ χopt 1 = ζ ", òî ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿ íà êàêîì-ëèáî øàãå i
Äâóõóðîâíåâûå ìîäåëè îïòèìèçàöèè íàëîãîîáëîæåíèÿ 31
îò p − 1 äî 2 â àëãîðèòìå À3, ò.å. G(ζ, χ∗p−i+2 ) ≥ D, ìû ïîëó÷èëè áû, ÷òî
χ∗p−i+1 = ζ . Ñëåäîâàòåëüíî, íà âñåõ ïîñëåäóþùèõ øàãàõ â àëãîðèòìå À3
χ∗p−i = . . . = χ∗1 = ζ . Íî òàêîå ðåøåíèå íå ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì â çàäà÷å
(13) - (15), ò.ê. â îãðàíè÷åíèè (14) äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ñòðîãèå íåðàâåí-
ñòâà. Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíåíèå óñëîâèÿ "G(ζ, χ2 ) ≥ D ⇒ χopt 1 = ζ " ïðèâî-
äèò ê îòñóòñòâèþ ðåøåíèÿ çàäà÷è Öåíòðà. Íà ïîñëåäíåì øàãå p àëãîðèòìà
À3 âûïîëíåíèå óñëîâèÿ "G(ζ, χ2 ) ≥ D ⇒ χopt 1 = ζ ", íàîáîðîò, äàåò íàèëó÷-
øèé ðåçóëüòàò.
Åñëè áû â àëãîðèòì Q áûëî âêëþ÷åíî óñëîâèå "G( Φ(ζ,χ
D
)
, χ2 ) ≥ D ⇒
2
χopt
1
D
= Φ(ζ,χ ", òî òàêæå íåëüçÿ áûëî áû ãàðàíòèðîâàòü ñóùåñòâîâàíèå ðå-
2)
øåíèÿ çàäà÷è (13) - (15), ò.ê. ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿ íà êàêîì-ëèáî
øàãå i îò 2 äî p − 1 â àëãîðèòìå À3 íà øàãå i + 1 óæå íåëüçÿ óòâåðæäàòü,
÷òî D áóäåò ïðèíàäëåæàòü îòðåçêó òèïà D ∈ 0, χ∗p−i Φ(χ∗p−i , χ∗p−i ) , ò.å. äî-
ïóñòèìîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Öåíòðà ìîæåò è íå ñóùåñòâîâàòü.
Âûïîëíåíèå æå óñëîâèÿ
D D
G( , χ2 ) ≥ D ⇒ χopt
1 =
Φ(ζ, χ2 ) Φ(ζ, χ2 )
íà ïîñëåäíåì øàãå àëãîðèòìà À3 óëó÷øàåò çíà÷åíèå, ïîëó÷åííîå èç àëãî-
ðèòìà Q.
Ïîêàæåì, ÷òî íà ïîñëåäóþùèõ øàãàõ àëãîðèòìà À3 çíà÷åíèå ôóíêöèî-
íàëà Z óâåëè÷èâàåòñÿ. Äëÿ ôóíêöèîíàëà Φ(χ1 , . . . , χi ), çàâèñÿùåãî îò i ïå-
ðåìåííûõ, ââåäåì èíäåêñ i, îáîçíà÷àþùèé êîëè÷åñòâî ýòèõ ïåðåìåííûõ, ò.å.
Φi (χ1 , . . . , χi ) = Φ(χ1 , . . . , χi ).
Òîãäà íà ïåðâîì øàãå àëãîðèòìà À3 èìååì Φ1 (χ∗p ). Íà âòîðîì øàãå â ñèëó
âîçðàñòàíèÿ ïî ïåðâîé ïåðåìåííîé èìååì
Φ1 (χ∗p ) = Φ2 (χ∗p , χ∗p ) < Φ2 (χ∗p−1 , χ∗p ).
Äëÿ i îò 2 äî p − 1 èìååì ïî òîé æå ïðè÷èíå
Φi (χ∗p−i+1 , χ∗p−i+2 . . . , χ∗p ) = Φi+1 (χ∗p−i+1 , χ∗p−i+1 , χ∗p−i+2 . . . , χ∗p ) <
< Φi+1 (χ∗p−i , χ∗p−i+1 , χ∗p−i+2 . . . , χ∗p ).
Ýòî ïîêàçûâàåò, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà Z ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà ïåðå-
ìåííûõ óâåëè÷èâàåòñÿ.
Ðàññóæäåíèÿ, ïðîâåäåííûå âûøå, ïîäòâåðæäàþò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäó-
þùåãî óòâåðæäåíèÿ, àíàëîãè÷íîãî ïî ñìûñëó ñ ïðèâåäåííûìè â [7].
Ïðåäëîæåíèå 7. Ââåäåíèå ïðîãðåññèâíîãî íàëîãà íà ïðèáûëü ïîçâîëÿåò
óìåíüøèòü ñòàâêè íàëîãà äëÿ îòäåëüíûõ ãðóïï íàëîãîïëàòåëüùèêîâ.
32 Ñ.Ì. Àíöûç, Ò.Â. Âûñîöêàÿ
5 Çàêëþ÷åíèå
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìîòðåíà ýêîíîìè÷åñêàÿ ñèñòåìà èç íåñêîëüêèõ ïðåä-
ïðèÿòèé è îðãàíà Óïðàâëåíèÿ è èññëåäîâàíà âîçìîæíîñòü ðåãóëèðîâàíèÿ
ýòîé ñèñòåìû ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ âèäîâ íàëîãà.
Ïîëó÷åíû ëåãêî ïðîâåðÿåìûå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ íàõîæäåíèÿ èíòåð-
âàëà äîïóñòèìîãî îáúåìà íàëîãîâûõ ñáîðîâ.
Ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà â çàäà÷å ñîõðàíåíèÿ ïðîïîðöèé ïðîèçâîä-
ñòâà âìåñòî ïðîïîðöèîíàëüíîãî íàëîãà èñïîëüçóåòñÿ ïðîãðåññèâíûé íàëîã,
êà÷åñòâî ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû óëó÷øàåòñÿ. Ïðåäëî-
æåíû ýâðèñòè÷åñêèå àëãîðèòìû íàõîæäåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ çíà÷åíèé ñòàâîê
íàëîãà ïðè ïëîñêîé øêàëå íàëîãîîáëîæåíèÿ è ïðè ïðîãðåññèâíîì íàëîãå ñ
ôèêñèðîâàííûì ÷èñëîì ñòàâîê.
Ïðåäëîæåííûå àëãîðèòìû ïðè íàëè÷èè ðåàëüíîé èíôîðìàöèè ïîçâîëÿ-
þò ðàçðàáîòàòü ðàöèîíàëüíóþ ñõåìó íàëîãîîáëîæåíèÿ.
Î òðóäîåìêîñòè ïîëó÷åííûõ àëãîðèòìîâ:
Ýâðèñòè÷åñêèé àëãîðèòì ïîèñêà îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ ïðîïîðöè-
îíàëüíûì íàëîãîì, äëÿ äîñòèæåíèÿ òî÷íîñòè ε òðåáóåò m èòåðàöèé, ãäå
ln ε
m≤ D D
+ 1.
ln( Φ(1) − Φ(ζ) )
Áëàãîäàðíîñòè. Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ïðîãðàììû ôóíäàìåí-
òàëüíûõ íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé ÑÎ ÐÀÍ N I.5.1., ïðîåêò N 0314-2016-0018.
 çàêëþ÷åíèå àâòîðû áëàãîäàðÿò çà ôèíàíñîâóþ ïîääåðæêó Ðîññèéñêèé ãó-
ìàíèòàðíûé íàó÷íûé ôîíä (ïðîåêò 16-02-00049) è Ðîññèéñêèé ôîíä ôóíäà-
ìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé (ïðîåêòû 16-06-00046, 16-06-00101 è 16-01-00108).
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
1. Àíöûç, Ñ.Ì., Ðûïàëîâà, Î.À.: Î äâóõ ñèñòåìàõ íàëîãîîáëîæåíèÿ äèñêðåòíûå
ìîäåëè. Ïðåïðèíò N 252, Íîâîñèáèðñê: ÈÌ ÑÎ ÐÀÍ (2010)
2. Àíöûç, Ñ.Ì., Äîíñêîâ, È.Â., Ìàðøàê, Â.Ä, ×óïèí, Â.Ã.: Îïòèìèçàöèÿ ñèñòåì-
íûõ ðåøåíèé â ðàñïðåäåëåííûõ áàçàõ äàííûõ. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà. Ñèá. îòä-
íèå (1990)
3. Àíöûç, Ñ.Ì., Ëàâëèíñêèé, Ñ. Ì., Ïåâíèöêèé, À. È., Ïðîöåíêî, À. Â.: Î ìåòî-
äàõ ýêîíîìè÷åñêîé îöåíêè ìåñòîðîæäåíèÿ ïîëèìåòàëëè÷åñêèõ ðóä. Ïðåïðèíò
N 77, Íîâîñèáèðñê: ÈÌ ÑÎ ÐÀÍ (2000)
4. Àíöûç, Ñ. Ì., Êðàõàëëâ, À. À.: Î äèíàìèêè öåí íà ðûíêå íåäâèæèìîñòè. Òðó-
äû 12-é Ìåæäóíàðîäíîé Àçèàòñêîé øêîëû-ñåìèíàðà Ïðîáëåìû îïòèìèçàöèè
ñëîæíûõ ñèñòåì, Íîâîñèáèðñê, 12-16 äåêàáðÿ 2016 ã. C. 50-57 (2016)
5. Àíöûç, Ñ.Ì., Âûñîöêàÿ, Ò.Â.: Äâóõóðîâíåâûå ìîäåëè îïòèìèçàöèè ýêîëîãè-
÷åñêîãî íàëîãîîáëîæåíèÿ. Ïðåïðèíò N 166, Íîâîñèáèðñê: ÈÌ ÑÎ ÐÀÍ (2006)
6. Ben-Ayed, O., Blayer, C.: Computational di culties of bilevel linear programming.
Operation Research 38, 556560 (1990)
7. Edgeworth, F.Y.: The Pure Theory of Taxation. The Economic Journal 7(25),
4670 (1897)